Euclides

Para el filósofo de Megara, véase Euclides de Megara.

Euclides (en griego Εὐκλείδης, Eukleidēs, latín Euclīdēs) fue un matemático y geómetra griego (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.).^[1]​ Se le conoce como "el padre de la geometría".^[2]​ Fue un activo en Alejandría (antiguo Egipto) en tiempos de Ptolomeo I Sóter (323 – 283 a. C.),^[3]​ Fue el fundador de la escuela de matemáticas de la ciudad.^[4]​

Euclides
Información personal
Nombre en griego antiguo	Εὐκλείδης
Nacimiento	c. 325 a. C. valor desconocido
Fallecimiento	c. 270 a. C. valor desconocido o Alejandría (Egipto)
Residencia	Alejandría
Información profesional
Ocupación	Matemático y escritor
Área	Geometría
Obras notables	Elementos de Euclides geometría sintética
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Pintura idealizada de Euclides.

Su trabajo más famoso fue los Elementos, considerado a menudo el libro de texto de más éxito de la historia de las matemáticas.^[5]​^[6]​ Se deducen las propiedades de los objetos geométricos y de los números naturales a partir de un pequeño conjunto de axiomas.^[7]​ Esta obra, uno de los más antiguos tratados conocidos que presentan de manera sistemática, con demostraciones, un amplio conjunto de teoremas sobre la geometría y la aritmética teórica, ha conocido centenares de ediciones en todas las lenguas, y sus temas restan en la base de la enseñanza de las matemáticas al nivel secundario en numerosos países. Del nombre de Euclides, derivan en particular el algoritmo de Euclides, la geometría euclidiana (y geometría no euclidiana), y la división euclidiana. También escribió sobre perspectiva, secciones cónicas, geometría esférica y teoría de números.

Biografía

Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (ciudad situada al norte de Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I. Ciertos autores árabes afirman que Euclides nació en Tiro y vivió en Damasco.^[8]​ No existe ninguna fuente directa sobre la vida de Euclides: no se dispone de ninguna carta, de ninguna indicación autobiográfica (incluso, bajo la forma de un prefacio en una obra), de ningún documento oficial, y ni siquiera de ninguna alusión por uno de sus contemporáneos. Cómo lo resume el historiador de matemáticas Peter Schreiber, «sobre la vida de Euclides, ni un solo hecho seguro es conocido».^[9]​ existen otros datos, pero son poco fiables. Era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:

1. Euclides fue un matemático histórico que escribió los Elementos y otras obras atribuidas a él.
2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría que tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Mégara, que había vivido unos cien años antes.

Posiblemente, Euclides estudió en la Academia de Platón aprendiendo las bases de sus conocimientos.^[10]​

Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, que vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos.^[11]​ Dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo de Cnido en relación a la teoría de la proporción, y de Teeteto sobre los poliedros regulares.^[12]​

Precisamente, el escrito más antiguo conocido en relación con la vida de Euclides aparece en un resumen sobre la historia de la geometría escrito en el V de la nuestra era por el filósofo neoplatoniano Proclo, comentarista del primer libro de los Elementos. Proclo no da él mismo ninguna fuente para sus indicaciones. Dice sólo: «reuniendo sus Elementos, [Euclides] tiene coordinados muchos [...] y evoca en irrefutables demostraciones el que sus predecesores habían enseñado de una manera relajada. Este hombre ha vivido, por otro lado, bajo el primero Ptolemeo, puesto que Arquímedes [...] menciona Euclides. Euclides es, pues, más reciente que los discípulos de Platón, pero más antiguo que Arquímedes y Eratóstenes».^[13]​

Si se admite la cronología dada por Proclo, Euclides vivió entre Platón y Arquímedes y fue contemporáneo de Ptolomeo I, aproximadamente hacia el 300 antes de la nuestra era.

