Grupo (matemática)

En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto no vacío dotado de una operación interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero, dentro del mismo conjunto y que satisface las propiedades asociativa, existencia de elemento neutro y simétrico .^[1]​

Las posibles manipulaciones del Cubo de Rubik forman un grupo.

Establecimiento del concepto de grupo

La formulación axiomática del concepto de grupo permite la separación desde lo concreto hacia lo abstracto, favoreciendo trabajar de una manera flexible y dinámica entre diferentes objetos matemáticos, para permitir un tratamiento general de todos ellos, gracias a que poseen un sustrato estructural inherente y común.

De este modo, un teorema válido para un objeto concreto puede ser verificado para otro de la misma categoría, elevándose a una teoremática abstracta que a todos ellos afecta.

Existen millones de grupos y su estudio pormenorizado sin un cuerpo axiomático, aun con la ayuda informática, se haría del todo inviable y poco práctico, por ello, el álgebra abstracta tiene este importante papel que se traslada a las matemáticas aplicadas y a las ciencias que lo requieran, para su fundamentación teórica y posterior utilización práctica.

La aparición de los grupos en diversas áreas del conocimiento (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se perfilan y se establecen las matemáticas contemporáneas, con aplicación inmediata en otras áreas científicas.^[2]​^[3]​

Las condiciones necesarias y suficientes para que el par ${\displaystyle (G,\,\circledast )}$  sea un grupo son:

1. ${\displaystyle (G,\,\circledast )}$  es un monoide^[4]​ o semigrupo con elemento neutro
2. ${\displaystyle (G,\,\circledast )}$  verifica la existencia de elemento simétrico para cada uno de sus elementos.

${\displaystyle \exists !e\in G:\,\,e\circledast a=a,\,\forall a\in G.}$ 

${\displaystyle \forall a\in G,\,\exists {\bar {a}}:\,a\circledast {\bar {a}}=e\,\,\,}$ 

A veces, para simplificar el discurso se dice «G es un grupo» cuando deseamos indicar que «(G,${\displaystyle \circledast }$ ) es un grupo».^[1]​

Para que (G,${\displaystyle \circledast }$ ) pueda satisfacer la existencia de una estructura de monoide o de semigrupo con elemento neutro, debe satisfacer las siguientes propiedades:

1. (G,${\displaystyle \circledast }$ ) se define con una estructura basal de magma.^[4]​ Queda así establecido al definir al operador «${\displaystyle \circledast }$ » como interno lo que permite operar entre sí a los elementos del conjunto, obteniendo como resultado otro elemento de ese mismo conjunto, a este concepto también se le denomina clausura lineal.
2. (G,${\displaystyle \circledast }$ ) verifica la propiedad asociativa.
3. (G,${\displaystyle \circledast }$ ) posee un elemento de identidad o elemento neutro e.
4. (G,${\displaystyle \circledast }$ ) es un grupo si además, verifica la existencia de elemento simétrico para cada uno de sus elementos.
5. (G,${\displaystyle \circledast }$ ) es grupo abeliano si además, cumple la propiedad conmutativa.

Construcción de la estructura algebraica de grupo

Primer ejemplo: el grupo abeliano aditivo de los enteros (ℤ , ⊕)

Uno de los grupos más familiares es el conjunto de los números enteros «ℤ» que está formado por los números enteros (números que carecen de parte decimal) y que están dotados de signo (positivos y negativos) junto con el {0}.

Por extensión, entre otros números, contiene a los siguientes: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,  ...^[5]​

Las propiedades que verifican los elementos de este grupo, ayudará a ilustrar los siguientes sub-apartados.

1. El signo ${\displaystyle \oplus }$  indica que es un operador interno, en consecuencia, el grupo abeliano (ℤ , ${\displaystyle \oplus }$ ) cumple la propiedad de cierre o clausura, donde el resultado que se obtiene al operar entre sí a los números enteros, es otro número entero y no otra clase de números, en lo que sigue, se utilizará el signo «+» propio de la aritmética. Así a + b = c, siendo a y b dos números enteros, c también lo es.
2. El orden al realizar la operación aditiva no es necesario mantenerlo debido a que verifica la propiedad conmutativa: a + b = b + a.
3. Al operar con tres números enteros, es posible realizar en un primer paso, la adición de los dos primeros y su resultado sumarlo al tercer número o bien, realizada la operación de los dos últimos, sumar lo obtenido, el primero. Esta propiedad se denomina propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)= a + b + c.
4. Todo número entero al sumarse con 0 da como resultado el mismo número: 0 + a = a + 0 = a. El elemento neutro es denominado elemento cero en este grupo abeliano, carece de signo y su característica es que no interactúa con otros números realizando la operación aditiva, dejándolo todo exactamente igual.
5. Para cada entero a, hay un entero (-a) tal que a + (-a) = (-a) + a = 0. El entero (-a) se denomina elemento opuesto del entero a.

Los enteros, junto con la operación aditiva o «+», forma parte de un tipo de objetos matemáticos que se integran en la definición de grupo ya que comparten los aspectos estructurales esenciales que sirven para conocer su comportamiento desde el punto de vista algebraico. Para entender apropiadamente estas estructuras sin tratar con cada caso concreto, es necesario desarrollar una definición abstracta, como la que a continuación, se expone.

Reseña histórica y situación actual de la investigación sobre teoría de grupos

El concepto de un grupo surgió del estudio de ecuaciones algebraicas en una incógnita, comenzando con Évariste Galois durante los años 1830. Después de contribuciones desde otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870.

La definición de grupo (G, *) usando: la asociatividad, la existencia de elemento neutro, de elemento inverso y la noción de operación binaria, fue formulada por F.G. Frobenius, por primera vez en 1887, advirtiendo que los teoremas que los demostraba dependían únicamente de los axiomas propuestos y sin tener que acudir al aparato de los grupos de permutaciones, que empleaban sus antecesores Cauchy, Jordan y Sylow.^[6]​

Los grupos conmutativos son los que, además verifican la propiedad conmutativa, son habitualmente denominados como grupos abelianos en honor al matemático danés Niels Abel que en su importantísima aportación, demostró la irresolución de la quíntica mediante radicales en 1846 a partir de Ruffini en lo que se denomina teorema de Abel-Ruffini y debido al uso reiterado de grupos conmutativos en sus investigaciones. Posteriormente Évariste Galois probó con sus nuevas teorías que la irresolución del grupo S₅ implicaría la demostración fehaciente de lo que Abel descubrió sobre la irresolubilidad de la ecuación de quinto grado mediante el uso de radicales.

