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Este articulo esta orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial Para una introduccion mas accesible al concepto vease Vector En algebra lineal un espacio vectorial o tambien llamado espacio lineal es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacio una operacion interna llamada suma definida para los elementos del conjunto y una operacion externa llamada producto por un escalar definida entre dicho conjunto y otro conjunto con estructura de cuerpo que satisface 8 propiedades fundamentales Representacion artistica de un espacio vectorial A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares Indice 1 Historia 2 Notacion 3 Definicion 3 1 Observaciones 3 2 Propiedades 3 3 Primer ejemplo con demostracion 4 Ejemplos 4 1 Los cuerpos 4 2 Sucesiones sobre un cuerpo K 4 3 Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo 4 3 1 Los polinomios 4 3 2 Funciones trigonometricas 4 4 Los sistemas de ecuaciones lineales homogeneas 5 Subespacio vectorial 5 1 Definicion 5 2 Consecuencias 6 Resultados internos 6 1 Combinacion lineal 6 1 1 Proposicion 1 6 2 Independencia lineal 6 2 1 Proposicion 2 6 3 Base de un espacio vectorial 6 4 Base formalmente 6 4 1 Teorema de la base de generadores 6 4 2 Teorema Steinitz 6 5 Observacion 6 6 Dimension 6 6 1 Notacion 6 7 Interseccion de subespacios vectoriales 6 8 Suma de subespacios vectoriales 6 9 Teorema Formula de Grassmann 6 10 Suma directa de subespacios vectoriales 6 11 Cociente de espacios vectoriales 7 Construcciones basicas 7 1 Suma directa de espacios vectoriales 8 Espacios vectoriales con estructura adicional 8 1 Espacios normados 8 2 Espacios vectoriales topologicos 8 3 Espacios de Banach 8 4 Espacios prehilbertianos 8 5 Espacios de Hilbert 9 Morfismos entre espacios vectoriales 9 1 Aplicaciones lineales 10 Vease tambien 11 Referencias 11 1 Notas 11 2 Referencias historicas 11 3 Bibliografia 12 Enlaces externosHistoriaeditarHistoricamente las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII geometria analitica matrices y sistemas de ecuaciones lineales Los espacios vectoriales se derivan de la geometria afin a traves de la introduccion de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional Alrededor de 1636 los matematicos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometria analitica mediante la vinculacion de las soluciones de una ecuacion con dos variables a la determinacion de una curva plana nota 1 Para lograr una solucion geometrica sin usar coordenadas Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos lineas y planos que son predecesores de los vectores nota 2 Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricentricas de August Ferdinand Mobius de 1827 nota 3 La primera formulacion moderna y axiomatica se debe a Giuseppe Peano a finales del siglo XIX Los siguientes avances en la teoria de espacios vectoriales provienen del analisis funcional principalmente de espacios de funciones Los problemas de Analisis funcional requerian resolver problemas sobre la convergencia Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topologia permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad Estos espacios vectoriales topologicos en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoria mas rica y elaborada El origen de la definicion de los vectores es la definicion de Giusto Bellavitis de bipoint que es un segmento orientado uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo Los vectores se reconsideraron con la presentacion de los numeros complejos de Argand y Hamilton y la creacion de los cuaterniones por este ultimo Hamilton fue ademas el que invento el nombre de vector nota 4 Son elementos de R2 y R4 el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867 quien tambien definio los sistemas de ecuaciones lineales En 1857 