Prisma (geometría)
Un prisma, en geometría, es un poliedro que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos. Los prismas se nombran por la forma de su base, por lo que un prisma de base pentagonal se llama prisma pentagonal.[1] Los prismas son una subclase de los prismatoides.
| Prisma (uniforme) | ||
|---|---|---|
| Imagen del sólido | ||
| Caras | n + 2 | |
| Polígonos que forman las caras | 2 n-ágonos n cuadrados | |
| Aristas | 3n | |
| Vértices | 2n | |
| Configuración de vértices | 4.4.n | |
| Grupo de simetría | Dnh | |
| Poliedro dual | Bipirámide n-gonal | |
| Propiedades | ||
| Prismatoide | ||
| Desarrollo | ||
Definición
Un prisma es un poliedro que cumple las siguientes dos propiedades:
- Existen exactamente dos caras congruentes sobre planos paralelos, se las nombra bases.
- Todas las demás caras son paralelogramos.[2]
Prismas rectos
Un prisma recto es un prisma en el que los bordes de unión y las caras son perpendiculares a las caras de la base. Esto se aplica si las caras de unión son rectangulares. Si los bordes de unión y las caras no son perpendiculares a las caras de la base, se llama prisma oblicuo.
Algunos textos pueden aplicar el término de prisma rectangular o prisma cuadrado tanto a un prisma rectangular de lado derecho como a un prisma unilateral cuadrado derecho. El término prisma uniforme puede utilizarse para un prisma recto con lados cuadrados, ya que tales prismas están en el conjunto de poliedros uniforme.
Un prisma de n caras laterales con extremos de polígonos regulares y caras rectangulares, se acerca un sólido cilíndrico cuando n tiende a infinito.
Los prismas rectos con bases regulares y longitudes iguales bordes forman una de las dos series infinitas de poliedros semirregulares, las otras series son los antiprismas.
El dual de un prisma recto es una bipirámide.
Un paralelepípedo es un prisma de que la base es un paralelogramo, o equivalentemente un poliedro con seis caras que son todas paralelogramos.
A un prisma rectangular recto también se lo conoce como cuboides, o informalmente caja rectangular. Un prisma cuadrado derecho es simplemente una caja cuadrada, y también puede ser llamado un cuboide cuadrado.Los prismas son poliedros que constan de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos.
Cada prisma consta de los siguientes elementos:
- Bases: son las dos caras iguales y paralelas del prisma, una en la que se apoya y la otra su opuesta.
- Caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma.
- Aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.
- Vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.
- Altura: es la distancia entre las bases.
- Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del prisma. Se pueden trazar las diagonales de una cara o entre dos caras.
Volumen
El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la distancia o altura entre las dos bases. Su valor se expresa como:
donde B es el área de la base y h es la altura. El volumen de un prisma, cuya base es un polígono regular de n lados con una longitud de lado s, es:
Simetría
El grupo de simetría de un prisma recto de n lados con la base regular es Dnh del orden 4n, excepto en el caso de un cubo, que tiene el grupo de simetría octaédrica más grande, del orden 48, que tiene como subgrupos tres versiones de D4h. El grupo de rotación es Dn del orden 2n, excepto en el caso de un cubo, que tiene el grupo O de simetría más grande del orden 24, que tiene como subgrupos tres versiones de D4.
El grupo de simetría Dnh contiene inversión si n es par.
Polítopo prismático
Un politopo prismático es una generalización de los prismas a dimensiones distintas de 3. Un polítopo prismático de n dimensiones se define recursivamente como una figura creada a partir de dos politopos congruentes (n − 1)-dimensionales en hiperplanos paralelos, cuyas facetas correspondientes se conectan por prismas (n − 1)-dimensionales.
Dado un n-politopo con fi elementos de dimensión i (i = 0, ..., n), el prisma generado a partir de él tendrá 2fi + fi−1 elementos de dimensión i (tomando f−1 = 0, fn = 1).
