Suma directa

Un coproducto ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ de objetos en una categoría ${\displaystyle C}$, es un objeto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle C}$, junto a una familia de morfismos ${\displaystyle f_{i}\colon A_{i}\to S}$ (${\displaystyle i\in I}$) tal que para cualquier objeto ${\displaystyle B}$ y una familia de morfismos ${\displaystyle g_{i}\colon A_{i}\to B}$, existe un único morfismo ${\displaystyle g\colon S\to B}$ tal que ${\displaystyle g\circ f_{i}=g_{i}}$.

No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$.

Ejemplos

• Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos por la izquierda. En este caso, la suma directa de una familia de R-módulos existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera:

Sea ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$  una familia de R-módulos por la izquierda, entonces definimos

${\displaystyle S:=\{(a_{i})_{i\in I}:a_{i}\in A_{i}}$  y todos los ${\displaystyle a_{i}}$  son cero, excepto un número finito de ellos ${\displaystyle \}}$ , y definimos

${\displaystyle f_{i}\colon A_{i}\to S}$  como la inclusión de ${\displaystyle A_{i}}$  en la i-ésima coordenada de S.

Y definimos la suma de elementos en S, y el producto escalar, de un elemento ${\displaystyle k\in }$  R por uno de S de la siguiente manera, coordenada a coordenada:

${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}+(b_{i})_{i\in I}:=(a_{i}+b_{i})_{i\in I}}$ 

${\displaystyle k(a_{i})_{i\in I}:=(ka_{i})_{i\in I}}$ 

• Un caso particular de lo anterior es el caso en que R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que ${\displaystyle W\cap U=\{0\}}$ , podemos definir la suma directa interna, denotada ${\displaystyle W\oplus U}$ , como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.

• Otro caso es la suma directa de grupos abelianos, ya que la categoría de grupos abelianos es equivalente a la categoría de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -módulos.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Direct Sum». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q1142861