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Matemáticas y arquitectura

Agosto 25, 2021

Matemáticas y arquitectura están relacionadas, ya que los arquitectos (al igual que otros artistas) se sirven de las matemáticas en su actividad por varias razones: además de las matemáticas necesarias para el cálculo y el diseño estructural de la futura construcción, su trabajo está íntimamente relacionado con la geometría que se requiere para definir la forma espacial de un edificio. Ya desde la época de los pitagóricos (siglo VI a.C.), se consideraba que para crear formas armoniosas de los edificios y de su entorno, se debía recurrir a principios matemáticos, tanto por planteamientos estéticos como en ocasiones religiosos. También ha sido habitual decorar edificios con motivos geométricos, incluyendo todo tipo de teselados. Otro aspecto importante es la vinculación con el diseño arquitectónico de los cálculos precisos para optimizar la estructura de un edificio, ajustando las dimensiones de sus elementos constructivos (vigas, pilares, arcos, bóvedas, cúpulas, voladizos, muros...) a las distintas cargas que deberá soportar la edificación (peso propio, cargas y sobrecargas de uso, efectos del viento y de la nieve, seísmos, dilataciones térmicas...) de acuerdo con las características mecánicas de los materiales a utilizar (madera, sillería, mampostería, ladrillos, cal, cemento, hormigón, hormigón armado, hormigón pretensado, hierro, acero, vidrio...).

"The Gherkin",[1]​ 30 St Mary Axe, Londres, completado en 2003, es un sólido de revolución diseñado paramétricamente
Templo Kandariya Mahadev (c. 1030), Khajuraho, India, es un ejemplo de arquitectura religiosa con una estructura similar a un fractal, que tiene muchas partes que se asemejan al todo[2]​

En el antiguo Egipto, en la Grecia clásica, en la India y en el mundo islámico, edificaciones como las pirámides, distintos templos, mezquitas, palacios y mausoleos se diseñaron con proporciones específicas por razones religiosas. En la arquitectura islámica, las formas geométricas y especialmente los patrones de los azulejos se utilizan para decorar edificios, tanto por dentro como por fuera. Algunos templos hindúes tienen una estructura similar a la de un fractal, en el que los detalles de un edificio se asemejan a la construcción completa, transmitiendo el mensaje sobre el infinito propio de la cosmología hinduista. En la arquitectura china, los tulou de Fujian son estructuras defensivas comunales circulares. En el siglo XXI, la ornamentación basada en patrones matemáticos se está utilizando nuevamente para decorar edificios públicos.

En la arquitectura del Renacimiento, la simetría y la proporción fueron enfatizadas deliberadamente por arquitectos como Leon Battista Alberti, Sebastiano Serlio y Andrea Palladio, influidos por el tratado De architectura de Vitruvio originario de la antigua Roma y por la aritmética de los pitagóricos de la antigua Grecia.

A finales del siglo XIX, Vladímir Shújov en Rusia y Antoni Gaudí en Barcelona fueron pioneros en el uso de estructuras con forma de hiperboloide. En el Templo Expiatorio de la Sagrada Familia, su obra más conocida, Gaudí también incorporó paraboloides hiperbólicos, teselados, arcos catenarios, catenoides, helicoides y distintas superficies regladas. En el siglo XX, estilos como la arquitectura moderna y el deconstructivismo exploraron diferentes geometrías para lograr los efectos deseados. Las superficie mínimas se han explotado en cubiertas con forma de carpa (como en el Aeropuerto Internacional de Denver), mientras que Richard Buckminster Fuller fue pionero en el uso de las resistentes estructuras laminares conocidas como cúpulas geodésicas.

Campos relacionados

 
En el Renacimiento, se esperaba que un arquitecto como Leon Battista Alberti tuviera conocimientos en distintas disciplinas, incluyendo aritmética y geometría

Los arquitectos Michael Ostwald y Kim Williams, considerando las relaciones entre arquitectura y matemáticas, señalan que ambos campos, como comúnmente se entienden, pueden parecer estar conectados débilmente, ya que la arquitectura es una profesión que se ocupa de la cuestión práctica de diseñar y construir edificios, mientras que las matemáticas son el estudio puro de los números y otros objetos abstractos. Sin embargo, argumentan, ambas disciplinas están fuertemente conectadas, y lo han estado desde la antigüedad clásica.

En la anigua Roma, Vitruvio describió a un arquitecto como un hombre que conocía lo suficiente de una variedad de otras disciplinas, principalmente geometría, para permitirle supervisar a los artesanos expertos en todas las demás áreas necesarias, como albañiles y carpinteros. Lo mismo se aplicó en la Edad Media, cuando los arquitectos formados en las universidades aprendían aritmética, geometría y estética junto con el programa básico de gramática, lógica y retórica (las artes liberales) en elegantes aulas construidas por maestros constructores que habían guiado a muchos artesanos. Un maestro de obras en la cima de su profesión recibía el título de arquitecto o ingeniero. En el Renacimiento, las artes liberales (aritmética, geometría, música y astronomía) se convirtió en un programa extra propio de polímatas como Leon Battista Alberti. De manera similar, en Inglaterra, Sir Christopher Wren, conocido hoy como arquitecto, fue en primer lugar un destacado astrónomo.[3]​

Williams y Ostwald, al revisar la interacción entre las matemáticas y la arquitectura desde 1500 según el enfoque del sociólogo alemán Theodor Adorno, identifican tres tendencias entre los arquitectos, a saber: ser "revolucionario", introduciendo ideas completamente nuevas; ser "reaccionario", no introduciendo cambios; o ser revivalista, basándose en estilos del pasado. Argumentan que los arquitectos han evitado buscar inspiración en las matemáticas en épocas retrospectivas, lo que explicaría por qué en los períodos revivalistas, como la arquitectura neogótica en la Inglaterra del siglo XIX, la arquitectura tenía poca conexión con las matemáticas. Igualmente, señalan que en periodos reaccionarios como el manierismo italiano de alrededor de 1520 a 1580, o los movimientos barroco y palladiano del siglo XVII, las matemáticas apenas eran tenidas en consideración. En contraste, los movimientos revolucionarios de principios del siglo XX como el futurismo y el constructivismo rechazaron activamente las viejas ideas, adoptando las matemáticas como base conceptual y conduciendo a la arquitectura moderna. También hacia finales del siglo XX, los arquitectos se apoderaron rápidamente de la geometría fractal, al igual que de los teselados aperiódicos, para dotar a los edificios de recubrimientos atractivos.[4]​

Los arquitectos utilizan las matemáticas por varias razones, dejando de lado el empleo necesario de las matemáticas en la ingeniería de la edificación.[5]​ En primer lugar, utilizan la geometría porque define la forma espacial de un edificio.[6]​ En segundo lugar, utilizan las matemáticas para diseñar formas que puedan considerarse bellas o armoniosas.[7]​ Desde la época de los pitagóricos con su filosofía religiosa del número, los arquitectos[8]​ de la Grecia clásica, de la antigua Roma, del mundo islámico y del renacimiento italiano se preocuparon de dotar a sus realizaciones de un sentido de la proporción de acuerdo con aspectos matemáticos, estéticos y, a veces, según principios religiosos.[9]​[10]​[11]​[12]​ También pueden utilizar objetos matemáticos como teselados para decorar edificios,[13]​[14]​ y emplear las matemáticas en forma de modelos informáticos para cuantificar el efecto de elementos ambientales, tales como las cargas generadas por el viento en la estructura de edificios altos.[1]​

Estética secular

Antigua Roma

 
Plano de una casa griega, por Vitruvio

Vitruvio

Véanse también: Vitruvio, Módulo vitruviano y De architectura.
 
El interior del Panteón de Agripa, por Giovanni Pannini (1758)

Vitruvio, el influyente arquitecto de la antigua Roma, argumentó que el diseño de un edificio como un templo depende de dos cualidades, proporción y simetría. La proporción asegura que cada parte de un edificio se relacione armoniosamente con todas las demás. simetría, según Vitruvio, significa algo más cercano a modularidad que a simetría especular, ya que el concepto se relaciona con el ensamblaje de las partes (módulos) en relación con todo el edificio. En su Basílica de Fano, usa proporciones de números enteros pequeños, especialmente los números triangulares (1, ​​3, 6, 10, ...) para proporcionar a la estructura de la denominada modulación vitruviana.[16]​ Por lo tanto, la relación entre el ancho y el largo de la Basílica es 1:2; el pasillo que lo rodea es tan alto como ancho, 1: 1; las columnas tienen cinco pies de espesor y cincuenta pies de alto, 1:10.[9]​

 
Plano de la planta del Panteón

Vitruvio mencionó tres cualidades fundamentales de la arquitectura en su obra De architectura (c. 15 a.C.): firmeza, utilidad y belleza, sentencia que llegaría a convertirse en una frase famosa. Estos tres principios se pueden utilizar como categorías para clasificar las formas en que se emplean las matemáticas en la arquitectura. La firmeza abarca el uso de las matemáticas para garantizar que un edificio se mantenga en pie, de ahí las herramientas matemáticas utilizadas en el diseño y para cimentar la construcción, por ejemplo, para garantizar la estabilidad y el comportamiento de la estructura. La utilidad se deriva en parte de la aplicación efectiva de las matemáticas, razonando y analizando las relaciones espaciales y de otro tipo en un diseño. La belleza es un atributo del edificio resultante, producto de la incorporación de relaciones matemáticas en las proporciones del edificio; incluye cualidades estéticas, sensitivas e intelectuales.[17]​

El Panteón

Artículo principal: Panteón de Agripa

El Panteón de Roma ha sobrevivido intacto, ilustrando la estructura, proporción y decoración romanas clásicas. La estructura principal es una cúpula, cuya coronación se dejó abierta como un óculo circular para dejar entrar la luz. Posee una corta columnata, rematada con un frontón triangular. La altura del óculo y el diámetro del círculo interior son los mismos, 43,3 metros (142,1 pies), por lo que todo el interior encajaría exactamente dentro de un cubo, y el interior podría albergar una esfera del mismo diámetro.[18]​ Estas dimensiones tienen más sentido cuando se expresan en medidas romanas antiguas: la cúpula alcanza 150 pies romanos de diámetro;[19]​ el óculo mide 30 pies romanos de diámetro; y la entrada tiene 40 pies romanos de altura.[20]​ El Panteón sigue siendo la cúpula de hormigón en masa más grande del mundo.[21]​

Renacimiento

Véase también: Arquitectura del Renacimiento
 
Fachada de la Basílica de Santa María Novella, Florencia, 1470. El friso (decorado con cuadrados) y la parte superior fueron proyectados por Leon Battista Alberti

El primer tratado renacentista de arquitectura, "De re aedificatoria" (Sobre el arte de la construcción) de Leon Battista Alberti, escrito en 1450, se convirtió en el primer libro impreso sobre arquitectura en 1485. Se basó en parte en el "De architectura" de Vitruvio y, a través de Nicómano, en la aritmética pitagórica. Alberti comienza con un cubo, del que deduce diversas proporciones. Así, la diagonal de una cara da la razón 1:√2, mientras que el diámetro de la esfera que circunscribe el cubo da 1:√3.[22]​[23]​ También documentó el descubrimiento de Filippo Brunelleschi de la perspectiva, desarrollado para permitir el diseño de edificios que se verían bellamente proporcionados cuando se observaban desde una distancia adecuada.[12]​