Cayley introdujo la notacion matricial que permite una armonizacion y simplificacion de las aplicaciones lineales Casi al mismo tiempo Grassmann estudio el calculo baricentrico iniciado por Mobius Previo conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones nota 5 En su trabajo los conceptos de independencia lineal y dimension asi como de producto escalar estan presentes En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales ya que teniendo en cuenta la multiplicacion tambien lo llevo a lo que hoy en dia se llaman algebras El matematico italiano Peano dio la primera definicion moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888 nota 6 Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construccion de los espacios de funciones por Henri Lebesgue Esto mas tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920 nota 7 y por Hilbert En este momento el algebra y el nuevo campo del analisis funcional empezaron a interactuar en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p integrables y los espacios de Hilbert Tambien en este tiempo los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matematica la ciencia y la ingenieria Se utilizan en metodos como las series de Fourier que se utiliza en las rutinas modernas de compresion de imagenes y sonido o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales Ademas los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geometricos y fisicos tales como tensores que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante tecnicas de linealizacion NotacioneditarDado un espacio vectorial V displaystyle V nbsp sobre un cuerpo K displaystyle K nbsp se distinguen los elementos de V displaystyle V nbsp y los de K displaystyle K nbsp Los elementos de V displaystyle V nbsp suelen denotarse por u v w displaystyle mathbf u mathbf v mathbf w nbsp y son llamados vectores Dependiendo las fuentes que se consulten tambien es comun denotarlos por u v w displaystyle bar u bar v bar w nbsp y si el texto es de fisica entonces suelen denotarse por u v w displaystyle vec u vec v vec w nbsp Mientras que los elementos de K displaystyle K nbsp se denotan como a b a b displaystyle a b alpha beta nbsp y son llamados escalares DefinicioneditarUn espacio vectorial sobre un cuerpo K displaystyle K nbsp como el cuerpo de los numeros reales o los numeros complejos es un conjunto no vacio digamos V displaystyle V nbsp dotado de dos operaciones para las cuales sera cerrado Suma V V V u v u v displaystyle begin array llccl mbox Suma amp amp V times V amp rightarrow amp V amp amp mathbf u mathbf v amp mapsto amp mathbf u mathbf v end array nbsp operacion interna tal que Tenga la propiedad conmutativa u v v u u v V displaystyle mathbf u mathbf v mathbf v mathbf u quad forall mathbf u mathbf v in V nbsp Tenga la propiedad asociativa u v w u v w u v w V displaystyle mathbf u mathbf v mathbf w mathbf u mathbf v mathbf w quad forall mathbf u mathbf v mathbf w in V nbsp Exista el elemento neutro e V displaystyle exists mathbf e in V nbsp u e u displaystyle mathbf u mathbf e mathbf u nbsp u V displaystyle forall mathbf u in V nbsp Exista el elemento opuesto u V u V displaystyle forall mathbf u in V quad exists mathbf u in V nbsp u u e displaystyle mathbf u mathbf u mathbf e nbsp Y tenga la operacion producto por un escalar Producto K V V a u a u displaystyle begin array llccl mbox Producto amp cdot amp K times V amp rightarrow amp V amp amp a mathbf u amp mapsto amp a cdot mathbf u end array nbsp operacion externa tal que Tenga la propiedad asociativa a b u a b u displaystyle mathit a cdot mathit b cdot mathbf u mathit a cdot mathit b cdot mathbf u nbsp a b K displaystyle forall mathit a mathit b in K nbsp u V displaystyle forall mathbf u in V nbsp Exista el elemento neutro e K displaystyle exists e in K nbsp e u u displaystyle e cdot mathbf u mathbf u nbsp