Debido a que los primeros grupos estudiados en la historia fueron los multiplicativos, su nomenclatura y notación se llegó a utilizar de forma extendida en la generalización de las definiciones axiomáticas y abstractas en teoría de grupos; aunque es necesariamente recomendable, utilizar la notación y nomenclatura propias del álgebra abstracta.

La moderna teoría de grupos (una disciplina matemática muy activa) estudia los grupos en sí.^{[nota 1]}​ Con el fin de explorar los grupos, los matemáticos han ideado diversas nociones con tal de dividir grupos en subsistemas más pequeños, más comprensibles, como subgrupos, grupos cociente y grupos simples. Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de los grupos también estudian las maneras en que un grupo se puede expresar en forma concreta (sus representaciones de grupo), tanto desde un punto de vista teórico como de un punto de vista computacional. Una teoría especialmente rica fue desarrollada para grupos finitos y culminó con la clasificación de los grupos simples finitos completada en 1983.^{[nota 2]}​ Asimismo, desde mediados de 1980, la teoría de grupos geométricos, que estudia los grupos de generación finita como objetos geométricos, se ha convertido en un área particularmente activa en la amplia teoría de grupos.

La importancia crucial de la teoría de grupos tanto en física como en matemática radica en que los isomorfismos de cualquier estructura, de cualquier teoría, forman siempre un grupo y que, en los casos más importantes, los grupos están clasificados: se conocen listas que agotan todos los que hay. La clasificación de los grupos de Lie, llevada a cabo esencialmente por Élie Cartan, es un punto culminante de la matemática europea, solo comparable a la construcción de los 5 poliedros regulares realizada por la matemática griega. Al igual que esta última es la determinación de todas las figuras geométricas simétricas posibles, la clasificación de grupos es la determinación de todas las posibles simetrías de cualquier estructura. Así, podemos conocer a priori los grupos de automorfismos de cualquier teoría geométrica. Además, de acuerdo con el Programa de Erlangen de Felix Klein, este grupo de automorfismos reconstruye la correspondiente teoría geométrica.

Algo parecido sucede en física, donde se ha descubierto que el grupo de simetrías del lagrangiano de un sistema determina propiedades fundamentales asociadas a las partículas elementales de dicho sistema. La clasificación de grupos de Lie proporciona la lista de los posibles grupos existentes de simetrías infinitesimales, válidos para eventuales y futuros modelos científicos.

La teoría de grupos y el estudio de simetrías: campo de aplicaciones

La teoría de grupos comparte un parentesco fundamental con la noción de simetría. Un grupo de simetría codifica las características de simetría de un objeto geométrico: consiste en el conjunto de transformaciones que dejan invariante el objeto y la operación de combinar dos de estas transformaciones.

1. Tales grupos de simetría y en especialmente los grupos de Lie diferenciables, tienen un papel importante en topología y otras ramas de la matemática como los grupos matriciales y operadores.
2. En física son utilizados para entender las leyes físicas fundamentales en las que se basa la relatividad, también se utilizan en campos de la física muy diversos como la física de partículas, teoría de campos, física cuántica e incluso los nuevos campos de la física actual como las teorías unificadoras (teoría M y teoría de cuerdas) entre otras muchas aplicaciones.
3. En química los estudios relacionados con la teoría de enlace, simetría molecular, simetría atómica e incluso radiactividad.
4. En geología y más concretamente en cristalografía.

Segundo ejemplo: un grupo de simetría

Las simetrías (es decir, las rotaciones y las reflexiones) de un cuadrado forman un grupo llamado diédrico, y se expresa como D₄. Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son:

id (se mantiene tal y como está)	r1 (rotación de 90° a la derecha)	r2 (rotación de 180° a la derecha)	r3 (rotación de 270° a la derecha)
fv (vuelta vertical)	fh (vuelta horizontal)	fd (vuelta diagonal)	fc (vuelta contra diagonal)
Los elementos del grupo de simetría del cuadrado (D4). Los vértices se pintan y se numeran al objeto de poder visualizar las operaciones.

• La operación identidad que lo deja todo como estaba, se expresa como id.
• Rotaciones del cuadrado de 90°, 180 ° y 270 ° a la derecha, expresadas con r₁, r₂ y r₃, respectivamente.
• Reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal (f_v y f_h), o respecto de las dos diagonales (f_d y f_c)

Definición de grupo y su construcción algebraica: axiomática de grupo

Un grupo es un par ordenado compuesto por un conjunto, G y una operación binaria cerrada en G o ley de composición interna «${\displaystyle \circledast }$ » que al componer dos elementos cualesquiera de G: a y b, obtiene otro elemento de G cuya notación es a ${\displaystyle \circledast }$  b.

En álgebra abstracta la mayor parte de las estructuras algebraicas del tipo (E, #); siendo E un conjunto no nulo y # un operador que puede ser interno o externo, quedan establecidas gracias a una definición parcial de la axiomática de grupo.^[7]​^[8]​^[9]​

Ante un conjunto, necesariamente no vacío, cuando se parte desde el establecimiento de un operador externo ¬, el par (O, ¬) nunca podrá alcanzar la estructura de grupo mediante construcción, aunque puede estructurar algebraicamente en otras formas:

• Si (O, ¬) cumple la propiedad asociativa, estamos ante una semigrupoide
• Todo semigrupoide (O, ¬) que posea elemento neutro es una subcategoría
• Cuando en una subcategoría, sus elementos cumplen la propiedad de la divisibilidad, que es una propiedad muy similar y relacionada con la existencia de elemento simétrico para cada uno de los elementos del conjunto, estamos ante una estructura de grupoide.

Para alcanzar mediante construcción la estructura de grupo, es necesario que el operador establecido sea interno o lo que es lo mismo, que el conjunto G para el operador esté clausurado. Para ello, existen dos caminos, que se excluyen mutuamente entre sí y que, de manera independiente, permiten establecer una estructura de grupo sobre el par (M, ${\displaystyle \circledast }$ )

 

Construcción de un grupo. Los conjuntos considerados son M (magma), Q (cuasigrupo), S (semigrupo), L (bucle), N (monoide) y G (grupo). Los axiomas son: a, (asociatividad), d, (divisibilidad), e, (existencia de elemento neutro) y, i, (existencia de elemento simétrico)

El primer camino para alcanzar la estructura de grupo, se inicia desde un magma, que es la estructura que tiene un conjunto M no vacío y un operador interno:

• Todo magma que verifica la propiedad asociativa es un semigrupo.
• Si el semigrupo además posee elemento neutro, estamos ante un monoide, que si alcanza a verificar la existencia de un elemento simétrico para todos y cada uno de sus elementos, la estructura da un salto a la estructura de grupo.

