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Poliedro

Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), «muchas» y de ἕδρα (hedra), «base», «asiento», «cara».

Poliedros
Modelos de poliedros. De izquierda a derecha: un poliedro compuesto de dos cubos, un icosaedro regular, un pequeño dodecaedro estrellado.
Tetraedro de los sólidos platónicos.
Cuboctaedro de los sólidos de Arquímedes.
Prisma hexagonal
Antiprisma hexagonal
Hexaquisoctaedro: de la familia de los Sólidos de Catalan.
El octaedro es una bipirámide de base cuadrada.
Trapezoedro octogonal
Prisma pentagonal aumentado de los Sólidos de Johnson.

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.

Definición

Se llama poliedro a todo cuerpo acotado, limitado por un número finito de superficies planas.[1]

Se demuestra que las superficies planas que limitan un poliedro son polígonos.[2]

Un poliedro convexo es un poliedro P, que a su vez es un conjunto convexo; es decir si contiene dos puntos A y B, incluye al segmento que ellos determinan.[3]

Denominación de los poliedros

Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico. Por ejemplo tetraedro (4-caras), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7), ... icosaedro (20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc.

Frecuentemente un poliedro se califica por una descripción del tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales y además todos los ángulos poliedros son iguales, se les denomina poliedro regular. Por ejemplo, el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rómbico.

Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el cubo truncado, que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y en este caso no es regular ya que de sus caras, seis tienen forma de octógono regular y ocho de triángulo equilátero.

Criterios de clasificación de los poliedros

Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:

Estos grupos no se excluyen entre sí, es decir, un poliedro puede pertenecer a varias categorías.

Clasificación según el número de caras

Nombre Número de caras
tetraedro 4
pentaedro 5
hexaedro 6
heptaedro 7
octaedro u octoedro 8
eneaedro o nonaedro 9
decaedro 10
endecaedro o undecaedro 11
dodecaedro 12
tridecaedro 13
tetradecaedro o tetracaidecaedro 14
pentadecaedro o pentedecaedro 15
hexadecaedro 16
heptadecaedro 17
octadecaedro u octodecaedro 18
eneadecaedro o nonadecaedro 19
icosaedro o isodecaedro 20
icosamonoedro 21
icosadiedro 22
icosatetraedro 24
icosaoctaedro o icosaoctoedro 28
triacontaedro 30
tricontidiedro 32
tricontihexaedro 36
tetracontaedro 40
pentacontaedro 50
pentacontamonoedro 51
pentacontadiedro 52
hexacontaedro 60
heptacontaedro 70
heptacontadiedro 72
octacontaedro u octocontaedro 80
eneacontaedro o nonacontaedro 90
hectaedro 100
chiliedro 1000
miriedro 10000
decemiriedro 100000
hectamiriedro o megaedro 1000000
googoloedro 10100
enoedro n

Familias de poliedros

 
Poliedros en un display en el museo Universum en la Ciudad de México

Poliedros regulares

Se dice que un poliedro regular es aquel que tiene caras y ángulos iguales, por ejemplo un cubo o hexaedro (seis caras). El cubo posee seis polígonos con lados iguales con la misma longitud, estos a su vez se unen en vértice con ángulos de 90º grados. También eran conocidos antiguamente y son conocidos aún, como Sólidos platónicos.

Sólidos platónicos

Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Solo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estos cuerpos uno de los «elementos fundamentales»: tierra, agua, aire y fuego, y el restante, al dodecaedro, la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.

Poliedros irregulares

 
La quinta estalación del hexaedro es el poliedro irregular representado por Estrella Hexaédrica de Joel. Posee 24 Caras Triangulares exteriores, además tiene 8 vértices intermedio y 6 vértices exteriores, para un total de 14 vértices. Ostenta 12 aristas intermedias y 24 aristas exteriores, para un total de 36 aristas.

Se dice que un poliedro irregular es aquel que tiene caras o ángulos desiguales.