 
Perspectiva arquitectónica de un escenario, ambientado por Sebastiano Serlio (1569)[24]​

El siguiente texto importante fue el "Regole generali d'architettura" (Reglas generales de arquitectura) de Sebastiano Serlio; el primer volumen apareció en Venecia en 1537; el volumen de 1545 (libros 1 y 2) cubría la geometría y la perspectiva. Dos de los métodos de Serlio para construir perspectivas eran incorrectos, pero esto no impidió que su trabajo fuera ampliamente utilizado.[25]​

 
Planta y alzado de la Villa Pisani, obra de Andrea Palladio

En 1570, Andrea Palladio publicó el influyente "I quattro libri dell'architettura" (Los cuatro libros de arquitectura) en Venecia. Este libro ampliamente impreso fue en gran parte responsable de difundir las ideas del renacimiento italiano por toda Europa, con la ayuda de algunos seguidores como el diplomático inglés Henry Wotton, con su texto de 1624 titulado "The Elements of Architecture" (Los elementos de la arquitectura).[26]​ Las proporciones de cada habitación dentro de la villa se calcularon en proporciones matemáticas simples como 3:4 y 4:5, y las diferentes habitaciones dentro de la casa estaban interrelacionadas por estas proporciones. Los arquitectos anteriores habían utilizado estas fórmulas para equilibrar la fachada principal; sin embargo, los diseños de Palladio se relacionaban con toda la villa, generalmente cuadrada.[27]​ Palladio permitió un rango de proporciones en el Quattro libri , indicando que:[28]​[29]​

Hay siete tipos de estancias que son las más bellas y bien proporcionadas y resultan mejor: se pueden hacer circulares, aunque son raras; o cuadradas; o con su longitud igual a la diagonal del cuadrado de la anchura; o un cuadrado y un tercio; o un cuadrado y medio; o un cuadrado y dos tercios; o dos cuadrados.[30]​

En 1615, Vincenzo Scamozzi publicó el tratado del renacimiento tardío titulado "L'idea dell'architettura universale" (La idea de una arquitectura universal).[31]​ Scamozzi ntentó relacionar el diseño de ciudades y edificios con las ideas de Vitruvio y los pitagóricos, y con las ideas más recientes de Palladio.[32]​

Siglo XIX

Vladímir Shújov comenzó a utilizar hiperboloides a finales del siglo XIX, diseñando mástiles, faros y torres de refrigeración con esta forma. Su llamativa configuración es a la vez estéticamente interesante y fuerte, utilizando materiales estructurales de forma económica. La Torre Shújov en Polibino, su primera estructura hiperbólica, se exhibió en Nizhni Nóvgorod en 1896.[33]​[34]​[35]​

Siglo XX

Véanse también: Arquitectura moderna y Arquitectura contemporánea.
 
Planos deslizantes que se cruzan de la Casa Rietveld Schröder. Movimiento De Stijl, (1924)

El movimiento de principios del siglo XX denominado arquitectura moderna, presagiado[37]​ por el constructivismo ruso,[36]​ usó la geometría rectilínea euclídea (también llamada cartesiana). En el movimiento denominado De Stijl, lo horizontal y lo vertical se consideraron elementos universales. La forma arquitectónica consiste en unir estas dos tendencias direccionales, utilizando planos de techo, planos de pared y de balcones, que se deslizan o se cruzan, como en la Casa Schröder de Gerrit Rietveld (1924).[38]​

 
Amapola y salero (ejemplo de biomimesis), ilustración de la obra de Raoul Heinrich Francé titulada "Die Pflanze als Erfinder" (Las plantas como inventoras) (1920)

Los arquitectos modernistas tenían libertad para hacer uso de curvas y planos. La estación de Arnos Grove del Metro de Londres, proyectada por Charles Holden en 1933, posee un atrio de acceso circular de ladrillo, con un techo plano de hormigón.[39]​ En 1938, el pintor de la Escuela de la Bauhaus László Moholy-Nagy adoptó los siete elementos biotécnicos identificados por Raoul Heinrich Francé (el cristal, la esfera, el cono, el plano, la tira cuboidal, la varilla cilíndrica y la espiral), como los supuestos bloques de construcción básicos de la arquitectura inspirada en la naturaleza.[40]​[41]​

Le Corbusier propuso la antropometría como una relación de escala para establecer proporciones en arquitectura. Ideó el sistema denominado Modulor, basado en la altura estimada de un hombre.[42]​ La Capilla Notre Dame du Haut de 1955 de Le Corbusier utiliza curvas de forma libre, que no se pueden describir con fórmulas matemáticas.[45]​ Se dice que las curvas evocan formas naturales como la proa de un barco o las manos en oración.[46]​ La configuración solo se aplica a la escala más grande: no hay jerarquía de detalles a escalas más pequeñas y, por lo tanto, no se incorpora una dimensión fractal; lo mismo se aplica a otros edificios famosos del siglo XX, como la Ópera de Sídney, el Aeropuerto Internacional de Denver o el Museo Guggenheim Bilbao.[43]​

La arquitectura contemporánea, en opinión de los 90 arquitectos líderes que respondieron a la Encuesta de Arquitectura Mundial organizada por la revista Vanity Fair en 2010, es extremadamente diversa, siendo el Museo Guggenheim de Bilbao de Frank Gehry el edificio mejor valorado.[47]​

 
Las superficies mínimas de la cubierta laminar suspendida del Aeropuerto Internacional de Denver, completado en 1995, evoca las cumbres nevadas de Colorado y las tiendas de los pueblos nativos de Norteamérica, conocidas como tipis

El edificio de la terminal del Aeropuerto Internacional de Denver, terminado en 1995, tiene una cubierta laminar suspendida configurada como una superficie mínima (es decir, su curvatura media es cero) mediante cables de acero. Evoca las montañas nevadas de Colorado y las tiendas de campaña (tipis) de los nativos norteamericanos.[48]​[49]​

El arquitecto Richard Buckminster Fuller es famoso por diseñar estructuras laminares rígidas, conocidas como cúpulas geodésicas. El domo Biosphère de Montreal tiene una altura 61 metros (200,1 pies) y su diámetro es de 76 metros (249,3 pies).[50]​

El Teatro de la Ópera de Sídney posee un techo espectacular, que consta de elevadas bóvedas blancas, que recuerdan a las velas de los barcos. Para poder construirlas con componentes estandarizados, estaban compuestas por secciones triangulares de conchas esféricas con el mismo radio, diseñadas con curvatura uniforme en todas las direcciones.[51]​

El movimiento deconstructivista de finales del siglo XX crea un desorden deliberado mediante lo que Nikos Salingaros denomina formas aleatorias en su libro A Theory of Architecture,[52]​ empleando formas de alta complejidad,[53]​ paredes no paralelas, rejillas superpuestas y superficies 2-D complejas, como en el Walt Disney Concert Hall de Frank Gehry y el Museo Guggenheim de Bilbao.[54]​[55]​ Hasta finales del siglo XX, los estudiantes de arquitectura estaban obligados a tener una considerable base matemática. Salingaros sostiene que, primero el modernismo "excesivamente simplista y políticamente impulsado" y luego el deconstructivismo "anticientífico", han supuesto en la práctica la separación de la arquitectura y de las matemáticas. Opina que esta "renuncia a los valores matemáticos" es dañina, ya que la "estética generalizada" de la arquitectura no matemática acostumbra a las personas "a rechazar la estructuración matemática en el entorno construido"; y argumenta que esta situación implica efectos negativos en la sociedad.[43]​

Principios religiosos

Antiguo Egipto

Véase también: Razón dorada
 
La razón (base:hipotenusa) (b:a) de pirámides como la Gran Pirámide de Guiza, suele ser: 1:φ (triángulo de Kepler); 3:5 (triángulo 3:4:5); o 1:4/π

Las pirámides del antiguo Egipto son monumentos funerarios construidos con proporciones matemáticas, pero se debate cuáles fueron y si se utilizó el teorema de Pitágoras. La relación entre la altura inclinada y la mitad de la longitud de la base de la Gran Pirámide de Guiza difiere aproximadamente el 1% con respecto al número áureo.[56]​ Si este fuera el método de diseño, implicaría el uso del triángulo de Kepler (ángulo de la cara 51° 49'),[56]​[57]​ pero según muchos historiadores de la ciencia, la proporción áurea no se conocía hasta la época de los pitagóricos.[58]​ La Gran Pirámide también puede haberse basado en un triángulo con una relación de base a hipotenusa de 1:4/π (ángulo de la cara 51° 50').[59]​

Las proporciones de algunas pirámides también pueden haberse basado en el triángulo 3:4:5 (ángulo de la cara 53° 8'), conocido por el papiro de Ahmes (c. 1650-1550 a.C.). Esta posibilidad fue conjeturada por primera vez por el historiador Moritz Cantor en 1882.[60]​ Se sabe que los ángulos rectos se trazaron con precisión en el antiguo Egipto utilizando cuerdas con nudos para medir,[60]​ lo que Plutarco registró en su obra Isis y Osiris (c. 100 d.C.), donde indica que los egipcios admiraban el triángulo 3:4:5.[60]​ Además, un pergamino de antes del 1700 a.C. incluye fórmulas básicas de sumas de cuadrados.[61]​[62]​ El historiador Roger L. Cooke observa que "Es difícil imaginar a alguien interesado en tales condiciones sin conocer el teorema de Pitágoras", pero también señala que ningún texto egipcio anterior al 300 a.C. menciona en realidad el uso del teorema para encontrar la longitud de los lados de un triángulo, y que hay formas más sencillas de construir un ángulo recto. Cooke concluye que la conjetura de Cantor sigue siendo incierta; él supone que los antiguos egipcios probablemente conocían el teorema de Pitágoras, pero "no hay evidencia de que lo usaran para construir ángulos rectos".[60]​

India antigua

Véanse también: Arquitectura de la India y Vastu shastra.
 
