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En matematicas el producto exterior de vectores o producto de cuna por el simbolo displaystyle wedge utilizado para denotarlo es una construccion algebraica utilizada en geometria para estudiar areas volumenes y sus analogos de dimensiones superiores El producto exterior de dos vectores u displaystyle u y v displaystyle v denotado por u v displaystyle u wedge v se llama bivector y pertenece a un espacio llamado cuadrado exterior un espacio vectorial que es distinto del espacio original de los vectores La magnitud 3 de u v displaystyle u wedge v se puede interpretar como el area del paralelogramo con lados u displaystyle u y v displaystyle v que en tres dimensiones tambien se puede calcular usando el producto vectorial de los dos vectores De manera mas general todas las superficies planas paralelas con la misma orientacion y area tienen el mismo bivector como medida de su area orientada Al igual que el producto cruzado el producto exterior es anticonmutativo lo que significa que u v v u displaystyle u wedge v v wedge u para todos los vectores u displaystyle u y v displaystyle v pero a diferencia del producto cruzado el producto exterior es asociativo Orientacion definida por un conjunto ordenado de vectoresLa orientacion invertida corresponde cambiar el signo del producto exteriorInterpretacion geometrica de elementos de grado n en un algebra exterior real para n 0 punto con signo 1 segmento de linea dirigido o vector 2 elemento plano orientado 3 volumen orientado El producto exterior de los n vectores se puede visualizar como cualquier forma n dimensional por ejemplo n paralelotopo o n elipsoide con magnitud cuarta dimension y orientacion definido por el de su limite n 1 dimensional y en que lado esta el interior 1 2 Cuando se considera de esta manera el producto exterior de dos vectores se denomina de De manera mas general el producto exterior de cualquier numero k de vectores se puede definir como una k hoja Pertenece a un espacio conocido como la k esima potencia exterior La magnitud de la k hoja resultante es el volumen de la dimension k de un paralelotopo cuyas aristas son los vectores dados asi como la magnitud del producto mixto de los vectores en tres dimensiones da el volumen del paralelepipedo generado por esos vectores El algebra exterior o algebra de Grassmann denominada asi en referencia a Hermann Grassmann 4 es el sistema algebraico cuyo producto es el producto exterior El algebra exterior proporciona un entorno algebraico en el que manejar cuestiones geometricas Por ejemplo las hojas tienen una interpretacion geometrica concreta y los objetos en el algebra exterior pueden manipularse de acuerdo con un conjunto de reglas inequivocas El algebra exterior contiene objetos que no son solo k hojas sino sumas de k hojas tal suma se llama k vector 5 Las k hojas debido a que son productos simples de vectores se denominan elementos simples del algebra El rango de cualquier vector k se define como el numero mas pequeno de elementos simples de los que es una suma El producto exterior se extiende al algebra exterior completa por lo que tiene sentido multiplicar dos elementos cualesquiera del algebra Equipada con este producto el algebra exterior es un algebra asociativa lo que significa que a b g a b g displaystyle alpha wedge beta wedge gamma alpha wedge beta wedge gamma para cualquier elemento a b g displaystyle alpha beta gamma Los k vectores tienen grado k lo que significa que son sumas de productos de k vectores Cuando se multiplican elementos de diferentes grados los grados se suman como en una multiplicacion de polinomios Esto significa que el algebra exterior es un algebra graduada La definicion del algebra exterior tiene sentido para espacios no solo de vectores geometricos sino de otros objetos similares a vectores como campos vectoriales o funciones En general el algebra exterior se puede definir para modulos sobre un anillo conmutativo y para otras estructuras de interes en algebra abstracta Es una de estas construcciones mas generales donde el algebra exterior encuentra una de sus aplicaciones mas importantes donde aparece como el algebra de formas diferenciales que es fundamental en areas que usan la geometria diferencial El algebra exterior tambien tiene muchas propiedades algebraicas que la convierten en una herramienta conveniente en el algebra misma La asociacion del algebra exterior a un espacio vectorial es un tipo de funtor en espacios vectoriales lo que significa que es compatible de cierta manera con la aplicacion lineal de espacios vectoriales El algebra exterior es un ejemplo de bialgebra lo que significa que su espacio dual tambien posee un producto y este producto dual es compatible con el producto exterior Este algebra dual es precisamente el algebra de formas multilineales y el emparejamiento entre el algebra exterior y su dual viene dado por el producto interno EjemplosAreas en el plano El area de un paralelogramo en terminos del determinante de la matriz de coordenadas de dos de sus vertices El sistema de coordenadas cartesianas R2 es un espacio vectorial real equipado con una base que consta de un par de vectores unitarios e 1 1 0 e 2 0 1 displaystyle mathbf e 1 begin bmatrix 1 0 end bmatrix quad mathbf e 2 begin bmatrix 0 1 end bmatrix Ahora se supone que v a b a e 1 b e 2 w c d c e 1 d e 2 displaystyle mathbf v begin bmatrix a b end bmatrix a mathbf e 1 b mathbf e 2 quad mathbf w begin bmatrix c d end bmatrix c mathbf e 1 d mathbf e 2 son un par de vectores dados en R2 escritos en componentes Hay un paralelogramo unico que tiene v y w como dos de sus lados El area de este paralelogramo viene dada por la formula estandar del determinante Area det v w det a c b d a d b c displaystyle text Area Bigl det begin bmatrix mathbf v amp mathbf w end bmatrix Bigr Biggl det begin bmatrix a amp c b amp d end bmatrix Biggr left ad bc right Considerese ahora el producto exterior de v y w v w a e 1 b e 2 c e 1 d e 2 a c e 1 e 1 a d e 1 e 2 b c e 2 e 1 b d e 2 e 2 a d b c e 1 e 2 displaystyle begin aligned mathbf v wedge mathbf w amp a mathbf e 1 b mathbf e 2 wedge c mathbf e 1 d mathbf e 2 amp ac mathbf e 1 wedge mathbf e 1 ad mathbf e 1 wedge mathbf e 2 bc mathbf e 2 wedge mathbf e 1 bd mathbf e 2 wedge mathbf e 2 amp left ad bc right mathbf e 1 wedge mathbf e 2 end aligned donde el primer paso usa la ley distributiva para el producto exterior y el ultimo usa el hecho de que el producto exterior es alterno y en particular e 2 e 1 e 1 e 2 displaystyle mathbf e 2 wedge mathbf e 1 mathbf e 1 wedge mathbf e 2 El hecho de que el producto exterior sea alterno tambien fuerza a que e 1 e 1 e 2 e 2 0 displaystyle mathbf e 1 wedge mathbf e 1 mathbf e 2 wedge mathbf e 2 0 Notese que el coeficiente en esta ultima expresion es precisamente el determinante de la matriz v w El hecho de que el resultado pueda ser positivo o negativo tiene el significado intuitivo de que v y w pueden estar orientados en sentido contrario a las agujas del reloj o en sentido horario como los vertices del paralelogramo que definen Tal area se llama area con signo del paralelogramo el valor absoluto del area con signo es el area ordinaria y el signo determina su orientacion El hecho de que este coeficiente sea el area con signo no es algo accidental De hecho es relativamente facil ver que el producto exterior deberia estar relacionado con el area con signo si se intenta axiomatizar esta area como una construccion algebraica En detalle si A v w denota el area con signo del paralelogramo del cual el par de vectores v y w forman dos lados adyacentes entonces A debe satisfacer las siguientes propiedades A rv sw rsA v w para cualquier numero real r y s ya que al cambiar la escala de cualquiera de los lados se cambia la