 

Representación de Euclides

Ningún documento contradice estas pocas frases, ni las confirma verdaderamente. La mención directa de Euclides de las obras de Arquímedes viene de un paso considerado como dudoso.^[14]​

Arquímedes hace referencia a algunos resultados de los Elementos y un óstraco, encontrado en la isla de Elefantina y datado del III antes de la nuestra era: trata de figuras estudiadas en el libro XIII de los Elementos, como el decágono y el icosaedro, pero sin reproducir exactamente los enunciados euclidianos; podrían, pues, provenir de fuentes anteriores a Euclides.^[15]​ La fecha aproximada de 300 antes la nuestra era es, aun así, juzgada compatible con el análisis del contenido de la obra euclidiana y es la adoptada por los historiadores de las matemáticas.^[16]​^[14]​^[9]​^[17]​

Por otro lado, una alusión del matemático del IV de la nuestra era Papo de Alejandría, que sugiere que alumnos de Euclides habrían enseñado en Alejandría.^[17]​ Algunos autores han asociado sobre esta base Euclides con el Museion de Alejandría, pero no figura en ningún documento oficial.^[18]​ El calificativo a menudo asociado a Euclides en la antigüedad es simplemente Stoitxeiotes, el autor de los Elementos.^[14]​

Varias anécdotas circulan a propósito de Euclides, pero cómo que aparecen también para otros matemáticos, no son consideradas como reales: así, aquella famosa, explicada por Proclo, según la cual Euclides habría respondido a Ptolemeo -que deseaba una vía más fácil que las de los Elementos- que no había vías reales en geometría; una variante de la misma anécdota también es atribuida a Menecmo y a Alejandro el Grande.^[19]​ Igualmente, desde la antigüedad tardía, fueron añadidos varios detalles a los relatos de la vida de Euclides, sin fuentes nuevas, y a menudo de manera contradictoria. Algunos autores hacen, así, nacer Euclides en Tiro, otros en Gela; se le atribuyen varias genealogías, amos particulares, diferentes fechas de nacimiento y de muerto, para respetar las reglas del género, o para favorecer algunas interpretaciones. Se dan varios ejemplos, y son refutados.^[20]​^[21]​^[17]​ En la edad media y a comienzos del Renacimiento, el matemático Euclides es a menudo confundido con un filósofo contemporáneo de Platón, Euclides de Megara.^[17]​^[14]​

Obra

 

Fragmento de los Elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento de Oxirrinco (Oxyrhynchus), Egipto.

Las menciones de obras atribuidas a Euclides figuran en varios autores, en particular en la Colección matemática de Papo (datada usualmente en el III o IV) y en el Comentario a los Elementos de Euclides debido a Proclo.^[11]​^[22]​^[23]​ Sólo ha llegado a nuestros días una parte de estas obras.

Las obras que nos han llegado son cinco: Data, Sobre las divisiones, Catóptrics, Apariencias del cielo y Óptica. Por fuentes árabes, se le atribuyen a Euclides varios tratados sobre mecánica. Sobre lo pesado y lo ligero contiene, en nueve definiciones y cinco proposiciones, las nociones aristotélicas de movimiento de los cuerpos y el concepto de gravedad específica. Sobre el equilibrio trata la teoría de la palanca también de una manera axiomática, con una definición, dos axiomas y cuatro proposiciones. Un tercer fragmento, sobre los círculos descritos por los extremos de una palanca móvil, contiene cuatro proposiciones. Estas tres obras se complementan de tal manera la una con la otra que se ha sugerido que son remanentes de un único tratado de mecánica escrito por Euclides.

Los Elementos

Su obra Elementos es una de las producciones científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el ámbito académico de entonces. Los Elementos no eran, como se piensa a veces, un compendio de todos los conocimientos geométricos, sino más bien un texto introductorio que cubría toda la matemática elemental, es decir la aritmética, la geometría sintética y el álgebra.

Los Elementos están divididos en trece libros o capítulos, de los cuales la primera media docena son sobre geometría plana elemental, los tres siguientes sobre teoría de números, el libro X sobre los inconmensurables y los tres últimos principalmente sobre geometría de sólidos.

En los libros dedicados a geometría, se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de Los elementos haya sido demostrado por primera vez por Euclides, pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho, hay mucha evidencia de que Euclides usara libros de texto anteriores cuando escribía Los elementos, ya que presenta un gran número de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:

• La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
• En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

En los libros VII, VIII y IX de Los Elementos se estudia la teoría de la divisibilidad.

La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del universo, según la cual la Tierra es el centro del universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea circunferencias y combinaciones de circunferencias. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tiene ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres: largo, ancho y alto. Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro Los elementos. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.

De los axiomas de partida, solamente el de las paralelas parecía menos evidente. Diversos matemáticos intentaron sin éxito prescindir de dicho axioma intentándolo deducir del resto de axiomas. Pretendieron presentarlo como un teorema, sin lograrlo.