u V displaystyle forall mathbf u in V nbsp Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma vectorial a u v a u a v displaystyle mathit a cdot mathbf u mathbf v mathit a cdot mathbf u mathit a cdot mathbf v nbsp a K displaystyle forall mathit a in K nbsp u v V displaystyle forall mathbf u mathbf v in V nbsp Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma escalar a b u a u b u displaystyle mathit a mathit b cdot mathbf u mathit a cdot mathbf u mathit b cdot mathbf u nbsp a b K displaystyle forall mathit a mathit b in K nbsp u V displaystyle forall mathbf u in V nbsp Vease tambien Espacio euclideo Vease tambien Vector Vease tambien Representacion grafica de vectores Observacioneseditar La denominacion de las dos operaciones no condiciona la definicion de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicacion para el producto y adicion para la suma usando las distinciones propias de la aritmetica Para demostrar que un conjunto V displaystyle V nbsp es un espacio vectorial Lo es si sus dos operaciones por ejemplo V V displaystyle odot V V nbsp y V K displaystyle ast V K nbsp admiten una redefinicion del tipo V V V V displaystyle V V odot V V nbsp y K V V K displaystyle cdot K V ast V K nbsp cumpliendo las 8 condiciones exigidas Si supiesemos que V displaystyle V nbsp es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendriamos probados los apartados 1 2 3 y 4 Si supiesemos que el producto es una accion por la izquierda de V displaystyle V nbsp tendriamos probados los apartados 5 y 6 Si no se dice lo contrario a v v a displaystyle mathit a mathbf v neq mathbf v mathit a nbsp Propiedadeseditar Unicidad del vector neutro de la propiedad 3 supongamos que el neutro no es unico es decir sean 0 1 displaystyle mathbf 0 1 nbsp y 0 2 displaystyle mathbf 0 2 nbsp dos vectores neutros entonces u 0 1 u u 0 2 u displaystyle left begin array l mathbf u mathbf 0 1 mathbf u mathbf u mathbf 0 2 mathbf u end array right Rightarrow nbsp u 0 1 u 0 2 displaystyle mathbf u mathbf 0 1 mathbf u mathbf 0 2 Rightarrow nbsp 0 1 0 2 displaystyle mathbf 0 1 mathbf 0 2 Rightarrow nbsp 0 V displaystyle exists mathbf 0 in V nbsp Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4 supongamos que el opuesto no es unico es decir sean u 1 displaystyle mathbf u 1 nbsp y u 2 displaystyle mathbf u 2 nbsp dos vectores opuestos de u displaystyle mathbf u nbsp entonces como el neutro es unico u u 1 0 u u 2 0 displaystyle left begin array l mathbf u mathbf u 1 mathbf 0 mathbf u mathbf u 2 mathbf 0 end array right Rightarrow nbsp u u 1 u u 2 displaystyle mathbf u mathbf u 1 mathbf u mathbf u 2 Rightarrow nbsp u 1 u 2 displaystyle mathbf u 1 mathbf u 2 Rightarrow nbsp u V displaystyle exists mathbf u in V nbsp Unicidad del elemento 1 displaystyle 1 nbsp en el cuerpo K displaystyle K nbsp supongamos que 1 no es unico es decir sean 1 1 displaystyle mathit 1 1 nbsp y 1 2 displaystyle mathit 1 2 nbsp dos unidades entonces a 1 1 a a 1 2 a displaystyle left begin array l mathit a cdot mathit 1 1 mathit a mathit a cdot mathit 1 2 mathit a end array right Rightarrow nbsp a 1 1 a 1 2 displaystyle mathit a cdot mathit 1 1 mathit a cdot mathit 1 2 Rightarrow nbsp 1 1 1 2 displaystyle mathit 1 1 mathit 1 2 Rightarrow nbsp 1 K displaystyle exists mathit 1 in K nbsp Unicidad del elemento inverso en el cuerpo K displaystyle K nbsp supongamos que el inverso a 1 displaystyle a 1 nbsp de a no es unico es decir sean a 1 1 displaystyle a 1 1 nbsp y a 2 1 displaystyle a 2 1 nbsp dos opuestos de a displaystyle a nbsp entonces como el neutro es unico a a 1 1 1 a a 2 1 1 displaystyle left begin array l mathit a cdot mathit a 1 1 mathit 1 mathit a cdot mathit a 2 1 mathit 1 end array right Rightarrow nbsp a a 1 1 a a 2 1 displaystyle mathit a cdot mathit a 1 1 mathit a cdot mathit a 2 1 Rightarrow nbsp a 1 1 a 2 1 displaystyle mathit