Geometría diferencial

En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables, que generalizan la noción de superficie en el espacio euclídeo, así como las aplicaciones diferenciables entre ellas. Las variedades no tienen por qué tener una interpretación geométrica natural, ni tampoco tienen por qué estar inmersas en un espacio circundante: por ejemplo, el grupo lineal general ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ tiene estructura de variedad diferenciable, pero no una interpretación geométrica intuitiva.^[1]​

Mientras que la topología diferencial se centra únicamente en las propiedades topológicas de las variedades, la geometría diferencial permite aplicar resultados conocidos del cálculo multivariable a las aplicaciones entre variedades. Además, es posible adscribir a cualquier variedad propiedades geométricas tales como distancias y ángulos si se le dota de una métrica de Riemann; y características como geodésicas y curvatura si se añade una conexión.^[2]​

La geometría diferencial tiene importantes aplicaciones en física, especialmente en el estudio de la teoría de la relatividad general, donde el espacio-tiempo se describe como una variedad diferenciable.

Geometría diferencial de curvas y superficies

Artículos principales: Geometría diferencial de curvas y Geometría diferencial de superficies.

Variedades diferenciables

Artículo principal: Variedad diferenciable

Una variedad es un objeto matemático que generaliza las nociones de curvas y superficies a objetos de más de dos dimensiones, no necesariamente embebidos en el espacio euclídeo. De forma intuituva, una variedad ${\displaystyle M}$  es un conjunto que localmente es similar al espacio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  de dimensión ${\displaystyle n}$ , para cierto entero positivo ${\displaystyle n}$  que se denomina dimensión de la variedad.

El modo de describir esta relación entre ambos conjuntos es por medio de colecciones de funciones, llamadas cartas. A la colección de estas cartas se le denomina atlas. Un atlas ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  para una variedad ${\displaystyle M}$  es una colección de pares ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$ , donde

• cada conjunto ${\displaystyle U_{\alpha }\subset M}$  es un entorno abierto de la variedad.
• la unión de todos los abiertos ${\displaystyle U_{\alpha }}$  recubre ${\displaystyle M}$ : ${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$ .
• cada función ${\displaystyle \varphi _{\alpha }:U_{\alpha }\to V_{\alpha }\subset \mathbb {R} ^{n}}$  es biyectiva.

A las funciones ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$  se les denomina funciones de coordenadas. Para cada par de índices ${\displaystyle \alpha ,\beta \in I}$ , la función

${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}:(V_{\alpha }\cap V_{\beta })\to (V_{\alpha }\cap V_{\beta })}$ 

está bien definida cuando las imágenes de ambas cartas tienen intersección no vacía. Estas funciones se denominan funciones de transición, y son funciones reales de varias variables, cuyas propiedades son bien conocidas. Dependiendo de qué propiedades tengan estas funciones, hablaremos de un tipo de variedad o de otra.

Sobre la base de una variedad ${\displaystyle M}$  se pueden definir niveles sucesivos de estructura que añaden propiedades adicionales. En general, estas dependen de las propiedades que son conservadas por las funciones de transición; en otros casos es necesario especificar la estructura adicional de forma explícita:

• Estructura de variedad topológica, si se define una topología en ${\displaystyle M}$  que sea compatible con las cartas (es decir, que las funciones de coordenadas sean homeomorfismos). Se suele requerir también que ${\displaystyle M}$  sea un espacio de Hausdorff y que satisfaga el segundo axioma de numerabilidad.^[3]​
• Estructura de variedad diferenciable, si el atlas es diferenciable, es decir, las funciones de transición son diferenciables. En tal caso se dice que las funciones de transición son compatibles; la compatibilidad de cartas es una relación de equivalencia.^[4]​ Análogamente se pueden definir variedades analíticas y variedades dianalíticas (sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$  y ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}$ ).
• una métrica Riemanniana, que es un producto interno definido para cada espacio tangente, y que varía suavemente de un punto a otro. Esta estructura permite definir las nociones de distancia y de ángulo en la variedad.
• una conexión especifica la manera de conectar el entorno de un punto con el entorno de otro. Permite definir un tipo de derivación de interés en geometría diferencial: la derivada covariante.

Aplicaciones diferenciables entre variedades

Cuando dos variedades tienen estructura de variedad diferenciable, entonces podemos definir la noción de aplicación diferenciable entre ellas. Sean dos variedades ${\displaystyle M}$  y ${\displaystyle N}$ , de dimensiones ${\displaystyle m}$  y ${\displaystyle n}$ , con estructura diferenciable respecto de los atlas ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$  y ${\displaystyle \{(W_{\beta },\psi _{\beta }):\beta \in J\}}$ .

Se dice que una aplicación ${\displaystyle f:M\to N}$  es diferenciable en un punto p si para todo par de cartas ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$  y ${\displaystyle (W_{\beta },\psi _{\alpha })}$ , centradas en p y en f(p) respectivamente, la composición

${\displaystyle F=\psi _{\beta }\circ f\circ \varphi _{\alpha }^{-1}:V_{\alpha }\to W_{\beta }}$ 

es diferenciable como función multivariable ${\displaystyle F:V_{\alpha }\subset \mathbb {R} ^{m}\to W_{\beta }\subset \mathbb {R} ^{n}}$ . Se dice que la aplicación es diferenciable' si es diferenciable en todo punto de ${\displaystyle M}$ . El que las funciones de transición sean diferenciables garantiza que la definición no dependa de las cartas elegidas.^[5]​

Se tienen las siguientes propiedades:

• La composición de dos funciones diferenciables es diferenciable.
• Las funciones de coordenadas son diferenciables, y por tanto difeomorfismos.^[6]​

Variedades tangentes

Artículo principal: Fibrado tangente

Véase también

• topología diferencial.
• Geometría diferencial de variedades.

• Construcciones técnicas útiles en geometría diferencial:
  • Grupo de Lie
  • Fibrado
  • Clase característica
  • Derivada covariante.
• Geometría diferencial y física:
  • Geometría riemanniana
  • Teoría de gauge
  • tensor de curvatura

• Áreas de Matemáticas relacionadas
• Cálculo infinitesimal
• Ecuaciones diferenciales
• Análisis funcional,
• Geometría analítica.
• Geometría algebraica.
• Geometría simpléctica.

Referencias

1. Tu, 2011, p. 54.
2. Tu, 2017, «Prefacio», p. v.
3. Tu, 2011, p. 48.
4. Tu, 2011, p. 49-51.
5. Tu, 2011, p. 61.
6. Tu, 2011, p. 63.

Bibliografía

• do Carmo, Manfredo P. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces (2ª edición). Dover. 
• Tu, Loring (2011). An Introduction to Manifolds (2ª edición). Springer. 
• Tu, Loring (2017). Differential Geometry. Springer. 
• Warner, Frank W. (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer. 

Enlaces externos

• , por Álvaro Tejero Cantero y Marta Balbás Gambra (con licencia libre).
• Weisstein, Eric W. «Differential Geometry». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q188444
•   Multimedia: Differential geometry