Gopuram del Templo Virupaksha, una construcción hindú que posee una configuración de aspecto fractal, en la que las partes se asemejan a la totalidad de la obra

Los vastu shastra, los antiguos cánones indios de arquitectura y planificación urbana, emplean dibujos simétricos llamados mandalas. Para llegar a las dimensiones de un edificio y de sus componentes, se utilizan cálculos complejos, y los diseños están destinados a integrar la arquitectura con la naturaleza, de forma que las funciones relativas de varias partes de la estructura se relacionan con creencias tradicionales que implican el uso de determinados patrones geométricos (yantra), condiciones de simetría y de orientación direccional.[63]​[64]​ Sin embargo, los primeros constructores pudieron haber encontrado proporciones matemáticas por accidente. El matemático Georges Ifrah señala que se pueden usar "trucos" simples con cuerdas y estacas para diseñar formas geométricas, como elipses y ángulos rectos.[12]​[65]​

 
Plano del Templo de Meenakshi Amman, Madurai, siglo VII. Las cuatro puertas de enlace (numeradas I-IV) son elevadas gopurams (torres ornamentales)

Las matemáticas de los fractales se han utilizado para demostrar que la razón por la que los edificios existentes tienen un atractivo universal y son visualmente satisfactorios es porque brindan al espectador una sensación de escala a diferentes distancias de visión. Por ejemplo, en las altas torres denominadas gopurams que dan entrada a los templos hindúes, como el Templo Virupaksha de Hampi construido en el siglo VII, y otros como el Templo Kandariya Mahadev en Khajuraho, las partes y el todo tienen el mismo carácter, con dimensión fractal en el rango de 1,7 a 1,8. El grupo de torres más pequeñas ("shikhara", literalmente "montaña") alrededor de la torre central más alta que representa el santo monte Kailash, morada del Señor Shiva, representa la repetición interminable de universos en la cosmología hinduista.[2]​[66]​ El erudito en estudios religiosos William J. Jackson, comentó lo siguiente sobre el patrón de torres agrupadas entre torres más pequeñas, agrupadas entre torres aún más pequeñas:

La forma ideal elegantemente elaborada sugiere los infinitos niveles ascendentes de existencia y conciencia, tamaños en expansión que se elevan hacia la trascendencia, y al mismo tiempo albergan lo sagrado en lo profundo.[66]​[67]​

El Templo de Meenakshi Amman es un gran complejo con múltiples santuarios, con las calles de Madurai dispuestas concéntricamente a su alrededor de acuerdo con los shastras. Las cuatro puertas de entrada son torres altas (gopurams) con una estructura repetitiva de tipo fractal, como en Hampi. Los recintos alrededor de cada santuario son rectangulares y están rodeados por altos muros de piedra.[68]​

Antigua Grecia

Véanse también: Arquitectura en la Antigua Grecia, Número áureo, Pitagóricos y Geometría euclidiana.
 
El Partenón se diseñó usando proporciones pitagóricas

Pitágoras (c. 569-475 a.C.) y sus seguidores, los pitagóricos, sostenían que "todas las cosas son números". Observaron las armonías producidas por notas musicales con proporciones de frecuencia específicas relacionadas con números enteros pequeños, y argumentaron que los edificios también deberían diseñarse con tales proporciones. La palabra griega simetría denotaba originalmente la armonía de las formas arquitectónicas en proporciones precisas, que abarcaba desde los detalles más pequeños de un edificio hasta su diseño completo.[12]​

El Partenón mide 69,5 metros (228 pies) de largo, 30,9 metros (101,4 pies) de ancho y 13,7 metros (44,9 pies) de alto hasta la cornisa. Esto da una relación de ancho a largo de 4:9, y lo mismo para el alto con respecto al ancho. Poniendo estas tres relaciones seguidas, se tiene que altura:ancho:largo están en las proporciones 16:36:81, o para deleite[69]​ de los pitagóricos 42:62:92, lo que implica un módulo de 0.858 m. Un rectángulo de proporción 4:9 se puede construir como tres rectángulos contiguos con lados en una proporción de 3:4. Cada medio rectángulo es entonces un triángulo rectángulo de lados en proporción 3:4:5, que permite comprobar los ángulos y los lados con una cuerda debidamente anudada. El área interior (naos) tiene igualmente proporciones de 4:9 (21,44 metros (70,3 pies) de ancho por 48,3 m de largo); la relación entre el diámetro de las columnas exteriores, 1,905 metros (6,3 pies), y el espaciado de sus centros, 4,293 metros (14,1 pies), también es de 4:9.[12]​

 
Planta del Partenón

El Partenón es considerado por autores como John Julius Norwich "el templo dórico más perfecto jamás construido".[70]​ Sus elaborados refinamientos arquitectónicos incluyen "una correspondencia sutil entre la curvatura del estilobato, el ahusamiento de las paredesde la naos y la entasis de las columnas".[70]​ El término éntasis se refiere a la sutil disminución del diámetro de las columnas a medida que se elevan. El estilobato es la plataforma sobre la que se apoyan las columnas. Como en otros templos griegos clásicos,[71]​ la plataforma tiene una ligera curvatura parabólica hacia arriba para evacuar el agua de lluvia y reforzar el edificio contra terremotos. Por lo tanto, podría suponerse que las columnas se inclinan hacia afuera, pero en realidad se inclinan ligeramente hacia adentro, de modo que si se prolongaran, se encontrarían aproximadamente a un kilómetro y medio por encima del centro del edificio; dado que todas las columnas tienen la misma altura, la curvatura del borde del estilobato exterior se transmite al arquitrabe y al techo superior: "todos siguen la regla de estar construidos con curvas delicadas".[72]​

La proporción áurea se conoció en el 300 a.C., cuando Euclides describió el método de su construcción geométrica.[73]​ Se ha argumentado que la proporción áurea se utilizó en el diseño del Partenón y otros edificios griegos antiguos, así como en esculturas, pinturas y jarrones.[74]​ Autores más recientes como Nikos Salingaros, sin embargo, dudan de todas estas afirmaciones.[75]​ Los experimentos del científico informático George Markowsky no lograron encontrar ninguna preferencia por el rectángulo áureo.[76]​

Arquitectura islámica

Véanse también: Arquitectura islámica y Número dorado.
 
Mezquita de Selim, 1569-1575

El historiador del arte islámico Antonio Fernández-Puertas sugiere que la Alhambra, al igual que la Mezquita-catedral de Córdoba,[77]​ fue diseñada usando el pie andalusí o codo de aproximadamente 0,62 metros (2 pies). En el Patio de los Leones del palacio, las proporciones siguen una serie de surd (raíces cuadradas). Un rectángulo de lados 1  y √2 tiene (por el teorema de Pitágoras) una diagonal de √3, que describe el triángulo rectángulo formado por los lados del patio; esta serie continúa con √4 (dando una proporción de 1:2), √5 y así sucesivamente. Los patrones decorativos tienen proporciones similares, √2 genera cuadrados dentro de círculos y estrellas de ocho puntas, √3 genera estrellas de seis puntas. No hay evidencia que respalde afirmaciones anteriores de que la proporción áurea se usó en la Alhambra.[10]​[78]​ El Patio de los Leones está delimitado por el Salón de las Dos Hermanas y el Salón de los Abencerrajes. Se puede dibujar un hexágono regular desde los centros de estos dos salones y las cuatro esquinas interiores del Patio de los Leones.[79]​

La Mezquita de Selim en Edirne, Turquía, fue construido por Sinan para proporcionar un espacio donde el mihrab pudiera verse desde cualquier lugar dentro del edificio. El gran espacio central está dispuesto, en consecuencia, como un octágono, formado por ocho pilares enormes y coronado por una cúpula circular de 31,25 metros (102,5 pies) de diámetro y 43 metros (141,1 pies) de altura. El octágono se forma en un cuadrado con cuatro semicúpulas, y externamente por cuatro minaretes excepcionalmente altos, 83 metros (272,3 pies) de altura. La planta del edificio es, por tanto, un círculo, dentro de un octágono, dentro de un cuadrado.[80]​

Arquitectura mogol

Artículos principales: Arquitectura mogola, Fatehpur Sikri y Taj Mahal.
 
El Taj Mahal y sus jardines, en la ciudad india de Agra

La arquitectura mogola, como se ve en la ciudad imperial abandonada de Fatehpur Sikri y en el complejo del Taj Mahal, tiene un orden matemático distintivo y una estética fuertemente basada en la simetría y la armonía.[11]​[81]​

El Taj Mahal ejemplifica la arquitectura mogola, tanto representando el paraíso[82]​ como mostrando el poder del emperador mogol Sha Jahan a través de su escala, simetría y suntuosa decoración. El mármol blanco del mausoleo, decorado con piedras semipreciosas, la gran puerta (Darwaza-i rauza), otros edificios, los jardines y los caminos, juntos forman un diseño jerárquico unificado. Los edificios incluyen una mezquita en piedra arenisca roja en el oeste, y un edificio casi idéntico, el Jawab o 'respuesta' en el este para mantener la simetría bilateral del complejo. El chahar bagh ('jardín cuádruple') se divide en cuatro partes, simbolizando los cuatro ríos del paraíso y ofreciendo vistas y reflejos del mausoleo, y a su vez se dividen en 16 parterres.[83]​

 
Plano del complejo del Taj Mahal. La gran puerta está a la derecha, el mausoleo en el centro, delimitado por la mezquita (abajo) y el jawab. La planta incluye cuadrados y octógonos

El complejo del Taj Mahal se dispuso en una cuadrícula, subdividida en cuadrículas más pequeñas. Los historiadores de la arquitectura Koch y Barraud están de acuerdo con los relatos tradicionales que dan el ancho del complejo como de 374 yardas mogoles o gaz,[84]​ estando el área principal compuesta por tres cuadrados de 374 gaz de lado. Cada uno se subdividió en áreas como el bazar y el caravasar en módulos de 17 gaz; el jardín y las terrazas están en módulos de 23 gaz y tienen 368 gaz de ancho (16x23). El mausoleo, la mezquita y la casa de huéspedes se distribuyen en una cuadrícula de 7 gaz. Koch y Barraud observan que si a un octágono, usado repetidamente en el complejo, se le dan lados de 7 unidades, entonces tiene un ancho de 17 unidades,[85]​ lo que puede ayudar a explicar la elección de las proporciones en el complejo.[86]​

Arquitectura cristiana

Véase también: Arquitectura de iglesias

La basílica de Santa Sofía en Bizancio (ahora Estambul) se construyó en 537 como sede del patriarca de Constantinopla. Reconstruida dos veces, ostentó durante más de mil años el título de ser el mayor templo cristiano jamás construido.[87]​ Inspiró muchos edificios posteriores, incluida la Mezquita Azul y otras mezquitas de la ciudad del Bósforo. La distribución de su arquitectura bizantina original incluye una nave coronada por una cúpula circular y dos semicúpulas, todas del mismo diámetro (31 metros (101,7 pies)), con otras cinco semicúpulas más pequeñas que forman un ábside y cuatro esquinas redondeadas que delimitan un vasto interior rectangular.[88]​ Esta configuración fue interpretada por los arquitectos medievales como una representación del mundo terrenal en la parte de abajo (la base cuadrada) y los cielos divinos situados arriba (la elevada cúpula esférica).[89]​ El emperador Justiniano contó como arquitectos con dos geómetras, Isidoro de Mileto y Antemio de Trales. Isidoro había compilado las obras de Arquímedes sobre geometría del espacio, recibiendo la influencia del matemático griego.[12]​[90]​

 
Santa Sofía, Estambul
a) Plano de la galería (mitad superior)
b) Plano de la planta (mitad inferior)
 
La bóveda de la nave de Santa Sofía, Estambul (año 562)