a 1 1 mathit a 2 1 Rightarrow nbsp a 1 K displaystyle exists mathit a 1 in K nbsp Producto de un escalar por el vector neutro a u displaystyle mathit a cdot mathbf u nbsp a u 0 displaystyle mathit a cdot mathbf u mathbf 0 nbsp a u a 0 displaystyle mathit a cdot mathbf u mathit a cdot mathbf 0 Rightarrow nbsp a 0 0 displaystyle mathit a cdot mathbf 0 mathbf 0 nbsp Producto del escalar 0 por un vector u displaystyle mathbf u nbsp 1 u displaystyle mathit 1 cdot mathbf u nbsp 1 0 u displaystyle mathit 1 mathit 0 cdot mathbf u nbsp 1 u 0 u displaystyle mathit 1 cdot mathbf u mathit 0 cdot mathbf u nbsp u 0 u displaystyle mathbf u mathit 0 cdot mathbf u Rightarrow nbsp 0 u displaystyle mathit 0 cdot mathbf u nbsp 0 displaystyle mathbf 0 nbsp Si a u 0 displaystyle mathit a cdot mathbf u mathbf 0 Rightarrow nbsp a 0 u 0 displaystyle mathit a mathit 0 quad lor quad mathbf u mathbf 0 nbsp Si a 0 displaystyle a 0 nbsp es cierto Si a 0 displaystyle a neq 0 nbsp entonces a 1 K displaystyle exists a 1 in K nbsp a 1 a 1 displaystyle a 1 a 1 Rightarrow nbsp u displaystyle u nbsp 1 u displaystyle 1u nbsp a 1 a u displaystyle a 1 a u nbsp a 1 a u displaystyle a 1 au nbsp a 1 0 0 displaystyle a 1 0 0 Rightarrow nbsp u 0 displaystyle u 0 nbsp Notacion a u a u displaystyle au au nbsp Observacion a u a u a u displaystyle au a u a u nbsp Si a u a u a u u a 0 0 displaystyle au a u a u u a0 0 Rightarrow nbsp a u a u displaystyle a u au nbsp Si a u a u a a u 0 u 0 displaystyle au a u a a u 0u 0 Rightarrow nbsp a u a u displaystyle a u au nbsp Primer ejemplo con demostracioneditar Se quiere probar que R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp es un espacio vectorial sobre R displaystyle mathbb R nbsp Si R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp juega el papel de V displaystyle V nbsp y R displaystyle mathbb R nbsp el de K displaystyle K nbsp Los elementos u V R 2 R R displaystyle mathbf u in V mathbb R 2 mathbb R times mathbb R nbsp son de forma generica u u x u y displaystyle mathbf u u x u y nbsp es decir pares de numeros reales Por claridad se conserva la denominacion del vector en este caso u en sus coordenadas anadiendo el subindice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente En V displaystyle V nbsp se define la operacion suma V V V u v w u v displaystyle begin array ccll amp V times V amp longrightarrow amp V amp mathbf u mathbf v amp mapsto amp mathbf w mathbf u mathbf v end array nbsp donde u u x u y displaystyle mathbf u u x u y nbsp v v x v y displaystyle mathbf v v x v y nbsp w w x w y displaystyle mathbf w w x w y nbsp y la suma de u y v seria u v u x u y v x v y u x v x u y v y w x w y w displaystyle mathbf u mathbf v u x u y v x v y u x v x u y v y w x w y mathbf w nbsp donde w x u x v x w y u y v y displaystyle begin array l w x u x v x w y u y v y end array nbsp esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida La operacion interna suma tiene las propiedades 1 La propiedad conmutativa es decir u v v u u v V displaystyle mathbf u mathbf v mathbf v mathbf u quad forall mathbf u mathbf v in V nbsp u v v u displaystyle mathbf u mathbf v mathbf v mathbf u nbsp u x u y v x v y v u displaystyle u x u y v x v y mathbf v mathbf u nbsp u x v x u y v y v u displaystyle u x v x u y v y mathbf v mathbf u nbsp v x u x v y u y v u displaystyle v x u x v y u y mathbf v mathbf u nbsp v x v y u x u y v u displaystyle v x v y u x u y mathbf v mathbf u nbsp v u v u displaystyle mathbf v mathbf u mathbf v mathbf u nbsp 2 La propiedad asociativa u v w u v w displaystyle mathbf u mathbf v mathbf w mathbf u mathbf v mathbf w nbsp u x u y v x v y w x w y u x u y v x v y w x w y displaystyle Big u x u y v x v y Big w x w y u x u y Big v x v y w x w y Big nbsp u x v x u y v y w x w y u x u y v x w x v y w y displaystyle u x v x u y v y w x w y u x u y v x w x v y w y