escala del area en la misma cantidad y al invertir la direccion de uno de los lados se invierte la orientacion del paralelogramo A v v 0 ya que el area del paralelogramo degenerado determinada por v es decir un segmento es cero A w v A v w ya que intercambiar los papeles de v y w invierte la orientacion del paralelogramo A v rw w A v w para cualquier numero real r ya que sumar un multiplo de w a v no afecta ni a la base ni a la altura del paralelogramo y por lo tanto preserva su area A e1 e2 1 ya que el area del cuadrado unitario es uno El producto cruzado el vector azul en relacion con el producto exterior el paralelogramo azul claro La longitud del producto cruzado es la longitud del vector unitario paralelo rojo como el tamano del producto exterior es el tamano del paralelogramo de referencia rojo claro Con la excepcion de la ultima propiedad el producto exterior de dos vectores satisface las mismas propiedades que el area En cierto sentido el producto exterior generaliza la propiedad final al permitir comparar el area de un paralelogramo con la de cualquier paralelogramo elegido en un plano paralelo aqui el que tiene lados e 1 y e 2 En otras palabras el producto exterior proporciona una formulacion de area independiente de la base 6 Productos cruzados y triples Para los vectores en un espacio vectorial 3 dimensional orientado con un producto escalar bilineal el algebra exterior esta estrechamente relacionada con el producto vectorial y el producto mixto Usando una base canonica e1 e2 e3 el producto exterior de un par de vectores u u 1 e 1 u 2 e 2 u 3 e 3 displaystyle mathbf u u 1 mathbf e 1 u 2 mathbf e 2 u 3 mathbf e 3 y v v 1 e 1 v 2 e 2 v 3 e 3 displaystyle mathbf v v 1 mathbf e 1 v 2 mathbf e 2 v 3 mathbf e 3 es u v u 1 v 2 u 2 v 1 e 1 e 2 u 2 v 3 u 3 v 2 e 2 e 3 u 3 v 1 u 1 v 3 e 3 e 1 displaystyle mathbf u wedge mathbf v u 1 v 2 u 2 v 1 mathbf e 1 wedge mathbf e 2 u 2 v 3 u 3 v 2 mathbf e 2 wedge mathbf e 3 u 3 v 1 u 1 v 3 mathbf e 3 wedge mathbf e 1 donde e1 e2 e2 e3 e3 e1 es una base para el espacio tridimensional L2 R3 Los coeficientes anteriores son los mismos que los de la definicion habitual del producto vectorial de vectores en tres dimensiones con una orientacion dada siendo la unica diferencia que el producto exterior no es un vector ordinario sino un y que el producto exterior no depende de la eleccion de la orientacion Anadiendo un tercer vector w w 1 e 1 w 2 e 2 w 3 e 3 displaystyle mathbf w w 1 mathbf e 1 w 2 mathbf e 2 w 3 mathbf e 3 el producto exterior de tres vectores es u v w u 1 v 2 w 3 u 2 v 3 w 1 u 3 v 1 w 2 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 u 3 v 2 w 1 e 1 e 2 e 3 displaystyle mathbf u wedge mathbf v wedge mathbf w u 1 v 2 w 3 u 2 v 3 w 1 u 3 v 1 w 2 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 u 3 v 2 w 1 mathbf e 1 wedge mathbf e 2 wedge mathbf e 3 donde e1 e2 e3 es el vector base para el espacio unidimensional L3 R3 El coeficiente escalar es el producto mixto de los tres vectores El producto cruzado y el producto triple en un espacio vectorial euclideo tridimensional admiten cada uno interpretaciones geometricas y algebraicas El producto cruzado u v se puede interpretar como un vector que es perpendicular tanto a u como a v y cuya magnitud es igual al area del paralelogramo determinada por los dos vectores Tambien se puede interpretar como el vector formado por el menor de la matriz con las columnas u y v El producto triple de u v y w es un escalar con signo que representa un volumen con orientacion geometrica Algebraicamente es el determinante de la matriz con columnas u v y w El producto exterior en tres dimensiones permite interpretaciones similares tambien se puede identificar con longitudes orientadas areas volumenes etc que estan atravesados por uno dos o mas vectores El producto exterior generaliza estas nociones geometricas a todos los espacios vectoriales y a cualquier numero de dimensiones incluso en ausencia de un producto escalar Definiciones formales y propiedades algebraicasEl algebra exterior L V de un espacio vectorial V sobre un cuerpo o campo K se define como el algebra cociente del algebra tensorial T V por el ideal I de dos lados generado por todos los elementos de la forma x x para x V es decir todos los tensores que se pueden expresar como el tensor producto de un vector en V por si mismo 7 El ideal I contiene el ideal J generado por elementos de la forma x y y x x y x y x x y y displaystyle x otimes y y otimes x x y otimes x y x otimes x y otimes y y estos ideales coinciden si y solo si char K 2 displaystyle operatorname char K neq 2 I J with equality iff char K 2 displaystyle I supseteq J text with equality iff operatorname char K neq 2 Se define V T V I displaystyle textstyle bigwedge V T V I El producto exterior de dos elementos de L V es el producto inducido por el producto tensorial de T V Es decir si p T V V T V I displaystyle pi T V to textstyle bigwedge V T V I es la suprayeccion canonica y a y b estan en L V entonces hay a displaystyle alpha y b displaystyle beta en T V de modo que a p a displaystyle a pi alpha y b p b displaystyle b pi beta y a b p a b displaystyle a wedge b pi alpha otimes beta De la definicion de un algebra cociente resulta que el valor de a b displaystyle a wedge b no depende de una eleccion particular de a displaystyle alpha y b displaystyle beta Como T0 K T1 V y T 0 V T 1 V I 0 displaystyle left T 0 V oplus T 1 V right cap I 0 las inclusiones de K y V en T V inducen inyecciones de K y V en L V Estas inyecciones se consideran comunmente como inclusiones y se denominan incrustaciones naturales inyecciones naturales o inclusiones naturales La palabra canonico tambien se usa comunmente en lugar de natural Producto alterno El producto exterior es por construccion alterno sobre elementos de V displaystyle V lo que significa que x x 0 textstyle x wedge x 0 para todo x V displaystyle x in V por la construccion anterior De ello se deduce que el producto tambien es anticonmutativo en elementos de V displaystyle V por suponer que x y V displaystyle x y in V 0 x y x y x x x y y x y y x y y x displaystyle 0 x y wedge x y x wedge x x wedge y y wedge x y wedge y x wedge y y wedge x y por lo tanto x y y x displaystyle x wedge y y wedge x De manera mas general si s es una permutacion de los enteros 1 k y x1 x2 xk elementos de V resulta que x s 1 x s 2 x s k sgn s x 1 x 2 x k displaystyle x sigma 1 wedge x sigma 2 wedge cdots wedge x sigma k operatorname sgn sigma x 1 wedge x 2 wedge cdots wedge x k donde sgn s es la signatura de la permutacion s 8 En particular si xi xj para algunos i j entonces la siguiente generalizacion de la propiedad alterna tambien es valida x 1 x 2 x k 0 displaystyle x 1 wedge x 2 wedge cdots wedge x k 0 Potenciacion exterior La k esima potencia exterior de V denotada como Lk V es el subespacio vectorial de L V abarcado por elementos de la forma x 1 x 2 x k x i V i 1 2 k displaystyle x 1 wedge x 2 wedge cdots wedge x k quad x i in V i 1 2 ldots k Si a Lk V entonces a se dice que es un Si ademas a se puede expresar como un producto exterior de k elementos de V entonces se dice que a es descomponible Aunque los k vectores descomponibles abarcan Lk V no todos los elementos de Lk V son descomponibles Por ejemplo en R4 el siguiente 2 vector no es descomponible a e 1 e 2 e 3 e 4 displaystyle alpha e 1 wedge e 2 e 3 wedge e 4 este es un espacio vectorial simplectico desde a a 0 9 Base y dimension Si la dimension de V es n y e1 en es una base para V entonces el conjunto e i 1 e i 2 e i k k 1 2 n and 1 i 1 lt i 2 lt lt i k n displaystyle e i 1 wedge e i 2 wedge cdots wedge e i k big k 1 2 cdots n text and 1 leq i 1 lt i 2 lt cdots lt i k leq n es una base para Lk V El motivo es el siguiente dado cualquier producto exterior de la forma v 1 