Finalmente, algunos autores crearon geometrías nuevas basándose en invalidar o sustituir el axioma de las paralelas, dando origen a las "geometrías no euclidianas". Dichas geometrías tienen como característica principal que al cambiar el axioma de las paralelas los ángulos de un triángulo ya no suman 180 grados.

 

Euclides.

Data

Las Data (Δεδομένα) es la única otra obra de Euclides que trata de geometría y de la cual se posee una versión en griego (está, por ejemplo, en el manuscrito del X descubierto por Peyrard).^[24]​ También es descrito en detalle en el libro VII de la Colección matemática de Papo, el «Tesoro del análisis», muy relacionado con los primeros cuatro libros de los Elementos. Trata del tipo de información dado en problemas geométricos, y de su naturaleza. El Data se sitúa en el marco de la geometría plana y es considerada por los historiadores como un complemento de los Elementos, bajo una forma más adecuada al análisis de problemas.^[25]​^[26]​ La obra contiene 15 definiciones, y explica lo que significa un objeto geométrico, en posición, en forma, en tamaño, y 94 teoremas. Estos explican que, si se dan algunos elementos de una figura, otras relaciones o elementos pueden ser determinados.^[27]​

Sobre las divisiones

Esta obra (Περὶ διαιρέσεων Βιβλίον) es descrita en el Comentario de Proclo, pero es perdida en griego; hay trozos en latín (De divisionibus), pero sobre todo se conserva un manuscrito en árabe descubierto en el XIX, que contiene 36 proposiciones, cuatro de las cuales son demostradas.^[28]​

Se ocupa de la división de figuras geométricas en dos o más partes iguales o en partes de proporciones dadas. Es similar a una obra del siglo III d. C. de Herón de Alejandría. En esta obra trata de construir rectas que dividen figuras dadas en proporciones y formas dadas. Por ejemplo,^[29]​ se pide, dado un triángulo y un punto interior al triángulo, construir una recta pasando por el punto y cortando el triángulo en dos figuras de igual superficie; o, dado un círculo, construir dos rectas paralelas, de forma que la porción del círculo que limitan haga un tercio de la superficie del círculo.

Sobre las falacias (Pseudaria)

Sobre las falacias (Περὶ Ψευδαρίων), texto sobre los errores en el razonamiento, es una obra perdida, conocida sólo por la descripción que da Proclo. Según este, la obra tenía como objetivo acostumbrar los principiantes a detectar los razonamientos falsos, en particular los que imiten a los razonamientos deductivos y tienen, pues, la apariencia de la verdad. Daba ejemplos de paralogismos.^[30]​

Cuatro libros sobre secciones cónicas

Cuatro libros sobre secciones cónicas (Κωνικῶν Βιβλία) es actualmente perdido. Fue un trabajo sobre secciones cónicas que fue ampliado por Apolonio de Perga en un libro famoso sobre este mismo tema. Es probable que los primeros cuatro libros de la obra de Apolonio provinieran directamente de Euclides. Según Papo, "Apolonio, habiendo completado los cuatro libros de cónicas de Euclides, y habiendo añadido cuatro más, dejó ocho volúmenes de cónicas". Las cónicas de Apolonio rápidamente sustituyeron la obra original, y en la época de Papo, el trabajo de Euclides ya se había perdido.^[31]​

Tres libros de porismas

Tres libros de porismas (Πορισμάτων Βιβλία) podría haber sido una ampliación de su trabajo en las secciones cónicas, pero no se acaba de saber del cierto el significado del título. Es una obra que se encuentra perdida. La obra es evocada en dos pasajes de Proclo y, sobre todo, es objeto de una larga presentación en el libro VII de la Colección de Papo, el «Tesoro del análisis», como un ejemplo significativo y de un gran alcance del enfoque analítico. La palabra porisma tiene varios usos: según Papo, designaría aquí un enunciado de tipo intermediario entre los teoremas y los problemas. La obra de Euclides habría contenido 171 enunciados de este tipo y 38 lemas. Pappos da ejemplos, como «si, a partir de dos puntos dados, se trazan rectos que intersecten en una recta dada, y si una de estas talla sobre una recta dada un segmento, el otro hará el mismo sobre otra recta, con una relación fijada entre los dos segmentos cortados.^[32]​» Interpretar el sentido exacto del que es un porisma, y restituir eventualmente todo o parte de los enunciados de la obra de Euclides, a partir de las informaciones dejadas por Papo, ha ocupado numerosos matemáticos: las tentativas más conocidas son las de Pierre Fermat en el XVII de Robert Simson en el XVIII, y sobre todo de Michel Chasles en el XIX. Si la reconstitución de Chasles no es tomada seriamente como tal por los historiadores actuales, ha dado la ocasión del matemático de desarrollar la noción de relación anharmónica.^[33]​

