Forma multilineal

En matemáticas, dado un anillo conmutativo, una función multilineal es una función de ${\displaystyle n}$ argumentos de ${\displaystyle n}$ espacios vectoriales respectivos. Dicha función se caracteriza por respetar la suma de vectores y la multiplicación escalar en cualquiera de las coordenadas.

Definición

Sea ${\displaystyle R}$  un anillo conmutativo (por ejemplo ${\displaystyle R=}$  ${\displaystyle \mathbb {R} \!}$  o ${\displaystyle R=}$  ${\displaystyle \mathbb {C} \!}$  ) y ${\displaystyle V_{1},\ldots V_{n},W}$  espacios vectoriales sobre ${\displaystyle R}$ .

Una función ${\displaystyle V_{1}\times V_{2}\times \cdots \times V_{n}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}W}$  se dice multilineal si es lineal en cada argumento, es decir, para todo ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$  y para todo ${\displaystyle r\in R}$ , se cumple ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{i}+x_{i}',\ldots ,x_{n})=f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})+f(x_{1},\ldots ,x_{i}',\ldots ,x_{n})}$ , y, ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,r\cdot x_{i},\ldots ,x_{n})=r\cdot f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})}$ .

Se puede demostrar que la colección de todas las funciones multilineales de ${\displaystyle V_{1},\ldots V_{n}}$  en ${\displaystyle W}$  es un ${\displaystyle R}$ -espacio vectorial respecto a las operaciones usuales de suma y multiplicación escalar de funciones. Dicho espacio se denota por ${\displaystyle {\mathcal {M}}(V_{1},\ldots ,V_{n};W)}$ . Si ${\displaystyle V_{1}=\cdots =V_{n}=V}$  y ${\displaystyle W=R}$ , el espacio se denota por ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(V;R)}$ .

Funciones multilineales especiales

Sea ${\displaystyle V}$  un ${\displaystyle R}$ -espacio vectorial y ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{n}(V;R)}$ , es decir, ${\displaystyle \underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\mbox{-veces}}}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R}$ . En álgebra abstracta a una función como ${\displaystyle f}$  se le llama tensor y el conjunto de tensores de ${\displaystyle n}$  argumentos sobre el espacio vectorial ${\displaystyle V}$  se denota por ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(V)}$ . En otras palabras, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(V)={\mathcal {M}}_{n}(V;R)}$ .

Se puede demostrar que:

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(V):={\mathcal {M}}_{n}(V;R)\cong (\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\mbox{-veces}}})^{*}\cong \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{n{\mbox{-veces}}}}$

donde ${\displaystyle V^{*}}$  denota el espacio dual, y ${\displaystyle \otimes }$  denota el producto tensorial.

Tensor simétrico

Un tensor ${\displaystyle f\in {\mathcal {T}}_{n}(V)}$  se dice simétrico si para cada permutación ${\displaystyle \pi }$  del grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$  y cualquier elemento ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\in V\times \cdots \times V}$  se cumple ${\displaystyle f(\pi (v_{1}),\ldots ,\pi (v_{n}))=f(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ . El ${\displaystyle R}$ -espacio vectorial de todos los tensores simétricos se denota por ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}(V)}$  y obviamente, ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}(V)\subset {\mathcal {T}}_{n}(V)}$ .

Tensor antisimétrico

Un tensor ${\displaystyle f\in {\mathcal {T}}_{n}(V)}$  se dice antisimétrico si para cada permutación ${\displaystyle \pi }$  del grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$  y cualquier elemento ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\in V\times \cdots \times V}$  se cumple ${\displaystyle f(\pi (v_{1}),\ldots ,\pi (v_{n}))=(-1)^{\pi }f(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ , donde ${\displaystyle (-1)^{\pi }}$  denota el signo de la permutación. El ${\displaystyle R}$ -espacio vectorial de todos los tensores antisimétricos se denota por ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(V)}$  y obviamente, ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(V)\subset {\mathcal {T}}_{n}(V)}$ .

Tensor alternado

Un tensor ${\displaystyle f\in {\mathcal {T}}_{n}(V)}$  se dice alternado si dado ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\in V\times \cdots \times V}$  con la particularidad de que ${\displaystyle v_{i}=v_{j}}$  para algún par de índices ${\displaystyle i\neq j}$ , se tiene que ${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=0}$ . El ${\displaystyle R}$ -espacio vectorial de todos los tensores alternados se denota por ${\displaystyle {{\mathcal {A}}L}_{n}(V)}$  y ${\displaystyle {{\mathcal {A}}L}_{n}(V)\subset {\mathcal {A}}_{n}(V)\subset {\mathcal {T}}_{n}(V)}$ . Además, cuando en el anillo conmutativo ${\displaystyle R}$  el ${\displaystyle 2}$  es invertible, entonces se tiene la igualdad ${\displaystyle {{\mathcal {A}}L}_{n}(V)={\mathcal {A}}_{n}(V)}$ .

Bibliografía

Lezama, O., Cuadernos de Álgebra, No. 4: Álgebra Lineal, SAC²: Seminario de Álgebra Constructiva, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá.

•   Datos: Q1930346