v k displaystyle v 1 wedge cdots wedge v k cada vector vj puede escribirse como una combinacion lineal de los vectores de la base ei usando la bilinealidad del producto exterior esto puede expandirse a una combinacion lineal de productos exteriores de esos vectores de la base Cualquier producto exterior en el que aparezca el mismo vector base mas de una vez es cero cualquier producto exterior en el que los vectores base no aparezcan en el orden correcto se puede reordenar cambiando el signo siempre que dos vectores base cambien de lugar En general los coeficientes resultantes de los k vectores de una base se pueden calcular como los menores de la matriz que describe los vectores vj en terminos de la base ei Contando los elementos basicos la dimension de Lk V es igual al coeficiente binomial dim k V n k displaystyle dim textstyle bigwedge k V binom n k donde n es la dimension de los vectores y k es el numero de vectores en el producto El coeficiente binomial produce el resultado correcto incluso en casos excepcionales en particular Lk V 0 para k gt n Cualquier elemento del algebra exterior se puede escribir como una suma de Por tanto como espacio vectorial el algebra exterior es una suma directa V 0 V 1 V 2 V n V displaystyle textstyle bigwedge V textstyle bigwedge 0 V oplus textstyle bigwedge 1 V oplus textstyle bigwedge 2 V oplus cdots oplus textstyle bigwedge n V donde por convencion L0 V K cuerpo subyacente a V y L1 V V y por lo tanto su dimension es igual a la suma de los coeficientes binomiales que es 2n Rango de un k vector Si a Lk V entonces es posible expresar a como una combinacion lineal de descomponibles a a 1 a 2 a s displaystyle alpha alpha 1 alpha 2 cdots alpha s donde cada a i es descomponible en a i a 1 i a k i i 1 2 s displaystyle alpha i alpha 1 i wedge cdots wedge alpha k i quad i 1 2 ldots s El rango del k vector a es el numero minimo de k vectores descomponibles en tal expansion de a Esto es similar a la nocion de El rango es particularmente importante en el estudio de 2 vectores Sternberg 1964 III 6 Bryant et al 1991 El rango de un 2 vector a puede identificarse con la mitad del rango de la matriz de los coeficientes de a en una base Por lo tanto si ei es una base para V entonces a se puede expresar unicamente como a i j a i j e i e j displaystyle alpha sum i j a ij e i wedge e j donde aij aji la matriz de coeficientes es antisimetrica El rango de la matriz aij es por tanto par y es el doble del rango de la forma a En la caracteristica 0 el 2 vector a tiene rango p si y solo si a a p 0 displaystyle underset p underbrace alpha wedge cdots wedge alpha neq 0 y a a p 1 0 displaystyle underset p 1 underbrace alpha wedge cdots wedge alpha 0 Estructura graduada El producto exterior de un k vector con un p vector es un k p vector que nuevamente invoca la bilinealidad Como consecuencia la descomposicion de una suma directa de la seccion anterior V 0 V 1 V 2 V n V displaystyle textstyle bigwedge V textstyle bigwedge 0 V oplus textstyle bigwedge 1 V oplus textstyle bigwedge 2 V oplus cdots oplus textstyle bigwedge n V le da al algebra exterior la estructura adicional de un algebra graduada es decir k V p V k p V displaystyle textstyle bigwedge k V wedge textstyle bigwedge p V subset textstyle bigwedge k p V Ademas si K es la base del cuerpo entonces 0 V K displaystyle textstyle bigwedge 0 V K y 1 V V displaystyle textstyle bigwedge 1 V V El producto exterior se clasifica como anticomutativo lo que significa que si a Lk V y b Lp V entonces a b 1 k p b a displaystyle alpha wedge beta 1 kp beta wedge alpha Ademas de estudiar la estructura graduada en el algebra exterior Bourbaki 1989 estudia estructuras graduadas adicionales en algebras exteriores como las del algebra exterior de un algebra graduada un modulo que ya tiene su propia graduacion Propiedad universal Sea V un espacio vectorial sobre el campo K De manera informal la multiplicacion en L V se realiza manipulando simbolos e imponiendo una distributividad una asociatividad y utilizando la identidad v v 0 displaystyle v wedge v 0 para v V Formalmente L V es el algebra mas general en la que estas reglas son validas para la multiplicacion en el sentido de que cualquier K algebra asociativa unidad que contenga V con multiplicacion alterna en V debe contener una imagen homomorfica de L V En otras palabras el algebra exterior tiene la siguiente 10 Dada cualquier K algebra asociativa unitaria A y cualquier K aplicacion lineal j V A tal que j v j v 0 para cada v en V entonces existe precisamente un f L V A unitario tal que j v f i v para todo v en V aqui i es la inclusion natural de V en L V vease arriba Propiedad universal del algebra exterior Para construir el algebra mas general que contiene V y cuya multiplicacion se alterna en V es natural comenzar con el algebra asociativa mas general que contiene V el algebra tensorial T V y luego hacer cumplir la propiedad alterna tomando un cociente adecuado Por lo tanto se toma el ideal I de dos lados en T V generado por todos los elementos de la forma v v para v en V y se define L V como el cociente V T V I displaystyle textstyle bigwedge V T V I y se usa como el simbolo para la multiplicacion en L V Entonces es sencillo demostrar que L V contiene V y satisface la propiedad universal anterior Como consecuencia de esta construccion la operacion de asignar a un espacio vectorial V su algebra exterior L V es un funtor desde la categoria de los espacios vectoriales a la categoria de las algebras En lugar de definir primero L V y luego identificar las potencias exteriores Lk V como ciertos subespacios se puede alternativamente definir primero los espacios Lk V y luego combinarlos para formar el algebra L V Este enfoque se utiliza a menudo en geometria diferencial y se describe en la siguiente seccion Generalizaciones Dado un anillo conmutativo R y un R modulo M se puede definir el algebra exterior L M tal como se indico anteriormente como un cociente adecuado del algebra tensorial T M Satisface la propiedad universal analoga Muchas de las propiedades de L M tambien requieren que M sea un modulo proyectivo Cuando se usa la dimensionalidad finita las propiedades requieren ademas que M sea y proyectivo Las generalizaciones a las situaciones mas comunes se pueden encontrar en Bourbaki 1989 Las algebras exteriores de fibrado vectorial se consideran con frecuencia en geometria y topologia No existen diferencias esenciales entre las propiedades algebraicas del algebra exterior de paquetes vectoriales de dimension finita y las del algebra exterior de modulos proyectivos generados finitamente segun el Se pueden definir algebras exteriores mas generales para haces de modulos Algebra tensorial alternaSi K es un campo de caracteristica 0 11 entonces el algebra exterior de un espacio vectorial V sobre K se puede identificar canonicamente con el subespacio vectorial de T V que consta de tensores antisimetricos Recuerdese que el algebra exterior es el cociente de T V por el ideal I generado por elementos de la forma x x Sea Tr V el espacio de tensores homogeneos de grado r atravesado por tensores descomponibles v 1 v r v i V displaystyle v 1 otimes cdots otimes v r quad v i in V La antisimetrizacion o a veces la simetrizacion oblicua de un tensor descomponible se define por Alt v 1 v r 1 r s S r sgn s v s 1 v s r displaystyle operatorname Alt v 1 otimes cdots otimes v r frac 1 r sum sigma in mathfrak S r operatorname sgn sigma v sigma 1 otimes cdots otimes v sigma r donde la suma se toma sobre el grupo simetrico de permutaciones en los simbolos 1 r Esto se extiende por linealidad y homogeneidad a una operacion tambien denotada por Alt en el algebra tensorial completa T V La imagen Alt T V es el algebra de tensor alterno denotada A V Este es un subespacio vectorial de T