Una matriz antisimétrica es una matriz cuadradaA cuya traspuesta es igual a su negativa, es decir vale la relación AT = -A.
Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas) :
es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:
Ejemplo
La matriz
es antisimétrica, ya que
La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al opuesto. Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimétrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.
Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre será 0
Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica
Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:
matriz, antisimétrica, matriz, antisimétrica, matriz, cuadrada, cuya, traspuesta, igual, negativa, decir, vale, relación, matriz, elementos, filas, columnas, displaystyle, left, begin, array, ccccc, cdots, cdots, cdots, vdots, vdots, vdots, ddots, vdots, cdots. Una matriz antisimetrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su negativa es decir vale la relacion AT A Una matriz de m n elementos m filas n columnas A a 11 a 12 a 13 a 1 n a 21 a 22 a 23 a 2 n a 31 a 32 a 33 a 3 n a m 1 a m 2 a m 3 a m n displaystyle A left begin array ccccc a 11 amp a 12 amp a 13 amp cdots amp a 1n a 21 amp a 22 amp a 23 amp cdots amp a 2n a 31 amp a 32 amp a 33 amp cdots amp a 3n vdots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots a m1 amp a m2 amp a m3 amp cdots amp a mn end array right es antisimetrica o hemisimetrica si es una matriz cuadrada m n y a j i a i j displaystyle a ji a ij para todo i j 1 2 3 n En consecuencia a i i 0 displaystyle a ii 0 para todo i Por lo tanto la matriz A asume la forma A 0 a 12 a 13 a 1 n a 12 0 a 23 a 2 n a 13 a 23 0 a 3 n a 1 n a 2 n a 3 n 0 displaystyle A left begin array ccccc 0 amp a 12 amp a 13 amp cdots amp a 1n a 12 amp 0 amp a 23 amp cdots amp a 2n a 13 amp a 23 amp 0 amp cdots amp a 3n vdots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots a 1n amp a 2n amp a 3n amp cdots amp 0 end array right Indice 1 Ejemplo 2 Descomposicion en matriz simetrica y antisimetrica 3 Vease tambien 4 Enlaces externosEjemplo EditarLa matriz A 0 2 4 2 0 2 4 2 0 displaystyle A left begin array rrr 0 amp 2 amp 4 2 amp 0 amp 2 4 amp 2 amp 0 end array right es antisimetrica ya que A T 0 2 4 2 0 2 4 2 0 A displaystyle A T left begin array rrr 0 amp 2 amp 4 2 amp 0 amp 2 4 amp 2 amp 0 end array right A La diagonal principal se conserva y todos los otros numeros son cambiados de signo al opuesto Notese que la matriz traspuesta de la matriz antisimetrica A es A y que la antisimetria es respecto a la diagonal principal Si n m es impar el determinante de la matriz siempre sera 0Descomposicion en matriz simetrica y antisimetrica EditarSea A una matriz cuadrada esta se puede descomponer en suma de parte simetrica y antisimetrica de la siguiente forma A 1 2 A A T 1 2 A A T displaystyle A frac 1 2 left A A T right frac 1 2 left A A T right donde la parte antisimetrica es 1 2 A A T displaystyle frac 1 2 left A A T right DemostracionSe utilizan las propiedades de la transposicion 1 2 A A T T 1 2 A A T T 1 2 A T A T T 1 2 A T A 1 2 A A T displaystyle begin array rcl left frac 1 2 left A A T right right T amp amp frac 1 2 left A A T right T frac 1 2 left A T left A T right T right amp amp frac 1 2 left A T A right frac 1 2 left A A T right end array Queda entonces demostrado por definicion que 1 2 A A T displaystyle frac 1 2 left A A T right es antisimetrica Vease tambien EditarMatriz simetricaEnlaces externos EditarWeisstein Eric W Antisymmetric Matrix En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q526790Obtenido de https es wikipedia org w index php title Matriz antisimetrica amp oldid 125672641, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,