El segundo camino para alcanzar la estructura de grupo mediante construcción, parte como premisa de que el magma verifique la divisibilidad de todos sus elementos o lo que es lo mismo, que cada uno de ellos tenga un elemento simétrico, se establece un cuasigrupo ${\displaystyle (Q,\,\,|)}$ . Si el cuasigrupo verifica la existencia de elemento neutro, estamos ante un bucle. A partir de aquí, cuando los elementos del bucle puedan asociarse entre sí mediante el operador, verificando así la propiedad asociativa, el bucle se transforma en un grupo.

El grupo (G, ${\displaystyle \circledast }$ ), debe satisfacer las siguientes propiedades, denominadas axiomática de grupo:^[10]​

1. Clausura

También conocido como cerradura, quedó establecida en la anterior definición; Cuando en (G, ${\displaystyle \circledast }$ ) el resultado de operar sus elementos entre sí es otro elemento del mismo conjunto por lo que, la operación se mantiene cerrada para dicho conjunto.

Al establecer que un conjunto (M, ${\displaystyle \circledast }$ ) posee un operador interno, estamos definiendo en dicho conjunto M, una estructura algebraica de magma.^[11]​

2. Asociatividad

Sean a, b y c elementos de (G, ${\displaystyle \circledast }$ ), se verifica que: ${\displaystyle (a\circledast b)\circledast c=a\circledast (b\circledast c)}$ . Al establecer que un conjunto (S, ${\displaystyle \circledast }$ ) cumple con la ley asociativa queda definida una estructura algebraica de semigrupo.^[11]​

3. Existencia de elemento neutro

Existe un elemento e de G que al ser operado por un elemento cualquiera a de G; deja invariante a este último ^[12]​ verificando lo siguiente, si G es un grupo abeliano (caso contrario, verificará una de sus partes): ${\displaystyle \exists e\,\,\forall a\in G\quad :\quad a\circledast e=e\circledast a=a}$ 

En grupos multiplicativos abelianos ,^[13]​ el elemento identidad, también denominado elemento unidad se denota con frecuencia como 1 o 1_G,^[14]​ una notación heredada de la identidad multiplicativa.

${\displaystyle \exists e\,\,\forall a\in G\quad :\quad a\cdot e=e\cdot a=a}$ 

En grupos no abelianos se cumplirá solamente una de sus partes, si es grupo por la izquierda: ${\displaystyle e\cdot a=a}$  y si es grupo por la derecha: ${\displaystyle a\cdot e=a}$ ; pero no se podrán cumplir ambas.

En grupos aditivos abelianos, el elemento cero, se denota con frecuencia como 0 o 0_G,.^[14]​

${\displaystyle \exists e\,\,\forall a\in G\quad :\quad \,\,a\,\,+\,\,e\,\,=\,\,e\,\,+\,\,a\,\,=\,\,a}$ 

En grupos no abelianos se cumplirá solamente una de sus partes, si es grupo por la izquierda: ${\displaystyle e\,\,+\,\,a=\,\,a}$  y si es grupo por la derecha: ${\displaystyle a\,\,+\,\,e=\,\,a}$ ; pero nunca, cumplir ambas, al no poder verificar la propiedad conmutativa.

Teorema sobre la unicidad del elemento neutro

El elemento neutro, de verificarse su existencia, es único.

Demostración: Dejamos competir dos elementos neutros en G para operar entre ellos por la izquierda: e₁ y e₂.

• Suponiendo que establezcamos de partida que e₂ es el elemento neutro, su interacción con el otro sería:

${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\bar {e_{2}}}\circledast {e_{1}}={e_{1}}}$ .

• Ahora vamos a suponer, lo contrario: e₁ es el elemento neutro:

${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\bar {e_{1}}}\circledast {e_{2}}={e_{2}}}$ .

• Se observa que:

${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{e_{1}}\,\,=\,\,{e_{2}}}$ . En consecuencia ${\displaystyle \,\,\,\,\,{e}\,=\,{e_{1}}\,=\,{e_{2}}}$ , luego solo existe un elemento neutro.

La demostración al operar entre ellos por la derecha obtiene idéntico resultado.

Los semigrupos dotados de elemento neutro además de ser definidos como semigrupos con elemento neutro lo son como monoides.

4. Existencia de elemento simétrico

Esta es la característica esencial para determinar si un conjunto G es un grupo, necesariamente, (G, ${\displaystyle \circledast }$ ) debe de ser un monoide, cumpliendo las anteriores propiedades expuestas y además, verificar la existencia del elemento simétrico para cada uno de los elementos del monoide, es decir: Para todo a de G, existe un elemento y solo uno, que denotamos como ā tal que: ${\displaystyle a\circledast {\bar {a}}=e}$ ; siendo e el elemento neutro de G y ā el elemento simétrico de a; ${\displaystyle \forall a\in G\,\,\exists {\bar {a}}/\,\,\,a\circledast {\bar {a}}=e.}$ 

En grupos no conmutativos, el orden en el que se hace la operación de grupo es esencial porque el resultado de operar el elemento a con el elemento ā puede ser distinto al obtenido operando ā con a y entonces verifica la propiedad de manera parcial, puede ser simétrico por la izquierda o simétrico por la derecha.

Así es posible verificar lateralmente la existencia de elemento simétrico si:

En grupos no conmutativos simétricos por la derecha, se verifica ${\displaystyle \forall a\in G\,\,\exists {\bar {a}}/\,\,a\circledast {\bar {a}}=e.}$ 

En grupos no conmutativos simétricos por la izquierda, se verifica ${\displaystyle \forall a\in G\,\,\exists {\bar {a}}/\,\,{\bar {a}}\circledast a=e.}$ 

La existencia de un elemento simétrico bilátero, debe de cumplir el requisito de ser un mismo elemento operado por ambos lados, en consecuencia, queda establecida una relación biunívoca entre un elemento dado a y su simétrico ā.

Teorema sobre la unicidad del elemento simétrico

En un grupo, cada uno de los elementos tiene un (y solo un) elemento simétrico.

Demostración: Dejamos competir dos elementos simétricos respecto a un elemento ${\displaystyle {x}}$  en G.
${\displaystyle \forall {x}\in {G}}$ ; sean los candidatos a simétrico de ${\displaystyle {x}\,\,\,\,:\,\,\,\,{\bar {x}}\,\,\,\,{y}\,\,\,\,{\tilde {x}}\,\,\,\,;\,\,\forall \,\,{\bar {x}}\,\,\wedge \,\,{\tilde {x}}\,\,\in {G}}$ .

Operamos por la izquierda:
${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\bar {x}}\circledast {x}={e}}$ . ${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tilde {x}}\circledast {x}={e}}$ .
Y ahora, por la derecha:
${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x}\circledast {\bar {x}}={e}}$ . ${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x}\circledast {\tilde {x}}={e}}$ .

Deduciéndose que:
${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\bar {x}}\circledast {x}={x}\circledast {\bar {x}}=e}$  ${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tilde {x}}\circledast {x}={x}\circledast {\tilde {x}}=e}$ 

En consecuencia y aplicando el teorema cancelativo:
Por la izquierda:
${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\bar {x}}\circledast {x}={\tilde {x}}\circledast {x}\Longrightarrow {\bar {x}}={\tilde {x}}}$ 
Y por la derecha:
${\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x}\circledast {\bar {x}}={x}\circledast {\tilde {x}}\Longrightarrow {\bar {x}}={\tilde {x}}}$ 

Luego solo existe un elemento simétrico para ${\displaystyle \,\,\,\,\,{x}\,=\,{\bar {x}}\,=\,{\tilde {x}}}$ .

5. Propiedad conmutativa

Sean a y b elementos de (G, ${\displaystyle \circledast }$ ) cuando es posible operar en cualquier orden de manera indistinta: a con b o b con a, para obtener un mismo resultado; se está cumpliendo la conmutatividad en el grupo: ${\displaystyle a\circledast b=b\circledast a}$ .

Los grupos que son conmutativos, se denominan grupos abelianos y su notación es Ab

En grupos abelianos multiplicativos, la propiedad conmutativa se expresa de esta manera: ${\displaystyle \forall a\in G\,\,\exists a^{-1}\,:\,{a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a}=1}$ 

En los grupos no conmutativos multiplicativos, solamente es verificable una de sus partes, o bien: ${\displaystyle a\cdot a^{-1}=1}$  o bien: ${\displaystyle a^{-1}\cdot a=1}$ , dependiendo de que, respectivamente, se trate de un grupo lateral por la derecha o por la izquierda.

En grupos abelianos aditivos, la propiedad conmutativa se expresa de esta manera: ${\displaystyle \forall a\in G\,\,\exists (-a)\,:\,a+(-a)=(-a)+a=0}$ 

En los grupos no conmutativos aditivos, solamente es verificable una de sus partes, o bien: ${\displaystyle a+(-a)=0}$  o bien: ${\displaystyle (-a)+a=0}$ , dependiendo de que, respectivamente, se trate de un grupo lateral por la derecha o por la izquierda.

Cuando un grupo verifica lateralmente su conmutatividad, no es un grupo abeliano, en todo caso es un grupo semiconmutativo por la derecha o por la izquierda.

Notación y nomenclatura en teoría de grupos

Axiomática de grupos

El par (G,${\displaystyle \circledast }$ ) representa a un conjunto, no necesariamente numérico, al que denotamos con G (de grupo) y un operador interno general «${\displaystyle \circledast }$ », que no implica que sea una operación aritmética al uso, también podría significar una sustitución, una rotación, un giro, una trasposición, etc.

• Se pueden utilizar otras letras mayúsculas para representar a los conjuntos que son grupos, en general, se prefiere el uso de las letras A hasta G inclusive, excepto C (complejos), siendo la primera opción G.
  • En el caso de subgrupos, la primera opción es H y siguientes, exceptuando K (cuerpos), N (naturales), R (reales), I (identidad o irracionales), Q (racionales) y Z (enteros) o cualquier otra que origine falta de claridad expositiva.
• Los elementos de grupo se representan con letras minúsculas: a, b, c, d, f, g...
  • Los elementos simétricos respecto a uno dado, se representan con la misma letra marcados con macrón: ${\displaystyle {\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}},{\bar {d}},{\bar {f}},{\bar {g}},...}$ .
  • El elemento neutro se representa con la letra e y nunca se utilizará ${\displaystyle {\bar {e}}}$  por carecer de simétrico, en general.
• Para representar las leyes de composición internas, emplearemos los siguientes símbolos:

${\displaystyle \odot \;,\quad \circledcirc \;,\quad \oplus \;,\quad \ominus \;,\quad \circledast \;,\quad \otimes \;,\quad \oslash \;.}$ 

Grupos multiplicativos

• Operación producto o multiplicación: La notación más frecuente en los libros de texto y cuyo uso depende del contexto del discurso, es la siguiente (entre otras):

En conjuntos que estructuran en grupos abstractos en general, sean numéricos o anuméricos:
${\displaystyle \bullet \;,\quad \ast \;,\quad \star \;,\quad \odot }$ 

En espacios y subespacios vectoriales:
${\displaystyle \bullet \;,\quad \otimes \;,\quad \odot }$ 

En conjuntos numéricos aritméticos:
${\displaystyle \times \;,\quad \ast \;,\quad \cdot }$ 

En el contexto aritmético se prescinde del uso del signo: ${\displaystyle a\cdot b=ab}$ .

• Elemento neutro que pasa a denominarse elemento unidad o identidad: 1, en lugar de ${\displaystyle e}$  y para distinguir el elemento identidad entre dos o más grupos, notaremos junto a 1, un sub-índice derecho con el nombre del grupo: p.ej. G o del subgrupo: p.ej. H
  • Elemento unidad del grupo G: 1_G
  • Elemento unidad del subgrupo H: 1_H
  • Elemento simétrico: En los grupos multiplicativos se denomina elemento inverso y su notación es: ${\displaystyle x^{-1}}$ .

En el contexto aritmético es usual el uso del signo "por": ${\displaystyle \times }$  o su elisión.

La división es un caso específico del producto, simbolizada por signos como «:», «/» y en casos especiales: «\», «/» y «|», siendo considerada la operación opuesta a la multiplicación.

En el estudio de las estructuras algebraicas se considera al operador producto, como el operador que incluye a ambas operaciones aritméticas, aunque es posible especificar el operador cociente o división por la naturaleza del grupo a estudiar, en este caso se usan los signos específicos:«:», «/», «\», y «|».
${\displaystyle (+a)\times (+b)=+ab\quad }$ 
${\displaystyle (+a):(+b)=a\times b^{-1}=+ab^{-1}\quad }$ 
${\displaystyle (+a)\times (-b)=-ab\quad }$ 
${\displaystyle (a):(-b)=a\times (-b^{-1})=-ab^{-1}\quad }$ 
${\displaystyle (-a)\times (+b)=-ab\quad }$ 
${\displaystyle (-a):(+b)=(-a)\times b^{-1}=-ab^{-1}\quad }$ 
${\displaystyle (-a)\times (-b)=+ab\quad }$ 
${\displaystyle (-a):(-b)=(-a)\times (-b^{-1})=+ab^{-1}\quad }$ 

Dados dos grupos, uno potenciativo ${\displaystyle (G,x^{n})}$  y el otro, multiplicativo ${\displaystyle (G^{*},\times )}$ ; se establece una aplicación que verifica lo siguiente:

${\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\,\,\,\,\,\,{\text{veces}}}}$ 
${\displaystyle \forall {x}\in G\,\,\,\Rightarrow a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} }$ 

En el entorno de los naturales, entre el grupo potenciativo ${\displaystyle (\mathbb {N} ,x^{n})}$  y el multiplicativo ${\displaystyle (\mathbb {N^{*}} ,\times )}$ ; se establece una aplicación que verifica lo siguiente:

${\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\,\,\,\,\,\,{\text{veces}}}}$ 
${\displaystyle \forall {n}\in \mathbb {N^{*}} \,\,\,\Rightarrow a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} }$ 

ampliamente conocido en la literatura aritmética básica.

