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Poliedro conjugado

Septiembre 05, 2021

En geometría, un poliedro dual o conjugado es el poliedro cuyos vértices se corresponden con el centro de las caras del otro poliedro dado. El poliedro dual del dual es similar al original. El dual de un poliedro con vértices equivalentes es uno con caras equivalentes, y el de uno con aristas equivalentes es otro con aristas equivalentes. Poliedros regulares como los sólidos platónicos y los sólidos de Kepler-Poinsot están asociados a poliedros duales.

El octaedro y el cubo son poliedros duales. Aquí aparecen con los vértices del octaedro en el centro de las caras del cubo.
Secuencia de truncado desde un cubo a su poliedro dual, un octaedro. Un poliedro dual se denomina en ocasiones una rectificación de las caras o una birectificación.

Tipos de dualidad

Hay muchos tipos de dualidad desde los cuales ver la relación entre los poliedros. Algunos de los tipos más importantes y frecuentemente utilizados para los poliedros regulares son:

Reciprocidad polar

Véanse también: Recta polar y Polaridad (geometría proyectiva).

La dualidad de los poliedros se define generalmente en términos de reciprocidad polar con respecto a una esfera concéntrica. Aquí, cada vértice (polo) está asociado con una cara y su plano (plano polar) de manera que la línea recta imaginaria que viene desde el centro hasta el vértice es perpendicular al plano, y el producto de las distancias desde el centro hasta cada uno de los lados es igual al cuadrado del radio. En coordenadas, para la reciprocidad con respecto a una esfera concéntrica:

 

el vértice:

 

está asociado con el plano:

 .

Por tanto, los vértices del poliedro dual son los recíprocos de los planos de la cara del original (el otro poliedro), y las caras del dual yacen en las recíprocas de los vértices del original. Además, cualesquiera dos vértices adyacentes definen una arista, y estas tendrán reciprocidad con dos caras adyacentes que se intersecan para definir una arista del dual. Es posible generalizar a espacio n-dimensional, por lo que se puede hablar de politopos duales. Entonces, los vértices de un politopo se corresponden con los elementos (n-1)-dimensionales, o facetas, del otro, y los j puntos que definen un elemento (j-1)-dimensional se corresponden con los j hiperplanos que se intersecan para dar un elemento (n-1)-dimensional. Cuando el dual de una figura es la figura misma (como en el caso del tetraedro o del icositetracoron) se dice que esta es auto-dual. El dual del tipo panal de abejas puede definirse de modo similar.

El concepto de dualidad que se emplea aquí también está relacionado (pero no es lo mismo) con la dualidad en geometría proyectiva, donde las líneas y las aristas se intercambian. De hecho, estas dos dualidades suelen confundirse, y con frecuencia se toma la aquí descrita por una versión de esta última. La polaridad proyectiva funciona lo suficientemente bien para poliedros convexos, pero para figuras no convexas (como, por ejemplo, los poliedros estrellados), cuando se busca definir rigurosamente esta forma de dualidad poliédrica en términos de polaridad proyectiva, pueden aparecer algunos inconvenientes en el cálculo.

Para ilustrar estos inconvenientes, pueden consultarse en las obras de Grünbaum & Shepherd (1988), y Gailiunas & Sharp (2005). La obra de Wenninger (1983) también analiza algunos problemas en su manera de derivar los infinitos duales que surgen.

Si un poliedro tiene un elemento que pasa a través del centro de una esfera, el elemento correspondiente de su dual pasará a través de él o estará en el infinito. Dado que el espacio euclidiano infinito tradicional no alcanza nunca el infinito, el equivalente proyectivo, llamado espacio euclidiano extendido, debe formarse agregando el plano requerido en el infinito.