nbsp u x v x w x u y v y w y u x v x w x u y v y w y displaystyle u x v x w x u y v y w y u x v x w x u y v y w y nbsp 3 tiene elemento neutro 0 displaystyle mathbf 0 nbsp u 0 u displaystyle mathbf u mathbf 0 mathbf u nbsp u x u y 0 0 u x 0 u y 0 u x u y displaystyle u x u y 0 0 u x 0 u y 0 u x u y nbsp 4 tenga elemento opuesto u u x u y displaystyle mathbf u u x u y nbsp u u x u y displaystyle mathbf u u x u y nbsp u u u x u y u x u y u x u x u y u y 0 0 0 displaystyle mathbf u mathbf u u x u y u x u y u x u x u y u y 0 0 mathbf 0 nbsp La operacion producto por un escalar K V V a u v a u displaystyle begin array ccll cdot amp K times V amp longrightarrow amp V amp mathit a mathbf u amp mapsto amp mathbf v mathit a cdot mathbf u end array nbsp El producto de a y u sera a u a u x u y a u x a u y v x v y v displaystyle mathit a cdot mathbf u a cdot u x u y a cdot u x a cdot u y v x v y mathbf v nbsp donde v x a u x v y a u y displaystyle begin array l v x a cdot u x v y a cdot u y end array nbsp esto implica que la multiplicacion de vector por escalar es externa y aun asi esta bien definida 5 tenga la propiedad asociativa a b u a b u a b K u V displaystyle mathit a cdot mathit b cdot mathbf u mathit a cdot mathit b cdot mathbf u quad forall mathit a mathit b in K quad forall mathbf u in V nbsp Esto es a b u a b u displaystyle mathit a cdot mathit b cdot mathbf u mathit a cdot mathit b cdot mathbf u nbsp a b u x u y a b u x u y displaystyle mathit a cdot mathit b cdot u x u y mathit a cdot mathit b cdot u x u y nbsp a b u x b u y a b u x u y displaystyle mathit a cdot mathit b cdot u x mathit b cdot u y mathit a cdot mathit b cdot u x u y nbsp a b u x a b u y a b u x a b u y displaystyle mathit a cdot mathit b cdot u x mathit a cdot mathit b cdot u y mathit a cdot mathit b cdot u x mathit a cdot mathit b cdot u y nbsp 6 1 R displaystyle mathit 1 in R nbsp sea elemento neutro en el producto 1 u u u V displaystyle mathit 1 cdot mathbf u mathbf u quad forall mathbf u in V nbsp Que resulta 1 u u displaystyle mathit 1 cdot mathbf u mathbf u nbsp 1 u x u y u displaystyle mathit 1 cdot u x u y mathbf u nbsp 1 u x 1 u y u displaystyle mathit 1 cdot u x mathit 1 cdot u y mathbf u nbsp u x u y u displaystyle u x u y mathbf u nbsp Que tiene la propiedad distributiva 7 distributiva por la izquierda a u v a u a v a R u v V displaystyle mathit a cdot mathbf u mathbf v mathit a cdot mathbf u mathit a cdot mathbf v quad forall mathit a in R quad forall mathbf u mathbf v in V nbsp En este caso tenemos a u v a u a v displaystyle mathit a cdot mathbf u mathbf v mathit a cdot mathbf u mathit a cdot mathbf v nbsp a u x u y v x v y a u x u y a v x v y displaystyle mathit a cdot u x u y v x v y mathit a cdot u x u y mathit a cdot v x v y nbsp a u x v x u y v y a u x a u y a v x a v y displaystyle mathit a cdot u x v x u y v y mathit a cdot u x mathit a cdot u y mathit a cdot v x mathit a cdot v y nbsp a u x v x u y v y a u x a v x a u y a v y displaystyle mathit a cdot u x v x u y v y mathit a cdot u x mathit a cdot v x mathit a cdot u y mathit a cdot v y nbsp a u x v x a u y v y a u x v x a u y v y displaystyle mathit a cdot u x v x mathit a cdot u y v y mathit a cdot u x v x mathit a cdot u y v y nbsp 8 distributiva por la derecha a b u a u b u a b R u V displaystyle mathit a mathit b cdot mathbf u mathit a cdot mathbf u mathit b cdot mathbf u quad forall mathit a mathit b in R quad forall mathbf u in V nbsp Que en este caso tenemos a b u a u b u displaystyle mathit a mathit b cdot mathbf u mathit a cdot mathbf u mathit b cdot mathbf u nbsp a b u x u y a u x u y b u x u y displaystyle mathit a mathit b cdot u x u y mathit a cdot u x u y mathit b cdot u x u y nbsp a b u x u y a u x a u y b u x b u y displaystyle mathit a mathit b cdot u x u y mathit a cdot u x mathit a cdot u y mathit b cdot u x mathit b