Las notaciones del tipo ${\displaystyle \quad {\frac {1}{a}}}$  o ${\displaystyle 1/a}$  quedan restringidas para el área aritmética, con grupos numéricos, exclusivamente. Esta notación es equivalente a la notación algebraica ${\displaystyle a^{-1}}$  para significar el inverso de ${\displaystyle a\,\,\,\,\,\,\forall \,a\,\in \mathbb {X^{*}} }$  siendo ${\displaystyle \mathbb {X^{*}} }$ , un grupo numérico abeliano multiplicativo, como los siguientes: ${\displaystyle [\mathbb {Q^{*}} \,\,\vee \,\,\mathbb {R^{*}} \,\,\vee \,\,\mathbb {C^{*}} \,\,,\,\,\,\,\bullet \,\,]}$ .

El contraejemplo puede extraerse del grupo de matrices cuadradas inversibles de orden 2, donde representaremos por ${\displaystyle A^{-1}}$  a la matriz inversa de ${\displaystyle A}$  y nunca hemos de utilizar la notación anterior, como ${\displaystyle {\frac {1}{A^{-1}}}}$ .

Grupos aditivos

• Operación: «+», llamada adición (puede ser suma o resta, en función del signo de los números operados). También se utiliza el signo «${\displaystyle \oplus }$ » restringido al ámbito abstracto y a la aritmética propia de los espacios vectoriales, de hecho, la suma de subespacios está representada por este signo. P.ej. ${\displaystyle \,S\,\oplus T\,\,}$  nos informa de la adición de los subespacios vectoriales S y T, en vez de utilizar el símbolo conjuntista de unión «${\displaystyle \,\cup \,}$ ».
• En los grupos aditivos, es necesario considerar al {0} como parte necesaria del conjunto estructurado al tratarse del elemento neutro para la adición, denominado elemento cero o nulo: 0, en lugar de ${\displaystyle e}$ .

Para distinguir el elemento cero entre dos o más grupos, notaremos junto a 0, un sub-índice derecho con el nombre del grupo: p.ej. G o del subgrupo: p.ej. H:

• • Elemento unidad del grupo G: 0_G
  • Elemento unidad del subgrupo H: 0_H
  • Elemento simétrico: que pasa a denominarse elemento opuesto de un elemento ${\displaystyle \,\,\,x}$  del grupo:${\displaystyle \,\,\,-\,\,x\,\,}$ . También el opuesto de ${\displaystyle \,\,-\,\,x\,\,}$  es ${\displaystyle \,\,-\,\,(\,\,-\,x\,\,)=\,\,\,x}$ , en lugar de ${\displaystyle {\bar {x}}}$  para el caso general.

En el contexto aritmético es usual el uso de ambos signos: + y - ; entiéndase respectivamente como suma y resta. La resta, a nivel algebraico es un caso particular de la adición, siendo considerada la operación opuesta a la suma. En el estudio de las estructuras algebraicas se considera al operador aditivo como el operador que incluye a ambas operaciones aritméticas.
${\displaystyle (+a)+(+b)=a+b\quad }$ 
${\displaystyle (+a)+(-b)=a-b}$  ^[12]​
${\displaystyle (-a)+(+b)=b-a\quad }$ 
${\displaystyle (-a)+(-b)=-(a+b)=(-a)+(-b)=-a-b.}$ 

Es importante distinguir entre operador aditivo y signo del número. Los signos están notados entre paréntesis junto al número, porque forma parte de la manera en que el número es representado, mientras que el operador figura entre números, fuera de los paréntesis. Para mayor aclaración, las propiedades anteriores van a ser notadas con símbolos distintos para diferenciar entre operador aditivo (con el signo ${\displaystyle \oplus }$  y en negritas: + , -) y signo:
${\displaystyle (+a)\oplus (+b)=a\,\,\,}$ +${\displaystyle \,\,\,b}$ .
${\displaystyle (+a)\oplus (-b)=a\,\,\,}$ -${\displaystyle \,\,\,b}$ .
${\displaystyle (-a)\oplus (+b)=-a\,\,\,}$ +${\displaystyle \,\,\,b\,\,\,=\,\,\,b\,\,\,}$ -${\displaystyle \,\,\,a}$ .
${\displaystyle (-a)\oplus (-b)=-(a\,\,\,}$ +${\displaystyle \,\,\,b)=(-a)\,\,\,}$ +${\displaystyle \,\,\,(-b)}$ .

Dados dos grupos, uno aditivo ${\displaystyle (G,+)}$  y el otro, multiplicativo ${\displaystyle (G^{*},\times )}$ ; se establece una aplicación que verifica lo siguiente:

${\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\,\,\,\,\,\,veces}}$ 
${\displaystyle \forall {n}\in G^{*}\,\,\,\Rightarrow na=\overbrace {a+a+a+...+a} }$ 

En el entorno de los naturales, el aditivo ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$  respecto al multiplicativo ${\displaystyle (\mathbb {N^{*}} ,\times )}$ ; establece una aplicación que verifica lo siguiente:

${\displaystyle \quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\,\,\,\,\,\,veces}}$ 
${\displaystyle \forall {n}\in \mathbb {N^{*}} \,\,\,\Rightarrow na=\overbrace {a+a+a+...+a} }$ 

ampliamente conocido en la literatura aritmética básica.

Teoremas de grupo

Teorema cancelativo

Cuando en un grupo ${\displaystyle (G,\circledast )}$ , dados los elementos de ese grupo: ${\displaystyle \,\,a\,\,,b\,\,,c\,\,\in G}$  tomamos como referencia al elemento ${\displaystyle a}$  para verificar el cumplimiento de la ley cancelativa por la izquierda (tómese ${\displaystyle a}$  como el elemento que opera a la izquierda de los demás), de tal manera que:
${\displaystyle \,\,a\,\,\circledast \,\,b\,\,=\,\,a\,\,\circledast \,\,c\,\,\Rightarrow \,\,b\,\,=\,\,c\,\,}$ 
Si el grupo verifica el cumplimiento de la ley por la derecha:
${\displaystyle \,\,b\,\,\circledast \,\,a\,\,=\,\,c\,\,\circledast \,\,a\,\,\Rightarrow \,\,b\,\,=\,\,c\,\,}$ 
verifica la bilateralidad de la ley, haciéndola válida para grupos abelianos.