V y hereda la estructura de un espacio vectorial graduado de la de T V Lleva un producto calificado asociativo displaystyle widehat otimes definido por t s Alt t s displaystyle t widehat otimes s operatorname Alt t otimes s Aunque este producto difiere del producto tensorial el nucleo de Alt es precisamente el ideal I nuevamente asumiendo que K tiene la caracteristica 0 y existe un isomorfismo canonico A V V displaystyle A V cong textstyle bigwedge V Notacion de indices Supongase que V tiene una dimension finita n y que se da una base e1 en de V Entonces cualquier tensor alterno t Ar V Tr V se puede escribir en notacion indexada como t t i 1 i 2 i r e i 1 e i 2 e i r displaystyle t t i 1 i 2 cdots i r mathbf e i 1 otimes mathbf e i 2 otimes cdots otimes mathbf e i r donde ti1 ir es completamente antisimetrico en sus indices El producto exterior de dos tensores alternos t y s de los rangos r y p viene dado por t s 1 r p s S r p sgn s t i s 1 i s r s i s r 1 i s r p e i 1 e i 2 e i r p displaystyle t widehat otimes s frac 1 r p sum sigma in mathfrak S r p operatorname sgn sigma t i sigma 1 cdots i sigma r s i sigma r 1 cdots i sigma r p mathbf e i 1 otimes mathbf e i 2 otimes cdots otimes mathbf e i r p Los componentes de este tensor son precisamente la parte oblicua de los componentes del producto tensorial s t indicado por corchetes en los indices t s i 1 i r p t i 1 i r s i r 1 i r p displaystyle t widehat otimes s i 1 cdots i r p t i 1 cdots i r s i r 1 cdots i r p El producto interno tambien se puede describir en notacion indexada como sigue Sea t t i 0 i 1 i r 1 displaystyle t t i 0 i 1 cdots i r 1 un tensor antisimetrico de rango r Entonces para a V iat es un tensor alterno de rango r 1 dado por i a t i 1 i r 1 r j 0 n a j t j i 1 i r 1 displaystyle i alpha t i 1 cdots i r 1 r sum j 0 n alpha j t ji 1 cdots i r 1 donde n es la dimension de V DualidadOperadores alternos Dados dos espacios vectoriales V y X y un numero natural k un operador alterno de Vk a X es una aplicacion multilineal f V k X displaystyle f colon V k to X tal que siempre que v1 vk son vectores linealmente dependientes en V entonces f v 1 v k 0 displaystyle f v 1 ldots v k 0 La aplicacion w V k k V displaystyle w colon V k to textstyle bigwedge k V que asocia a los vectores k displaystyle k de V displaystyle V su producto exterior es decir su correspondiente vector k displaystyle k tambien es alterna De hecho esta aplicacion es el operador alterno mas general definido en V k displaystyle V k dado cualquier otro operador alterno f V k X displaystyle f V k rightarrow X existe una aplicacion lineal ϕ k V X displaystyle phi wedge k V rightarrow X unico con f ϕ w displaystyle f phi circ w Esta caracteriza el espacio k V displaystyle wedge k V y puede servir como su definicion Formas multilineales alternas Interpretacion geometrica para el producto exterior de n 1 formas e h w para obtener una n forma malla de un sistema de coordenadas aqui planos 1 para n 1 2 3 Las circulaciones muestran orientacion 12 13 La discusion anterior se especializa en el caso de X K la base del campo En este caso una funcion multilineal alterna f V k K displaystyle f V k to K se llama una forma multilineal alterna El conjunto de todas las formas multilineales es un espacio vectorial ya que la suma de dos de esas aplicaciones o el producto de tal aplicacion por un escalar se alterna de nuevo Por la propiedad universal de la potencia exterior el espacio de formas alternas de grado k sobre V es naturalmente isomorfo con el espacio dual LkV Si V es de dimension finita entonces este ultimo es naturalmente isomorfo a Lk V En particular si V es n dimensional la dimension del espacio de los mapas alternos de Vk a K es el coeficiente binomial n k displaystyle tbinom n k Bajo esta identificacion el producto exterior toma una forma concreta produce una nueva aplicacion antisimetrica a partir de otras dos dadas Supongase que w Vk K y h Vm K son dos aplicaciones antisimetricas Como en el caso del producto tensorial de aplicaciones multilineales el numero de variables de su producto exterior es la suma de los numeros de sus variables Se define de la siguiente manera 14 w h k m k m Alt w h displaystyle omega wedge eta frac k m k m operatorname Alt omega otimes eta donde si la caracteristica de la base del cuerpo K es 0 la alternancia Alt de una aplicacion multilineal se define como el promedio de los valores ajustados por el signo sobre todas las permutaciones de sus variables Alt w x 1 x k 1 k s S k sgn s w x s 1 x s k displaystyle operatorname Alt omega x 1 ldots x k frac 1 k sum sigma in S k operatorname sgn sigma omega x sigma 1 ldots x sigma k Cuando el cuerpo K tiene caracteristica finita se obtiene una version equivalente a la expresion anterior pero sin factoriales ni constantes w h x 1 x k m s S h k m sgn s w x s 1 x s k h x s k 1 x s k m displaystyle omega wedge eta x 1 ldots x k m sum sigma in Sh k m operatorname sgn sigma omega x sigma 1 ldots x sigma k eta x sigma k 1 ldots x sigma k m donde aqui Shk m Sk m es el subconjunto de los k m barajados las permutaciones del conjunto s 1 2 k m tales que s 1 lt s 2 lt lt s k y s k 1 lt s k 2 lt lt s k m Producto interno Vease tambien Producto interno Supongase que V es de dimension finita Si V denota el espacio dual al espacio vectorial V entonces para cada a V es posible definir una antiderivacion en el algebra L V i a k V k 1 V displaystyle i alpha textstyle bigwedge k V rightarrow textstyle bigwedge k 1 V Esta derivacion se llama el producto interno con a o algunas veces el operador de insercion o la contraccion por a Supongase que w LkV Entonces w es una aplicacion multilineal de V sobre K por lo que esta definido por sus valores en la k hoja del producto cartesiano V V V Si u1 u2 uk 1 son k 1 elementos de V se define i a w u 1 u 2 u k 1 w a u 1 u 2 u k 1 displaystyle i alpha mathbf w u 1 u 2 ldots u k 1 mathbf w alpha u 1 u 2 ldots u k 1 Ademas se tiene que iaf 0 siempre que f sea un escalar puro es decir pertenezca a L0V Caracterizacion axiomatica y propiedades El producto interno satisface las siguientes propiedades Para cada k y cada a V i a k V k 1 V displaystyle i alpha textstyle bigwedge k V rightarrow textstyle bigwedge k 1 V Por convencion L 1V 0 Si v es un elemento de V L1V entonces iav a v es el emparejamiento dual entre elementos de V y elementos de V Para cada a V ia es una de grado 1 i a a b i a a b 1 deg a a i a b displaystyle i alpha a wedge b i alpha a wedge b 1 deg a a wedge i alpha b Estas tres propiedades son suficientes para caracterizar el producto interno asi como para definirlo en el caso general de dimension infinita Otras propiedades del producto interno incluyen i a i a 0 displaystyle i alpha circ i alpha 0 i a i b i b i a displaystyle i alpha circ i beta i beta circ i alpha Dual de Hodge Articulo principal Dual de Hodge Supongase que V tiene una dimension finita n Entonces el producto interno induce un isomorfismo canonico de espacios vectoriales k V n V n k V displaystyle textstyle bigwedge k V otimes textstyle bigwedge n V to textstyle bigwedge n k V por la definicion recursiva i a b i b i a displaystyle i alpha wedge beta i beta circ i alpha En la configuracion geometrica un elemento distinto de cero de la potencia exterior superior Ln V que es un espacio vectorial unidimensional a veces se denomina o forma orientada aunque este termino a veces puede dar lugar a ambiguedad El termino orientada proviene del hecho de que la eleccion del elemento superior preferido determina una orientacion de todo el algebra exterior ya que equivale a fijar una base ordenada del espacio vectorial En relacion con la forma de volumen preferida s el isomorfismo entre un elemento a k V displaystyle alpha in wedge k V y su dual de Hodge viene dado explicitamente