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Elementos de Euclides

Agosto 16, 2021

«Elementos» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Elemento.

Los Elementos de Euclides (en griego: Στοιχεῖα, /stoicheia/) y conocido como geometría euclidiana; en griego: Ευκλειδης Γεωμετρια) es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático y geómetra griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría.[1]​ A través de estos libros el autor ofrece un tratamiento definitivo de la geometría de dos dimensiones (el plano) y tres dimensiones (el espacio).[2]​

Elementos de Euclides
de Euclides

Portada de Los Elementos de Euclides (1576) - Libro I
Género Tratado
Tema(s) Geometría euclídea y matemáticas
Idioma Griego antiguo
Título original Στοιχεῖα
Ciudad Alejandría (actualmente Egipto)
Fecha de publicación Siglo III a. C.juliano
Texto en español Elementos de Euclides en Wikisource
Contenido
  • Libro I de los Elementos de Euclides
  • Libro II de los Elementos de Euclides
  • Libro III de los Elementos de Euclides
  • Libro IV de los Elementos de Euclides
  • Libro V de los Elementos de Euclides
  • Libro VI de los Elementos de Euclides
  • Libro VII de los Elementos de Euclides
  • Libro VIII de los Elementos de Euclides
  • Libro IX de los Elementos de Euclides
  • Libro X de los Elementos de Euclides
  • Libro XI de los Elementos de Euclides
  • Libro XII de los Elementos de Euclides
  • Libro XIII de los Elementos de Euclides
[editar datos en Wikidata]

Historia

Aunque la obra era conocida en Bizancio, era desconocida en Europa Occidental hasta alrededor de 1120, cuando el monje inglés Adelardo de Bath la tradujo al Latín a partir de una traducción árabe. En 1482, Erhard Ratdolt realizó en Venecia la primera impresión latina de la obra.

Los Elementos es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de 1000). Durante varios siglos, el quadrivium estaba incluido en el temario de los estudiantes universitarios, y se exigía el conocimiento de este texto. Aún hoy se utiliza por algunos educadores como introducción básica de la geometría.

En estos trece volúmenes Euclides recopila gran parte del saber matemático de su época, representados en el sistema axiomático conocido como Postulados de Euclides, los cuales de una forma sencilla y lógica dan lugar a la Geometría euclidiana.

Principios fundamentales

En el primer libro, Euclides desarrolla 48 proposiciones a partir de 23 definiciones (como punto, línea y superficie), 5 postulados y 5 nociones comunes (axiomas). Entre estas proposiciones se encuentra la primera demostración general conocida[3]​ del teorema de Pitágoras.

Las nociones comunes de Los Elementos son:[4]​

  1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
  2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.
  3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.
  4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
  5. El todo es mayor que la parte

Los postulados de Los Elementos son:

  1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera.
  2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
  3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado tiene un equivalente, que es el más usado en los libros de geometría:

  • Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela

Cabe señalar que este es el postulado que hace que la geometría sea euclidiana. Negándolo se obtienen las geometrías no-euclidianas.

Estos principios básicos reflejan el interés de Euclides por la geometría constructiva, al igual que los matemáticos griegos y helenísticos contemporáneos.

Contenido

 
Un fragmento de los Elementos de Euclides hallado en Oxirrinco, datado hacia el año 100 a. C.
El diagrama acompaña la Proposición 5 del Libro II.

A pesar de tratarse de un trabajo sobre geometría, el libro incluye resultados que hoy se pueden clasificar dentro de la teoría de los números. Euclides decide describir los resultados en teoría de números dentro de la geometría porque no pudo desarrollar una aproximación constructiva a la aritmética.

El contenido de los libros es el siguiente:

Elementos de Euclides / Definiciones (Libro primero)