Dos libros sobre los lugares geométricos

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β' trataba sobre los lugares geométricos sobre superficies o lugares geométricos que eran estos mismos superficies. En una interpretación posterior, se tiene la hipótesis que la obra podría haber tratado de superficies cuádricas. Se trata también de una obra perdida, de dos libros, mencionada en el Tesoro del análisis de Papo. Las indicaciones dadas en Proclo o Papo sobre estos lugares de Euclides son ambiguas y el que se preguntaba exactamente en la obra no es conocido. En la tradición de las matemáticas griegas antiguas, los lugares son conjuntos de puntos que verifican una propiedad dada. Estos conjuntos son a menudo líneas rectas, o secciones cónicas, pero también pueden ser superficies planas, por ejemplo. La mayoría de los historiadores estiman que los lugares de Euclides podrían tratar de superficies de revolución, esferas, conos o cilindros.^[34]​

Apariencias del cielo

Apariencias del cielo o Fenomena (# Φαινόμενα) es un tratado sobre la astronomía de posición, que se conserva en griego. Es bastante similar a una obra de Autólico (Sobre la noción de la esfera) y habla sobre la aplicación de la geometría de la esfera a la astronomía y ha sobrevivido en griego, en varias versiones manuscritas, la más antigua de las cuales data del X. Este texto explica el que se denomina «pequeña astronomía», por contraste con los temas tratados en la Gran composición (el Almagesto) de Ptolomeo.^[35]​ Contiene 18 proposiciones y está cerca de las obras conservadas sobre el mismo tema de Autólico de Pitane.^[36]​

Óptica

Óptica (Ὀπτικά) es el tratado griego más antiguo que se conserva, en varias versiones, consagrado a problemas que ahora diríamos de perspectiva y aparentemente destinado a ser utilizado en astronomía, adopta la forma de Elementos: es una continuación de 58 proposiciones de las cuales la prueba descansa sobre definiciones y postulados enunciados a comienzos del texto. En sus definiciones, Euclides sigue la tradición platónica, que afirma que la visión es causada por rayos que emanan del ojo. Euclides describe la medida aparente de un objeto en relación a su distancia del ojo, e investiga las formas aparentes de cilindros y conos cuando son vistos desde diferentes ángulos.

Euclides muestra que las tallas aparentes de objetos iguales no son proporcionales a su distancia de nuestro ojo (proposición 8).^{[nota 1]}​^[37]​ Explica, por ejemplo, nuestra visión de una esfera (y otras superficies simples): el ojo ve una superficie inferior en mitad de la esfera, una proporción todavía más pequeña en la medida que la esfera es cercana, incluso si la superficie ver parece más grande, y el contorno del que es visto es un círculo. Detalla igualmente, según las posiciones del ojo y del objeto, de qué forma nos aparece un círculo.^[38]​El tratado, en particular, contradice una opinión defendida en algunas escuelas de pensamiento, según la cual el tamaño real de los objetos (en particular de los cuerpos celestes) es su tamaño aparente, la que es vista.^[39]​

Papo consideró que estos resultados eran importantes en astronomía e incluyó la Óptica de Euclides, junto con sus Fenómenos, en un compendio de obras menores que había que estudiar antes del Almagesto, de Claudi Ptolemeu.

Tratado de música

Proclo atribuye a Euclides un Tratado de música (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), que como la astronomía, la música teórica, por ejemplo en forma de teoría aplicada de las proporciones, figura entre las ciencias matemáticas. Dos pequeños escritos han sido conservados en griego, y han sido incluidos en ediciones antiguas de Euclides, pero su adjudicación es incierta, así como sus vínculos posibles con los Elementos. Los dos escritos (una Sección del canon sobre los intervalos musicales y una Introducción armónica) son, por otro lado, considerados como contradictorios y el segundo, al menos, es ahora considerado por los especialistas cómo de otro autor.^[36]​

Obras falsamente atribuidas a Euclides

 