La importancia en el cristianismo del agua en el rito bautismal se reflejó en la escala de la arquitectura de los baptisterios. El más antiguo, el Baptisterio de Letrán de Roma, construido en 440,[91]​ marcó la tendencia de diseñar edificios octogonales. De hecho, la pila bautismal situada dentro de estos edificios era a menudo octogonal, aunque en el Baptisterio de Pisa, el más grande de Italia (construido entre 1152 y 1363), es circular, aunque posee una fuente octogonal. Mide 54,86 metros (180 pies) de alto, con un diámetro de 34,13 metros (112 pies) (una proporción de 8:5).[92]​ Ambrosio de Milán escribió que las pilas y los baptisterios eran octogonales "porque al octavo día,[94]​ al resucitar, Cristo acaba con la esclavitud de la muerte y recibe a los muertos de sus tumbas".[93]​[95]​

San Agustín describió de manera similar el octavo día como "eterno ... santificado por la resurrección de Cristo".[95]​[96]​ El Baptisterio de San Juan (Florencia) (construido entre 1059 y 1128) también es octogonal. Es uno de los edificios más antiguos de la ciudad, y uno de los últimos en la tradición directa de la antigüedad clásica. Llegó a convertirse en un ejemplo extremadamente influyente en el Renacimiento florentino posterior, ya que los principales arquitectos, incluidos Francesco Talenti, Alberti y Brunelleschi, lo utilizaron como modelo de arquitectura clásica.[97]​

El número cinco se usa "exuberantemente"[98]​ en la Iglesia de peregrinación de San Juan Nepomuceno en Zelená (construida en 1721), cerca de Žďár nad Sázavou en la República Checa, diseñada por Jan Blažej Santini Aichel. La nave es circular, rodeada por cinco pares de columnas y cinco cúpulas ovaladas que se alternan con ábsides ojivales. Además, la iglesia tiene cinco puertas, cinco capillas, cinco altares y cinco estrellas; una leyenda afirma que cuando Juan Nepomuceno fue martirizado, cinco estrellas aparecieron sobre su cabeza.[98]​[99]​ La repetición de grupos de cinco elementos también puede simbolizar las cinco llagas de Jesucristo y las cinco letras de "Tacui" (en latín: "Guardé silencio" [sobre los secretos del confesonario]).[100]​

Antoni Gaudí utilizó una amplia variedad de estructuras geométricas, algunas de las cuales eran superficies mínimas, en el Templo Expiatorio de la Sagrada Familia, Barcelona, que comenzó en 1882 y no se completó hasta el siglo XXI. Entre estas superficies se incluyen paraboloides hiperbólicos e hiperboloides de revolución, teselados[101]​, arcos catenarios, catenoides, helicoides y superficies regladas. Esta variada mezcla de geometrías se combina creativamente de diferentes formas en la iglesia. Por ejemplo, en la Fachada de la Pasión de la Sagrada Familia, Gaudí ensambló "ramas" de piedra en forma de paraboloides hiperbólicos, que se superponen en sus puntas (directrices) sin, por tanto, encontrarse en un punto. En contraste, en la columnata hay superficies paraboloidales hiperbólicas que se unen suavemente a otras estructuras para formar superficies ilimitadas. Además, Gaudí se valió de patrones naturales, en sí mismo matemáticos, con columnas con diseños derivados de las formas de los árboles, y dinteles de basalto sin modificar, naturalmente agrietados (por enfriamiento de la roca fundida) en columnas exagonales.[102]​[103]​[104]​

El 1971 se inauguró la Catedral de Santa María de la Asunción de San Francisco, que tiene una cubierta compuesta por ocho segmentos de paraboloide hiperbólico, dispuestos de manera que la sección transversal horizontal inferior del techo es un cuadrado y la sección transversal superior es una cruz cristiana. El edificio es un cuadrado de 77,7 metros (254,9 pies) de lado, con una altura de 57,9 metros (190 pies) de alto.[105]​ La Catedral de Brasilia, erigida en 1970 por Oscar Niemeyer, hace un uso diferente de una estructura en forma de hiperboloide: está construida mediante 16 vigas de hormigón idénticas, cada una con un peso de 90 toneladas, dispuestas en un círculo para formar un hiperboloide de revolución. Las 16 vigas blancas recuerdan la forma de unas manos orando hacia el cielo. Solo la cúpula es visible desde el exterior: la mayor parte del edificio está bajo tierra.[106]​[107]​[108]​[109]​

Varias iglesias nórdicas medievales son redondas, incluidos cuatro en la isla danesa de Bornholm. Una de los más antiguas, la iglesia de Østerlars (c. 1160), posee una nave circular alrededor de una enorme columna circular de piedra, perforada con arcos y decorada con un fresco. La estructura circular tiene tres pisos y aparentemente fue fortificada, habiendo servido el suelo superior de estructura defensiva.[110]​ [111]​

 
Columna central de la iglesia de Østerlars en Bornholm, Dinamarca
 
Baptisterio de San Juan (Florencia), edificio octogonal completado en 1128
 
Simetría pentagonal: San Juan Nepomuceno en Zelená. Jan Santini (1721)

Decoración matemática

Decoración arquitectónica islámica

Artículo principal: Patrones geométricos islámicos

Los edificios islámicos a menudo están decorados con patrones geométricos, que generalmente utilizan varios teselados matemáticos, formados por baldosas de cerámica (denominadas zellige, y cuyo estilo se conoce como girih) que pueden ser lisas o decoradas con rayas.[12]​ Las simetrías, como las estrellas con seis, ocho o múltiplos de ocho puntas, se utilizan en los patrones de decoración islámicos. Algunos de estos se basan en el motivo del sello de 'Khatem Sulemani' o de Salomón, que es una estrella de ocho puntas formada por dos cuadrados, uno girado a 45 grados respecto al otro y con el mismo centro.[112]​ Los patrones islámicos explotan muchos de los 17 posibles grupos del papel pintado. Ya en 1944, Edith Müller demostró que la Alhambra hacía uso de 11 de estos grupos en sus decoraciones, mientras que en 1986 Branko Grünbaum afirmó haber encontrado hasta 13 grupos en la Alhambra, afirmando de manera controvertida que los cuatro grupos restantes (hasta un total de 17) no se encuentran en ninguna parte de la ornamentación islámica.[112]​

 
La compleja geometría y los mosaicos de la bóveda del mocárabe en la Mezquita del jeque Lotf Allah, Isfahán, 1603–1619
 
El Louvre Abu Dabi en construcción (2015). Su cúpula está construida con capas formadas por estrellas hechas con octágonos, triángulos y cuadrados

Decoración arquitectónica moderna

Véanse también: Ornamento y Arquitectura contemporánea.

Hacia finales del siglo XX, los arquitectos recurrieron a nuevas construcciones matemáticas como la geometría fractal y el mosaico aperiódico con el fin de obtener revestimientos novedosos y atractivos para sus edificios.[4]​ En 1913, el arquitecto modernista Adolf Loos había declarado que "El ornamento es un crimen", influyendo[113]​ en el pensamiento arquitectónico durante el resto del siglo XX. En el siglo XXI, los arquitectos están comenzando nuevamente a explorar el uso de la ornamentación, que se ha convertido en un elemento extremadamente diverso. El edificio Harpa, construido en Reikiavik en 2011 por Henning Larsen, incluye lo que parece una pared de cristal de roca compuesta a base de grandes bloques de vidrio.[113]​ Un edificio de Londres, el Ravensbourne College de la firma Foreign Office Architects (2010), está teselado decorativamente con 28.000 baldosas de aluminio anodizado en rojo, blanco y marrón, dejando paso a ventanas circulares entrelazadas de diferentes tamaños. La teselación utiliza tres tipos de mosaicos, un triángulo equilátero y dos pentágonos irregulares.[114]​[115]​[116]​ La Biblioteca Umimirai de Kanazawa, proyectada por Kazumi Kudo, crea una rejilla decorativa hecha de pequeños bloques circulares de vidrio colocados sobre paredes de hormigón liso.[113]​

 
Ravensbourne College, Londres
(2010)
 
Museo Soumaya,
México (2011)

Fortificaciones

Europa

Véase también: Traza italiana

La arquitectura de las fortificaciones evolucionó desde el castillo medieval (defendido por altos muros de mampostería), al concepto de la denominada traza italiana (concebida a base de fosos y de muros bajos y simétricos, capaces de resistir el bombardeo de artillería), idea desarrollada entre mediados del siglo XV y el siglo XIX. La geometría de las formas en estrella fue dictada por la necesidad de evitar zonas muertas donde la infantería atacante pudiera protegerse del fuego defensivo; los lados de los puntos salientes estaban en ángulo para permitir que dicho fuego barriera el suelo y proporcionara fuego cruzado (desde ambos lados) más allá de cada punto saliente. Entre los conocidos arquitectos que en algún momento diseñaron tales defensas se encuentran Miguel Ángel, Baldassarre Peruzzi, Vincenzo Scamozzi y Vauban.[117]​[118]​

El historiador de la arquitectura Sigfried Giedion argumentó que la fortificación en forma de estrella tuvo una influencia formativa en el patrón renacentista de la ciudad ideal: "El Renacimiento quedó hipnotizado por un tipo de ciudad que durante un siglo y medio, desde Filarete hasta Scamozzi, quedó grabado en todos los esquemas utópicos: este esquema es la ciudad en forma de estrella ".[119]​

 
Plano de la fortificación de Coevorden. Siglo XVII
 
Palmanova, una ciudad veneciana con traza italiana. Siglo XVII

China

En la arquitectura china, los tulou de Fujian, con algunos ejemplos que datan del siglo XVI, son estructuras defensivas comunales circulares con muros lisos y una sola puerta de madera chapada en hierro. Los muros se rematan con tejados que se inclinan suavemente tanto hacia el exterior como hacia el interior, formando un anillo. El centro del círculo es un patio adoquinado abierto, a menudo con un pozo, rodeado de galerías de madera de hasta cinco pisos de altura.[120]​

Modelos medioambientales

 
Un yakhchal en Yazd, Irán

Los arquitectos también pueden seleccionar la forma de un edificio para satisfacer algunos objetivos ambientales.[98]​ Por ejemplo, Foster and Partners diseñaron el rascacielos localizado en el 30 St Mary Axe de Londres, conocido como "The Gherkin" (El Pepinillo) por su forma similar a un pepino. El edificio es un sólido de revolución concebido mediante diseño paramétrico. Su geometría no se eligió solamente por razones puramente estéticas, sino también para minimizar las corrientes de aire de los remolinos que podrían formarse en su base. A pesar de la superficie aparentemente curva del edificio, todos los paneles de vidrio que forman su recubrimiento son planos, excepto la cubierta de la parte superior. La mayoría de los paneles son cuadriláteros, ya que se pueden obtener a partir de vidrios rectangulares con menos desperdicio que los paneles triangulares.[1]​

