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Isomorfismo

En matemáticas, un isomorfismo (del griego iso-morfos: Igual forma) es un homomorfismo (o más generalmente un morfismo) que admite un inverso.[1]​ El concepto matemático de isomorfismo pretende captar la idea de tener la misma estructura. Dos estructuras matemáticas entre las que existe una relación de isomorfismo se llaman isomorfas.

Definición formal

Que tiene diferente composición química que otro u otros cuerpos, pero la misma estructura molecular e igual forma cristalina. ( uso geología )



Se puede definir concisamente como un homomorfismo biyectivo tal que su inversa es también homomorfismo.[2]​ Esto es:[3][4]

Un isomorfismo entre dos conjuntos ordenados   y   es una función biyectiva   tal que:
Para todo   se tiene que   si y solo si  .

Si existe un isomorfismo entre   y  , entonces   y   se llaman isomorfos y la biyección   se conoce como isomorfismo entre   y  . Además,   y   se llaman similares entre sí.[3][5]

Si   se dice que el isomorfismo es un automorfismo. Se puede demostrar que dado un conjunto bien ordenado el único automorfismo posible es la función identidad.[4]

Propiedades en los órdenes totales

Los isomorfismos en conjuntos linealmente ordenados tienen una Relación de equivalencia, es decir, cumplen la reflexividad, la simetría y la transitividad, esto es:[4]

Sean  ,   y   conjuntos linealmente ordenados, luego:

  •   es isomorfo a  .
  • Si   es isomorfo a  , entonces   es isomorfo a  .
  • Si   es isomorfo a   y a su vez,   es isomorfo a   entonces   es isomorfo a  .

Historia y concepto

En el siglo XX se ha precisado en matemáticas la noción intuitiva de estructura, siguiendo la concepción de Aristóteles de la materia y la forma, según la cual cada estructura es un conjunto X dotado de ciertas operaciones (como la suma o el producto) o de ciertas relaciones (como una ordenación) o ciertos subconjuntos (como en el caso de la topología), etc. En este caso, el conjunto X es la materia y las operaciones, relaciones, etc., en él definidas, son la forma.

El descubrimiento de Platón de que la forma es lo que importa se recoge en matemáticas con el concepto de isomorfismo. Una aplicación f:X→Y entre dos conjuntos dotados del mismo tipo de estructura es un isomorfismo cuando cada elemento de Y proviene de un único elemento de X y f transforma las operaciones, relaciones, etc., que hay en X en las que hay en Y. Cuando entre dos estructuras hay un isomorfismo, ambas son indistinguibles, tienen las mismas propiedades, y cualquier enunciado es simultáneamente cierto o falso. Por eso en matemáticas las estructuras deben clasificarse salvo isomorfismos.

En el siglo XX el biólogo y filósofo de la ciencia austriaco, Ludwig von Bertalanffy, recuperó este concepto como elemento en la formulación de su Teoría general de sistemas. Para este autor existían una serie de coincidencias en la evolución de los procesos que se llevan a cabo en diferentes campos del conocimiento (la biología, la demografía, la física, la sociedad, etc.) a las que denominó isomorfismo.[6]​ Resultaba importante para el planteamiento de la nueva teoría, debido a que «el isomorfismo hallado entre diferentes terrenos se funda en la existencia de principios generales de sistemas, de una teoría general de los sistemas más o menos bien desarrollada».[7]

Isomorfismo parcial

Está definido por:[4]

Un isomorfismo parcial entre dos conjuntos ordenados   y   es una función biyectiva   con   tal que para todo   se tiene que:   si y solo si  .

Ejemplos de isomorfismos

Por ejemplo, si X es el conjunto de los números reales positivos con el producto e Y es el conjunto de los números reales con la suma, la función logarítmica ln:X→Y es un isomorfismo, porque   y cada número real es el logaritmo de un único número real positivo. Esto significa que cada enunciado sobre el producto de números reales positivos tiene (sin más que sustituir cada número por su logaritmo) un enunciado equivalente en términos de la suma de números reales, que suele ser más simple.

Otro ejemplo: si en el espacio E elegimos una unidad de longitud y tres ejes mutuamente perpendiculares que concurren en un punto, entonces a cada punto del espacio podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas, obteniendo así una aplicación f:E→R³ en el conjunto de las sucesiones de tres números reales. Cuando en E consideramos la distancia que define la unidad de longitud fijada y en R³ consideramos la distancia que define la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias, f es un isomorfismo. Este descubrimiento fundamental de Descartes permite enunciar cualquier problema de la geometría del espacio en términos de sucesiones de tres números reales, y este método de abordar los problemas geométricos es el núcleo de la llamada geometría analítica.[cita requerida]

Características del isomorfismo

El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa esencialmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra, lo que nos da dos puntos de vista diferentes sobre cada cuestión y suele ser esencial en su adecuada comprensión. También significa una analogía como una forma de inferencia lógica basada en la asunción de que dos cosas son la misma en algunos aspectos, aquellos sobre los que está hecha la comparación. En ciencias sociales, un isomorfismo consiste en la aplicación de una ley análoga por no existir una específica o también la comparación de un sistema biológico con un sistema social, cuando se trata de definir la palabra "sistema". Lo es igualmente la imitación o copia de una estructura tribal en un hábitat con estructura urbana.

Los morfismos

Los isomorfismos de una estructura consigo misma de manera biyectiva se denominan automorfismos.[8]

En general, en una categoría arbitraria, los isomorfismos se definen por ser los morfismos f:X→Y que admiten un morfismo inverso h:Y→X, inverso tanto por la derecha como por la izquierda. Pueden no ser los morfismos biyectivos, como ya ocurre en el caso de los espacios topológicos.

Referencias

  1. Awodey, Steve (2006). «Isomorphisms». Category theory. Oxford University Press. p. 11. ISBN 9780198568612. 
  2. Mathworld
  3. Casanovas, E. (1998). «Teoría axiomática de conjuntos». Universidad de Barcelona: 5, 6, 7. Consultado el 23 de abril de 2013. 
  4. Hrbecek, Karel; Jech, Thomas (1999). Introduction to Set Theory (en inglés). Marcel Dekker, Inc. pp. 36, 58. 
  5. Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos: Una introducción. Sociedad Matemática Mexicana. pp. 84,85. 
  6. Von Bertalanfffy, Ludwing (2009). Teoría General de los Sistemas. Fondo de Cultura Económica. p. 82-88. ISBN 978-968-16-0627-5. 
  7. Von Bertalanffy, Ludwing (2009). Teoría General de los Sistemas. Fondo de Cultura Económica. p. 86. 
  8. «Automorphism - from Wolfram MathWorld». Consultado el 2009. 
  •   Datos: Q189112