por k V n k V a i a s displaystyle textstyle bigwedge k V to textstyle bigwedge n k V alpha mapsto i alpha sigma Si ademas de una forma de volumen el espacio vectorial V esta equipado con un producto interior que identifica V con V entonces el isomorfismo resultante se llama el operador de estrella de Hodge que asigna un elemento a su dual de Hodge k V n k V displaystyle star textstyle bigwedge k V rightarrow textstyle bigwedge n k V La composicion de displaystyle star consigo misma aplica Lk V Lk V y siempre es un multiplo escalar de la aplicacion identidad En la mayoria de las aplicaciones la forma de volumen es compatible con el producto interior en el sentido de que es un producto exterior de una base ortonormal de V En este caso k V k V 1 k n k q i d displaystyle star circ star textstyle bigwedge k V to textstyle bigwedge k V 1 k n k q mathrm id donde id es la identidad y el producto interior tiene p q p positiva y q negativa Producto interior Cuando V es un espacio de dimension finita un producto interior o un producto interior pseudo euclideo en V define un isomorfismo de V con V y asi tambien un isomorfismo de LkV con LkV La relacion entre estos dos espacios tambien toma la forma de un producto interior Sobre k vectores descomponibles v 1 v k w 1 w k det v i w j displaystyle left langle v 1 wedge cdots wedge v k w 1 wedge cdots wedge w k right rangle det langle v i w j rangle el determinante de la matriz de productos interiores En el caso especial vi wi el producto interior es la norma cuadrada del vector k dada por el determinante de la matriz de Gram vi vj Esto luego se extiende bilinealmente o sesquilinearmente en el caso complejo a un producto interior no degenerado en LkV Si ei i 1 2 n forman una base ortonormal de V entonces los vectores de la forma e i 1 e i k i 1 lt lt i k displaystyle e i 1 wedge cdots wedge e i k quad i 1 lt cdots lt i k constituyen una base ortonormal para Lk V Con respecto al producto interior la multiplicacion exterior y el producto interior son mutuamente contiguos Especificamente para v Lk 1 V w Lk V y x V x v w v i x w displaystyle langle x wedge mathbf v mathbf w rangle langle mathbf v i x flat mathbf w rangle donde x V es el isomorfismo canonico la funcional lineal definida por x y x y displaystyle x flat y langle x y rangle para todo y V Esta propiedad caracteriza completamente el producto interior en el algebra exterior De hecho de manera mas general para v Lk l V w Lk V y x Ll V la iteracion de las propiedades adjuntas anteriores da x v w v i x w displaystyle langle mathbf x wedge mathbf v mathbf w rangle langle mathbf v i mathbf x flat mathbf w rangle donde ahora x Ll V Ll V es el vector dual l definido por x y x y displaystyle mathbf x flat mathbf y langle mathbf x mathbf y rangle para todo y Ll V Estructura bialgebra Existe una correspondencia entre el dual graduado del algebra graduada L V y las formas multilineales alternas en V El algebra exterior asi como el hereda una estructura bialgebra y de hecho una estructura de del algebra tensorial Consultese el articulo sobre algebra tensorial para obtener un tratamiento detallado del tema El producto exterior de las formas multilineales definidas anteriormente es dual a un coproducto definido en L V dando la estructura de un coalgebra El coproducto es una funcion lineal D L V L V L V que viene dada por D v 1 v v 1 displaystyle Delta v 1 otimes v v otimes 1 en los elementos v V El simbolo 1 representa el elemento de unidad del campo K Recuerdese que K L V de modo que lo anterior realmente se encuentra en L V L V Esta definicion del coproducto se eleva al espacio completo L V por homomorfismo lineal La forma correcta de este homomorfismo no es la que se podria escribir ingenuamente sino que tiene que ser la que se define cuidadosamente en el articulo de coalgebra En este caso se obtiene D v w 1 v w v w w v v w 1 displaystyle Delta v wedge w 1 otimes v wedge w v otimes w w otimes v v wedge w otimes 1 Ampliando esto en detalle se obtiene la siguiente expresion sobre elementos descomponibles D x 1 x k p 0 k s S h p 1 k p sgn s x s 0 x s p x s p 1 x s k displaystyle Delta x 1 wedge cdots wedge x k sum p 0 k sum sigma in Sh p 1 k p operatorname sgn sigma x sigma 0 wedge cdots wedge x sigma p otimes x sigma p 1 wedge cdots wedge x sigma k donde la segunda suma se toma sobre todo p 1 k p barajados Lo anterior se escribe con un truco de notacion para realizar un seguimiento del elemento de campo 1 el truco es escribir x 0 1 displaystyle x 0 1 y esto se baraja en varias ubicaciones durante la expansion de la suma sobre barajas El barajado se deduce directamente del primer axioma de una co algebra el orden relativo de los elementos x k displaystyle x k se conserva en el barajado rapido que simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas una a la izquierda y otra a la derecha Observese que el coproducto conserva la calificacion del algebra Extendiendose al espacio completo L V se tiene que D k V p 0 k p V k p V displaystyle Delta textstyle bigwedge k V to bigoplus p 0 k textstyle bigwedge p V otimes textstyle bigwedge k p V El simbolo tensorial utilizado en esta seccion debe entenderse con cierta precaucion no es el mismo simbolo tensorial que se utiliza en la definicion del producto alterno Intuitivamente quizas sea mas facil pensarlo como otro producto tensorial pero diferente sigue siendo bi lineal como deberian ser los productos tensoriales pero es el producto que es apropiado para la definicion de una bialgebra es decir para crear el objeto L V L V Cualquier duda persistente se puede aclarar ponderando las igualdades 1 v 1 w 1 v w y v 1 1 w v w que se derivan de la definicion de coalgebra a diferencia de manipulaciones ingenuas que involucran el tensor y los simbolos de cuna Esta distincion se desarrolla con mayor detalle en el articulo sobre algebras tensoriales Aqui el problema es mucho menor ya que el producto alterno L corresponde claramente a la multiplicacion en la bialgebra dejando el simbolo libre para su uso en la definicion de la bialgebra En la practica esto no presenta un problema particular siempre que se evite la trampa fatal de reemplazar sumas alternas de por el simbolo de la cuna con una excepcion Se puede construir un producto alterno a partir de entendiendo que funciona en un espacio diferente Inmediatamente a continuacion se da un ejemplo el producto alterno para el espacio dual se puede dar en terminos del coproducto La construccion de la bialgebra aqui es paralela a la construccion en el articulo sobre el algebra tensorial casi exactamente excepto por la necesidad de seguir correctamente los signos alternos del algebra exterior En terminos del coproducto el producto exterior en el espacio dual es solo el dual graduado del coproducto a b x 1 x k a b D x 1 x k displaystyle alpha wedge beta x 1 wedge cdots wedge x k alpha otimes beta left Delta x 1 wedge cdots wedge x k right donde el producto tensorial en el lado derecho es de aplicaciones lineales multilineales extendido por cero en elementos de grado homogeneo incompatible mas precisamente a b e a b D donde e es el contador como se define actualmente El contador es el homomorfismo e L V K que devuelve el componente de grado 0 de su argumento El coproducto y el recuento junto con el producto exterior definen la estructura de una bialgebra en el algebra exterior Con una antipoda definida en elementos homogeneos por S x 1 deg x 1 2 x displaystyle S x 1 binom text deg x 1 2 x el algebra exterior es ademas un 15 FunctorialidadSupongase que V y W son un par de espacios vectoriales y f V W es un aplicacion lineal Entonces por la propiedad universal existe un homomorfismo unico de algebras graduadas f V W displaystyle textstyle bigwedge f textstyle bigwedge V rightarrow textstyle bigwedge