Álgebra abstracta
El álgebra abstracta, ocasionalmente llamada álgebra moderna o álgebra superior, es la parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo (a veces llamado campo) o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas.
En álgebra abstracta, los elementos combinados por diversas operaciones generalmente no son interpretables como números, razón por la cual el álgebra abstracta no puede ser considerada una simple extensión de la aritmética. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.
El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna"
Historia y ejemplos
Definición histórica
Birkhoff y McLane nos dicen:
"Se puede definir el álgebra abstracta como el estudio de las propiedades de los sistemas algebraicos que se conservan en los isomorfismos."Vid pág. 37 de su Álgebra Moderna (1960), Barcelona
Históricamente, algunos temas surgieron en alguna disciplina diferente al álgebra -caso de espacios lineales y álgebra de Boole-. Posteriormente, han sido axiomatizadas y luego estudiadas de propio derecho en dicho marco. Por eso, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de la matemática y fuera de ella.
Listado de sistemas algebraicos
Con una sola ley de composición son los:
Con dos o más leyes de composición son:
- Anillos y cuerpos.
- Módulos y Espacios vectoriales.
- Álgebras asociativas y Álgebras de Lie.
- Retículos y álgebras de Boole.
El álgebra universal es un campo de las matemáticas que provee del formalismo para comparar las diferentes estructuras algebraicas. Más allá de las estructuras anteriores pueden definirse otro tipo de estructuras algebraicas:
- Álgebra homológica.
- Lenguajes formales (concebidos como cadenas de signos bien formados).
- Álgebra sobre un cuerpo.
Un ejemplo
El estudio sistemático no es verdad pero del álgebra ha permitido a los matemáticos llevar bajo una descripción lógica común conceptos aparentemente distintos. Por ejemplo, podemos considerar dos operaciones bastante distintas: la composición de aplicaciones, , y el producto de matrices, . Estas dos operaciones son, de hecho, la misma. Podemos ver esto, informalmente, de la siguiente forma: multiplicar dos matrices cuadradas por un vector de una columna, . Esto, de hecho, define una función que es equivalente a componer con = = . Las funciones bajo composición y las matrices bajo multiplicación forman estructuras llamados monoides. Un monoide bajo operación es asociativo para todos sus elementos y contiene un elemento tal que, para cualquier valor de , . Ciertamente, que dos conjuntos isomorfos se consideran idénticos, lo que interesan son las operaciones y sus leyes en dichos conjuntos.
Referencias
Bibliografía
- Fraleigh, John B.: Álgebra abstracta (1987).
- Herstein, I.N. Álgebra abstracta (1988).
Enlaces externos
- John Beachy: Abstract Algebra On Line, Lista de definiciones y teoremas, en inglés.
- Joseph Mileti: Mathematics Museum: , una buena introducción a la materia en términos sencillos, en inglés.