Duales canónicos

La forma exacta del dual dependerá de la esfera respecto de la cual se establezca la reciprocidad, pues la esfera creará distorsiones cuando se mueva alrededor del dual. El centro de la esfera es suficiente para definir el dual hasta la similitud. Si están presentes múltiples ejes de simetría, estos se intersecarán necesariamente en un único punto, el que usualmente se toma como centro. Si esto falla, pueden usarse una esfera circunscrita, una esfera inscrita o una esfera media (o interesfera) (una con todas las aristas como tangentes). Puede demostrarse que todos los poliedros convexos pueden distorsionarse a una forma canónica donde existe una esfera media tal que los puntos donde las aristas la tocan promedian el centro del círculo, y esta forma es única excepto por las congruencias.

Si se reciproca dicho poliedro con respecto a su esfera media, el poliedro dual de este compartirá los mismos puntos de tangencialidad con respecto de sus aristas, y también será canónico; este también será su dual canónico, y los dos juntos formarán un par dual canónico.

Dualidad topológica

Se puede distorsionar un poliedro dual de modo tal que no sea posible ya obtenerlo por reciprocidad del original en ninguna esfera. En este caso se dice que los dos poliedros son aún topológicamente duales, aunque ya no sean recíprocos polares.

Cabe notar que los vértices y las aristas de un poliedro convexo pueden proyectarse para formar un grafo sobre la esfera o sobre un plano, y el correspondiente grafo formado por el dual de este poliedro será su grafo dual.

Un politopo abstracto, y por añadidura un poliedro abstracto, es cierto tipo de conjunto parcialmente ordenado de elementos, de manera que las adyacencias o conexiones entre los elementos del conjunto se corresponden con las adyacencias entre elementos (caras, aristas, etcétera) de un poliedro. Este conjunto parcialmente ordenado puede entenderse como un poliedro geométrico que tiene la misma estructura topológica. El conjunto parcialmente ordenado puede ser representado en un diagrama de Hasse. Cualquier conjunto parcialmente ordenado tiene uno que es dual de este. El diagrama de Hasse del poliedro dual a este se obtiene fácilmente, mediante la lectura del diagrama original al revés.

Construcción de Dorman Luke

Para un poliedro uniforme, la cara del poliedro dual se puede encontrar a partir de la figura de vértice del poliedro original usando la construcción de Dorman Luke. Esta construcción fue descrita originalmente por Cundy y Rollett (1961) y más tarde generalizado por Wenninger (1983).

Como ejemplo, en esta imagen se observa una figura de vértice (en rojo) del cuboctaedro que se utiliza para derivar a partir de esta una cara (en azul) del rombododecaedro.

 

Antes de empezar la construcción, la figura de vértice ABCD se obtiene cortando cada arista conectada a su (en este caso) punto medio.

La construcción de Dorman Luke es como procede:

  1. Se dibuja la figura de vértice ABCD (en el sentido de las agujas del reloj).
  2. Se dibuja el circuncírculo (tangente a cada esquina A, B, C y D).
  3. Se dibujan líneas tangentes al circuncírculo por cada esquina A, B, C, D.
  4. Se marcan los puntos E, F, G, H (en el sentido de las agujas del reloj), donde cada línea tangente se junte con la tangente adyacente.
  5. El polígono EFGH es una cara del poliedro dual del formado truncando los vértices del poliedro original.

En este ejemplo, el tamaño de la figura de vértice ha sido elegido de manera que su circuncirculo cayera dentro de la interesfera del cuboctaedro, que también pasa a estar en la interesfera del rombododecaedro dual.

La construcción de Dorman Luke solo puede ser usada cuando un poliedro tiene una interesfera (o esfera media) y su figura de vértice es cíclica. En particular, se puede utilizar para poliedros uniformes.

Poliedros auto-duales

Topológicamente hablando, un poliedro auto-dual es aquel cuyo dual tiene exactamente la misma conectividad entre sus vértices, aristas y caras. Es decir, sus diagramas de Hasse son idénticos.

Geométricamente hablando, un poliedro auto-dual no solo es topológicamente auto-dual, sino que su recíprocidad polar sobre algún punto determinado, por lo general su centroide, es una figura congruente. Por ejemplo, el dual de un tetraedro regular es otro tetraedro regular (mediante una reflexión a través del origen).