cdot u y nbsp a b u x u y a u x b u x a u y b u y displaystyle mathit a mathit b cdot u x u y mathit a cdot u x mathit b cdot u x mathit a cdot u y mathit b cdot u y nbsp a b u x a b u y a b u x a b u y displaystyle mathit a mathit b cdot u x mathit a mathit b cdot u y mathit a mathit b cdot u x mathit a mathit b cdot u y nbsp Queda demostrado que es espacio vectorial EjemploseditarLos cuerposeditar Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre el mismo usando como producto por escalar el producto del cuerpo C displaystyle mathbb C nbsp es un espacio vectorial de dimension uno sobre C displaystyle mathbb C nbsp Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo usando como producto por escalar el producto del cuerpo C displaystyle mathbb C nbsp es un espacio vectorial sobre R displaystyle mathbb R nbsp C displaystyle mathbb C nbsp es un espacio vectorial sobre Q displaystyle mathbb Q nbsp Sucesiones sobre un cuerpo Keditar El espacio vectorial mas conocido notado como K n displaystyle K n nbsp donde n gt 0 es un entero tiene como elementos n tuplas es decir sucesiones finitas de K displaystyle K nbsp de longitud n con las operaciones u1 u2 un v1 v2 vn u1 v1 u2 v2 un vn a u1 u2 un au1 au2 aun Las sucesiones infinitas de K displaystyle K nbsp son espacios vectoriales con las operaciones u1 u2 un v1 v2 vn u1 v1 u2 v2 un vn a u1 u2 un au1 au2 aun El espacio de las matrices n m displaystyle n times m nbsp M n m K displaystyle M n times m K nbsp sobre K displaystyle K nbsp con las operaciones x 1 1 x 1 m x n 1 x n m y 1 1 y 1 m y n 1 y n m x 1 1 y 1 1 x 1 m y 1 m x n 1 y n 1 x n m y n m displaystyle begin pmatrix x 1 1 amp cdots amp x 1 m vdots amp amp vdots x n 1 amp cdots amp x n m end pmatrix begin pmatrix y 1 1 amp cdots amp y 1 m vdots amp amp vdots y n 1 amp cdots amp y n m end pmatrix begin pmatrix x 1 1 y 1 1 amp cdots amp x 1 m y 1 m vdots amp amp vdots x n 1 y n 1 amp cdots amp x n m y n m end pmatrix nbsp a x 1 1 x 1 m x n 1 x n m a x 1 1 a x 1 m a x n 1 a x n m displaystyle a begin pmatrix x 1 1 amp cdots amp x 1 m vdots amp amp vdots x n 1 amp cdots amp x n m end pmatrix begin pmatrix ax 1 1 amp cdots amp ax 1 m vdots amp amp vdots ax n 1 amp cdots amp ax n m end pmatrix nbsp Tambien son espacios vectoriales cualquier agrupacion de elementos de K displaystyle K nbsp en las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones elemento a elemento similar al de matrices n m displaystyle n times m nbsp asi por ejemplo tenemos las cajas n m r displaystyle n times m times r nbsp sobre K displaystyle K nbsp que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una funcion generica Espacios de aplicaciones sobre un cuerpoeditar El conjunto F displaystyle F nbsp de las aplicaciones f M K displaystyle f M rightarrow K nbsp K displaystyle K nbsp un cuerpo y M displaystyle M nbsp un conjunto tambien forman espacios vectoriales mediante la suma y la multiplicacion habitual f g F a K displaystyle forall f g in F forall a in K nbsp f g w f w g w a f w a f w displaystyle begin matrix f g w amp f w g w af w amp a f w end matrix nbsp Los polinomioseditar nbsp Suma de f x x x2 y g x x2 El espacio vectorial K x displaystyle K x nbsp formado por funciones polinomicas veamoslo Expresion general p x r n x n r n 1 x n 1 r 1 x r 0 displaystyle p x r n x n r n 1 x n 1 r 1 x r 0 nbsp donde r n r 0 K displaystyle r n r 0 in K nbsp considerese i gt n r i 0 displaystyle forall i gt n r i 0 nbsp p x q x r n x n r n 1 x n 1 r 1 x r 0 displaystyle p x q x r n x n r n 1 x n 1 r 1 x r 0 nbsp s m x m s m 1 x m 1 s 1 x s 0 displaystyle s m x m s m 1 x m 1 s 1 x s 0 nbsp displaystyle nbsp t M x M t M 1 x M 1 t 1 x t 0 p q x displaystyle t M x M t M 1 x M 1 t 1 x t 0 p q x nbsp donde M max m n displaystyle M max m n nbsp y t i r i s i displaystyle t i r i s i nbsp dd a p x a r n x n r n 1 x n 1 r 