Teorema sobre la existencia de una solución única en una ecuación lineal en (${\displaystyle G,\circledast }$ )

Cuando en un grupo ${\displaystyle (G,\circledast )}$  se dan elementos conocidos: ${\displaystyle \,\,a\,\,}$  y ${\displaystyle \,\,b\,\,\in G}$  y un elemento desconocido ${\displaystyle \,\,x\,\,\in \,\,G}$  relacionados entre sí mediante la ecuación, por la izquierda fijado en ${\displaystyle a}$ :
${\displaystyle \,\,a\,\,\circledast \,\,x\,\,=\,\,b\,\,}$ 
Se verifica que x tiene en ${\displaystyle G}$  un valor concreto y único:${\displaystyle \,\,x\,\,=\,\,{a^{-1}}\,\,\circledast \,\,b\,\,}$ . De idéntica manera, puede tratarse el caso de una ecuación fijado en ${\displaystyle a}$  por la derecha, de tal manera que:
${\displaystyle \,\,y\,\,\circledast \,\,a\,\,=\,\,b\,\,}$ 
Verificándose que y tiene en ${\displaystyle G}$  un valor concreto y único:${\displaystyle \,\,y\,\,=\,\,b\,\,\circledast \,\,{a^{-1}}\,\,}$ .
En grupos abelianos al verificarse la bilateralidad de este teorema:
${\displaystyle \,\,a\,\,\circledast \,\,x\,\,=\,\,b\,\,}$  es equivalente a ${\displaystyle \,\,y\,\,\circledast \,\,a\,\,=\,\,b\,\,}$ 

En consecuencia, mediante la utilización del teorema cancelativo, la solución es única:
${\displaystyle x=y\Leftrightarrow {a^{-1}}\circledast {b}={b}\circledast {a^{-1}}}$ .

Tipología en grupos

• Grupo abeliano (o conmutativo). Es el grupo cuyos elementos verifican entre sí la propiedad conmutativa, es decir que ${\displaystyle \forall a,b\in G}$ ; ${\displaystyle a\circledast b=b\circledast a}$ 
  • Grupo abeliano con torsión. Son una clase de grupos abelianos donde sus elementos son de torsión, de tal manera que, si para algún ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , se verifica que ${\displaystyle a^{n}=1}$  manteniendo el mismo orden que a, para todo a ∈ G.
• Grupo cíclico. Es el grupo que verifica estar generado por un solo elemento; es decir, supongamos que un conjunto A es grupo con respecto a una operación *. Si existe un elemento g en A tal que cualquier otro elemento de A se obtiene operando g o su inverso g^-1 reiteradamente:

${\displaystyle A=\{...,g^{-r},...,g^{-1},g^{0}=1,g^{1}=g,g^{2},...,g^{r},...\}=\{g^{r}|r\in \mathbb {Z} \},}$ 

entonces se dice que (A,*) es un grupo cíclico y que g es un generador de A, lo cual se denota por A=<g>. La clasificación de grupos cíclicos afirma que los finitos son isomorfos a ℤ/nℤ* (ℤ* ${\displaystyle \equiv }$  ℤ - {0}) y los infinitos con ℤ.

• Grupo finito. Es un grupo con un número finito de elementos.
• Grupo de Lie. Es un grupo que además posee una estructura topológica de variedad diferenciable.
• Grupo libre.
• Grupos de Klein.

Descripción de algunos grupos notables: ejemplos

Grupos abelianos aditivos

• El grupo abeliano aditivo de los números enteros (ℤ, +): Teniendo en cuenta que los números enteros son los números naturales positivos, los enteros negativos y el cero; la adición de dos números naturales es otro número natural y cumple todas las propiedades de grupo abeliano.

1. ${\displaystyle \mathbb {Z} \,\,\equiv \mathbb {Z^{+}} \cup \mathbb {Z^{-}} \cup \mathbb {Z^{0}} }$ 
2. ${\displaystyle \forall \,\,(+x)\,\,\in \,\,\mathbb {Z^{+}} \,\,\,\wedge \,\,\,\forall \,\,(-x)\,\,\in \,\,\mathbb {Z^{-}} \,\,/\,\,(+x)+(-x)=0\,\,\in \,\,\mathbb {Z^{0}} }$ 
3. (ℤ, +) posee un solo elemento nulo o elemento cero, es el número 0, representado en la clase unitaria ${\displaystyle \mathbb {Z^{0}} }$ 
4. En (ℤ, +), cada elemento tiene su opuesto y viceversa. Sea ${\displaystyle (+x)\in \,\,\mathbb {Z^{+}} \,\,\,\,\exists \,!\,\,(-x)\in \,\,\mathbb {Z^{-}} /(+x)+(-x)=0}$ ; de tal manera que el opuesto de (+ x) es (- x) y el opuesto de (- x) es (+x)

• El grupo abeliano aditivo de los números racionales (ℚ, +)
• El grupo abeliano aditivo de los números reales (ℝ, +)
• El grupo abeliano aditivo de los números complejos (ℂ, +)
• El grupo abeliano aditivo de los vectores libres en el plano sobre un cuerpo K = ℝ o ℂ [${\displaystyle \mathbb {V^{2}(K)} ,+]}$ 
• El grupo abeliano aditivo de los vectores libres en el espacio sobre un cuerpo [${\displaystyle \mathbb {V^{3}(K)} ,+]}$ 
• El grupo abeliano aditivo de los vectores libres en el n-espacio sobre un cuerpo [${\displaystyle \mathbb {V^{3}(K)} ,+]}$ 
• El grupo abeliano aditivo de las matrices de dimensión m ${\displaystyle \cdot }$  n y coeficientes sobre un cuerpo K [${\displaystyle {\mathcal {M_{m\cdot n}}}(\mathbb {K} ),+]}$ 
• El grupo abeliano aditivo de las funciones reales de variable real [${\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathbb {R} }$ X${\displaystyle \mathbb {R} ),+]}$ 
• El grupo abeliano aditivo de las sucesiones de números reales con la suma de sucesiones [${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ),+]}$ 