Cada poliedro es topológicamente auto-dual (es decir, en un diagrama de Hasse tiene el mismo número de vértices que de aristas, y estos se conmutan mediante la dualidad), pero no todos los poliedros son geométricamente auto-duales (por ejemplo, con respecto a su movimiento rígido). Todos los poliedros regulares son geométricamente auto-duales: todos sus ángulos son congruentes, al igual que todas las aristas, por lo que en virtud de la dualidad estas congruencias permutan).

La disposición geométrica más común es donde algunos poliedros convexos están en su forma canónica, es decir, la disposición en la que todas sus aristas deben estar tangentes a una cierta esfera cuyo centro coincide con el centro de gravedad (posición media) de los puntos de tangencia. Si la figura es auto-dual, entonces el recíproco polar es congruente con ella.

Hay un número infinito de poliedros auto-duales. La familia de número infinito donde pueden encontrarse más fácilmente es la de las pirámides de n lados y forma canónica. Otra familia, la de las pirámides elongadas, consiste en poliedros que pueden ser descritos grosso modo como una pirámide puesta encima de un prisma (con el mismo número de lados). De esta manera, añadiendo poliedros unos a otros pueden formarse infinitos poliedros duales.

Hay muchos otros poliedros autoduales convexos. Por ejemplo, hay 6 diferentes con 7 vértices, y 16 con 8 vértices.[1]​

También se pueden encontrar poliedros no convexos autoduales, como por ejemplo el dodecaedro excavado.

Familia de las pirámides
 
base 3 		 
base 4 		 
base 5 		 
base 6
Familia de las pirámides elongadas
 
base 3 		 
base 4 		 
base 5
Familia de los trapezoedros disminuidos
 
base 3 		 
base 4 		 
base 5 		 
base 6 		 
base 7

Poliedros compuestos auto-duales

Trivialmente, el compuesto de cualquier poliedro y su dual es una figura auto-dual.

Si un poliedro es auto-dual, entonces el compuesto resultante del poliedro con su dual (el mismo) comprenderá poliedros congruentes. El compuesto regular de dos tetraedros, conocido como la estrella octángula, es el único compuesto regular con esta propiedad.

Politopos y teselados duales

La dualidad puede generalizarse a un espacio n-dimensional y politopos duales. En dos dimensiones esta generalización es propia de los llamados polígonos duales.

Politopos y teselados auto-duales

 
El teselado cuadrado es auto-dual, como puede verse en esta imagen.

La clase principal de politopos autoduales es la de los politopo regulares con símbolo de Schläfli palindrómico. Todos los polígonos regulares, {a} son autoduales, los poliedros de la forma {a,a}, los polícoros de la forma {a,b,a}, los 5-politopos de la forma {a,b,b,a}, y así sucesivamente.

Los politopos regulares autoduales son:

  1. todos los polígonos regulares, {a}
  2. el tetraedro regular {3,3}
  3. el icositetracoron o 24-cell regular {3,4,3}
  4. en general, todos los n-símplex regulares {3,3,...,3}

Los panales de abeja euclídeos regulares autoduales son:

  1. El apeirógono: {∞}
  2. El teselado cuadrado: {4,4}
  3. El panal de abejas cúbico: {4,3,4}
  4. En general, todos los panales de abejas hipercúbicos euclídeos n-dimensionales: {4,3,...,3,4}.