1 x r 0 displaystyle a p x a r n x n r n 1 x n 1 r 1 x r 0 nbsp a r n x n a r n 1 x n 1 a r 1 x a r 0 displaystyle ar n x n ar n 1 x n 1 ar 1 x ar 0 nbsp t n x n t n 1 x n 1 t 1 x t 0 a p x displaystyle t n x n t n 1 x n 1 t 1 x t 0 ap x nbsp dd Las series de potencias son similares salvo que se permiten infinitos terminos distintos de cero Funciones trigonometricaseditar Las funciones trigonometricas forman espacios vectoriales con las siguientes operaciones Expresion general f x a f i 1 n b f i sen i x c f i cos i x L 2 displaystyle f x a f sum i 1 n b f i mbox sen ix c f i cos ix in L 2 nbsp f g x f x g x displaystyle f g x f x g x nbsp a f i 1 n b f i sen i x c f i cos i x a g i 1 n b g i sen i x c g i cos i x displaystyle a f sum i 1 n b f i mbox sen ix c f i cos ix a g sum i 1 n b g i mbox sen ix c g i cos ix nbsp a f a g i 1 n b f i b g i sen i x c f i c g i cos i x L 2 displaystyle a f a g sum i 1 n b f i b g i mbox sen ix c f i c g i cos ix in L 2 nbsp dd a f x a f x displaystyle af x af x nbsp a a f i 1 n b f i sen i x c f i cos i x displaystyle a a f sum i 1 n b f i mbox sen ix c f i cos ix nbsp a a f i 1 n a b f i sen i x a c f i cos i x L 2 displaystyle aa f sum i 1 n ab f i mbox sen ix ac f i cos ix in L 2 nbsp dd Los sistemas de ecuaciones lineales homogeneaseditar Articulos principales Ecuacion lineal Ecuacion diferencial linealy Sistemas de ecuaciones lineales nbsp Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables a 1 1 x 1 a 1 n x n 0 a m 1 x 1 a m n x n 0 displaystyle begin cases begin matrix a 1 1 x 1 amp dots amp a 1 n x n amp 0 vdots amp amp vdots amp vdots a m 1 x 1 amp dots amp a m n x n amp 0 end matrix end cases nbsp o equivalentemente a 1 1 a 1 n a m 1 a m n x 1 x n 0 0 displaystyle begin pmatrix a 1 1 amp dots amp a 1 n vdots amp amp vdots amp a m 1 amp dots amp a m n end pmatrix begin pmatrix x 1 vdots x n end pmatrix begin pmatrix 0 vdots 0 end pmatrix nbsp simplificado como A x 0 displaystyle A x 0 nbsp Un sistema de ecuaciones lineales homogeneas ecuaciones lineales en las que x 0 displaystyle x 0 nbsp es siempre una solucion es decir x 1 x n 0 0 displaystyle x 1 dots x n 0 dots 0 nbsp posee soluciones que forman un espacio vectorial se puede ver en sus dos operaciones Si A x 0 A y 0 A x A y 0 displaystyle Ax 0 Ay 0 Rightarrow Ax Ay 0 Rightarrow nbsp A x y 0 displaystyle A x y 0 nbsp Si A x 0 a K a A x 0 displaystyle Ax 0 a in K Rightarrow a Ax 0 Rightarrow nbsp A a x 0 displaystyle A ax 0 nbsp Tambien que las ecuaciones en si filas de la matriz A displaystyle A nbsp notadas como una matriz 1 n displaystyle 1 times n nbsp es decir E i a i 1 a i n displaystyle E i a i 1 dots a i n nbsp son un espacio vectorial como se puede ver en sus dos operaciones Si E i x 0 E j x 0 displaystyle E i x 0 E j x 0 Rightarrow nbsp E i x E j x 0 E i E j x 0 displaystyle E i x E j x 0 Rightarrow E i E j x 0 nbsp Si E i x 0 a K displaystyle E i x 0 a in K Rightarrow nbsp a E i x 0 a E i x 0 displaystyle a E i x 0 Rightarrow aE i x 0 nbsp Subespacio vectorialeditarDefinicioneditar Sea V displaystyle V nbsp un espacio vectorial sobre K displaystyle K nbsp y U V displaystyle U subseteq V nbsp un subconjunto no vacio de V displaystyle V nbsp se dice que U displaystyle U nbsp es un subespacio vectorial de V displaystyle V nbsp si u v U displaystyle u v in U nbsp b u U displaystyle beta u in U nbsp u v U displaystyle forall u v in U nbsp y b K displaystyle beta in K nbsp Consecuenciaseditar U displaystyle U nbsp hereda las operaciones de V displaystyle V nbsp como aplicaciones bien definidas es decir que no escapan de U displaystyle U nbsp y como consecuencia tenemos que U displaystyle U nbsp es un espacio vectorial sobre K displaystyle K nbsp Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores no vacio se pueden generar subespacios vectoriales para ello seria util