Euclides, 1703

Catóptricos (Κατοητρικά) trata de la teoría matemática de los espejos, en particular de las imágenes formadas en espejos cóncavos planes y esféricos. Su atribución a Euclides es dudosa; su autor podría haber sido Teón de Alejandría. Aparece en el texto de Euclides sobre la óptica y en el comentario de Proclo. Es ahora considerado como perdido, y en particular, Catóptrico, durante mucho tiempo publicada como continuación de la Óptica en ediciones antiguas, ya no es atribuida a Euclides; es considerada como una compilación más tardía.^[39]​

Euclides también es mencionado como autor de fragmentos en relación con la mecánica, específicamente en textos sobre la palanca y la balanza, en algunos manuscritos en latín o en árabe. La adjudicación es ahora considerada como dudosa.^[40]​

Ediciones

• La primera edición de la época moderna de las obras de Euclides en griego es la de David Gregory, en Oxford en 1703, con una traducción en latín. François Peyrard hizo una edición en 3 volúmenes y 3 lenguas (griego, latín y francés) de los Elementos y de Fecha (es decir, de todos los textos de Euclides de matemáticas puras conocidos en griego) en París, el 1814-1818.
• La edición de referencia de Euclides en griego continúa siendo la de Heiberg y Menge, datada a finales del XIX: Heiberg; Menge (1883). Teubner, ed. Euclidis opera omnia. Leipzig. 

Incluye una traducción en latín junto al texto griego y contiene todos los escritos conocidos (incluyendo los de adjudicación dudosa), así como varios comentarios por autores antiguos.

Reconocimiento

• El cráter lunar Euclides lleva este nombre en su memoria.

Véase también

• Geometría euclidiana
• Algoritmo de Euclides

Notas

1. Dice que la relación de las tangentes de dos ángulos agudos es inferior a la relación de los ángulos,

Referencias

1. Suzuki, Jeff (2009). Mathematics in Historical Context (en anglès). Mathematical Association of America. pp. p. 31. ISBN 9780883855706. 
2. Skinner, Stephen (2009). Sacred Geometry: Deciphering the Code (en inglés). Sterling Publishing Company. pp. p. 41. ISBN 1402765827. Consultado el 17 de mayo de 2013. 
3. Trumble, Kelly (2003). The Library of Alexandria (en inglés). Houghton Mifflin Harcourt. pp. p. 29. ISBN 978-0-547-53289-9. 
4. Kingsley, Charles (1854). Alexandria and her Schools: Four lectures (en inglés). Cambridge: MacMillan. pp. p. 20. 
5. Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4ª ed. edición). New York: Dover Publications. pp. 50?62. ISBN 0-486-20630-0. 
6. Boyer, Carl Benjamin (1991). A History of Mathematics (2ª edición edición). John Wiley & Sueños. pp. 100-19. ISBN 0471543977. 
7. Brown, Stuart; Fox, N. J. (18 de mayo de 2006). Historical Dictionary of Leibniz's Philosophy (en inglés). Scarecrow Press. pp. p. 89. ISBN 978-0-8108-6499-3. 
8. Cortés Gallego, José (1994). El número Pi. Un problema clásico. España: Universidad de Sevilla. Secretariado de publicaciones. p. 83. 
9. Schreiber, 1987, p. 25.
10. «Biografía de Euclides - GeoEnciclopedia 2018». 
11. Mlodinow, Leonard (2001). Euclid's Window: The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace (en inglés). Simon and Schuster. pp. p. 98. ISBN 978-1-4391-3537-2. 
12. Kline, Morris (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (en inglés). Volumen 1. Oxford University Press. pp. p. 57. ISBN 978-0-19-506135-2. 
13. Proclo (1948). Desclée de Brouwer, ed. Les Commentaires sur las premiers livres des Éléments de Euclide (en francés). Brujas. 
14. Vitrac, 2004.
15. Fowler pág. 208
16. Heath, 1921, p. 354.
17. Caveing, 1990, p. 15.
18. Schreiber, 1987, p. 26.
19. Caveing, 1990, pp. 15-16.
20. Heath, 1921, p. 355.
21. Schreiber, 1987, pp. 25-30.
22. Cuomo, Serafina (2000). Pappus of Alexandria and the Mathematics of Late Antiquity (en inglés). Cambridge University Press. pp. p. 69. ISBN 978-0-521-03689-4. 
23. Joyce, David. Euclid. Clark University Department of Mathematics and Computer Science. «Enlace». 
24. Caveing, 1990, p. 46.
25. Taisbak, pág. 15
26. Knorr, pág. 109.
27. Heath, 1921, pp. 412-425.
28. Heath, 1921, pp. 425-430.
29. Schreiber, 1987, pp. 63-65.
30. Caveing, 1990, pp. 22-23.
31. Heath, 1921, pp. 438-439.
32. Heath, 1921, pp. 433.
33. Heath, 1921, pp. 435-437.
34. Caveing, 1990, p. 26.
35. Heath, 1921, p. 348.
36. Schreiber, 1987, p. 56.
37. Heath, 1921, p. 422.
38. Heath, 1921, pp. 441-444.
39. Caveing, 1990, p. 27.
40. Caveing, 1990, pp. 27-28.

