Álgebra multilineal

En la matemática, el álgebra multilineal es un área de estudio que generaliza los métodos del álgebra lineal. Los objetos de estudio son los productos tensoriales de espacios vectoriales y las transformaciones multi-lineales entre los espacios.

Notación

El álgebra multilineal hace un uso intensivo de la notación multi-índice. Una notación de ese tipo hace representar las combinaciones lineales por un conjunto de dos o más índices repetidos.

• En el caso elemental (tensores de rango uno contravariantes) tenemos, usando la convención de la suma de Einstein: ${\displaystyle \scriptstyle X=X^{s}e_{s}\,}$ . Lo cual indica que el objeto X, es la combinación lineal:

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}X^{s}e_{s}=X^{1}e_{1}+X^{2}e_{2}+\cdots +X^{n}e_{n}}$ 

sobre los vectores básicos ${\displaystyle \scriptstyle e_{s}\,}$ , y los ${\displaystyle \scriptstyle X^{s}\,}$  llamados los componentes de X. Aquí ${\displaystyle n}$  es la dimensión (algebraica) de espacio donde "vive" X. Por convención se llama a estos 1-contra-tensores.

• En rango uno también están los 1-co tensores, es decir mapeos lineales desde el espacio elegido hacia el campo de los escalares. Ellos se escriben como combinación lineal de los funcionales lineales ${\displaystyle e^{s}}$ , transformaciones lineales ${\displaystyle \scriptstyle V\to \mathbb {K} }$  que satisfacen: ${\displaystyle \scriptstyle e^{s}(e_{\sigma })={\delta ^{s}}_{\sigma }}$ , donde (como clásicamente) se está usando la delta de Kronecker. Así cualquier covector ${\displaystyle \scriptstyle f\colon V\to \mathbb {K} }$  se escribe como ${\displaystyle \scriptstyle f=f_{s}e^{s}\,}$ , notación que abrevia ${\displaystyle \scriptstyle f=f_{1}e^{1}+\cdots +f_{n}e^{n}\,}$ .
• Tensores de rango dos:
  • Un tensor de rango dos contravariante es ${\displaystyle \scriptstyle B=B^{st}e_{s}\otimes e_{t}}$ .
  • Un tensor de rango dos covariante es ${\displaystyle \scriptstyle C=C_{st}e^{s}\otimes e^{t}}$ .
  • Y un tensor de rango dos mixto es ${\displaystyle \scriptstyle D={D^{s}}_{t}e_{s}\otimes e^{t}}$ . Esto indica una combinación lineal bi-indexada.

Por ejemplo,

${\displaystyle B=B^{11}e_{1}\otimes e_{1}+B^{12}e_{1}\otimes e_{2}+B^{21}e_{2}\otimes e_{1}+B^{22}e_{2}\otimes e_{2}}$ 

si la dimensión del espacio es dos.

• Generalizando lo anterior se escribe ${\displaystyle \scriptstyle {A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}}$  para representar los componentes de un tensor mixto A, que es p-contravariante y q-covariante. Pero

${\displaystyle A={A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{p}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e^{j_{q}}}$ 

representa una combinación lineal multi-indexada.

Todo lo anterior sólo ha sido considerando que el espacio vectorial es de dinensión finita igual a n.

Producto tensorial

Teniendo dos espacios vectoriales V, W, con respectivas bases ${\displaystyle \{b_{1},...,b_{n}\}}$ , ${\displaystyle \{c_{1},...,c_{m}\}}$  se define su producto tensorial

${\displaystyle V\otimes W:=\langle \{b_{i}\otimes c_{j}\}\rangle }$ 

es decir el espacio vectorial generado por los nuevos símbolos

${\displaystyle \{b_{1}\otimes c_{1},b_{1}\otimes c_{2},...,b_{n}\otimes c_{m-1},b_{n}\otimes c_{m}\}}$ 

Y por lo tanto si un objeto X que vive en (pertenece a) ${\displaystyle \scriptstyle V\otimes W}$  entonces él se puede representar como una combinación lineal

${\displaystyle X=X^{11}b_{1}\otimes c_{1}+X^{12}b_{1}\otimes c_{2}+\cdots +X^{ij}b_{i}\otimes c_{j}+\cdots +X^{nm}b_{n}\otimes c_{m}}$ 

y la cual se va a abreviar como

${\displaystyle X=X^{st}b_{s}\otimes c_{t}}$ 

los índices repetidos s o t, una vez arriba y una vez abajo -está convenido- indica sumación, cada uno.

Esta definición es absolutamente abstracta, pero desde el punto de vista algebraico no hay ningún problema explorar todas las posibilidades del producto tensorial. Una plétora de espacios surge (y de importancia capital) simplemente al considerar un espacio vectorial V y su dual ${\displaystyle V^{*}}$  uno obtiene los espacios:

${\displaystyle V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes }}$ 

${\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{*}={\rm {Hom}}(V)}$ 

${\displaystyle \scriptstyle V^{*}=\Lambda ^{1}(V)\,}$ 

${\displaystyle \scriptstyle V\wedge V}$ 

${\displaystyle \scriptstyle \Lambda ^{k}(V)\,}$ 

Todos ellos de uso cotidiano en la geometría diferencial, geometría algebraica, álgebra conmutativa, relatividad y cuántica, teorías de campo, QFT, TQFT y otras.

Tensores y formas

Sea ${\displaystyle V}$  generado por los ${\displaystyle b_{i}}$ . Simbolicemos con ${\displaystyle \beta ^{\mu }}$  la base de dual ${\displaystyle \scriptstyle V^{*}}$ . Cualquier elemento de ${\displaystyle \scriptstyle V^{*}\otimes V^{*}}$  se escribe de la forma ${\displaystyle \scriptstyle B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}$ . Esta misma expresión puede ser vista como un mapa bilineal

${\displaystyle \scriptstyle V\times V{\stackrel {B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}{\longrightarrow }}\mathbb {R} }$ 

${\displaystyle \scriptstyle (b_{i},b_{j})\mapsto B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})=B_{ij}}$ 

sabiendo que ${\displaystyle \scriptstyle \beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})={\delta ^{\mu }}_{i}{\delta ^{\nu }}_{j}}$  - kronecker.

Otro de rango dos es ${\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{*}}$ . Los elementos de aquí se ven como combinaciones lineales bi-indexadas ${\displaystyle \scriptstyle {B^{\mu }}_{\nu }b_{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}$ .

Algunos conceptos desarrollados (lista incompleta)

• tensor
• espacio dual
• covector
• geometría diferencial
• cálculo tensorial
• análisis vectorial
• covariancia y contravariancia
• tensor métrico
• derivada covariante
• conexión
• tensor de curvatura de Riemann
• símbolos de Christoffel
• álgebra exterior
• forma diferencial
• curvatura
• teorema de Stokes
• Símbolo de Levi-Civita
• Sección (matemática)
• Campo vectorial
• Campo tensorial
• Pullback

Referencia

Bibliografía

• Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.

•   Datos: Q1197190
•   Multimedia: Multilinear algebra