 
Portada de la obra Elementos geométricos de Euclides publicada por Jacobo Kresa en 1689
  1. Un punto es lo que no tiene partes.
  2. Una línea es una longitud sin anchura.
  3. Los extremos de una línea son puntos.
  4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.
  5. Una superficie es lo que solo tiene longitud y anchura.
  6. Los extremos de una superficie son líneas.
  7. Una superficie plana es aquella que yace por igual respecto de las líneas que están en ella.
  8. Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta.
  9. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.
  10. Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto y la levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que está.
  11. Ángulo obtuso es el mayor que un recto.
  12. Ángulo agudo es el menor que un recto.
  13. Un límite es aquello que es extremo de algo.
  14. Una figura es lo contenido por uno o varios límites.
  15. Un círculo es una figura plana comprendida por una línea tal que todas las rectas caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.
  16. El punto se llama el «centro» del círculo.
  17. Un diámetro del círculo es una recta cualquiera trazada a través del centro y limitado en ambos sentidos por la circunferencia del círculo, recta que también divide el círculo en dos partes iguales.
  18. Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia por él cortada. Y el centro del semicírculo es el mismo que el del círculo.
  19. Figuras rectilíneas son las comprendidas por rectas, triláteras las comprendidas por 3, cuadriláteras las comprendidas por 4, multiláteras las comprendidas por más de 4 rectas.
  20. Entre las figuras triláteras, el triángulo equilátero es la que tiene los tres lados iguales, triángulo isósceles la que tiene dos lados iguales, y el triángulo escaleno la que tiene los tres lados desiguales.
  21. Entre las figuras triláteras, triángulo rectángulo es la que tiene un ángulo recto, obtusángulo la que tiene un ángulo obtuso, acutángulo la que tiene los tres ángulos agudos.
  22. De entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y rectangular, rectángulo la que es rectangular pero no equilátera, rombo la que es equilátera pero no rectangular, romboide la que tiene los ángulos y los lados opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular; y trapecios las demás figuras cuadriláteras.
  23. Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongado indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Elementos de Euclides / Postulados (Libro primero)

  1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
  2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
  3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
  4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
  5. Y que si una recta al incidir sobre 2 rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los menores que dos rectos.

Transmisión y traducciones al español

El texto de Euclides se transmitió por dos vías. En los países cristianos se hicieron copias sobre todo durante el Imperio Bizantino, donde estaba más difundido el conocimiento del griego, pero no estaba muy divulgado en ese ámbito el estudio de la geometría. Por otra parte, en el mundo árabe se tradujeron y se comentaron los Elementos y se mantuvo una tradición más viva, aunque menos fiel a Euclides. Los principales traductores al árabe fueron Al-Hajjàj (fl. 786-833) e Ishàq-ben-Hunayn (siglo IX). El musulmán hispano Avicena escribió un comentario a los Elementos. La mejor traducción al latín de la Edad Media fue la de Gerardo de Cremona (1114-1187), italiano de origen pero afincado en Toledo, de cuya Catedral llegó a ser canónigo, desde la versión árabe de Thábit ibn Qurra. Pero la versión latina más divulgada durante la Baja Edad Media fue la de Campano de Novara (s. XIII); de hecho, fue esta versión la que se imprimió por primera vez (Venecia, 1482).

La primera versión en castellano fue la traducida por Rodrigo Zamorano (Sevilla, 1576). Siguieron la de Luis Carduchi (1637), la de Andrés Puig (1672), la de José Zaragoza (1678), la de Sebastián Fernández de Medrano (1688), la comentada del matemático jesuita checo Jacobo Kresa (Elementos geométricos de Euclides, los seis primeros libros de los planos, los onzeno y dozeno de los sólidos: con algunos selectos Theoremas de Archimedes, Bruselas, 1689), la de Francisco Larrando de Mauleón (1698), la de Pedro de Ulloa (1706), la del novator Tomás Vicente Tosca (1707), la de Antonio José Deu y Abella (1723), las de Gaspar Álvarez (1739) y Blas Martínez de Velasco (1747), la traducción de Robert Simson (1774), la de Juan Justo García (1782), la de Pedro Giannini (1788) y las ya muy numerosas de los siglos XIX y XX. De las antiguas, solo la primera edición, preparada por Zamorano, y una de las últimas, la traducción española de la versión de Robert Simson, tratan de ser una trascripción fiel del texto griego. La mayoría son adaptaciones pedagógicas, más o menos libres, de la obra de Euclides. Según afirma Juan Navarro Loidi,

Las versiones renacentistas o de la Ilustración tienen casi todas los mismos libros. Suelen incluir los libros del I al VI que tratan de la geometría plana, aunque el libro V frecuentemente ha sido simplificado y convertido en un manual sobre fracciones numéricas aplicadas a la geometría. A partir de la edición de Zaragoza (1678) también suelen contener los dos primeros libros de geometría del espacio. Pero, en el libro XII son muy frecuentes las simplificaciones para evitar las largas demostraciones por el método de “exhausción”. Generalmente están inspiradas en la idea de límite de figuras introducida por el belga Tacquet, aunque Zaragoza se inclina por las sumas infinitas, tal vez influenciado por Cavalieri.[5]​

Ediciones modernas son las de Juan David García Bacca, Euclides. Obras completas. Elementos de Geometría (México, 1954-1956), que contiene en realidad solo los libros del I al V del texto. Francisco Vera, en el volumen I de sus Científicos Griegos (Madrid, 1970) publicó la obra de Euclides con todos sus libros del I al XIII por primera vez en castellano; pero en esa edición, sobre todo en el libro X, se abrevian mucho las demostraciones o se sustituyen por otras más modernas, por lo que no es propiamente una traducción del texto íntegro de Euclides. La primera traducción española completa de los Elementos es la de María Luisa Puertas Castaños Elementos (Madrid 1991, 1994 y 1996) en tres volúmenes.