Sólidos arquimedianos

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes, pero no de caras uniformes. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos; son trece: el tetraedro truncado, el cuboctaedro, el cubo truncado, el octaedro truncado, el rombicuboctaedro, el cuboctaedro truncado, el cubo romo, el icosidodecaedro, el dodecaedro truncado, el icosaedro truncado, el rombicosidodecaedro, el dodecaedro romo y el icosidodecaedro truncado.

Prismas y antiprismas

Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler, quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos.

Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices, que le dan el nombre al prisma, y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos triángulos y tres paralelogramos; tiene nueve aristas y seis vértices de orden 3 donde convergen siempre dos paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el prisma decagonal, que se compone de dos decágonos + diez paralelogramos; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3.

Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así, el antiprisma cuadrado se compone de dos cuadrados y ocho triángulos; tiene ocho vértices y 16 aristas.

Otras familias de poliedros

Sólidos de Johnson

Son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos, de caras regulares restantes; solo uno de ellos es uniforme y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson.

Los sólidos de Johnson son en total 92 y entre ellos se enumeran:

Este grupo consiste en los duales de los prismas y antiprismas, respectivamente; por ende, también es un grupo infinito. Son poliedros de caras uniformes pero no son de caras regulares, ni de vértices uniformes, ni de aristas uniformes.

Condiciones de congruencia

Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean congruentes, es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos respectivos también tienen la misma medida o son congruentes. Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. Para corroborar que dos triángulos son congruentes se debe asegurar la congruencia de todos los lados de uno con todos los lados correspondientes del otro y la congruencia de todos los ángulos de uno con todos los ángulos correspondientes del otro.

Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son. Sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homólogas. Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

  • Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
  • Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y este, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
  • Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
  • Criterio LLA: Si dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos es respectivamente congruente, entonces son congruentes.

Sólidos de Catalan

Se obtienen logrando el dual de los sólidos de Arquímedes; el dual es básicamente el reemplazo de una cara por un vértice y viceversa. Por ejemplo, el dual del icosaedro (20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (12 caras y 20 vértices) y el dual del dodecaedro es el icosaedro. No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes.

Entre los sólidos de Catalan se encuentran el triaquistetraedro, el rombododecaedro, el triaquisoctaedro, el tetraquishexaedro, el icositetraedro deltoidal, el hexaquisoctaedro, el icositetraedro pentagonal, el triacontaedro rómbico, el triaquisicosaedro, el pentaquisdodecaedro, el hexecontaedro deltoidal, el hexaquisicosaedro y el hexecontaedro pentagonal. Trece en total.

Deltaedros

Se llama deltaedros a los cuerpos que solo están formados por triángulos equiláteros; no constituyen un grupo excluyente de sólidos: del grupo de los Sólidos platónicos se encuentran el Tetraedro, el Octaedro, Icosaedro y del grupo de los Sólidos de Johnson están la Bipirámide triangular, la Bipirámide pentagonal, la Bipirámide cuadrada giroelongada, el Biesfenoide romo y el Prisma triangular triaumentado.

Referencias y notas

  1. Calmaestra, Luis Barrios (2019). Matemáticas Académicas 3º ESO (2019). Editex. ISBN 978-84-9161-907-9. Consultado el 28 de noviembre de 2019. 
  2. Trejo/ Bosch. «Matemática moderna primer curso ». Eudeba, Buenos Aires (1966)
  3. Trejo/ B0sch. Op. cit

Véase también

Bibliografía

  • Quince Salas, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares. Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicación presentada a las Reuniones sobre Geometría aplicada a la Arquitectura y a la Ingeniería Civil.
  • Quince Salas, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Teoría y ejercicios. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p.
  • Quince Salas, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Tomo 2: soluciones. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.

Enlaces externos

  •   Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Poliedro.
  • Poliedros regulares e irregulares (en gallego)
  • Poliedros: Modelos de Papel
  • Jardín del poliedro
  •   Datos: Q172937
  •   Multimedia: Polyhedra

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Un poliedro es en el sentido dado por la geometria clasica al termino un cuerpo geometrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito La palabra poliedro viene del griego clasico polyedron polyedron de la raiz polys polys muchas y de ἕdra hedra base asiento cara PoliedrosModelos de poliedros De izquierda a derecha un poliedro compuesto de dos cubos un icosaedro regular un pequeno dodecaedro estrellado Tetraedro de los solidos platonicos Cuboctaedro de los solidos de Arquimedes Prisma hexagonalAntiprisma hexagonalHexaquisoctaedro de la familia de los Solidos de Catalan El octaedro es una bipiramide de base cuadrada Trapezoedro octogonalPrisma pentagonal aumentado de los Solidos de Johnson Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales pero hay semejantes topologicos del concepto en cualquier dimension Asi el punto o vertice es el semejante topologico del poliedro en cero dimensiones una arista o segmento lo es en 1 dimension el poligono para 2 dimensiones y el policoro el de cuatro dimensiones Todas estas formas son conocidas como politopos por lo que podemos definir un poliedro como un politopo tridimensional Indice 1 Definicion 2 Denominacion de los poliedros 3 Criterios de clasificacion de los poliedros 4 Clasificacion segun el numero de caras 5 Familias de poliedros 5 1 Poliedros regulares 5 1 1 Solidos platonicos 5 2 Poliedros irregulares 5 2 1 Solidos arquimedianos 5 2 2 Prismas y antiprismas 5 3 Otras familias de poliedros 5 3 1 Solidos de Johnson 5 3 2 Solidos de Catalan 5 3 3 Deltaedros 6 Referencias y notas 7 Vease tambien 8 Bibliografia 9 Enlaces externosDefinicion EditarSe llama poliedro a todo cuerpo acotado limitado por un numero finito de superficies planas 1 Se demuestra que las superficies planas que limitan un poliedro son poligonos 2 Un poliedro convexo es un poliedro P que a su vez es un conjunto convexo es decir si contiene dos puntos A y B incluye al segmento que ellos determinan 3 Denominacion de los poliedros EditarLos poliedros son denominados de acuerdo a su numero de caras Su designacion se basa en el griego clasico Por ejemplo tetraedro 4 caras pentaedro 5 hexaedro 6 heptaedro 7 icosaedro 20 icosa es 20 en griego clasico etc Frecuentemente un poliedro se califica por una descripcion del tipo de caras presentes en el Si todas sus caras son iguales y ademas todos los angulos poliedros son iguales se les denomina poliedro regular Por ejemplo el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rombico Otras denominaciones comunes indican que alguna operacion se ha efectuado en un poliedro mas simple que lo ha transformado en el actual Por ejemplo el cubo truncado que semeja un hexaedro cubo con sus esquinas truncadas o recortadas Tiene por lo tanto 14 caras y en este caso no es regular ya que de sus caras seis tienen forma de octogono regular y ocho de triangulo equilatero Criterios de clasificacion de los poliedros EditarLos poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos segun la familia de donde provienen o de las caracteristicas que los diferencian segun sus caracteristicas se distinguen Convexos como el cubo o el tetraedro cuando cualquier par de puntos del espacio que esten dentro del cuerpo los une un segmento de recta tambien interno En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros concavos como es el caso del toroide facetado y los solidos de karim Poliedro de caras regulares cuando todas las caras del poliedro son poligonos regulares Poliedro de caras uniformes cuando todas las caras son iguales Se dice poliedro de aristas uniformes cuando los pares de caras que se reunen en cada arista son iguales cita requerida Se dice poliedro de vertices uniformes cuando en todos los vertices del poliedro