W tal que f 1 V f V 1 V W 1 W displaystyle textstyle bigwedge f left textstyle bigwedge 1 V right f V textstyle bigwedge 1 V rightarrow W textstyle bigwedge 1 W En particular L f conserva el grado homogeneo Los componentes graduados k de L f se dan en elementos descomponibles por f x 1 x k f x 1 f x k displaystyle textstyle bigwedge f x 1 wedge cdots wedge x k f x 1 wedge cdots wedge f x k Sea k f f k V k V k W displaystyle textstyle bigwedge k f textstyle bigwedge f left textstyle bigwedge k V right textstyle bigwedge k V rightarrow textstyle bigwedge k W Los componentes de la transformacion Lk f relativa a una base de V y W es la matriz de k k menores de f En particular si V W y V son de dimension finita n entonces Ln f es una aplicacion de un espacio vectorial unidimensional LnV consigo mismo y por lo tanto viene dado por un escalar el determinante de f Exactitud Si 0 U V W 0 displaystyle 0 to U to V to W to 0 es una sucesion exacta de espacios vectoriales entonces 0 1 U V V W 0 displaystyle 0 to textstyle bigwedge 1 U wedge textstyle bigwedge V to textstyle bigwedge V to textstyle bigwedge W to 0 es una secuencia exacta de espacios vectoriales graduados 16 0 U V displaystyle 0 to textstyle bigwedge U to textstyle bigwedge V 17 Sumas directas En particular el algebra exterior de una suma directa es isomorfica al producto tensorial de las algebras exteriores V W V W displaystyle textstyle bigwedge V oplus W cong textstyle bigwedge V otimes textstyle bigwedge W Este es un isomorfismo graduado es decir k V W p q k p V q W displaystyle textstyle bigwedge k V oplus W cong bigoplus p q k textstyle bigwedge p V otimes textstyle bigwedge q W Un poco mas en general si 0 U V W 0 displaystyle 0 to U to V to W to 0 es una secuencia corta exacta de espacios vectoriales entonces Lk V se dice que posee una filtracion 0 F 0 F 1 F k F k 1 k V displaystyle 0 F 0 subseteq F 1 subseteq cdots subseteq F k subseteq F k 1 textstyle bigwedge k V con cocientes F p 1 F p k p U p W displaystyle F p 1 F p textstyle bigwedge k p U otimes textstyle bigwedge p W En particular si U es unidimensional entonces 0 U k 1 W k V k W 0 displaystyle 0 to U otimes textstyle bigwedge k 1 W to textstyle bigwedge k V to textstyle bigwedge k W to 0 es exacta y si W es unidimensional entonces 0 k U k V k 1 U W 0 displaystyle 0 to textstyle bigwedge k U to textstyle bigwedge k V to textstyle bigwedge k 1 U otimes W to 0 es exacto 18 AplicacionesAlgebra lineal En aplicaciones relativas al algebra lineal el producto exterior proporciona una forma algebraica abstracta para describir el determinante y los menores de una matriz Por ejemplo es bien sabido que el determinante de una matriz cuadrada es igual al volumen del paralelootopo cuyos lados son las columnas de la matriz con un signo para seguir la orientacion Esto sugiere que el determinante se puede definir en terminos del producto exterior de los vectores columna Asimismo los menores k k de una matriz se pueden definir observando los productos exteriores de k vectores columna elegidos a la vez Estas ideas pueden extenderse no solo a matrices sino tambien a aplicaciones lineales el determinante de una transformacion lineal es el factor por el cual se escala el volumen orientado de cualquier paralelotopo de referencia dado Entonces el determinante de una transformacion lineal se puede definir en terminos de lo que la transformacion le hace a la potencia exterior superior La accion de una transformacion sobre las potencias exteriores menores da una forma independiente de las bases de hablar sobre los menores de la transformacion Detalles tecnicos Definiciones Sea 19 V displaystyle V un espacio vectorial n dimensional sobre el campo K displaystyle K con base e 1 e n displaystyle e 1 ldots e n Para A End V displaystyle A in operatorname End V se define k A End k V displaystyle textstyle bigwedge k A in operatorname End textstyle bigwedge k V en tensores simples mediante k A v 1 v k A v 1 A v k displaystyle textstyle bigwedge k A v 1 wedge cdots wedge v k Av 1 wedge cdots wedge Av k dd y se expande la definicion linealmente a todos los tensores De manera mas general se puede definir p A k End p V p k displaystyle textstyle bigwedge p A k in operatorname End textstyle bigwedge p V p geq k en tensores simples por p A k v 1 v p 0 i 1 lt lt i k p v 1 A v i 1 A v i k v p displaystyle left textstyle bigwedge p A k right v 1 wedge cdots wedge v p sum 0 leq i 1 lt cdots lt i k leq p v 1 wedge cdots wedge Av i 1 wedge cdots wedge Av i k wedge cdots wedge v p dd es decir se eligen k componentes sobre los que actua A y luego se suman todos los resultados obtenidos de las diferentes elecciones Si es p lt k displaystyle p lt k definase p A k 0 displaystyle textstyle bigwedge p A k 0 Dado que n V displaystyle textstyle bigwedge n V es unidimensional con base e 1 e n displaystyle e 1 wedge cdots wedge e n se puede identificar n A k displaystyle textstyle bigwedge n A k con el numero unico k K displaystyle kappa in K satisfaciendo n A k e 1 e n k e 1 e n displaystyle textstyle bigwedge n A k e 1 wedge cdots wedge e n kappa e 1 wedge cdots wedge e n dd Para f End p V displaystyle varphi in operatorname End textstyle bigwedge p V se define la transposicion exterior f T End n p V displaystyle varphi mathrm T in operatorname End textstyle bigwedge n p V como el operador unico que satisface w p p V w n p n p V f T w n p w p w n p f w p displaystyle forall omega p in textstyle bigwedge p V omega n p in textstyle bigwedge n p V varphi mathrm T omega n p wedge omega p omega n p wedge varphi omega p dd Para A End V displaystyle A in operatorname End V defina det A n A n Tr A n A 1 adj A n 1 A n 1 T displaystyle det A textstyle bigwedge n A n operatorname Tr A textstyle bigwedge n A 1 operatorname adj A textstyle bigwedge n 1 A n 1 mathrm T Estas definiciones son equivalentes a las otras versiones Propiedades basicas Todos los resultados obtenidos de otras definiciones de determinante traza y adjunto se pueden obtener de esta definicion ya que estas definiciones son equivalentes A continuacion se muestran algunas propiedades basicas relacionadas con estas nuevas definiciones T displaystyle cdot mathrm T es K displaystyle K lineal A B T B T A T displaystyle AB mathrm T B mathrm T A mathrm T Se tiene un isomorfismo canonico ps End k V End n k V A A T displaystyle begin cases psi operatorname End textstyle bigwedge k V cong operatorname End textstyle bigwedge n k V A mapsto A mathrm T end cases dd Sin embargo no hay isomorfismo canonico entre k V displaystyle textstyle bigwedge k V y n k V displaystyle textstyle bigwedge n k V Tr k A n A k displaystyle operatorname Tr left textstyle bigwedge k A right textstyle bigwedge n A k Las entradas de la matriz transpuesta de k A displaystyle textstyle bigwedge k A son k k displaystyle k times k menores de A displaystyle A k n 1 p k A End V displaystyle forall k leqslant n 1 p leqslant k A in operatorname End V q 0 p n k A p q T k A q n A p Id End V displaystyle sum q 0 p left textstyle bigwedge n k A p q right mathrm T left textstyle bigwedge k A q right left textstyle bigwedge n A p right operatorname Id in operatorname End V dd En particular n 1 A p 1 T A n 1 A p T n A p Id displaystyle left textstyle bigwedge n 1 A p 1 right mathrm T A left textstyle bigwedge n 1 A p right mathrm T left textstyle bigwedge n A p right operatorname Id dd y por lo tanto adj A A n 1 A n 1 T A n A n Id det A Id displaystyle operatorname adj A A left textstyle bigwedge n 1 A n 1 right mathrm T A left textstyle bigwedge n A n right operatorname Id det A operatorname Id dd n 1 A p T q 0 p n A p q A q q 0 p Tr p q A A q displaystyle left textstyle bigwedge n 1 A p right mathrm T sum q 0 p left textstyle bigwedge n A p q right A q sum q 0 p operatorname Tr