Anillo conmutativo

En teoría de anillos (una rama del álgebra abstracta), un anillo conmutativo es un anillo (R, +, ·) en el que la operación de multiplicación · es conmutativa; es decir, si para cualquiera a, b ∈ R, a·b = b·a.

Estructura algebraica con dos leyes de composición internas.

Si adicionalmente el anillo tiene un elemento unitario 1 tal que 1a = a = a1 para todo a, entonces el anillo se denomina Anillo unitario conmutativo.

La rama de la teoría de anillos que estudia los anillos conmutativos se denomina álgebra conmutativa.

Ejemplos

El ejemplo más importante es tal vez el de los números enteros con las operaciones usuales de suma y multiplicación, ambas conmutativas. Este anillo usualmente se denota por Z, por la palabra alemana Zahlen (números).
Los números racionales, reales, y complejos forman anillos conmutativos con las operaciones usuales; más aún, son cuerpos.
Más generalmente, todo campo es un anillo conmutativo por definición.
Para el caso, ejemplo de un anillo no conmutativo es el conjunto de matrices cuadradas de 2×2 con valores reales. Como segunda operación, la multiplicación matricial

{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}

da un resultado distinto que si se invierte el orden de los factores:

{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.

Otro anillo no conmutativo es el conjunto de las funciones continuas reales definidas en el intervalo cerrado [0,1] con la adición de funciones, primera operación; y la segunda operación , la composición de funciones; se cumple la asociatividad, la distributividad y la existencia de la unidad multiplicativa I/ I(x) = x.
Si n > 0 es un entero, el conjunto Z_n de enteros módulo n forma un anillo conmutativo con n elementos.
Si R es un anillo conmutativo, el conjunto de polinomios de variable X con coeficientes en R forma un nuevo anillo conmutativo, denotado por R[X].
El conjunto de números racionales de denominador impar forma un anillo conmutativo, estrictamente contenido en el anillo Q de los racionales, y que contiene propiamente al Z de los enteros.

Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, S es conmutativo, y f es inyectiva (esto es, un monomorfismo), R también debe ser conmutativo, pues f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).
Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, con R es conmutativo, la imagen f(R) de R será también conmutativa; en particular, si f es sobreyectiva (esto es, un epimorfismo), S será conmutativo también.

El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los anillos conmutativos unitarios.

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Commutative ring», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .