Dodecaedro excavado

En geometría, el dodecaedro excavado es un poliedro estelado que se parece a un dodecaedro con pirámides cóncavas en lugar de sus caras. Su superficie exterior representa la estelación Ef₁g₁ del icosaedro. Aparece en el libro Polyhedron Models de Magnus Wenninger como modelo 28, catalogado como la tercera estelación del icosaedro.

Dodecaedro excavado
Dodecaedro excavado
Tipo	Poliedro estrellado (W28, 26/59)
Caras	60 (triángulos equiláteros) // 20 (hexagramas)
Polígonos que forman las caras	Triángulos equiláteros // Hexágonos estrellados
Aristas	90
Vértices	32
Configuración de vértices	Hexágono cóncavo
Poliedro dual	Autodual
Propiedades
Característica de Euler: F = 20, E = 60 V = 20 (χ = −20) Diagrama: Poliedro noble, isogonal, autodual
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Descripción

Los 20 vértices y 30 de sus 60 aristas pertenecen a su contorno dodecaédrico. Las otras 30 aristas internas son más largas y forman parte de un gran dodecaedro estrellado (cada una coincide con uno de los 30 bordes del núcleo icosaédrico). Posee 20 caras, correspondientes a sus 20 vértices. Cada cara es un hexágono autointersecante con bordes largos y cortos alternos y ángulos de 60°. Los triángulos equiláteros que tocan un borde corto son parte de la cara. Cada grupo de tres lados cortos de las caras hexagrámicas situadas entre los lados largos forman una cara del núcleo icosaédrico.

Núcleo	Bordes largos	Caras	Envolvente	Corte
Icosaedro	Gran dodecaedro estrellado		Dodecaedro	Cara hexagonal (en azul)

Facetado del dodecaedro

El dodecaedro excavado tiene la misma forma externa que un facetado del dodecaedro formado por 20 hexágonos autointersecantes como caras. Los hexágonos no convexos que forman las caras se pueden dividir en cuatro triángulos equiláteros cada uno, tres de los cuales son del mismo tamaño. Un verdadero dodecaedro excavado tiene los tres triángulos equiláteros congruentes como caras verdaderas del poliedro, mientras que el triángulo equilátero interior no está presente.

Los 20 vértices de la envolvente convexa coinciden con la disposición de vértices del dodecaedro.

•  

  Una de las caras del hexágono estrellado resaltada

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  Cara como una faceta del dodecaedro

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  Teselado uniforme 66-t2

El volumen facetado es un poliedro noble. Con seis caras de seis lados alrededor de cada vértice, es topológicamente equivalente a un espacio cociente del teselado hexagonal de orden 6 hiperbólico {6,6}, y es del tipo abstracto {6,6}₆. Es uno de los diez poliedros regulares abstractos de índice dos con sus vértices en una órbita.^[1]​^[2]​

Fórmulas

Dimensiones de un dodecaedro excavado de arista a
Volumen	${\displaystyle V={\frac {5}{4}}a^{3}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$
Superficie	${\displaystyle A_{O}=15a^{2}{\sqrt {3}}}$
Altura de las pirámides	${\displaystyle k=a{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}}$
Arista del icosaedro interior	${\displaystyle b={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$
Ángulo diedro 1:  ≈ 138° 11′ 23″	${\displaystyle \cos \,\alpha _{1}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}}$
Ángulo diedro 2:  ≈ 41° 48′ 37″	${\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}}$

Poliedros relacionados

Un pentaquis dodecaedro (izda) y el poliedro excavado con pirámides invertidas (derecha) tienen la misma superficie

Las caras del dodecedro excavado (izquierda) son parte de las caras del gran icosaedro (derecha). Para verlo, basta con extender los bordes cortos de un hexágono hasta que se encuentren con el triángulo que lo contiene. Reemplazando cada hexágono auto intersecante por uno convexo se obtiene una figura que contiene los bordes del compuesto de cinco cubos (centro). Pero esto no es realmente un poliedro, porque cada uno de estos bordes pertenece únicamente a una sola cara

El gran dodecaedro (izquierda) es un icosaedro excavado. También tiene 60 triángulos visibles. Pero a diferencia del dodecaedro excavado (derecha) tiene caras convexas y, por lo tanto, no tiene bordes internos

Referencias

1. Regular Polyhedra of Index Two, I Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
2. Regular Polyhedra of Index Two, II  Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357-387 · November 2010, Table 3, p.27

Bibliografía

• H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, 3.6 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104

•   Datos: Q778671
•   Multimedia: Excavated dodecahedron / Q778671