left textstyle bigwedge p q A right A q En particular adj A q 0 n 1 n A n q 1 A q displaystyle operatorname adj A sum q 0 n 1 left textstyle bigwedge n A n q 1 right A q dd Tr k adj A n adj A k det A k 1 n A n k det A k 1 Tr n k A displaystyle operatorname Tr left textstyle bigwedge k operatorname adj A right textstyle bigwedge n operatorname adj A k det A k 1 left textstyle bigwedge n A n k right det A k 1 operatorname Tr left textstyle bigwedge n k A right Tr n 1 A k T n k n A p n k Tr p A displaystyle operatorname Tr left left textstyle bigwedge n 1 A k right mathrm T right n k textstyle bigwedge n A p n k operatorname Tr left textstyle bigwedge p A right El polinomio caracteristico ch A t displaystyle operatorname ch A t de A End V displaystyle A in operatorname End V puede estar dado por ch A t k 0 n Tr k A t n k k 0 n n A k t n k displaystyle operatorname ch A t sum k 0 n operatorname Tr left textstyle bigwedge k A right t n k sum k 0 n left textstyle bigwedge n A k right t n k dd De forma similar ch adj A t k 0 n n adj A k t n k k 0 n det A k 1 n A n k t n k displaystyle operatorname ch operatorname adj A t sum k 0 n left textstyle bigwedge n operatorname adj A k right t n k sum k 0 n det A k 1 left textstyle bigwedge n A n k right t n k dd Algoritmo de Leverrier Vease tambien n A k displaystyle textstyle bigwedge n A k son los coeficientes de los terminos t n k displaystyle t n k en el polinomio caracteristico Tambien aparecen en las expresiones de n 1 A p T textstyle left textstyle bigwedge n 1 A p right mathrm T y n adj A k displaystyle textstyle bigwedge n operatorname adj A k El algoritmo 20 de Leverrier es una forma economica de calcular n A k displaystyle textstyle bigwedge n A k y n 1 A k displaystyle textstyle bigwedge n 1 A k Establecer n 1 A 0 1 displaystyle textstyle bigwedge n 1 A 0 1 dd Para k n 1 n 2 1 0 displaystyle k n 1 n 2 ldots 1 0 dd n A n k 1 n k Tr A n 1 A n k 1 displaystyle textstyle bigwedge n A n k frac 1 n k operatorname Tr A circ textstyle bigwedge n 1 A n k 1 dd dd n 1 A n k n A n k Id A n 1 A n k 1 displaystyle textstyle bigwedge n 1 A n k textstyle bigwedge n A n k cdot operatorname Id A circ textstyle bigwedge n 1 A n k 1 dd dd Fisica Articulo principal Tensor de campo electromagnetico En fisica muchas cantidades se representan naturalmente mediante operadores alternos Por ejemplo si el movimiento de una particula cargada se describe mediante vectores de velocidad y aceleracion en el espacio tiempo de cuatro dimensiones entonces la normalizacion del vector de velocidad requiere que la fuerza electromagnetica sea un operador alterno de la velocidad Sus seis grados de libertad se identifican con los campos electrico y magnetico Geometria lineal Los vectores k descomponibles tienen interpretaciones geometricas el bivector u v representa el plano atravesado por los vectores ponderado por un numero dado por el area del paralelogramo orientado con lados u y v De manera analoga el u v w de 3 vectores representa el espacio 3 expandido ponderado por el volumen del paralelepipedo orientado con las aristas u v y w Geometria proyectiva Los vectores k descomponibles en LkV corresponden a los subespacios vectoriales ponderados k dimensionales de V En particular el Grasmaniano de subespacios k dimensionales de V denotado Grk V se puede identificar naturalmente con una subvariedad algebraica del espacio proyectivo P LkV denominada Geometria diferencial El algebra exterior tiene aplicaciones notables en geometria diferencial donde se usa para definir formas diferenciales 21 Las formas diferenciales son objetos matematicos que evaluan la longitud de vectores areas de paralelogramos y volumenes de cuerpos de dimensiones superiores por lo que pueden ser integrados sobre curvas superficies y variedades de mayor dimension de una manera que generaliza el calculo de las integrales de curvas y de las integrales de superficie Una forma diferencial en un punto de una variedad diferenciable es una forma multilineal alterna en el espacio tangente en el punto De manera equivalente una forma diferencial de grado k es una funcional lineal en la k esima potencia exterior del espacio tangente Como consecuencia el producto exterior de formas multilineales define un producto exterior natural para formas diferenciales que juegan un papel importante en diversas areas de la geometria diferencial En particular la derivada exterior le da al algebra exterior de formas diferenciales en una variedad la estructura de un La derivada exterior conmuta con el regrediente en aplicaciones diferenciables entre multiples y por lo tanto es un operador diferencial natural El algebra exterior de formas diferenciales equipada con la derivada exterior es un complejo de cadenas cuya cohomologia se llama cohomologia de De Rham de la variedad subyacente y juega un papel vital en la topologia algebraica de variedades diferenciables Teoria de la representacion En teoria de la representacion el algebra exterior es uno de los dos fundamentales en la categoria de los espacios vectoriales el otro es el Juntas estas construcciones se utilizan para generar la representacion irreducible del grupo lineal general vease Superespacio El algebra exterior sobre los numeros complejos es el ejemplo arquetipico de una superalgebra que juega un papel fundamental en las teorias fisicas pertenecientes a los fermiones y la supersimetria Un solo elemento del algebra exterior se llama supernumero 22 o numero de Grassmann El algebra exterior en si es entonces solo un unidimensional es solo el conjunto de todos los puntos en el algebra exterior La topologia en este espacio es esencialmente una topologia debil siendo los conjuntos abiertos los Un superespacio de dimension n es solo el producto de n hojas de las algebras exteriores Homologia de algebra de Lie Sea L un algebra de Lie sobre un campo K Entonces es posible definir la estructura de un complejo de cadenas en el algebra exterior de L Esta es una aplicacion K lineal p 1 L p L displaystyle partial textstyle bigwedge p 1 L to textstyle bigwedge p L definida en elementos descomponibles por x 1 x p 1 1 p 1 j lt ℓ 1 j ℓ 1 x j x ℓ x 1 x j x ℓ x p 1 displaystyle partial x 1 wedge cdots wedge x p 1 frac 1 p 1 sum j lt ell 1 j ell 1 x j x ell wedge x 1 wedge cdots wedge hat x j wedge cdots wedge hat x ell wedge cdots wedge x p 1 La identidad de Jacobi se cumple si y solo si 0 por lo que esta es una condicion necesaria y suficiente para que un algebra no asociativa anticomutativa L sea un algebra de Lie Ademas en ese caso LL es un complejo de cadenas con el operador de limite La homologia asociada a este complejo es la Algebra homologica El algebra exterior es el ingrediente principal en la construccion del un objeto fundamental en algebra homologica HistoriaEl algebra exterior fue introducida por primera vez por Hermann Grassmann en 1844 bajo el termino general de Ausdehnungslehre o Teoria de la extension 23 Este concepto se refiere mas generalmente a una teoria algebraica o axiomatica de cantidades extendidas y fue uno de los primeros precursores de la nocion moderna de espacio vectorial Saint Venant tambien publico ideas similares de calculo exterior por las que reclamo la prioridad sobre Grassmann 24 El algebra en si se construyo a partir de un conjunto de reglas o axiomas que capturan los aspectos formales de la teoria de los multivectores de Cayley y Sylvester Por lo tanto era un calculo muy parecido a la logica proposicional excepto en que se enfocaba exclusivamente en la tarea del razonamiento formal en terminos geometricos 25 En particular este nuevo desarrollo permitio una caracterizacion axiomatica de la dimension una propiedad que antes solo habia sido examinada desde el punto de vista de las coordenadas La importancia de esta nueva teoria