El tradicional yakhchal (pozo de hielo) de Persia funciona como un sistema de refrigeración por evaporación. Sobre el suelo, la estructura tiene forma de cúpula, pero dispone de un espacio de almacenamiento subterráneo para el hielo y, a veces, también para la comida. El espacio subterráneo y la construcción gruesa resistente al calor aíslan el espacio de almacenamiento durante todo el año. El espacio interno a menudo se enfría aún más mediante la captación de viento. El hielo estaba disponible en verano para elaborar el postre helado conocido como faloodeh.[121]​

Véase también

Referencias

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Enlaces externos

  • Nexus Network Journal: Arquitectura y matemáticas en línea
  • La Sociedad Internacional de Artes, Matemáticas y Arquitectura
  • Dartmouth College: geometría en arte y arquitectura
  •   Datos: Q3535118

Agosto 25, 2021
matemáticas, arquitectura, están, relacionadas, arquitectos, igual, otros, artistas, sirven, matemáticas, actividad, varias, razones, además, matemáticas, necesarias, para, cálculo, diseño, estructural, futura, construcción, trabajo, está, íntimamente, relacio. Matematicas y arquitectura estan relacionadas ya que los arquitectos al igual que otros artistas se sirven de las matematicas en su actividad por varias razones ademas de las matematicas necesarias para el calculo y el diseno estructural de la futura construccion su trabajo esta intimamente relacionado con la geometria que se requiere para definir la forma espacial de un edificio Ya desde la epoca de los pitagoricos siglo VI a C se consideraba que para crear formas armoniosas de los edificios y de su entorno se debia recurrir a principios matematicos tanto por planteamientos esteticos como en ocasiones religiosos Tambien ha sido habitual decorar edificios con motivos geometricos incluyendo todo tipo de teselados Otro aspecto importante es la vinculacion con el diseno arquitectonico de los calculos precisos para optimizar la estructura de un edificio ajustando las dimensiones de sus elementos constructivos vigas pilares arcos bovedas cupulas voladizos muros a las distintas cargas que debera soportar la edificacion peso propio cargas y sobrecargas de uso efectos del viento y de la nieve seismos dilataciones termicas de acuerdo con las caracteristicas mecanicas de los materiales a utilizar madera silleria mamposteria ladrillos cal cemento hormigon hormigon armado hormigon pretensado hierro acero vidrio The Gherkin 1 30 St Mary Axe Londres completado en 2003 es un solido de revolucion disenado parametricamente Templo Kandariya Mahadev c 1030 Khajuraho India es un ejemplo de arquitectura religiosa con una estructura similar a un fractal que tiene muchas partes que se asemejan al todo 2 En el antiguo Egipto en la Grecia clasica en la India y en el mundo islamico edificaciones como las piramides distintos templos mezquitas palacios y mausoleos se disenaron con proporciones especificas por razones religiosas En la arquitectura islamica las formas geometricas y especialmente los patrones de los azulejos se utilizan para decorar edificios tanto por dentro como por fuera Algunos templos hindues tienen una estructura similar a la de un fractal en el que los detalles de un edificio se asemejan a la construccion completa transmitiendo el mensaje sobre el infinito propio de la cosmologia hinduista En la arquitectura china los tulou de Fujian son estructuras defensivas comunales circulares En el siglo XXI la ornamentacion basada en patrones matematicos se esta utilizando nuevamente para decorar edificios publicos En la arquitectura del Renacimiento la simetria y la proporcion fueron enfatizadas deliberadamente por arquitectos como Leon Battista Alberti Sebastiano Serlio y Andrea Palladio influidos por el tratado De architectura de Vitruvio originario de la antigua Roma y por la aritmetica de los pitagoricos de la antigua Grecia A finales del siglo XIX Vladimir Shujov en Rusia y Antoni Gaudi en Barcelona fueron pioneros en el uso de estructuras con forma de hiperboloide En el Templo Expiatorio de la Sagrada Familia su obra mas conocida Gaudi tambien incorporo paraboloides hiperbolicos teselados arcos catenarios catenoides helicoides y distintas superficies regladas En el siglo XX estilos como la arquitectura moderna y el deconstructivismo exploraron diferentes geometrias para lograr los efectos deseados Las superficie minimas se han explotado en cubiertas con forma de carpa como en el Aeropuerto Internacional de Denver mientras que Richard Buckminster Fuller fue pionero en el uso de las resistentes estructuras laminares conocidas como cupulas geodesicas Indice 1 Campos relacionados 2 Estetica secular 2 1 Antigua Roma 2 1 1 Vitruvio 2 1 2 El Panteon 2 2 Renacimiento 2 3 Siglo XIX 2 4 Siglo XX 3 Principios religiosos 3 1 Antiguo Egipto 3 2 India antigua 3 3 Antigua Grecia 3 4 Arquitectura islamica 3 5 Arquitectura mogol 3 6 Arquitectura cristiana 4 Decoracion matematica 4 1 Decoracion arquitectonica islamica 4 2 Decoracion arquitectonica moderna 5 Fortificaciones 5 1 Europa 5 2 China 6 Modelos medioambientales 7 Vease tambien 8 Referencias 9 Enlaces externosCampos relacionados Editar En el Renacimiento se esperaba que un arquitecto como Leon Battista Alberti tuviera conocimientos en distintas disciplinas incluyendo aritmetica y geometria Los arquitectos Michael Ostwald y Kim Williams considerando las relaciones entre arquitectura y matematicas senalan que ambos campos como comunmente se entienden pueden parecer estar conectados debilmente ya que la arquitectura es una profesion que se ocupa de la cuestion practica de disenar y construir edificios mientras que las matematicas son el estudio puro de los numeros y otros objetos abstractos Sin embargo argumentan ambas disciplinas estan fuertemente conectadas y lo han estado desde la antiguedad clasica En la anigua Roma Vitruvio describio a un arquitecto como un hombre que conocia lo suficiente de una variedad de otras disciplinas principalmente geometria para permitirle supervisar a los artesanos expertos en todas las demas areas necesarias como albaniles y carpinteros Lo mismo se aplico en la Edad Media cuando los arquitectos formados en las universidades aprendian aritmetica geometria y estetica junto con el programa basico de gramatica logica y retorica las artes liberales en elegantes aulas construidas por maestros constructores que habian guiado a muchos artesanos Un maestro de obras en la cima de su profesion recibia el titulo de arquitecto o ingeniero En el Renacimiento las artes liberales aritmetica geometria musica y astronomia se convirtio en un programa extra propio de polimatas como Leon Battista Alberti De manera similar en Inglaterra Sir Christopher Wren conocido hoy como arquitecto fue en primer lugar un destacado astronomo 3 Williams y Ostwald al revisar la interaccion entre las matematicas y la arquitectura desde 1500 segun el enfoque del sociologo aleman Theodor Adorno identifican tres tendencias entre los arquitectos a saber ser revolucionario introduciendo ideas completamente nuevas ser reaccionario no introduciendo cambios o ser revivalista basandose en estilos del pasado Argumentan que los arquitectos han evitado buscar inspiracion en las matematicas en epocas retrospectivas lo que explicaria por que en los periodos revivalistas como la arquitectura neogotica en la Inglaterra del siglo XIX la arquitectura tenia poca conexion con las matematicas Igualmente senalan que en periodos reaccionarios como el manierismo italiano de alrededor de 1520 a 1580 o los movimientos barroco y palladiano del siglo XVII las matematicas apenas eran tenidas en consideracion En contraste los movimientos revolucionarios de principios del siglo XX como el futurismo y el constructivismo rechazaron activamente las viejas ideas adoptando las matematicas como base conceptual y conduciendo a la arquitectura moderna Tambien hacia finales del siglo XX los arquitectos se apoderaron rapidamente de la geometria fractal al igual que de los teselados aperiodicos para dotar a los edificios de recubrimientos atractivos 4 Los arquitectos utilizan las matematicas por varias razones dejando de lado el empleo necesario de las matematicas en la ingenieria de la edificacion 5 En primer lugar utilizan la geometria porque define la forma espacial de un edificio 6 En segundo lugar utilizan las matematicas para disenar formas que puedan considerarse bellas o armoniosas 7 Desde la epoca de los pitagoricos con su filosofia religiosa del numero los arquitectos 8 de la Grecia clasica de la antigua Roma del mundo islamico y del renacimiento italiano se preocuparon de dotar a sus realizaciones de un sentido de la proporcion de acuerdo con aspectos matematicos esteticos y a veces segun principios religiosos 9 10 11 12 Tambien pueden utilizar objetos matematicos como teselados para decorar edificios 13 14 y emplear las matematicas en forma de modelos informaticos para cuantificar el efecto de elementos ambientales tales como las cargas generadas por el viento en la estructura de edificios altos 1 Estetica secular EditarAntigua Roma Editar Plano de una casa griega por Vitruvio Vitruvio Editar Veanse tambien Vitruvio Modulo vitruvianoy De architectura El interior del Panteon de Agripa por Giovanni Pannini 1758 Vitruvio el influyente arquitecto de la antigua Roma argumento que el diseno de un edificio como un templo depende de dos cualidades proporcion y simetria La proporcion asegura que cada parte de un edificio se relacione armoniosamente con todas las demas simetria segun Vitruvio significa algo mas cercano a modularidad que a simetria especular ya que el concepto se relaciona con el ensamblaje de las partes modulos en relacion con todo el edificio En su Basilica de Fano usa proporciones de numeros enteros pequenos especialmente los numeros triangulares 1 3 6 10 para proporcionar a la estructura de la denominada modulacion vitruviana 16 Por lo tanto la relacion entre el ancho y el largo de la Basilica es 1 2 el pasillo que lo rodea es tan alto como ancho 1 1 las columnas tienen cinco pies de espesor y cincuenta pies de alto 1 10 9 Plano de la planta del Panteon Vitruvio menciono tres cualidades fundamentales de la arquitectura en su obra De architectura c 15 a C firmeza utilidad y belleza sentencia que llegaria a convertirse en una frase famosa Estos tres principios se pueden utilizar como categorias para clasificar las formas en que se emplean las matematicas en la arquitectura La firmeza abarca el uso de las matematicas para garantizar que un edificio se mantenga en pie de ahi las herramientas matematicas utilizadas en el diseno y para cimentar la construccion por ejemplo para garantizar la estabilidad y el comportamiento de la estructura La utilidad se deriva en parte de la aplicacion efectiva de las matematicas razonando y analizando las relaciones espaciales y de otro tipo en un diseno La belleza es un atributo del edificio resultante producto de la incorporacion de relaciones matematicas en las proporciones del edificio incluye cualidades esteticas sensitivas e intelectuales 17 El Panteon Editar Articulo principal Panteon de Agripa El Panteon de Roma ha sobrevivido intacto ilustrando la estructura proporcion y decoracion