Los panales de abeja hiperbólicos de Coxeter regulares autoduales son:

  1. Teselados hiperbólicos: {p,p}, p>4
  2. Teselados hiperbólicos no compactos: {∞,∞}
  3. Panales de abeja compactos hiperbólicos: {3,5,3}, {5,3,5} y {5,3,3,5}
  4. Panales de abeja no compactos hiperbólicos: {3,6,3}, {6,3,6}, {4,4,4} y {3,3,4,3,3}

Véase también

Referencias

  1. Modelos 3D en Java en Symmetries of Canonical Self-Dual Polyhedra, basado en el trabajo de Gunnar Brinkmann, Brendan D. McKay, Fast generation of planar graphs PDF [1]

Enlaces externos

  •   Datos: Q1053857

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Septiembre 05, 2021
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En geometria un poliedro dual o conjugado es el poliedro cuyos vertices se corresponden con el centro de las caras del otro poliedro dado El poliedro dual del dual es similar al original El dual de un poliedro con vertices equivalentes es uno con caras equivalentes y el de uno con aristas equivalentes es otro con aristas equivalentes Poliedros regulares como los solidos platonicos y los solidos de Kepler Poinsot estan asociados a poliedros duales El octaedro y el cubo son poliedros duales Aqui aparecen con los vertices del octaedro en el centro de las caras del cubo Secuencia de truncado desde un cubo a su poliedro dual un octaedro Un poliedro dual se denomina en ocasiones una rectificacion de las caras o una birectificacion Indice 1 Tipos de dualidad 1 1 Reciprocidad polar 1 1 1 Duales canonicos 1 2 Dualidad topologica 2 Construccion de Dorman Luke 3 Poliedros auto duales 3 1 Poliedros compuestos auto duales 4 Politopos y teselados duales 4 1 Politopos y teselados auto duales 5 Vease tambien 6 Referencias 7 Enlaces externosTipos de dualidad EditarHay muchos tipos de dualidad desde los cuales ver la relacion entre los poliedros Algunos de los tipos mas importantes y frecuentemente utilizados para los poliedros regulares son La reciprocidad polar La dualidad topologicaReciprocidad polar Editar Veanse tambien Recta polary Polaridad geometria proyectiva La dualidad de los poliedros se define generalmente en terminos de reciprocidad polar con respecto a una esfera concentrica Aqui cada vertice polo esta asociado con una cara y su plano plano polar de manera que la linea recta imaginaria que viene desde el centro hasta el vertice es perpendicular al plano y el producto de las distancias desde el centro hasta cada uno de los lados es igual al cuadrado del radio En coordenadas para la reciprocidad con respecto a una esfera concentrica x 2 y 2 z 2 r 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 r 2 el vertice x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 esta asociado con el plano x 0 x y 0 y z 0 z r 2 displaystyle x 0 x y 0 y z 0 z r 2 Por tanto los vertices del poliedro dual son los reciprocos de los planos de la cara del original el otro poliedro y las caras del dual yacen en las reciprocas de los vertices del original Ademas cualesquiera dos vertices adyacentes definen una arista y estas tendran reciprocidad con dos caras adyacentes que se intersecan para definir una arista del dual Es posible generalizar a espacio n dimensional por lo que se puede hablar de politopos duales Entonces los vertices de un politopo se corresponden con los elementos n 1 dimensionales o facetas del otro y los j puntos que definen un elemento j 1 dimensional se corresponden con los j hiperplanos que se intersecan para dar un elemento n 1 dimensional Cuando el dual de una figura es la figura misma como en el caso del tetraedro o del icositetracoron se dice que esta es auto dual El dual del tipo panal de abejas puede definirse de modo similar El concepto de dualidad que se emplea aqui tambien esta relacionado pero no es lo mismo con la dualidad en geometria proyectiva donde las lineas y las aristas se intercambian De hecho estas dos dualidades suelen confundirse y con frecuencia se toma la aqui descrita por una version de esta ultima La polaridad proyectiva funciona lo suficientemente bien para poliedros convexos pero para figuras no convexas como por ejemplo los poliedros estrellados cuando se busca definir rigurosamente esta forma de dualidad poliedrica en terminos de polaridad proyectiva pueden aparecer