de vectores y multivectores se perdio para los matematicos de mediados del siglo XIX 26 hasta ser examinada a fondo por Giuseppe Peano en 1888 El trabajo de Peano tambien permanecio algo oscuro hasta el cambio de siglo cuando el tema fue unificado por miembros de la escuela de geometria francesa notablemente Henri Poincare Elie Cartan y Jean Gaston Darboux que aplicaron las ideas de Grassmann al calculo de formas diferenciales Poco tiempo despues Alfred North Whitehead tomando prestadas las ideas de Peano y Grassmann presento su algebra universal Esto allano el camino para los desarrollos del algebra abstracta en el siglo XX al colocar la nocion axiomatica de un sistema algebraico sobre una base logica firme Vease tambienAlgebra de Clifford una generalizacion del algebra exterior usando una forma cuadratica distinta de cero Algebra multilineal Algebra tensorial Algebra geometricaReferenciasR Penrose 2007 El camino a la realidad Una guia completa a las leyes del universo Vintage books ISBN 978 0 679 77631 4 J A Wheeler C Misner K S Thorne 1973 Gravitation W H Freeman amp Co p 83 ISBN 0 7167 0344 0 Estrictamente hablando la magnitud depende de alguna estructura adicional es decir de que los vectores esten en un espacio euclideo En general no se asume que esta estructura sea necesaria excepto cuando sea util para desarrollar la intuicion sobre el tema Grassmann 1844 las introdujo como algebras extendidas cf Clifford 1878 uso la palabra aussere traducida literalmente como exterior solo para indicar el produkt que definio que hoy en dia se llama convencionalmente producto exterior probablemente para distinguirlo del como se define en algebra lineal moderna El termino k vector no es equivalente ni debe confundirse con terminos similares como cuadrivector que en un contexto diferente podria significar un vector de 4 dimensiones Una minoria de autores utiliza el termino k multivector en lugar de k vector lo que evita esta confusion Esta axiomatizacion de areas se debe a Leopold Kronecker y Karl Weierstrass vease Bourbaki 1989b Historical Note Para un tratamiento moderno consultese Mac Lane y Birkhoff 1999 Theorem IX 2 2 Para un tratamiento elemental consultese Strang 1993 Chapter 5 Mac Lane y Birkhoff 1999 Una prueba de esta afirmacion se puede encontrar con mas generalidad en Bourbaki 1989 Vease Sternberg 1964 III 6 Consultese Bourbaki 1989 III 7 1 y Mac Lane y Birkhoff 1999 Theorem XVI 6 8 Se pueden encontrar mas detalles sobre las propiedades universales en general en Mac Lane y Birkhoff 1999 Chapter VI y en todas las obras de Bourbaki Vease Bourbaki 1989 III 7 5 para generalizaciones Nota Las orientaciones que se muestran aqui no son correctas el diagrama simplemente da la sensacion de que se define una orientacion para cada k forma J A Wheeler C Misner K S Thorne 1973 Gravitation W H Freeman amp Co pp 58 60 83 100 109 115 119 ISBN 0 7167 0344 0 Algunas convenciones particularmente en fisica definen el producto exterior como w h Alt w h displaystyle omega wedge eta operatorname Alt omega otimes eta Esta convencion no se adopta aqui pero se analiza en relacion con los tensores alternados De hecho el algebra exterior de V es el de la estructura abeliana de una super algebra de Lie en V Esta parte de la declaracion tambien se aplica con mayor generalidad si V y W son modulos sobre un anillo conmutativo esta L convierte los epimorfismos en epimorfismos Vease Bourbaki 1989 Proposition 3 III 7 2 Esta declaracion se generaliza solo para el caso en el que V y W son modulos proyectivos sobre un anillo conmutativo De lo contrario generalmente no es el caso de que L convierta monomorfismos en monomorfismos Vease Bourbaki 1989 Corollary to Proposition 12 III 7 9 Tal filtracion tambien es valida para fibrados vectoriales y modulos proyectivos sobre un anillo conmutativo Por tanto esto es mas general que el resultado citado anteriormente para sumas directas ya que no todas las secuencias breves y exactas se dividen en otras categorias abelianas S Winitzki Lineaer Algebra via Exterior Products https sites google com site winitzki linalg W Kahan 2009 Jordan s normal form https www cs berkeley edu wkahan MathH110 jordan pdf James A T 1983 On the Wedge Product En Karlin Samuel Amemiya Takeshi Goodman Leo A eds Studies in Econometrics Time Series and Multivariate Statistics Academic Press pp 455 464 ISBN 0 12 398750 4 Bryce DeWitt Supermanifolds 1984 Cambridge University Press ISBN 0 521 42377 5 See Chapter 1 page 1 Kannenberg 2000 publico una traduccion del trabajo de Grassmann en ingles tradujo Ausdehnungslehre como Teoria de la extension J Itard Biography in Dictionary of Scientific Biography New York 1970 1990 En el pasado los autores se han referido a este calculo de diversas formas como calculo de extension Whitehead 1898 Forder 1941 o algebra extensiva Clifford 1878 y recientemente como algebra vectorial extendida Browne 2007 Bourbaki 1989 p 661 BibliografiaTextos matematicos Goldberg S I 1980 Tensor analysis on manifolds Dover ISBN 0 486 64039 6 requiere registro Incluye un tratamiento de tensores alternos y formas alternas asi como una discusion detallada de la dualidad de Hodge desde la perspectiva adoptada en este articulo Astrophysics Group Cavendish Laboratory Cambridge 2005 Algebra del Espacio Tiempo Algebra Geometrica Clifford y Grassman arXiv 0509178 1 116 Texto en espanol Bourbaki Nicolas 1989 Elements of mathematics Algebra I Springer Verlag ISBN 3 540 64243 9 Esta es la principal referencia matematica del articulo Introduce el algebra exterior de un modulo sobre un anillo conmutativo aunque este articulo se especializa principalmente en el caso en el que el anillo es un campo incluida una discusion de la propiedad universal la funcionalidad la dualidad y la estructura bialgebraica Consulte III 7 y III 11 Chern S S Gardner R B Goldschmidt H L 1991 Exterior differential systems Springer Verlag Este libro contiene aplicaciones de algebras exteriores a problemas en ecuacion en derivadas parciales El rango y los conceptos relacionados se desarrollan en los primeros capitulos Mac Lane S Birkhoff G 1999 Algebra AMS Chelsea ISBN 0 8218 1646 2 Las secciones 6 a 10 del capitulo XVI dan una descripcion mas elemental del algebra exterior incluida la dualidad los determinantes y menores y las formas alternas 1964 Lectures on Differential Geometry Prentice Hall Contiene un tratamiento clasico del algebra exterior como tensores alternos y aplicaciones a la geometria diferencial Textos historicos Bourbaki 1989b Nota historica en los capitulos II y III Clifford W 1878 Applications of Grassmann s Extensive Algebra American Journal of Mathematics The Johns Hopkins University Press 1 4 350 358 JSTOR 2369379 doi 10 2307 2369379 Forder H G 1941 The Calculus of Extension Cambridge University Press Grassmann Hermann 1844 Die Lineale Ausdehnungslehre Ein neuer Zweig der Mathematik en aleman La teoria de la extension lineal una nueva rama de las matematicas referencia alternativa Kannenberg Lloyd 2000 Extension Theory translation of Grassmann sAusdehnungslehre American Mathematical Society ISBN 0 8218 2031 1 Peano Giuseppe 1888 Calcolo Geometrico secondo l Ausdehnungslehre di H Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva Kannenberg Lloyd 1999 Geometric calculus According to the Ausdehnungslehre of H Grassmann Birkhauser ISBN 978 0 8176 4126 9 requiere registro Whitehead Alfred North 1898, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca, español, española, descargar, gratis, descargar gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, imagen, música, canción, película, libro, juego, juegos, móvil, teléfono, android, ios, apple, teléfono móvil, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, ordenador
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