Asociatividad (álgebra)

La asociatividad es una propiedad en el álgebra y la lógica proposicional que se cumple si, dados tres o más elementos cualquiera de un conjunto determinado, se verifica que existe una operación: ${\displaystyle \circledcirc }$, que cumpla la igualdad:

${\displaystyle a\circledcirc (b\circledcirc c)=(a\circledcirc b)\circledcirc c}$

Es decir, en una expresión asociativa con dos o más ocurrencias seguidas de un mismo operador asociativo, el orden en que se ejecuten las operaciones no altera el resultado, siempre y cuando se mantenga intacta la secuencia de los operandos. En otras palabras, reorganizar los paréntesis en una expresión asociativa no cambia su valor final.

La suma y el producto de números reales cumplen la propiedad asociativa, siendo válidas las igualdades:

${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$

para la suma y para la multiplicación:

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$

En ambas, la ubicación de los paréntesis no altera el resultado. Nótese que los operandos se han mantenido en su posición original dentro de la expresión. Muchas operaciones importantes son no asociativas, por ejemplo la resta y la exponenciación. Las expresiones que contienen tanto operaciones asociativas como operaciones no asociativas dan como resultado expresiones no asociativas.

No se debe confundir la asociatividad con la conmutatividad, la cual establece que sí se puede cambiar el orden de los operandos sin afectar el resultado final.

Notación formal

Sea A un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna ${\displaystyle \circledcirc }$  tal que

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}$ 

Se dice que la operación ${\displaystyle \circledcirc }$  es asociativa si:

${\displaystyle \forall a,b,c\in A\;:\quad a\circledcirc (b\circledcirc c)=(a\circledcirc b)\circledcirc c}$ 

La ley asociativa también puede ser expresada en notación funcional así:

${\displaystyle f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))\,}$ 

Suma y resta

Partiendo del conjunto de los números naturales

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,\dots \}}$ 

para la operación suma, definida como:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}}$ 

${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)\,}$  tiene la propiedad asociativa, dado que:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a+(b+c)=(a+b)+c}$ 

Por ejemplo:

${\displaystyle 5+(3+2)=(5+3)+2}$ 

Sin embargo, para la operación resta, definida como:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a-b\end{array}}}$ 

${\displaystyle (\mathbb {N} ,-)\,}$  no tiene la propiedad asociativa, dado que:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a-(b-c)\neq (a-b)-c}$ 

Por ejemplo:

${\displaystyle 5-(3-2)\neq (5-3)-2}$ 

Ejemplos

 

La adición de números reales es asociativa.

• La concatenación de las cadenas de caracteres "hola", " ", "mundo" se puede computar concatenando las primeras dos cadenas de caracteres (resultando en "hola ") y luego la tercera cadena de caracteres ("mundo"), o alternativamente, uniendo la segunda y tercera cadena de caracteres (resultando en " mundo") y concatenando la primera cadena de caracteres ("hola") con ese resultado. Los dos métodos producen el mismo resultado final. La concatenación de cadenas de caracteres es asociativa (pero no es conmutativa).
• En aritmética, la adición y la multiplicación de números reales son asociativas. Debido a su asociatividad, la agrupación por paréntesis puede ser omitida sin ambigüedad. Esto es,

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{para todo }}x,y,z\in \mathbb {R} .}$ 

Un ejemplo de la asociatividad de la suma es:

${\displaystyle (2+3)+7=5+7=12\quad =\quad 2+(3+7)=2+10=12}$ 

y de la asociatividad de la multiplicación

${\displaystyle (2\cdot 3)\cdot 7=6\cdot 7=42\quad =\quad 2\cdot (3\cdot 7)=2\cdot 21=42}$ 

Sin embargo, la resta no es asociativa,

${\displaystyle 2-(3-1)=0\quad \neq \quad (2-3)-1=-2}$ 

y tampoco lo es la división,

${\displaystyle (4:2):2=1\quad \neq \quad 4:(2:2)=4}$ .

ni la exponenciación, que es igualmente no asociativa

${\displaystyle 2^{(2^{3})}=2^{8}=256\quad \neq \quad (2^{2})^{3}=4^{3}=64}$ 

• La adición y multiplicación de números complejos y cuaterniones son asociativas. La adición de octoniones también es asociativa, pero la multiplicación de octoniones es no asociativa.
• Las funciones máximo común divisor y mínimo común múltiplo actúan de forma asociativa.

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}\operatorname {mcd} (\operatorname {mcd} (x,y),z)=\operatorname {mcd} (x,\operatorname {mcd} (y,z))=\operatorname {mcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {mcm} (\operatorname {mcm} (x,y),z)=\operatorname {mcm} (x,\operatorname {mcm} (y,z))=\operatorname {mcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{ para todo }}x,y,z\in \mathbb {Z} .}$ 

• La intersección o la unión de conjuntos son asociativas.

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{para todos los conjuntos }}A,B,C.}$ 

• SI M es algún conjunto y S denota el conjunto de todas las cunciones de M a M, entonces la operación de composición funcional sobre S es asociativa.

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad {\mbox{para todo }}f,g,h\in S.}$ 

• Más generalmente, dados cuatro conjuntos M, N, P y Q, con h: M a N, g: N a P, y f: P a Q, entonces

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h}$ 

tal como en el ejemplo anterior. En resumen, la composición de aplicaciones siempre es asociativa.

• Para un conjunto con tres elementos A, B, y C, la siguiente operación es asociativa.

×	A	B	C
A	A	A	A
B	A	B	C
C	A	A	A

De esta manera, por ejemplo, A(BC)=(AB)C = A. Esta operación no es conmutativa.

• Ya que las matrices representan funciones de transformación lineal, con la multiplicación matricial representando composición funcional, se puede concluir inmediatamente que la multiplicación matricial es asociativa.^[1]​

En lógica proposicional

Regla de reemplazo

En la lógica proposicional estándar, la asociación,^[2]​^[3]​ o asociatividad^[4]​ son dos reglas de reemplazo válidas. Estas reglas permiten mover los paréntesis en expresiones lógicas usadas en pruebas lógicas. Las reglas son:

${\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)}$ 

${\displaystyle (P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),}$ 

donde "${\displaystyle \Leftrightarrow }$ " es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba por".

Conectivas de funciones de verdad

Asociatividad es una propiedad de algunas conectivas lógicas en las funciones de verdad de la lógica proposicional. Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la asociatividad es una propiedad de conectivas lógicas particulares. Son asimismo tautologías de funciones de verdad.

Asociatividad de la disyunción:

${\displaystyle ((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))}$ 

${\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)}$ 

Asociatividad de la conjunción:

${\displaystyle ((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))}$ 

${\displaystyle (P\land (Q\land R))\leftrightarrow ((P\land Q)\land R)}$ 

Asociatividad de la equivalencia:

${\displaystyle ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))}$ 

${\displaystyle (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))\leftrightarrow ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)}$ 

Véase también

• Conmutatividad
• Relación reflexiva
• Relación simétrica
• Relación transitiva
• Relación antisimétrica

Referencias

1. «Matrix product associativity». Khan Academy. Consultado el 5 de junio de 2016. 
2. Moore and Parker
3. Copi and Cohen
4. Hurley

•   Datos: Q177251