Otras referencias

1. Todo sobre Euclides - Página en español

Bibliografía

• Euclides (1821). Elementaria. Obra completa. Madrid: Editorial Gredos. ISBN 978-84-249-1463-9. 

1. Volumen I: Libros I-IV. 1991. ISBN 978-84-249-1464-6. 
2. Volumen II: Libros V-IX. 1994. ISBN 978-84-249-1640-4. 
3. Volumen III: Libros X-XIII. 1996. ISBN 978-84-249-1830-9. 

• Aristóteles / Euclides (2000). Sobre las líneas indivisibles; Mecánica / Óptica; Catóptrica; Fenómenos. Madrid: Editorial Gredos. ISBN 978-84-249-2265-8. 

Sobre Euclides

• Copi, Irving M. Lógica simbólica; traductor del inglés: Sestier, Boulier, Andrés; CECSA; Ciudad de México, 2000, décima novena reimpresión, ISBN 968-26-0134-7. En el artículo Geometría euclidiana pp. 187-191.
• Caveing, Maurice (1990). PUF, ed. Introduction générale à: Euclide, Les Éléments (en francés). París. ISBN 2130432409. 
• Fowler (1987). Clarendon Press (Oxford Science Publications), ed. The Mathematics of Plato’s Academy (en inglés). Oxford. ISBN 0198539126. 
• Heath, Thomas (1921). Clarendon Press, ed. A History of Greek Mathematics (en inglés). Oxford. ISBN 2130432409. 
• Knorr, Wilbur Richard (1986). Birkhäuser, ed. The Ancient Tradition of Geometric Problems (en inglés). Boston. ISBN 9783764331481. 
• Schreiber, Peter (1987). Teubner, Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner núm. 87, ed. Euklid (en alemán). Leipzig. ISBN 3322003779. 
• Taisbak, Christian Marinus (2003). Museum Tusculanum Press, ed. Euclid's Data (Dedomena) (en inglés). Copenhagen. ISBN 9783764331481. 
• Vitrac, Bernard (2004). Pour la science, ed. Les géomètres de la Grèce antique (en francés). París. 

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Euclides.

• Euclides de Alejandría: vida y obra en español.

• en el DivulgaMAT.

•   Wikisource contiene obras originales de o sobre Euclides.
• Textos de Euclides en griego; en Wikisource.

• Euclides: Elementos.
•   Wikisource contiene obras originales de o sobre Los Elementos.
  • en el sitio Euclides.
  • catalán en el mismo sitio.
  • Texto francés, con anotaciones en este idioma, en el sitio de Philippe Remacle (1944 - 2011); trad. de François Peyrard (1759 o 1760 - 1822). Ed. de 1804, en París.
    • Libros: 1; 2; 3; 4; 6; 11; 12.
  • Texto inglés.
  • Traducción inglesa de Isaac Todhunter y otras en el mismo idioma; en Wikisource.
    • Texto inglés, con índice electrónico, en el Proyecto Perseus. En la parte superior derecha se encuentran los rótulos activos "focus" (para cambiar al texto griego) y "load" (para el texto bilingüe).
      • Texto griego en Wikisource.
      • Texto griego con índice electrónico: facsímil digitalizado del MS D'Orville 301, de la Biblioteca Bodleiana.

• Euclides: División del canon.
  • Texto francés, con anotaciones en este idioma, en el sitio de Philippe Remacle.

• Euclides: Tres cánones armónicos.
  • Texto francés, con anotaciones en este idioma, en el sitio de Ph. Remacle.

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