Véase también

Referencias

  1. «Elemento de Euclides». 
  2. 1945-, Stewart, Ian, (2008). Historia de las Matemáticas : en los ́ultimos 10.000 años. Crítica. ISBN 9788474238419. OCLC 407170807. Consultado el 6 de noviembre de 2018. 
  3. Carlos Dorce Polo, Història de la matemàtica. Des de Mesopotàmia al Renaixement, (Universitat de Barcelona. Publicacions i Edicions, 1ª ed., 1ª imp.(03/2013))
  4. Ángel., Ruiz Zúñiga, (2003). Historia y filosofía de las matemáticas. EUNED. ISBN 9968312878. OCLC 928695779. Consultado el 6 de noviembre de 2018. 
  5. Navarro Loidi, Juan (1 de noviembre de 2005). «Los Elementos de Euclides en castellano». DivulgaMat. 

Bibliografía

  • Gray, Jeremy (1992). «La geometría euclidiana y el postulado de las paralelas». Ideas de espacio. Madrid: Mondadori España. ISBN 84-397-1727-X. 

Enlaces externos

  •   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Elementos de Euclides.
  •   Wikisource contiene obras originales de o sobre Elementos de Euclides.
  • en el sitio Euclides.
  • catalán en el mismo sitio.
  • Texto francés, con anotaciones en este idioma, en el sitio de Philippe Remacle (1944 - 2011); trad. de François Peyrard (1759 o 1760 - 1822). Ed. de 1804, en París.
    • Libros: 1; 2; 3; 4; 6; 11; 12.
  • Texto inglés.
  •   Datos: Q172891
  •   Multimedia: Elements of Euclid
  •   Textos: Elementos de Euclides

