Octógono

Un octógono u octágono^{[nota 1]}​ es una figura plana con ocho lados y ocho vértices.

Octágono
Un octágono regular
Características
Tipo	Polígono regular
Lados	8
Vértices	8
Grupo de simetría	${\displaystyle D_{8}}$, orden 2x8
Símbolo de Schläfli	{8}, t{4} (octágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Autodual
Área	${\displaystyle A=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}}$ (lado ${\displaystyle a}$)
Ángulo interior	135°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico
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Un octógono regular y sus ángulos principales

Características

Un octágono tiene 20 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, ${\displaystyle D=n(n-3)/2}$ ; siendo el número de lados ${\displaystyle n=8}$ , se tiene:

${\displaystyle D={\frac {8(8-3)}{2}}=20}$ 

La suma de todos los ángulos internos de cualquier octógono es 1080 grados o ${\displaystyle 6\pi }$  radianes.

Octógono regular

 

Construcción de un octógono regular con regla y compás

Un octógono regular es un polígono regular de ocho lados, por tanto, tiene sus lados y ángulos iguales (congruentes) y los lados se unen formando un ángulo de 135º o ${\displaystyle 3\pi /4}$  rad. Cada ángulo externo del octógono regular mide 45º o ${\displaystyle \pi /4}$  rad.

Para obtener el perímetro P de un octógono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por ocho (el número de lados n del polígono).

${\displaystyle P=n\cdot t=8\ t}$ 

pero si solo se conoce la longitud de la apotema del polígono,a, el valor del perímetro será:

${\displaystyle P=16a({\sqrt {2}}-1)}$ 

La apotema en función del lado del polígono, ${\displaystyle t}$ , es^[1]​

${\displaystyle a={\frac {t}{2}}\cdot {\frac {\sin(67.5^{\circ })}{\sin(22.5^{\circ })}}={\frac {t}{2}}\cdot \cot(\pi /8)}$ 

El área A de un octógono regular de lado t se calcula mediante la fórmula:

 

Octógono regular

${\displaystyle A={\frac {8t^{2}}{4\tan({\frac {\pi }{8}})}}\simeq 4.8284\ t^{2},}$ 

donde ${\displaystyle \pi }$  es la constante pi y ${\displaystyle \tan }$  es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud del apotema a del polígono, una alternativa para calcular el área es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {8t\cdot a}{2}}=4\cdot t\cdot a}$ 

Si solo se conoce el lado t, se puede calcular el área con la siguiente fórmula:

${\displaystyle A=2t^{2}(1+{\sqrt {2}})}$ 

O bien, si solo se conoce la apotema a,^[1]​

${\displaystyle A=8\cdot a^{2}\cdot {\frac {\sin(22.5^{\circ })}{\sin(67.5^{\circ })}}=8\cdot a^{2}\cdot \tan(\pi /8)\approx a^{2}\cdot 3.31371}$ 

El símbolo de Schläfli del octógono regular es {8}.^[2]​

Octágono irregular

Un octágono irregular es una figura plana de 8 lados con longitudes y ángulos desiguales. Esto significa que hay una enorme variación posible de combinación de longitudes y ángulos, el número de octógonos irregulares posibles es virtualmente infinito. Se calculan las áreas de los ocho triángulos. El área del primer triángulo es:

${\displaystyle A={\frac {L_{1}\cdot h_{1}}{2}}}$ 

Se utiliza la misma fórmula para calcular el área de los otros siete triángulos.

Se suman las ocho áreas y se obtiene el área del octágono irregular: El octágono irregular tiene algunos o todos sus ángulos interiores desiguales. La fórmula de su perímetro es la suma de la longitud de sus ocho lados:

${\displaystyle P=L_{1}+L_{2}+\ldots +L_{8}}$ 

donde L₁, L₂, ..., L₈ son los lados del octágono.

Véase también

• Polígono (geometría)
• Figura geométrica

Notas y referencias

1. La RAE reconoce la validez de ambas formas, pero prefiere "octógono". Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española. «octágono». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). 

1. Sapiña, R. «Calculadora del área y perímetro del octógono regular». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 16 de julio de 2020. 
2. Wenninger, Magnus J. (1974). Cambridge University Press, ed. Modelos de poliedros (en inglés). p. 9. ISBN 9780521098595. .

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre octágonos.
•   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre octágono.

•   Datos: Q166080
•   Multimedia: Octagons