romanas clasicas La estructura principal es una cupula cuya coronacion se dejo abierta como un oculo circular para dejar entrar la luz Posee una corta columnata rematada con un fronton triangular La altura del oculo y el diametro del circulo interior son los mismos 43 3 metros 142 1 pies por lo que todo el interior encajaria exactamente dentro de un cubo y el interior podria albergar una esfera del mismo diametro 18 Estas dimensiones tienen mas sentido cuando se expresan en medidas romanas antiguas la cupula alcanza 150 pies romanos de diametro 19 el oculo mide 30 pies romanos de diametro y la entrada tiene 40 pies romanos de altura 20 El Panteon sigue siendo la cupula de hormigon en masa mas grande del mundo 21 Renacimiento Editar Vease tambien Arquitectura del Renacimiento Fachada de la Basilica de Santa Maria Novella Florencia 1470 El friso decorado con cuadrados y la parte superior fueron proyectados por Leon Battista Alberti El primer tratado renacentista de arquitectura De re aedificatoria Sobre el arte de la construccion de Leon Battista Alberti escrito en 1450 se convirtio en el primer libro impreso sobre arquitectura en 1485 Se baso en parte en el De architectura de Vitruvio y a traves de Nicomano en la aritmetica pitagorica Alberti comienza con un cubo del que deduce diversas proporciones Asi la diagonal de una cara da la razon 1 2 mientras que el diametro de la esfera que circunscribe el cubo da 1 3 22 23 Tambien documento el descubrimiento de Filippo Brunelleschi de la perspectiva desarrollado para permitir el diseno de edificios que se verian bellamente proporcionados cuando se observaban desde una distancia adecuada 12 Perspectiva arquitectonica de un escenario ambientado por Sebastiano Serlio 1569 24 El siguiente texto importante fue el Regole generali d architettura Reglas generales de arquitectura de Sebastiano Serlio el primer volumen aparecio en Venecia en 1537 el volumen de 1545 libros 1 y 2 cubria la geometria y la perspectiva Dos de los metodos de Serlio para construir perspectivas eran incorrectos pero esto no impidio que su trabajo fuera ampliamente utilizado 25 Planta y alzado de la Villa Pisani obra de Andrea Palladio En 1570 Andrea Palladio publico el influyente I quattro libri dell architettura Los cuatro libros de arquitectura en Venecia Este libro ampliamente impreso fue en gran parte responsable de difundir las ideas del renacimiento italiano por toda Europa con la ayuda de algunos seguidores como el diplomatico ingles Henry Wotton con su texto de 1624 titulado The Elements of Architecture Los elementos de la arquitectura 26 Las proporciones de cada habitacion dentro de la villa se calcularon en proporciones matematicas simples como 3 4 y 4 5 y las diferentes habitaciones dentro de la casa estaban interrelacionadas por estas proporciones Los arquitectos anteriores habian utilizado estas formulas para equilibrar la fachada principal sin embargo los disenos de Palladio se relacionaban con toda la villa generalmente cuadrada 27 Palladio permitio un rango de proporciones en el Quattro libri indicando que 28 29 Hay siete tipos de estancias que son las mas bellas y bien proporcionadas y resultan mejor se pueden hacer circulares aunque son raras o cuadradas o con su longitud igual a la diagonal del cuadrado de la anchura o un cuadrado y un tercio o un cuadrado y medio o un cuadrado y dos tercios o dos cuadrados 30 En 1615 Vincenzo Scamozzi publico el tratado del renacimiento tardio titulado L idea dell architettura universale La idea de una arquitectura universal 31 Scamozzi ntento relacionar el diseno de ciudades y edificios con las ideas de Vitruvio y los pitagoricos y con las ideas mas recientes de Palladio 32 Siglo XIX Editar Reticula hiperbolica del faro de Adziogol proyectado por Vladimir Shujov Ucrania 1911 Vladimir Shujov comenzo a utilizar hiperboloides a finales del siglo XIX disenando mastiles faros y torres de refrigeracion con esta forma Su llamativa configuracion es a la vez esteticamente interesante y fuerte utilizando materiales estructurales de forma economica La Torre Shujov en Polibino su primera estructura hiperbolica se exhibio en Nizhni Novgorod en 1896 33 34 35 Siglo XX Editar Veanse tambien Arquitectura modernay Arquitectura contemporanea Planos deslizantes que se cruzan de la Casa Rietveld Schroder Movimiento De Stijl 1924 El movimiento de principios del siglo XX denominado arquitectura moderna presagiado 37 por el constructivismo ruso 36 uso la geometria rectilinea euclidea tambien llamada cartesiana En el movimiento denominado De Stijl lo horizontal y lo vertical se consideraron elementos universales La forma arquitectonica consiste en unir estas dos tendencias direccionales utilizando planos de techo planos de pared y de balcones que se deslizan o se cruzan como en la Casa Schroder de Gerrit Rietveld 1924 38 Amapola y salero ejemplo de biomimesis ilustracion de la obra de Raoul Heinrich France titulada Die Pflanze als Erfinder Las plantas como inventoras 1920 Los arquitectos modernistas tenian libertad para hacer uso de curvas y planos La estacion de Arnos Grove del Metro de Londres proyectada por Charles Holden en 1933 posee un atrio de acceso circular de ladrillo con un techo plano de hormigon 39 En 1938 el pintor de la Escuela de la Bauhaus Laszlo Moholy Nagy adopto los siete elementos biotecnicos identificados por Raoul Heinrich France el cristal la esfera el cono el plano la tira cuboidal la varilla cilindrica y la espiral como los supuestos bloques de construccion basicos de la arquitectura inspirada en la naturaleza 40 41 Le Corbusier propuso la antropometria como una relacion de escala para establecer proporciones en arquitectura Ideo el sistema denominado Modulor basado en la altura estimada de un hombre 42 La Capilla Notre Dame du Haut de 1955 de Le Corbusier utiliza curvas de forma libre que no se pueden describir con formulas matematicas 45 Se dice que las curvas evocan formas naturales como la proa de un barco o las manos en oracion 46 La configuracion solo se aplica a la escala mas grande no hay jerarquia de detalles a escalas mas pequenas y por lo tanto no se incorpora una dimension fractal lo mismo se aplica a otros edificios famosos del siglo XX como la opera de Sidney el Aeropuerto Internacional de Denver o el Museo Guggenheim Bilbao 43 La arquitectura contemporanea en opinion de los 90 arquitectos lideres que respondieron a la Encuesta de Arquitectura Mundial organizada por la revista Vanity Fair en 2010 es extremadamente diversa siendo el Museo Guggenheim de Bilbao de Frank Gehry el edificio mejor valorado 47 Las superficies minimas de la cubierta laminar suspendida del Aeropuerto Internacional de Denver completado en 1995 evoca las cumbres nevadas de Colorado y las tiendas de los pueblos nativos de Norteamerica conocidas como tipis El edificio de la terminal del Aeropuerto Internacional de Denver terminado en 1995 tiene una cubierta laminar suspendida configurada como una superficie minima es decir su curvatura media es cero mediante cables de acero Evoca las montanas nevadas de Colorado y las tiendas de campana tipis de los nativos norteamericanos 48 49 El arquitecto Richard Buckminster Fuller es famoso por disenar estructuras laminares rigidas conocidas como cupulas geodesicas El domo Biosphere de Montreal tiene una altura 61 metros 200 1 pies y su diametro es de 76 metros 249 3 pies 50 El Teatro de la opera de Sidney posee un techo espectacular que consta de elevadas bovedas blancas que recuerdan a las velas de los barcos Para poder construirlas con componentes estandarizados estaban compuestas por secciones triangulares de conchas esfericas con el mismo radio disenadas con curvatura uniforme en todas las direcciones 51 El movimiento deconstructivista de finales del siglo XX crea un desorden deliberado mediante lo que Nikos Salingaros denomina formas aleatorias en su libro A Theory of Architecture 52 empleando formas de alta complejidad 53 paredes no paralelas rejillas superpuestas y superficies 2 D complejas como en el Walt Disney Concert Hall de Frank Gehry y el Museo Guggenheim de Bilbao 54 55 Hasta finales del siglo XX los estudiantes de arquitectura estaban obligados a tener una considerable base matematica Salingaros sostiene que primero el modernismo excesivamente simplista y politicamente impulsado y luego el deconstructivismo anticientifico han supuesto en la practica la separacion de la arquitectura y de las matematicas Opina que esta renuncia a los valores matematicos es danina ya que la estetica generalizada de la arquitectura no matematica acostumbra a las personas a rechazar la estructuracion matematica en el entorno construido y argumenta que esta situacion implica efectos negativos en la sociedad 43 Nueva Objetividad de Walter Gropius La Bauhaus 1925 Cilindro de Charles Holden Estacion de Arnos Grove 1933 Modernismo Capilla Notre Dame du Haut de Le Corbusier 1955 Cupula geodesica Biosphere de Montreal de Richard Buckminster Fuller 1967 Curvatura uniforme opera de Sidney 1973 Deconstructivismo Walt Disney Concert Hall Los Angeles 2003Principios religiosos EditarAntiguo Egipto Editar Vease tambien Razon dorada La razon base hipotenusa b a de piramides como la Gran Piramide de Guiza suele ser 1 f triangulo de Kepler 3 5 triangulo 3 4 5 o 1 4 p Las piramides del antiguo Egipto son monumentos funerarios construidos con proporciones matematicas pero se debate cuales fueron y si se utilizo el teorema de Pitagoras La relacion entre la altura inclinada y la mitad de la longitud de la base de la Gran Piramide de Guiza difiere aproximadamente el 1 con respecto al numero aureo 56 Si este fuera el metodo de diseno implicaria el uso del triangulo de Kepler angulo de la cara 51 49 56 57 pero segun muchos historiadores de la ciencia la proporcion aurea no se conocia hasta la epoca de los pitagoricos 58 La Gran Piramide tambien puede haberse basado en un triangulo con una relacion de base a hipotenusa de 1 4 p angulo de la cara 51 50 59 Las proporciones de algunas piramides tambien pueden haberse basado en el triangulo 3 4 5 angulo de la cara 53 8 conocido por el papiro de Ahmes c 1650 1550 a C Esta posibilidad fue conjeturada por primera vez por el historiador Moritz Cantor en 1882 60 Se sabe que los angulos rectos se trazaron con precision en el antiguo Egipto utilizando cuerdas con nudos para medir 60 lo que Plutarco registro en su obra Isis y Osiris c 100 d C donde indica que los egipcios admiraban el triangulo 3 4 5 60 Ademas un pergamino de antes del 1700 a C incluye formulas basicas de sumas de cuadrados 61 62 El historiador Roger L Cooke observa que Es dificil imaginar a alguien interesado en tales condiciones sin conocer el teorema de Pitagoras pero tambien senala que ningun texto egipcio anterior al 300 a C menciona en realidad el uso del teorema para encontrar la longitud de los lados de un triangulo y que hay formas mas sencillas de construir un angulo recto Cooke concluye que la conjetura de Cantor sigue siendo incierta el supone que los antiguos egipcios probablemente conocian el teorema de Pitagoras pero no hay evidencia de que lo usaran para construir angulos rectos 60 India antigua Editar Veanse tambien Arquitectura de la Indiay Vastu shastra Gopuram del