Por dimensión:
- Si partimos de un polígono con n vértices y n aristas, su prisma tendrá 2n vértices, 3n bordes y 2 + n caras.
- Si partimos de un poliedro con v vértices, e aristas y f caras, su prisma tendrá 2v vértices, 2e + v aristas, 2f + e caras, y 2 + f celdas.
- Si partimos de un polícoro con v vértices, e aristas, f caras y c celdas, su prisma tendrá 2v vértices, 2e + v bordes, 2f + e caras, y 2 + c hiperceldas.
Polítopo prismático uniforme
Un n-polítopo regular de representado por el símbolo de Schläfli {p, q, ..., t} puede formar un (n + 1)-polítopo prismático uniforme representado por un producto cartesiano de dos símbolos de Schläfli: {p, q, ..., t} × {}.
Por dimensión:
- Un prisma 0-politópico es un segmento de recta, representado por un símbolo de Schläfli vacío {}.
- Un prisma 1-politópico es un rectángulo, formado a partir de la traslación de 2 segmentos de línea. Se representa como los el símbolo Schläfli producto {} × {}. Si se trata de un cuadrado, se puede reducir la simetría a: {} x {} = {4}.
- Ejemplo: cuadrado, {} x {}, dos segmentos de recta paralelos, conectados por dos lados de segmentos de recta.
- Un prisma poligonal es un prisma de 3 dimensiones hecho a partir de dos polígonos trasladados, conectados por rectángulos. Un polígono regular {p} puede construir el prisma n-gonal uniforme representado por el producto {p} × {}. Si p = 4, con lados cuadrados simétricos, se convierte en un cubo: {4}×{} = {4, 3}.
- Ejemplo: prisma pentagonal, {5}×{}, dos pentágonos paralelos conectados por 5 lados rectangulares.
- Un prisma poliédrico es un prisma de 4 dimensiones hecho por dos poliedros trasladados conectados por celdas de prisma de tridimensionales. Un poliedro regular {p, q} puede construir el prisma policórico uniforme, representado por el producto {p, q}×{}. Si el poliedro es un cubo, y los lados son cubos, se convierte en un teseracto: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Ejemplo: prisma dodecaédrico {5, 3} × {}, dos dodecaedros paralelos conectados por 12 lados de prismas pentagonales.
Los politopos prismáticos de orden superior también existen como productos cartesianos de dos politopos. La dimensión de un politopo es el producto de las dimensiones de los elementos. El primer ejemplo de esto existe en un espacio de 4 dimensiones llamado duoprisma como el producto de dos polígonos. Los duoprismas regulares se representan como {p} × {q}.
Tronco de prisma
Es una parte de un prisma limitada entre la base y la sección originada por un plano no paralelo a la base y que interseca a todas las aristas laterales.[3]
Véase también
- Antiprisma
- Cilindro (geometría)
- Prisma apeirogonal
Referencias
- Wellman, B. Leighton (1976). Geometría descriptiva: compendio de geometría descriptiva para técnicos. Reverte. ISBN 978-84-291-5090-2. Consultado el 29 de noviembre de 2019.
- Stanley R. Clemens Geometría con aplicaciones y solución de problemas. Addison - Wesley Iberoamericana. Wilmington, Delaware E.U.A. (1989)
- Eitor general Raúl Moisés Izaguirre Maguiña Geometría Fondo Editorial UNMSM -Centro preuniversitario Lima (2011) 3º edición
- Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach (en inglés). California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms (Capítulo 2: Poliedros arquimedianos, prisma y antiprismas)
Enlaces externos
- Olshevsky, George, en Glossary for Hyperspace (en inglés)
- Prismas y antiprismas no convexos (en inglés)
- en MATHguide (en inglés)
- en MATHguide (en inglés)
- Modelos de papel de prismas y antiprismas. Redes libres de prismas y antiprismas (en inglés).
- usando redes generadas por Stella (en inglés)
- Stella: Navigador Poliedro: Software utilizado para crear las imágenes 3D y 4D en esta página (en inglés).