Agosto 16, 2021
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Elementos redirige aqui Para otras acepciones vease Elemento Los Elementos de Euclides en griego Stoixeῖa stoicheia y conocido como geometria euclidiana en griego Eykleidhs Gewmetria es un tratado matematico y geometrico que se compone de trece libros escrito por el matematico y geometra griego Euclides cerca del 300 a C en Alejandria 1 A traves de estos libros el autor ofrece un tratamiento definitivo de la geometria de dos dimensiones el plano y tres dimensiones el espacio 2 Elementos de Euclidesde EuclidesPortada de Los Elementos de Euclides 1576 Libro IGeneroTratadoTema s Geometria euclidea y matematicasIdiomaGriego antiguoTitulo originalStoixeῖaCiudadAlejandria actualmente Egipto Fecha de publicacionSiglo III a C julianoTexto en espanolElementos de Euclides en WikisourceContenidoLibro I de los Elementos de EuclidesLibro II de los Elementos de EuclidesLibro III de los Elementos de EuclidesLibro IV de los Elementos de EuclidesLibro V de los Elementos de EuclidesLibro VI de los 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despues de la Biblia mas de 1000 Durante varios siglos el quadrivium estaba incluido en el temario de los estudiantes universitarios y se exigia el conocimiento de este texto Aun hoy se utiliza por algunos educadores como introduccion basica de la geometria En estos trece volumenes Euclides recopila gran parte del saber matematico de su epoca representados en el sistema axiomatico conocido como Postulados de Euclides los cuales de una forma sencilla y logica dan lugar a la Geometria euclidiana Principios fundamentales EditarEn el primer libro Euclides desarrolla 48 proposiciones a partir de 23 definiciones como punto linea y superficie 5 postulados y 5 nociones comunes axiomas Entre estas proposiciones se encuentra la primera demostracion general conocida 3 del teorema de Pitagoras Las nociones comunes de Los Elementos son 4 Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre si Si se anaden iguales a iguales los todos son iguales Si se sustraen iguales a iguales los restos son iguales Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre si El todo es mayor que la parteLos postulados de Los Elementos son Una linea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera Un segmento de linea recta se puede extender indefinidamente en una linea recta Dado un segmento de linea recta puede dibujarse un circulo con cualquier centro y distancia Todos los angulos rectos son iguales entre si Postulado de las paralelas Si una linea recta corta a otras dos de tal manera que la suma de los dos angulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos las otras dos rectas se cortan al prolongarlas por el lado en el que estan los angulos menores que dos rectos Este ultimo postulado tiene un equivalente que es el mas usado en los libros de geometria Por un punto exterior a una recta se puede trazar una unica paralelaCabe senalar que este es el postulado que hace que la geometria sea euclidiana Negandolo se obtienen las geometrias no euclidianas Estos principios basicos reflejan el interes de Euclides por la geometria constructiva al igual que los matematicos griegos y helenisticos contemporaneos Contenido Editar Un fragmento de los Elementos de Euclides hallado en Oxirrinco datado hacia el ano 100 a C El diagrama acompana la Proposicion 5 del Libro II A pesar de tratarse de un trabajo sobre geometria el libro incluye resultados que hoy se pueden clasificar dentro de la teoria de los numeros Euclides decide describir los resultados en teoria de numeros dentro de la geometria porque no pudo desarrollar una aproximacion constructiva a la aritmetica El contenido de los libros es el siguiente Libros 1 al 4 tratan sobre geometria plana Libros 5 al 10 tratan sobre razones y proporciones Libros 11 al 13 tratan sobre geometria de los cuerpos solidos Elementos de Euclides Definiciones Libro primero Editar Portada de la obra Elementos geometricos de Euclides publicada por Jacobo Kresa en 1689 Un punto es lo que no tiene partes Una linea es una longitud sin anchura Los extremos de una linea son puntos Una linea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que estan en ella Una superficie es lo que solo tiene longitud y anchura Los extremos de una superficie son lineas Una superficie plana es aquella que yace por igual respecto de las lineas que estan en ella Un angulo plano es la inclinacion mutua de dos lineas que se encuentran una a otra en un plano y no estan en linea recta Cuando las lineas que comprenden el angulo son rectas el angulo se llama rectilineo Cuando una recta levantada sobre otra recta forma angulos adyacentes iguales entre si cada uno de los angulos iguales es recto y la levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que esta Angulo obtuso es el mayor que un recto Angulo agudo es el menor que un recto Un limite es aquello que es extremo de algo Una figura es lo contenido por uno o varios limites Un circulo es una figura plana comprendida por una linea tal que todas las rectas caen sobre ella desde un punto de los que estan dentro de la figura son iguales entre si El punto se llama el centro del circulo Un diametro del circulo es una recta cualquiera trazada a traves del centro y limitado en ambos sentidos por la circunferencia del circulo recta que tambien divide el circulo en dos partes iguales Un semicirculo es la figura comprendida entre el diametro y la circunferencia por el cortada Y el centro del semicirculo es el mismo que el del circulo Figuras rectilineas son las comprendidas por rectas trilateras las comprendidas por 3 cuadrilateras las comprendidas por 4 multilateras las comprendidas por mas de 4 rectas Entre las figuras trilateras el triangulo equilatero es la que tiene los tres lados iguales triangulo isosceles la que tiene dos lados iguales y el triangulo escaleno la que tiene los tres lados desiguales Entre las figuras trilateras triangulo rectangulo es la que tiene un angulo recto obtusangulo la que tiene un angulo obtuso