algunos inconvenientes en el calculo Para ilustrar estos inconvenientes pueden consultarse en las obras de Grunbaum amp Shepherd 1988 y Gailiunas amp Sharp 2005 La obra de Wenninger 1983 tambien analiza algunos problemas en su manera de derivar los infinitos duales que surgen Si un poliedro tiene un elemento que pasa a traves del centro de una esfera el elemento correspondiente de su dual pasara a traves de el o estara en el infinito Dado que el espacio euclidiano infinito tradicional no alcanza nunca el infinito el equivalente proyectivo llamado espacio euclidiano extendido debe formarse agregando el plano requerido en el infinito Duales canonicos Editar La forma exacta del dual dependera de la esfera respecto de la cual se establezca la reciprocidad pues la esfera creara distorsiones cuando se mueva alrededor del dual El centro de la esfera es suficiente para definir el dual hasta la similitud Si estan presentes multiples ejes de simetria estos se intersecaran necesariamente en un unico punto el que usualmente se toma como centro Si esto falla pueden usarse una esfera circunscrita una esfera inscrita o una esfera media o interesfera una con todas las aristas como tangentes Puede demostrarse que todos los poliedros convexos pueden distorsionarse a una forma canonica donde existe una esfera media tal que los puntos donde las aristas la tocan promedian el centro del circulo y esta forma es unica excepto por las congruencias Si se reciproca dicho poliedro con respecto a su esfera media el poliedro dual de este compartira los mismos puntos de tangencialidad con respecto de sus aristas y tambien sera canonico este tambien sera su dual canonico y los dos juntos formaran un par dual canonico Dualidad topologica Editar Se puede distorsionar un poliedro dual de modo tal que no sea posible ya obtenerlo por reciprocidad del original en ninguna esfera En este caso se dice que los dos poliedros son aun topologicamente duales aunque ya no sean reciprocos polares Cabe notar que los vertices y las aristas de un poliedro convexo pueden proyectarse para formar un grafo sobre la esfera o sobre un plano y el correspondiente grafo formado por el dual de este poliedro sera su grafo dual Un politopo abstracto y por anadidura un poliedro abstracto es cierto tipo de conjunto parcialmente ordenado de elementos de manera que las adyacencias o conexiones entre los elementos del conjunto se corresponden con las adyacencias entre elementos caras aristas etcetera de un poliedro Este conjunto parcialmente ordenado puede entenderse como un poliedro geometrico que tiene la misma estructura topologica El conjunto parcialmente ordenado puede ser representado en un diagrama de Hasse Cualquier conjunto parcialmente ordenado tiene uno que es dual de este El diagrama de Hasse del poliedro dual a este se obtiene facilmente mediante la lectura del diagrama original al reves Construccion de Dorman Luke EditarPara un poliedro uniforme la cara del poliedro dual se puede encontrar a partir de la figura de vertice del poliedro original usando la construccion de Dorman Luke Esta construccion fue descrita originalmente por Cundy y Rollett 1961 y mas tarde generalizado por Wenninger 1983 Como ejemplo en esta imagen se observa una figura de vertice en rojo del cuboctaedro que se utiliza para derivar a partir de esta una cara en azul del rombododecaedro Antes de empezar la construccion la figura de vertice ABCD se obtiene cortando cada arista conectada a su en este caso punto medio La construccion de Dorman Luke es como procede Se dibuja la figura de vertice ABCD en el sentido de las agujas del reloj Se dibuja el circuncirculo tangente a cada esquina A B C y D Se dibujan lineas tangentes al circuncirculo por cada esquina A B C D Se marcan los puntos E F G H en el sentido de las agujas del reloj donde cada linea tangente se junte con la tangente adyacente El poligono EFGH es una cara del poliedro dual del formado truncando los vertices del poliedro original En este ejemplo el tamano de la figura de vertice ha sido elegido de manera que su circuncirculo cayera dentro de la interesfera del cuboctaedro que tambien pasa a estar en la interesfera del rombododecaedro dual La construccion de Dorman Luke solo puede ser usada cuando un poliedro