convergen el mismo numero de caras y en el mismo orden Se dice poliedro regular o regular y uniforme como el tetraedro o el icosaedro cuando es de caras regulares de caras uniformes de vertices uniformes y de aristas uniformes Estos grupos no se excluyen entre si es decir un poliedro puede pertenecer a varias categorias Clasificacion segun el numero de caras EditarNombre Numero de carastetraedro 4pentaedro 5hexaedro 6heptaedro 7octaedro u octoedro 8eneaedro o nonaedro 9decaedro 10endecaedro o undecaedro 11dodecaedro 12tridecaedro 13tetradecaedro o tetracaidecaedro 14pentadecaedro o pentedecaedro 15hexadecaedro 16heptadecaedro 17octadecaedro u octodecaedro 18eneadecaedro o nonadecaedro 19icosaedro o isodecaedro 20icosamonoedro 21icosadiedro 22icosatetraedro 24icosaoctaedro o icosaoctoedro 28triacontaedro 30tricontidiedro 32tricontihexaedro 36tetracontaedro 40pentacontaedro 50pentacontamonoedro 51pentacontadiedro 52hexacontaedro 60heptacontaedro 70heptacontadiedro 72octacontaedro u octocontaedro 80eneacontaedro o nonacontaedro 90hectaedro 100chiliedro 1000miriedro 10000decemiriedro 100000hectamiriedro o megaedro 1000000googoloedro 10100enoedro nFamilias de poliedros Editar Poliedros en un display en el museo Universum en la Ciudad de Mexico Poliedros regulares Editar Se dice que un poliedro regular es aquel que tiene caras y angulos iguales por ejemplo un cubo o hexaedro seis caras El cubo posee seis poligonos con lados iguales con la misma longitud estos a su vez se unen en vertice con angulos de 90º grados Tambien eran conocidos antiguamente y son conocidos aun como Solidos platonicos Solidos platonicos Editar Los solidos platonicos o solidos de Platon son poliedros regulares y convexos Solo existen cinco de ellos el tetraedro el cubo el octaedro el dodecaedro y el icosaedro El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estos cuerpos uno de los elementos fundamentales tierra agua aire y fuego y el restante al dodecaedro la divinidad Los solidos platonicos son el inicio del estudio de los poliedros de estos se derivan los solidos de Arquimedes y los de Kepler Poinsot que a su vez generan mas familias Poliedros irregulares Editar La quinta estalacion del hexaedro es el poliedro irregular representado por Estrella Hexaedrica de Joel Posee 24 Caras Triangulares exteriores ademas tiene 8 vertices intermedio y 6 vertices exteriores para un total de 14 vertices Ostenta 12 aristas intermedias y 24 aristas exteriores para un total de 36 aristas Se dice que un poliedro irregular es aquel que tiene caras o angulos desiguales Solidos arquimedianos Editar Los solidos arquimedianos o solidos de Arquimedes son poliedros convexos de caras regulares y vertices uniformes pero no de caras uniformes Fueron ampliamente estudiados por Arquimedes Algunos se obtienen truncando los solidos platonicos son trece el tetraedro truncado el cuboctaedro el cubo truncado el octaedro truncado el rombicuboctaedro el cuboctaedro truncado el cubo romo el icosidodecaedro el dodecaedro truncado el icosaedro truncado el rombicosidodecaedro el dodecaedro romo y el icosidodecaedro truncado Prismas y antiprismas Editar Los prismas y los antiprismas son los unicos poliedros convexos y uniformes restantes Todos ellos fueron estudiados por Kepler quien los clasifico Los prismas y antiprismas son grupos infinitos Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices que le dan el nombre al prisma y una serie de paralelogramos tantos como lados tenga la cara directriz Por ejemplo el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos triangulos y tres paralelogramos tiene nueve aristas y seis vertices de orden 3 donde convergen siempre dos paralelogramos y un triangulo Otro ejemplo seria el prisma decagonal que se compone de dos decagonos diez paralelogramos tiene 30 aristas y 20 vertices de orden 3 Los antiprismas tienen una construccion parecida dos caras paralelas y una serie de triangulos el numero de lados de las cara directriz multiplicado por dos asi el antiprisma cuadrado se compone