introducir nuevos conceptos que facilitaran el trabajo sobre estos nuevos espacios vectoriales Resultados internoseditarPara detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer una serie de herramientas cronologicamente vinculadas entre ellas con las cuales es posible construir resultados validos en cualquier estructura que sea espacio vectorial Combinacion linealeditar nbsp Cada vector u es combinacion lineal de forma unica Dado un espacio vectorial E displaystyle E nbsp diremos que un vector u E displaystyle u in E nbsp es combinacion lineal de los vectores de S v 1 v n E displaystyle S v 1 dots v n subseteq E nbsp si existen a 1 a n R displaystyle a 1 dots a n in mathbb R nbsp tales que u a 1 v 1 a n v n displaystyle u a 1 v 1 cdots a n v n nbsp Denotaremos como S E displaystyle langle S rangle E nbsp el conjunto resultante de todas las combinaciones lineales de los vectores de S E displaystyle S subset E nbsp Proposicion 1editar Dado E displaystyle E nbsp un espacio vectorial y S E displaystyle S subset E nbsp un conjunto de vectores el conjunto F S E displaystyle F langle S rangle E nbsp es el subespacio vectorial mas pequeno contenido en E displaystyle E nbsp y que contiene a S displaystyle S nbsp Demostracion Si se supone lo contrario que existe uno mas pequeno G F displaystyle G varsubsetneq F Rightarrow nbsp u F u G displaystyle exists u in F u notin G nbsp contradiccion ya que u esta generado por elementos de S F u G displaystyle S subset F Rightarrow u in G nbsp a causa de la buena definicion de las dos operaciones por tanto F G displaystyle F G nbsp Nota En este caso se dice que S displaystyle S nbsp es un sistema de generadores que genera a F displaystyle F nbsp Independencia linealeditar Diremos que un conjunto S v 1 v n displaystyle S v 1 dots v n nbsp de vectores es linealmente independiente si el vector 0 no se puede expresar como combinacion lineal no nula de los vectores de S displaystyle S nbsp es decir Si 0 a 1 v 1 a n v n a 1 a n 0 displaystyle 0 a 1 v 1 cdots a n v n Rightarrow a 1 cdots a n 0 nbsp Diremos que un conjunto S displaystyle S nbsp de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente Proposicion 2editar v 1 v n displaystyle v 1 dots v n nbsp son linealmente dependientes v i 0 v i i j 1 n a j v j displaystyle Leftrightarrow exists v i neq 0 v i sum i neq j geq 1 n a j v j nbsp Demostracion displaystyle Rightarrow nbsp Linealmente dependientes 0 b 1 v 1 b n v n b i 0 displaystyle Rightarrow 0 b 1 v 1 cdots b n v n exists b i neq 0 Rightarrow nbsp b i v i i j 1 n b j v j displaystyle b i v i sum i neq j geq 1 n b j v j Rightarrow nbsp v i i j 1 n b j b i 1 v j i j 1 n a j v j displaystyle v i sum i neq j geq 1 n b j b i 1 v j sum i neq j geq 1 n a j v j nbsp tomando a j b j b i 1 displaystyle a j b j b i 1 nbsp displaystyle Leftarrow nbsp Si v i i j 1 n a j v j displaystyle v i sum i neq j geq 1 n a j v j Rightarrow nbsp 0 a 1 v 1 a n v n displaystyle 0 a 1 v 1 cdots a n v n nbsp donde a i 1 0 displaystyle a i 1 neq 0 nbsp y por tanto linealmente dependientes Base de un espacio vectorialeditar Articulos principales Basey Dimension Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa Una base es el menor conjunto finito o infinito B vi i I de vectores que generan todo el espacio Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma llamada combinacion lineal de elementos de la base a1vi1 a2vi2 anvin donde los ak son escalares y vik k 1 n elementos de la base B La minimalidad por otro lado se hace formal por el concepto de independencia lineal Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinacion lineal de los restantes Equivalentemente una ecuacion a1vi1 ai2v2 anvin 0 solo se consigue si todos los escalares a1 an son iguales a cero Por definicion de la base cada vector puede ser
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