Templo Virupaksha una construccion hindu que posee una configuracion de aspecto fractal en la que las partes se asemejan a la totalidad de la obra Los vastu shastra los antiguos canones indios de arquitectura y planificacion urbana emplean dibujos simetricos llamados mandalas Para llegar a las dimensiones de un edificio y de sus componentes se utilizan calculos complejos y los disenos estan destinados a integrar la arquitectura con la naturaleza de forma que las funciones relativas de varias partes de la estructura se relacionan con creencias tradicionales que implican el uso de determinados patrones geometricos yantra condiciones de simetria y de orientacion direccional 63 64 Sin embargo los primeros constructores pudieron haber encontrado proporciones matematicas por accidente El matematico Georges Ifrah senala que se pueden usar trucos simples con cuerdas y estacas para disenar formas geometricas como elipses y angulos rectos 12 65 Plano del Templo de Meenakshi Amman Madurai siglo VII Las cuatro puertas de enlace numeradas I IV son elevadas gopurams torres ornamentales Las matematicas de los fractales se han utilizado para demostrar que la razon por la que los edificios existentes tienen un atractivo universal y son visualmente satisfactorios es porque brindan al espectador una sensacion de escala a diferentes distancias de vision Por ejemplo en las altas torres denominadas gopurams que dan entrada a los templos hindues como el Templo Virupaksha de Hampi construido en el siglo VII y otros como el Templo Kandariya Mahadev en Khajuraho las partes y el todo tienen el mismo caracter con dimension fractal en el rango de 1 7 a 1 8 El grupo de torres mas pequenas shikhara literalmente montana alrededor de la torre central mas alta que representa el santo monte Kailash morada del Senor Shiva representa la repeticion interminable de universos en la cosmologia hinduista 2 66 El erudito en estudios religiosos William J Jackson comento lo siguiente sobre el patron de torres agrupadas entre torres mas pequenas agrupadas entre torres aun mas pequenas La forma ideal elegantemente elaborada sugiere los infinitos niveles ascendentes de existencia y conciencia tamanos en expansion que se elevan hacia la trascendencia y al mismo tiempo albergan lo sagrado en lo profundo 66 67 El Templo de Meenakshi Amman es un gran complejo con multiples santuarios con las calles de Madurai dispuestas concentricamente a su alrededor de acuerdo con los shastras Las cuatro puertas de entrada son torres altas gopurams con una estructura repetitiva de tipo fractal como en Hampi Los recintos alrededor de cada santuario son rectangulares y estan rodeados por altos muros de piedra 68 Antigua Grecia Editar Veanse tambien Arquitectura en la Antigua Grecia Numero aureo Pitagoricosy Geometria euclidiana El Partenon se diseno usando proporciones pitagoricas Pitagoras c 569 475 a C y sus seguidores los pitagoricos sostenian que todas las cosas son numeros Observaron las armonias producidas por notas musicales con proporciones de frecuencia especificas relacionadas con numeros enteros pequenos y argumentaron que los edificios tambien deberian disenarse con tales proporciones La palabra griega simetria denotaba originalmente la armonia de las formas arquitectonicas en proporciones precisas que abarcaba desde los detalles mas pequenos de un edificio hasta su diseno completo 12 El Partenon mide 69 5 metros 228 pies de largo 30 9 metros 101 4 pies de ancho y 13 7 metros 44 9 pies de alto hasta la cornisa Esto da una relacion de ancho a largo de 4 9 y lo mismo para el alto con respecto al ancho Poniendo estas tres relaciones seguidas se tiene que altura ancho largo estan en las proporciones 16 36 81 o para deleite 69 de los pitagoricos 42 62 92 lo que implica un modulo de 0 858 m Un rectangulo de proporcion 4 9 se puede construir como tres rectangulos contiguos con lados en una proporcion de 3 4 Cada medio rectangulo es entonces un triangulo rectangulo de lados en proporcion 3 4 5 que permite comprobar los angulos y los lados con una cuerda debidamente anudada El area interior naos tiene igualmente proporciones de 4 9 21 44 metros 70 3 pies de ancho por 48 3 m de largo la relacion entre el diametro de las columnas exteriores 1 905 metros 6 3 pies y el espaciado de sus centros 4 293 metros 14 1 pies tambien es de 4 9 12 Planta del Partenon El Partenon es considerado por autores como John Julius Norwich el templo dorico mas perfecto jamas construido 70 Sus elaborados refinamientos arquitectonicos incluyen una correspondencia sutil entre la curvatura del estilobato el ahusamiento de las paredesde la naos y la entasis de las columnas 70 El termino entasis se refiere a la sutil disminucion del diametro de las columnas a medida que se elevan El estilobato es la plataforma sobre la que se apoyan las columnas Como en otros templos griegos clasicos 71 la plataforma tiene una ligera curvatura parabolica hacia arriba para evacuar el agua de lluvia y reforzar el edificio contra terremotos Por lo tanto podria suponerse que las columnas se inclinan hacia afuera pero en realidad se inclinan ligeramente hacia adentro de modo que si se prolongaran se encontrarian aproximadamente a un kilometro y medio por encima del centro del edificio dado que todas las columnas tienen la misma altura la curvatura del borde del estilobato exterior se transmite al arquitrabe y al techo superior todos siguen la regla de estar construidos con curvas delicadas 72 La proporcion aurea se conocio en el 300 a C cuando Euclides describio el metodo de su construccion geometrica 73 Se ha argumentado que la proporcion aurea se utilizo en el diseno del Partenon y otros edificios griegos antiguos asi como en esculturas pinturas y jarrones 74 Autores mas recientes como Nikos Salingaros sin embargo dudan de todas estas afirmaciones 75 Los experimentos del cientifico informatico George Markowsky no lograron encontrar ninguna preferencia por el rectangulo aureo 76 Arquitectura islamica Editar Veanse tambien Arquitectura islamicay Numero dorado Mezquita de Selim 1569 1575 El historiador del arte islamico Antonio Fernandez Puertas sugiere que la Alhambra al igual que la Mezquita catedral de Cordoba 77 fue disenada usando el pie andalusi o codo de aproximadamente 0 62 metros 2 pies En el Patio de los Leones del palacio las proporciones siguen una serie de surd raices cuadradas Un rectangulo de lados 1 y 2 tiene por el teorema de Pitagoras una diagonal de 3 que describe el triangulo rectangulo formado por los lados del patio esta serie continua con 4 dando una proporcion de 1 2 5 y asi sucesivamente Los patrones decorativos tienen proporciones similares 2 genera cuadrados dentro de circulos y estrellas de ocho puntas 3 genera estrellas de seis puntas No hay evidencia que respalde afirmaciones anteriores de que la proporcion aurea se uso en la Alhambra 10 78 El Patio de los Leones esta delimitado por el Salon de las Dos Hermanas y el Salon de los Abencerrajes Se puede dibujar un hexagono regular desde los centros de estos dos salones y las cuatro esquinas interiores del Patio de los Leones 79 La Mezquita de Selim en Edirne Turquia fue construido por Sinan para proporcionar un espacio donde el mihrab pudiera verse desde cualquier lugar dentro del edificio El gran espacio central esta dispuesto en consecuencia como un octagono formado por ocho pilares enormes y coronado por una cupula circular de 31 25 metros 102 5 pies de diametro y 43 metros 141 1 pies de altura El octagono se forma en un cuadrado con cuatro semicupulas y externamente por cuatro minaretes excepcionalmente altos 83 metros 272 3 pies de altura La planta del edificio es por tanto un circulo dentro de un octagono dentro de un cuadrado 80 Arquitectura mogol Editar Articulos principales Arquitectura mogola Fatehpur Sikriy Taj Mahal El Taj Mahal y sus jardines en la ciudad india de Agra La arquitectura mogola como se ve en la ciudad imperial abandonada de Fatehpur Sikri y en el complejo del Taj Mahal tiene un orden matematico distintivo y una estetica fuertemente basada en la simetria y la armonia 11 81 El Taj Mahal ejemplifica la arquitectura mogola tanto representando el paraiso 82 como mostrando el poder del emperador mogol Sha Jahan a traves de su escala simetria y suntuosa decoracion El marmol blanco del mausoleo decorado con piedras semipreciosas la gran puerta Darwaza i rauza otros edificios los jardines y los caminos juntos forman un diseno jerarquico unificado Los edificios incluyen una mezquita en piedra arenisca roja en el oeste y un edificio casi identico el Jawab o respuesta en el este para mantener la simetria bilateral del complejo El chahar bagh jardin cuadruple se divide en cuatro partes simbolizando los cuatro rios del paraiso y ofreciendo vistas y reflejos del mausoleo y a su vez se dividen en 16 parterres 83 Plano del complejo del Taj Mahal La gran puerta esta a la derecha el mausoleo en el centro delimitado por la mezquita abajo y el jawab La planta incluye cuadrados y octogonos El complejo del Taj Mahal se dispuso en una cuadricula subdividida en cuadriculas mas pequenas Los historiadores de la arquitectura Koch y Barraud estan de acuerdo con los relatos tradicionales que dan el ancho del complejo como de 374 yardas mogoles o gaz 84 estando el area principal compuesta por tres cuadrados de 374 gaz de lado Cada uno se subdividio en areas como el bazar y el caravasar en modulos de 17 gaz el jardin y las terrazas estan en modulos de 23 gaz y tienen 368 gaz de ancho 16x23 El mausoleo la mezquita y la casa de huespedes se distribuyen en una cuadricula de 7 gaz Koch y Barraud observan que si a un octagono usado repetidamente en el complejo se le dan lados de 7 unidades entonces tiene un ancho de 17 unidades 85 lo que puede ayudar a explicar la eleccion de las proporciones en el complejo 86 Arquitectura cristiana Editar Vease tambien Arquitectura de iglesias La basilica de Santa Sofia en Bizancio ahora Estambul se construyo en 537 como sede del patriarca de Constantinopla Reconstruida dos veces ostento durante mas de mil anos el titulo de ser el mayor templo cristiano jamas construido 87 Inspiro muchos edificios posteriores incluida la Mezquita Azul y otras mezquitas de la ciudad del Bosforo La distribucion de su arquitectura bizantina original incluye una nave coronada por una cupula circular y dos semicupulas todas del mismo diametro 31 metros 101 7 pies con otras cinco semicupulas mas pequenas que forman un abside y cuatro esquinas redondeadas que delimitan un vasto interior rectangular 88 Esta configuracion fue interpretada por los arquitectos medievales como una representacion del mundo terrenal en la parte de abajo la base cuadrada y los cielos divinos situados arriba la elevada cupula esferica 89 El emperador Justiniano conto como arquitectos con dos geometras Isidoro de Mileto y Antemio de Trales Isidoro habia compilado las obras de Arquimedes sobre geometria del espacio recibiendo la influencia del matematico griego 12 90 Santa Sofia Estambula Plano de la galeria mitad superior b Plano de la planta mitad inferior La boveda de la nave de Santa Sofia Estambul ano 562 La importancia en el cristianismo del agua en el rito bautismal se reflejo en la escala de la arquitectura de los