de dos cuadrados y ocho triangulos tiene ocho vertices y 16 aristas Otras familias de poliedros Editar Solidos de Johnson Editar Son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos de caras regulares restantes solo uno de ellos es uniforme y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson Los solidos de Johnson son en total 92 y entre ellos se enumeran Este grupo consiste en los duales de los prismas y antiprismas respectivamente por ende tambien es un grupo infinito Son poliedros de caras uniformes pero no son de caras regulares ni de vertices uniformes ni de aristas uniformes Condiciones de congruenciaPara que se de la congruencia de dos o mas triangulos se requiere que sus lados respectivos sean congruentes es decir que tengan la misma medida Esta condicion implica que los angulos respectivos tambien tienen la misma medida o son congruentes Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamano Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homologas o correspondientes Para corroborar que dos triangulos son congruentes se debe asegurar la congruencia de todos los lados de uno con todos los lados correspondientes del otro y la congruencia de todos los angulos de uno con todos los angulos correspondientes del otro Criterios de congruencia de triangulosDos triangulos son congruentes cuando sus tres lados y angulos tambien lo son Sin embargo puede demostrarse la congruencia de dos triangulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homologas Las condiciones minimas que deben cumplir dos triangulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia los cuales son Criterio LLL Si en dos triangulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro entonces los triangulos son congruentes Criterio LAL Si los lados que forman un angulo y este son congruentes con dos lados y el angulo comprendido por estos de otro triangulo entonces los triangulos son congruentes Criterio ALA Si dos angulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triangulo entonces los triangulos son congruentes Criterio LLA Si dos triangulos que tienen dos lados y el angulo opuesto al mayor de ellos es respectivamente congruente entonces son congruentes Solidos de Catalan Editar Se obtienen logrando el dual de los solidos de Arquimedes el dual es basicamente el reemplazo de una cara por un vertice y viceversa Por ejemplo el dual del icosaedro 20 caras y 12 vertices es el dodecaedro 12 caras y 20 vertices y el dual del dodecaedro es el icosaedro No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes Entre los solidos de Catalan se encuentran el triaquistetraedro el rombododecaedro el triaquisoctaedro el tetraquishexaedro el icositetraedro deltoidal el hexaquisoctaedro el icositetraedro pentagonal el triacontaedro rombico el triaquisicosaedro el pentaquisdodecaedro el hexecontaedro deltoidal el hexaquisicosaedro y el hexecontaedro pentagonal Trece en total Deltaedros Editar Se llama deltaedros a los cuerpos que solo estan formados por triangulos equilateros no constituyen un grupo excluyente de solidos del grupo de los Solidos platonicos se encuentran el Tetraedro el Octaedro Icosaedro y del grupo de los Solidos de Johnson estan la Bipiramide triangular la Bipiramide pentagonal la Bipiramide cuadrada giroelongada el Biesfenoide romo y el Prisma triangular triaumentado Referencias y notas Editar Calmaestra Luis Barrios 2019 Matematicas Academicas 3º ESO 2019 Editex ISBN 978 84 9161 907 9 Consultado el 28 de noviembre de 2019 Trejo Bosch Matematica moderna primer curso Eudeba Buenos Aires 1966 Trejo B0sch Op citVease tambien EditarPoligono Solidos platonicos Teorema de poliedros de Euler PolitopoBibliografia EditarQuince Salas Ricardo Propiedades elementales de los poliedros regulares Santander s n 1974 17 p Comunicacion presentada a las Reuniones sobre Geometria aplicada a la Arquitectura y a la Ingenieria Civil Quince Salas Ricardo Areas y volumenes de cuerpos geometricos Teoria y ejercicios Santander 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