tiene una interesfera o esfera media y su figura de vertice es ciclica En particular se puede utilizar para poliedros uniformes Poliedros auto duales EditarTopologicamente hablando un poliedro auto dual es aquel cuyo dual tiene exactamente la misma conectividad entre sus vertices aristas y caras Es decir sus diagramas de Hasse son identicos Geometricamente hablando un poliedro auto dual no solo es topologicamente auto dual sino que su reciprocidad polar sobre algun punto determinado por lo general su centroide es una figura congruente Por ejemplo el dual de un tetraedro regular es otro tetraedro regular mediante una reflexion a traves del origen Cada poliedro es topologicamente auto dual es decir en un diagrama de Hasse tiene el mismo numero de vertices que de aristas y estos se conmutan mediante la dualidad pero no todos los poliedros son geometricamente auto duales por ejemplo con respecto a su movimiento rigido Todos los poliedros regulares son geometricamente auto duales todos sus angulos son congruentes al igual que todas las aristas por lo que en virtud de la dualidad estas congruencias permutan La disposicion geometrica mas comun es donde algunos poliedros convexos estan en su forma canonica es decir la disposicion en la que todas sus aristas deben estar tangentes a una cierta esfera cuyo centro coincide con el centro de gravedad posicion media de los puntos de tangencia Si la figura es auto dual entonces el reciproco polar es congruente con ella Hay un numero infinito de poliedros auto duales La familia de numero infinito donde pueden encontrarse mas facilmente es la de las piramides de n lados y forma canonica Otra familia la de las piramides elongadas consiste en poliedros que pueden ser descritos grosso modo como una piramide puesta encima de un prisma con el mismo numero de lados De esta manera anadiendo poliedros unos a otros pueden formarse infinitos poliedros duales Hay muchos otros poliedros autoduales convexos Por ejemplo hay 6 diferentes con 7 vertices y 16 con 8 vertices 1 Tambien se pueden encontrar poliedros no convexos autoduales como por ejemplo el dodecaedro excavado Familia de las piramides base 3 base 4 base 5 base 6Familia de las piramides elongadas base 3 base 4 base 5Familia de los trapezoedros disminuidos base 3 base 4 base 5 base 6 base 7Poliedros compuestos auto duales Editar Trivialmente el compuesto de cualquier poliedro y su dual es una figura auto dual Si un poliedro es auto dual entonces el compuesto resultante del poliedro con su dual el mismo comprendera poliedros congruentes El compuesto regular de dos tetraedros conocido como la estrella octangula es el unico compuesto regular con esta propiedad Politopos y teselados duales EditarLa dualidad puede generalizarse a un espacio n dimensional y politopos duales En dos dimensiones esta generalizacion es propia de los llamados poligonos duales Politopos y teselados auto duales Editar El teselado cuadrado es auto dual como puede verse en esta imagen La clase principal de politopos autoduales es la de los politopo regulares con simbolo de Schlafli palindromico Todos los poligonos regulares a son autoduales los poliedros de la forma a a los policoros de la forma a b a los 5 politopos de la forma a b b a y asi sucesivamente Los politopos regulares autoduales son todos los poligonos regulares a el tetraedro regular 3 3 el icositetracoron o 24 cell regular 3 4 3 en general todos los n simplex regulares 3 3 3 Los panales de abeja euclideos regulares autoduales son El apeirogono El teselado cuadrado 4 4 El panal de abejas cubico 4 3 4 En general todos los panales de abejas hipercubicos euclideos n dimensionales 4 3 3 4 Los panales de abeja hiperbolicos de Coxeter regulares autoduales son Teselados hiperbolicos p p p gt 4 Teselados hiperbolicos no compactos Panales de abeja compactos hiperbolicos 3 5 3 5 3 5 y 5 3 3 5 Panales de abeja no compactos hiperbolicos 3 6 3 6 3 6 4 4 4 y 3 3 4 3 3 Vease tambien Editar Portal Matematica Contenido relacionado con Matematica Portal Geometria Contenido relacionado con Geometria Geometria Geometria proyectiva Grafo dual Plano proyectivo Polaridad geometria proyectiva Recta polar Solidos arquimedianos Solidos de 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