baptisterios El mas antiguo el Baptisterio de Letran de Roma construido en 440 91 marco la tendencia de disenar edificios octogonales De hecho la pila bautismal situada dentro de estos edificios era a menudo octogonal aunque en el Baptisterio de Pisa el mas grande de Italia construido entre 1152 y 1363 es circular aunque posee una fuente octogonal Mide 54 86 metros 180 pies de alto con un diametro de 34 13 metros 112 pies una proporcion de 8 5 92 Ambrosio de Milan escribio que las pilas y los baptisterios eran octogonales porque al octavo dia 94 al resucitar Cristo acaba con la esclavitud de la muerte y recibe a los muertos de sus tumbas 93 95 San Agustin describio de manera similar el octavo dia como eterno santificado por la resurreccion de Cristo 95 96 El Baptisterio de San Juan Florencia construido entre 1059 y 1128 tambien es octogonal Es uno de los edificios mas antiguos de la ciudad y uno de los ultimos en la tradicion directa de la antiguedad clasica Llego a convertirse en un ejemplo extremadamente influyente en el Renacimiento florentino posterior ya que los principales arquitectos incluidos Francesco Talenti Alberti y Brunelleschi lo utilizaron como modelo de arquitectura clasica 97 El numero cinco se usa exuberantemente 98 en la Iglesia de peregrinacion de San Juan Nepomuceno en Zelena construida en 1721 cerca de Zdar nad Sazavou en la Republica Checa disenada por Jan Blazej Santini Aichel La nave es circular rodeada por cinco pares de columnas y cinco cupulas ovaladas que se alternan con absides ojivales Ademas la iglesia tiene cinco puertas cinco capillas cinco altares y cinco estrellas una leyenda afirma que cuando Juan Nepomuceno fue martirizado cinco estrellas aparecieron sobre su cabeza 98 99 La repeticion de grupos de cinco elementos tambien puede simbolizar las cinco llagas de Jesucristo y las cinco letras de Tacui en latin Guarde silencio sobre los secretos del confesonario 100 Antoni Gaudi utilizo una amplia variedad de estructuras geometricas algunas de las cuales eran superficies minimas en el Templo Expiatorio de la Sagrada Familia Barcelona que comenzo en 1882 y no se completo hasta el siglo XXI Entre estas superficies se incluyen paraboloides hiperbolicos e hiperboloides de revolucion teselados 101 arcos catenarios catenoides helicoides y superficies regladas Esta variada mezcla de geometrias se combina creativamente de diferentes formas en la iglesia Por ejemplo en la Fachada de la Pasion de la Sagrada Familia Gaudi ensamblo ramas de piedra en forma de paraboloides hiperbolicos que se superponen en sus puntas directrices sin por tanto encontrarse en un punto En contraste en la columnata hay superficies paraboloidales hiperbolicas que se unen suavemente a otras estructuras para formar superficies ilimitadas Ademas Gaudi se valio de patrones naturales en si mismo matematicos con columnas con disenos derivados de las formas de los arboles y dinteles de basalto sin modificar naturalmente agrietados por enfriamiento de la roca fundida en columnas exagonales 102 103 104 El 1971 se inauguro la Catedral de Santa Maria de la Asuncion de San Francisco que tiene una cubierta compuesta por ocho segmentos de paraboloide hiperbolico dispuestos de manera que la seccion transversal horizontal inferior del techo es un cuadrado y la seccion transversal superior es una cruz cristiana El edificio es un cuadrado de 77 7 metros 254 9 pies de lado con una altura de 57 9 metros 190 pies de alto 105 La Catedral de Brasilia erigida en 1970 por Oscar Niemeyer hace un uso diferente de una estructura en forma de hiperboloide esta construida mediante 16 vigas de hormigon identicas cada una con un peso de 90 toneladas dispuestas en un circulo para formar un hiperboloide de revolucion Las 16 vigas blancas recuerdan la forma de unas manos orando hacia el cielo Solo la cupula es visible desde el exterior la mayor parte del edificio esta bajo tierra 106 107 108 109 Varias iglesias nordicas medievales son redondas incluidos cuatro en la isla danesa de Bornholm Una de los mas antiguas la iglesia de Osterlars c 1160 posee una nave circular alrededor de una enorme columna circular de piedra perforada con arcos y decorada con un fresco La estructura circular tiene tres pisos y aparentemente fue fortificada habiendo servido el suelo superior de estructura defensiva 110 111 Columna central de la iglesia de Osterlars en Bornholm Dinamarca Baptisterio de San Juan Florencia edificio octogonal completado en 1128 Simetria pentagonal San Juan Nepomuceno en Zelena Jan Santini 1721 Fachada de la Pasion de la Sagrada Familia Gaudi 1882 Catedral de Brasilia obra de Oscar Niemeyer 1970 Catedral de Santa Maria de la Asuncion de San Francisco 1971 Decoracion matematica EditarDecoracion arquitectonica islamica Editar Articulo principal Patrones geometricos islamicos Los edificios islamicos a menudo estan decorados con patrones geometricos que generalmente utilizan varios teselados matematicos formados por baldosas de ceramica denominadas zellige y cuyo estilo se conoce como girih que pueden ser lisas o decoradas con rayas 12 Las simetrias como las estrellas con seis ocho o multiplos de ocho puntas se utilizan en los patrones de decoracion islamicos Algunos de estos se basan en el motivo del sello de Khatem Sulemani o de Salomon que es una estrella de ocho puntas formada por dos cuadrados uno girado a 45 grados respecto al otro y con el mismo centro 112 Los patrones islamicos explotan muchos de los 17 posibles grupos del papel pintado Ya en 1944 Edith Muller demostro que la Alhambra hacia uso de 11 de estos grupos en sus decoraciones mientras que en 1986 Branko Grunbaum afirmo haber encontrado hasta 13 grupos en la Alhambra afirmando de manera controvertida que los cuatro grupos restantes hasta un total de 17 no se encuentran en ninguna parte de la ornamentacion islamica 112 La compleja geometria y los mosaicos de la boveda del mocarabe en la Mezquita del jeque Lotf Allah Isfahan 1603 1619 El Louvre Abu Dabi en construccion 2015 Su cupula esta construida con capas formadas por estrellas hechas con octagonos triangulos y cuadradosDecoracion arquitectonica moderna Editar Veanse tambien Ornamentoy Arquitectura contemporanea Hacia finales del siglo XX los arquitectos recurrieron a nuevas construcciones matematicas como la geometria fractal y el mosaico aperiodico con el fin de obtener revestimientos novedosos y atractivos para sus edificios 4 En 1913 el arquitecto modernista Adolf Loos habia declarado que El ornamento es un crimen influyendo 113 en el pensamiento arquitectonico durante el resto del siglo XX En el siglo XXI los arquitectos estan comenzando nuevamente a explorar el uso de la ornamentacion que se ha convertido en un elemento extremadamente diverso El edificio Harpa construido en Reikiavik en 2011 por Henning Larsen incluye lo que parece una pared de cristal de roca compuesta a base de grandes bloques de vidrio 113 Un edificio de Londres el Ravensbourne College de la firma Foreign Office Architects 2010 esta teselado decorativamente con 28 000 baldosas de aluminio anodizado en rojo blanco y marron dejando paso a ventanas circulares entrelazadas de diferentes tamanos La teselacion utiliza tres tipos de mosaicos un triangulo equilatero y dos pentagonos irregulares 114 115 116 La Biblioteca Umimirai de Kanazawa proyectada por Kazumi Kudo crea una rejilla decorativa hecha de pequenos bloques circulares de vidrio colocados sobre paredes de hormigon liso 113 Ravensbourne College Londres 2010 Biblioteca Umimirai de Kanazawa Japon 2011 Museo Soumaya Mexico 2011 Fortificaciones EditarEuropa Editar Vease tambien Traza italiana La arquitectura de las fortificaciones evoluciono desde el castillo medieval defendido por altos muros de mamposteria al concepto de la denominada traza italiana concebida a base de fosos y de muros bajos y simetricos capaces de resistir el bombardeo de artilleria idea desarrollada entre mediados del siglo XV y el siglo XIX La geometria de las formas en estrella fue dictada por la necesidad de evitar zonas muertas donde la infanteria atacante pudiera protegerse del fuego defensivo los lados de los puntos salientes estaban en angulo para permitir que dicho fuego barriera el suelo y proporcionara fuego cruzado desde ambos lados mas alla de cada punto saliente Entre los conocidos arquitectos que en algun momento disenaron tales defensas se encuentran Miguel Angel Baldassarre Peruzzi Vincenzo Scamozzi y Vauban 117 118 El historiador de la arquitectura Sigfried Giedion argumento que la fortificacion en forma de estrella tuvo una influencia formativa en el patron renacentista de la ciudad ideal El Renacimiento quedo hipnotizado por un tipo de ciudad que durante un siglo y medio desde Filarete hasta Scamozzi quedo grabado en todos los esquemas utopicos este esquema es la ciudad en forma de estrella 119 Plano de la fortificacion de Coevorden Siglo XVII Palmanova una ciudad veneciana con traza italiana Siglo XVII Neuf Brisach Alsacia una de las fortificaciones de VaubanChina Editar Un tulou en Yongding Fujian En la arquitectura china los tulou de Fujian con algunos ejemplos que datan del siglo XVI son estructuras defensivas comunales circulares con muros lisos y una sola puerta de madera chapada en hierro Los muros se rematan con tejados que se inclinan suavemente tanto hacia el exterior como hacia el interior formando un anillo El centro del circulo es un patio adoquinado abierto a menudo con un pozo rodeado de galerias de madera de hasta cinco pisos de altura 120 Modelos medioambientales Editar Un yakhchal en Yazd Iran Los arquitectos tambien pueden seleccionar la forma de un edificio para satisfacer algunos objetivos ambientales 98 Por ejemplo Foster and Partners disenaron el rascacielos localizado en el 30 St Mary Axe de Londres conocido como The Gherkin El Pepinillo por su forma similar a un pepino El edificio es un solido de revolucion concebido mediante diseno parametrico Su geometria no se eligio solamente por razones puramente esteticas sino tambien para minimizar las corrientes de aire de los remolinos que podrian formarse en su base A pesar de la superficie aparentemente curva del edificio todos los paneles de vidrio que forman su recubrimiento son planos excepto la cubierta de la parte superior La mayoria de los paneles son cuadrilateros ya que se pueden obtener a partir de vidrios rectangulares con menos desperdicio que los paneles triangulares 1 El tradicional yakhchal pozo de hielo de Persia funciona como un sistema de refrigeracion por evaporacion Sobre el suelo la estructura tiene forma de cupula pero dispone de un espacio de almacenamiento subterraneo para el hielo y a veces tambien para la comida El espacio subterraneo y la construccion gruesa resistente al calor aislan el espacio de almacenamiento durante todo el ano El espacio interno a menudo se enfria aun mas mediante la captacion de viento El hielo estaba disponible en verano para elaborar el postre helado conocido como faloodeh 121 Vease tambien EditarBurning Man Matematicas y arte Patrones en la naturalezaReferencias Editar a b c Freiberger Marianne 1 March 2007 Perfect buildings the maths of modern architecture Plus magazine Consultado el 5 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