Grupos abelianos multiplicativos

Para poder definir una estructura de grupo abeliano multiplicativo sobre los conjuntos numéricos usuales, es necesario que sean desprovistos del elemento {0}, debido a que el 0 no es divisor de ningún elemento y la estructura pierde estabilidad. La notación para nombrar un conjunto numérico sin el cero es de la forma ${\displaystyle \mathbb {X^{*}} }$  que equivalente a ${\displaystyle \mathbb {X} }$  - {0}. En general, para los grupos abelianos multiplicativos, se cumple lo que sigue:

1. ${\displaystyle \forall \,\,x\,\,\in \,\,\mathbb {G^{*}} \,\,\,\wedge \,\,\,\forall \,\,x^{-1}\,\,\in \,\,\mathbb {G^{*}} \,\,/\,\,x\cdot x^{-1}=1\,\,\in \,\,\mathbb {G^{*}} }$ 
2. (G*,${\displaystyle \times }$ ) posee un solo elemento identidad o elemento unidad, es el número 1.
3. En (G*,${\displaystyle \times }$ ), cada elemento tiene su inverso y viceversa. Sea ${\displaystyle x\in \,\,\mathbb {G^{*}} \,\,\,\,\exists \,!\,\,x^{-1}\in \,\,\mathbb {G^{*}} /x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1}$ ; de tal manera que el opuesto de x es ${\displaystyle x^{-1}}$  y el opuesto de ${\displaystyle x^{-1}}$  es x.

• El grupo abeliano multiplicativo de los números racionales (ℚ*,${\displaystyle \times }$ )
• El grupo abeliano multiplicativo de los números reales (ℝ*, ${\displaystyle \times }$ )
• El grupo abeliano multiplicativo de los números complejos de módulo 1 (ℂ*₁, ${\displaystyle \times }$ )
• El grupo abeliano multiplicativo de las funciones reales de variable real no nulas con la operación producto de funciones [${\displaystyle {\mathcal {F}}(\mathbb {R} }$ X${\displaystyle \mathbb {R} ),\times ]}$ 
• El grupo abeliano multiplicativo de las sucesiones de números reales con el producto de sucesiones no nulas [${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ),\times ]}$ 

Grupos no conmutativos

• Las matrices cuadradas de n columnas con coeficientes reales y determinante distinto de cero forman un grupo con el producto de matrices, grupo que no es conmutativo cuando n>1.

Otros ejemplos de grupos no conmutativos se obtienen al considerar grupos de transformaciones, donde la operación es la composición de aplicaciones y el elemento neutro es la identidad:

• El grupo de los movimientos del espacio o grupo de isometría del espacio euclídeo, el grupo de las semejanzas del plano o el grupo de las afinidades de una recta (las aplicaciones de la forma x-->ax+b con a distinto de cero).
• El grupo de Galileo, formado por las transformaciones del espacio y el tiempo que conservan los sistemas de referencia inerciales).
• El grupo de Lorentz de la teoría de la relatividad, etc.
• El grupo de Poincaré de la teoría de campos cuánticos y clásicos, etc.

Todos estos últimos ejemplos lo son del concepto de Grupo de Lie, que son los grupos definidos por operaciones continuas sobre curvas superficies o variedades de dimensión mayor.

El grupo (ℤ/nℤ*,${\displaystyle \circledast }$)

Un grupo puede tener infinitos elementos, como por ejemplo, el grupo abeliano (ℤ, +) o el grupo abeliano multiplicativo de ℝ - {0} : (ℝ^*,·) o por el contrario tener un número finito de elementos.

Dado un número natural n, los restos que se obtienen al dividir por n (es decir, los números 0, 1, ..., n - 1) forman un grupo, este grupo se denota con ℤ/nℤ* y se denomina grupo de enteros módulo n.

Así, el grupo ℤ/(12)ℤ* es el que usamos para calcular con las horas del reloj analógico, y ℤ/(24)ℤ* para calcular las horas en el reloj digital que no distinga entre mañana o tarde, los que lo distinguen anteponen A.M. o P.M. respectivamente.

En el grupo ℤ/(12)ℤ* si tomamos algún número que tenga algún factor común con 12, por ejemplo el 10, este no puede ser multiplicado por otro número de forma que el resto de la división entre 12 sea 1, por lo que 10 no tendría inverso, es por lo que es necesario comprender que el resultado de dividir 12 entre 10 arroja el resto 2 y no otro, de esa forma, es posible considerar ℤ/(12)ℤ* como un grupo y además, el elemento del grupo (el resto 2) posee un inverso.

Así, solo son elementos del grupo ℤ/(12)ℤ* aquellos números coprimos con 12, ℤ/(12)ℤ* = {1, 5, 7, 11}.

El grupo multiplicativo ℤ/(5)ℤ* tiene que tener como mínimo al menos, 4 elementos para permitir la existencia de elemento inverso, siendo los coprimos de 5, los menores hasta el 1. ℤ/(5)ℤ* = {1, 2, 3, 4} que es el número mínimo de elementos que tiene que tener el grupo ℤ/nℤ* para permitir la existencia de elementos inversos.

En el caso de que n sea primo, como por ejemplo ℤ/(7)ℤ* serían coprimos todos los menores a 7: {1, 2, 3, 4, 5, 6} es por lo que este grupo tendrá un cardinal n - 1; Card [ℤ/(7)ℤ*] = 7 - 1 = 6.

Véase también

• grupo cíclico.
• grupo lineal.
• grupo de Lie, grupo uniparamétrico.

Grupo Monoide Semigrupo Magma Conjunto Ley de composición Interna Asociatividad Elemento neutro Elemento simétrico

Notas

1. En Mathematical Reviews se publican 3 224 artículos de investigación sobre teoría de grupos y sus generalizaciones, escritos durante el año 2005.
2. La clasificación fue anunciada en 1983, pero las diferencias se encontraron en la prueba. Véase el teorema de clasificación de grupos simples para más información.

Fuentes

Referencias

1. Lenguaje matemático, conjuntos y números (2010) Delgado Pineda,M y Muñoz Bouzo,M.J; Editorial Sanz y Torres (UNED);ISBN 978-84-92948-30-7; pág.125 y ss.
2. (Herstein, 1975, p. §2, p. 26)
3. (Hall, 1967, p. §1.1, p. 1)
4. Bourbaki, Nicolas. (1975;2014), Éléments de Mathématique (vol. I) Algèbre: Chapitres 1-3, Springer Paris, ISBN 978-3-662-43705-6 ..
5. (Lang, 2005, p. Apéndice 2, p. 360)
6. Introducción a la Teoría de Grupos ( 2009) Zaldívar, Felipe ISBN 978-968-36-3591-4 y otros; pág. 17
7. Plantilla:Harvard citations
8. Plantilla:Harvard citations
9. Plantilla:Harvard citations
10. (Herstein, 1975, p. §2, p. 27)
11. Éléments de Mathématique (vol. I) Algèbre: Chapitres 1-3 (2014) Bourbaki, Nicolás; Springer Paris; ISBN 978-3-662-43705-6
12. Lenguaje matemático, conjuntos y números (2010) Delgado Pineda,M y Muñoz Bouzo,M.J; Editorial Sanz y Torres (UNED);ISBN 978-84-92948-30-7; pág.126
13. Vea la sección de «Grupos multiplicativos» en el artículo de esta Wikipedia «Cuerpo finito»
14. Weisstein, Eric W. "Identity Element"; extraído de MathWorld.