acutangulo la que tiene los tres angulos agudos De entre las figuras cuadrilateras cuadrado es la que es equilatera y rectangular rectangulo la que es rectangular pero no equilatera rombo la que es equilatera pero no rectangular romboide la que tiene los angulos y los lados opuestos iguales entre si pero no es equilatera ni rectangular y trapecios las demas figuras cuadrilateras Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongado indefinidamente en ambos sentidos no se encuentran una a otra en ninguno de ellos Elementos de Euclides Postulados Libro primero Editar Postulese el trazar una linea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera Y el prolongar continuamente una recta finita en linea recta Y el describir un circulo con cualquier centro y distancia Y el ser todos los angulos rectos iguales entre si Y que si una recta al incidir sobre 2 rectas hace los angulos internos del mismo lado menores que dos rectos las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en el que estan los menores que dos rectos Transmision y traducciones al espanol EditarEl texto de Euclides se transmitio por dos vias En los paises cristianos se hicieron copias sobre todo durante el Imperio Bizantino donde estaba mas difundido el conocimiento del griego pero no estaba muy divulgado en ese ambito el estudio de la geometria Por otra parte en el mundo arabe se tradujeron y se comentaron los Elementos y se mantuvo una tradicion mas viva aunque menos fiel a Euclides Los principales traductores al arabe fueron Al Hajjaj fl 786 833 e Ishaq ben Hunayn siglo IX El musulman hispano Avicena escribio un comentario a los Elementos La mejor traduccion al latin de la Edad Media fue la de Gerardo de Cremona 1114 1187 italiano de origen pero afincado en Toledo de cuya Catedral llego a ser canonigo desde la version arabe de Thabit ibn Qurra Pero la version latina mas divulgada durante la Baja Edad Media fue la de Campano de Novara s XIII de hecho fue esta version la que se imprimio por primera vez Venecia 1482 La primera version en castellano fue la traducida por Rodrigo Zamorano Sevilla 1576 Siguieron la de Luis Carduchi 1637 la de Andres Puig 1672 la de Jose Zaragoza 1678 la de Sebastian Fernandez de Medrano 1688 la comentada del matematico jesuita checo Jacobo Kresa Elementos geometricos de Euclides los seis primeros libros de los planos los onzeno y dozeno de los solidos con algunos selectos Theoremas de Archimedes Bruselas 1689 la de Francisco Larrando de Mauleon 1698 la de Pedro de Ulloa 1706 la del novator Tomas Vicente Tosca 1707 la de Antonio Jose Deu y Abella 1723 las de Gaspar Alvarez 1739 y Blas Martinez de Velasco 1747 la traduccion de Robert Simson 1774 la de Juan Justo Garcia 1782 la de Pedro Giannini 1788 y las ya muy numerosas de los siglos XIX y XX De las antiguas solo la primera edicion preparada por Zamorano y una de las ultimas la traduccion espanola de la version de Robert Simson tratan de ser una trascripcion fiel del texto griego La mayoria son adaptaciones pedagogicas mas o menos libres de la obra de Euclides Segun afirma Juan Navarro Loidi Las versiones renacentistas o de la Ilustracion tienen casi todas los mismos libros Suelen incluir los libros del I al VI que tratan de la geometria plana aunque el libro V frecuentemente ha sido simplificado y convertido en un manual sobre fracciones numericas aplicadas a la geometria A partir de la edicion de Zaragoza 1678 tambien suelen contener los dos primeros libros de geometria del espacio Pero en el libro XII son muy frecuentes las simplificaciones para evitar las largas demostraciones por el metodo de exhauscion Generalmente estan inspiradas en la idea de limite de figuras introducida por el belga Tacquet aunque Zaragoza se inclina por las sumas infinitas tal vez influenciado por Cavalieri 5 Ediciones modernas son las de Juan David Garcia Bacca Euclides Obras completas Elementos de Geometria Mexico 1954 1956 que contiene en realidad solo los libros del I al V del texto Francisco Vera en el volumen I de sus Cientificos Griegos Madrid 1970 publico la obra de Euclides con todos sus libros del I al XIII por primera vez en castellano pero en esa edicion sobre todo en el libro X se abrevian mucho las demostraciones o se sustituyen por otras mas modernas por lo que no es propiamente una traduccion del texto integro de Euclides La primera traduccion espanola completa de los Elementos es la de Maria Luisa Puertas Castanos Elementos Madrid 1991 1994 y 1996 en tres volumenes Vease tambien EditarPostulados de Euclides Geometria euclidiana Libro II de los Elementos de Euclides Teorema del angulo exteriorReferencias Editar Elemento de Euclides 1945 Stewart Ian 2008 Historia de las Matematicas en los ultimos 10 000 anos Critica ISBN 9788474238419 OCLC 407170807 Consultado el 6 de noviembre de 2018 Carlos Dorce Polo Historia de la matematica Des de Mesopotamia al Renaixement Universitat de Barcelona Publicacions i Edicions 1ª ed 1ª imp 03 2013 Angel Ruiz Zuniga 2003 Historia y filosofia de las matematicas EUNED ISBN 9968312878 OCLC 928695779 Consultado el 6 de noviembre de 2018 Navarro Loidi Juan 1 de noviembre de 2005 Los Elementos de Euclides en castellano DivulgaMat Bibliografia Editar Gray Jeremy 1992 La geometria euclidiana y el postulado de las paralelas Ideas de espacio Madrid Mondadori Espana ISBN 84 397 1727 X Enlaces externos Editar Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Elementos de Euclides Wikisource contiene obras originales de o sobre Elementos de Euclides Texto espanol en el sitio Euclides Texto catalan en el mismo sitio Texto frances con anotaciones en este idioma en el sitio de Philippe Remacle 1944 2011 trad de Francois Peyrard 1759 o 1760 1822 Ed de 1804 en Paris Libros 1 2 3 4 6 11 12 Texto ingles Texto griego con indice electronico en el Proyecto Perseus Texto griego en Wikisource Texto griego con indice electronico facsimil digitalizado del MS D Orville 301 de la Biblioteca Bodleiana Datos Q172891 Multimedia Elements of Euclid 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