Bibliografía

Referencias generales

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1 ., Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
• Bourbaki, Nicolas. (1975;2014), Éléments de Mathématique (vol. I) Algèbre: Chapitres 1-3, Springer Paris, ISBN 978-3-662-43705-6 ..
• Devlin, Keith (2000), The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN 978-0-8050-7254-9 ., Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
• Hall, G. G. (1967), Applied group theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, MR 0219593 ., an elementary introduction.
• Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (3rd edición), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019 ..
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (2nd edición), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988 ..
• Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3 ..
• Ledermann, Walter (1953), Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, MR 0054593 ..
• Ledermann, Walter (1973), Introduction to group theory, New York: Barnes and Noble, OCLC 795613 ..
• Murphy-Hernández, Frank y García, Jaime. Notas de Álgebra Moderna 1.
• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 ..

Referencias especiales

• Artin, Emil (1998), Galois Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-62342-9 ..
• Aschbacher, Michael (2004), «The Status of the Classification of the Finite Simple Groups» (PDF), Notices of the American Mathematical Society 51 (7): 736-740 ..
• Becchi, C. (1997), Introduction to Gauge Theories, p. 5211, Bibcode:1997hep.ph....5211B, arXiv:hep-ph/9705211 ..
• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E. A. (2001), «The groups of order at most 2000», Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 7: 1-4, MR 1826989, doi:10.1090/S1079-6762-01-00087-7 ..
• Bishop, David H. L. (1993), Group theory and chemistry, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4 ..
• Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126 (2nd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012 ..
• Carter, Roger W. (1989), Simple groups of Lie type, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50683-6 ..
• Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), «On three-dimensional space groups», Beiträge zur Algebra und Geometrie 42 (2): 475-507, MR 1865535, arXiv:math.MG/9911185 ..
• Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Geometry and Group Theory], Lecture Notes in Mathematics 1441, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, MR 1075994 ..
• Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2002), Universal algebra and applications in theoretical computer science, London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-254-1 ..
• Dudek, W.A. (2001), , Quasigroups and Related Systems 8: 15-36, archivado desde el original el 14 de julio de 2009, consultado el 21 de diciembre de 2011 ..
• Frucht, R. (1939), , Compositio Mathematica 6: 239-50, archivado desde el original el 1 de diciembre de 2008, consultado el 21 de diciembre de 2011 ..
• Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (2nd edición), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, pp. 588-596, ISBN 0-201-02918-9 ..
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1 ..
• Husain, Taqdir (1966), Introduction to Topological Groups, Philadelphia: W.B. Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3 .
• Jahn, H.; Teller, E. (1937), «Stability of Polyatomic Molecules in Degenerate Electronic States. I. Orbital Degeneracy», Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (1934-1990) 161 (905): 220-235, Bibcode:1937RSPSA.161..220J, doi:10.1098/rspa.1937.0142 ..
• Kuipers, Jack B. (1999), Quaternions and rotation sequences—A primer with applications to orbits, aerospace, and virtual reality, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05872-6, MR 1670862 ..
• Kuga, Michio (1993), Galois' dream: group theory and differential equations, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, MR 1199112 ..
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), The theory of finite groups, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, MR 2014408 ..
• Lay, David (2003), Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-70970-4 ..
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2 ..
• Michler, Gerhard (2006), Theory of finite simple groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86625-5 ..
• Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7 .
• Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric invariant theory 34 (3rd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 1304906 ..
• Naber, Gregory L. (2003), The geometry of Minkowski spacetime, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, MR 2044239 ..
• Romanowska, A.B.; Smith, J.D.H. (2002), Modes, World Scientific, ISBN 978-981-02-4942-7 ..
• Ronan, Mark (2007), Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280723-6 ..
• Rosen, Kenneth H. (2000), Elementary number theory and its applications (4th edición), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2, MR 1739433 ..
• Rudin, Walter (1990), Fourier Analysis on Groups, Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-X ..
• Seress, Ákos (1997), , Notices of the American Mathematical Society 44 (6): 671-679, MR 1452069, archivado desde el original el 8 de febrero de 2007, consultado el 21 de diciembre de 2011 ..
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear representations of finite groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, MR 0450380 ..
• Shatz, Stephen S. (1972), Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778 .
• Suzuki, Michio (1951), «On the lattice of subgroups of finite groups», Transactions of the American Mathematical Society 70 (2): 345-371, JSTOR 1990375, doi:10.2307/1990375 ..
• Warner, Frank (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6 ..
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5 ..
• Welsh, Dominic (1989), Codes and cryptography, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3 ..
• Weyl, Hermann (1952), Symmetry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8 ..

Referencias históricas

• Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5 .
• Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, II (1851–1860), Cambridge University Press ..
• O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (1996), The development of group theory ..
• Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, History of Mathematics, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2677-5 ..
• von Dyck, Walther (1882), «Gruppentheoretische Studien (Group-theoretical Studies)», Mathematische Annalen 20 (1): 1-44, doi:10.1007/BF01443322 ..
• Galois, Évariste (1908), Tannery, Jules, ed., Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois' Manuscripts], París: Gauthier-Villars . (Galois work was first published by Joseph Liouville in 1843).
• Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations], París: Gauthier-Villars .
• Kleiner, Israel (1986), «The evolution of group theory: a brief survey», Mathematics Magazine 59 (4): 195-215, MR 863090, doi:10.2307/2690312 ..
• Lie, Sophus (1973), Gesammelte Abhandlungen. Band 1 [Collected papers. Volume 1], New York: Johnson Reprint Corp., MR 0392459 ..
• Mackey, George Whitelaw (1976), The theory of unitary group representations, University of Chicago Press, MR 0396826 .
• Smith, David Eugene (1906), History of Modern Mathematics, Mathematical Monographs, No. 1 ..
• Wussing, Hans (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-45868-7 ..

Enlaces externos

•   Wikilibros alberga un libro o manual sobre Álgebra Abstracta. incluyendo un capítulo grupos.

•   Datos: Q83478
•   Multimedia: Group theory