isomorfismo, este, artículo, sección, tiene, referencias, pero, necesita, más, para, complementar, verificabilidad, este, aviso, puesto, abril, 2013, matemáticas, isomorfismo, griego, morfos, igual, forma, homomorfismo, más, generalmente, morfismo, admite, inv. Este articulo o seccion tiene referencias pero necesita mas para complementar su verificabilidad Este aviso fue puesto el 23 de abril de 2013 En matematicas un isomorfismo del griego iso morfos Igual forma es un homomorfismo o mas generalmente un morfismo que admite un inverso 1 El concepto matematico de isomorfismo pretende captar la idea de tener la misma estructura Dos estructuras matematicas entre las que existe una relacion de isomorfismo se llaman isomorfas Indice 1 Definicion formal 2 Propiedades en los ordenes totales 3 Historia y concepto 4 Isomorfismo parcial 5 Ejemplos de isomorfismos 6 Caracteristicas del isomorfismo 7 Los morfismos 8 ReferenciasDefinicion formal EditarQue tiene diferente composicion quimica que otro u otros cuerpos pero la misma estructura molecular e igual forma cristalina uso geologia Se puede definir concisamente como un homomorfismo biyectivo tal que su inversa es tambien homomorfismo 2 Esto es 3 4 Un isomorfismo entre dos conjuntos ordenados P displaystyle P leq y Q displaystyle Q leq es una funcion biyectiva h P Q displaystyle begin array rrcl h P to Q end array tal que Para todo p 1 p 2 P displaystyle p 1 p 2 in P se tiene que p 1 p 2 displaystyle p 1 leq p 2 si y solo si h p 1 h p 2 displaystyle h p 1 leq h p 2 Si existe un isomorfismo entre P displaystyle P leq y Q displaystyle Q leq entonces P displaystyle P leq y Q displaystyle Q leq se llaman isomorfos y la biyeccion h displaystyle h se conoce como isomorfismo entre P displaystyle P leq y Q displaystyle Q leq Ademas P displaystyle P y Q displaystyle Q se llaman similares entre si 3 5 Si P Q displaystyle P Q se dice que el isomorfismo es un automorfismo Se puede demostrar que dado un conjunto bien ordenado el unico automorfismo posible es la funcion identidad 4 Propiedades en los ordenes totales EditarLos isomorfismos en conjuntos linealmente ordenados tienen una Relacion de equivalencia es decir cumplen la reflexividad la simetria y la transitividad esto es 4 Sean A displaystyle A leq B displaystyle B leq y C displaystyle C leq conjuntos linealmente ordenados luego A displaystyle A leq es isomorfo a A displaystyle A leq Si A displaystyle A leq es isomorfo a B displaystyle B leq entonces B displaystyle B leq es isomorfo a A displaystyle A leq Si A displaystyle A leq es isomorfo a B displaystyle B leq y a su vez B displaystyle B leq es isomorfo a C displaystyle C leq entonces A displaystyle A leq es isomorfo a C displaystyle C leq Historia y concepto EditarEn el siglo XX se ha precisado en matematicas la nocion intuitiva de estructura siguiendo la concepcion de Aristoteles de la materia y la forma segun la cual cada estructura es un conjunto X dotado de ciertas operaciones como la suma o el producto o de ciertas relaciones como una ordenacion o ciertos subconjuntos como en el caso de la topologia etc En este caso el conjunto X es la materia y las operaciones relaciones etc en el definidas son la forma El descubrimiento de Platon de que la forma es lo que importa se recoge en matematicas con el concepto de isomorfismo Una aplicacion f X Y entre dos conjuntos dotados del mismo tipo de estructura es un isomorfismo cuando cada elemento de Y proviene de un unico elemento de X y f transforma las operaciones relaciones etc que hay en X en las que hay en Y Cuando entre dos estructuras hay un isomorfismo ambas son indistinguibles tienen las mismas propiedades y cualquier enunciado es simultaneamente cierto o falso Por eso en matematicas las estructuras deben clasificarse salvo isomorfismos En el siglo XX el biologo y filosofo de la ciencia austriaco Ludwig von Bertalanffy recupero este concepto como elemento en la formulacion de su Teoria general de sistemas Para este autor existian una serie de coincidencias en la evolucion de los procesos que se llevan a cabo en diferentes campos del conocimiento la biologia la demografia la fisica la sociedad etc a las que denomino isomorfismo 6 Resultaba importante para el planteamiento de la nueva teoria debido a que el isomorfismo hallado entre diferentes terrenos se funda en la existencia de principios generales de sistemas de una teoria general de los sistemas mas o menos bien desarrollada 7 Isomorfismo parcial EditarEsta definido por 4 Un isomorfismo parcial entre dos conjuntos ordenados P displaystyle P leq y Q displaystyle Q leq es una funcion biyectiva h X Q displaystyle begin array rrcl h X to Q end array con X P displaystyle X subseteq P tal que para todo p 1 p 2 X displaystyle p 1 p 2 in X se tiene que p 1 p 2 displaystyle p 1 leq p 2 si y solo si h p 1 h p 2 displaystyle h p 1 leq h p 2 Ejemplos de isomorfismos EditarPor ejemplo si X es el conjunto de los numeros reales positivos con el producto e Y es el conjunto de los numeros reales con la suma la funcion logaritmica ln X Y es un isomorfismo porque ln a b ln a ln b displaystyle ln ab ln a ln b y cada numero real es el logaritmo de un unico numero real positivo Esto significa que cada enunciado sobre el producto de numeros reales positivos tiene sin mas que sustituir cada numero por su logaritmo un enunciado equivalente en terminos de la suma de numeros reales que suele ser mas simple Otro ejemplo si en el espacio E elegimos una unidad de longitud y tres ejes mutuamente perpendiculares que concurren en un punto entonces a cada punto del espacio podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas obteniendo asi una aplicacion f E R en el conjunto de las sucesiones de tres numeros reales Cuando en E consideramos la distancia que define la unidad de longitud fijada y en R consideramos la distancia que define la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias f es un isomorfismo Este descubrimiento fundamental de Descartes permite enunciar cualquier problema de la geometria del espacio en terminos de sucesiones de tres numeros reales y este metodo de abordar los problemas geometricos es el nucleo de la llamada geometria analitica cita requerida Caracteristicas del isomorfismo EditarEl descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa esencialmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra lo que nos da dos puntos de vista diferentes sobre cada cuestion y suele ser esencial en su adecuada comprension Tambien significa una analogia como una forma de inferencia logica basada en la asuncion de que dos cosas son la misma en algunos aspectos aquellos sobre los que esta hecha la comparacion En ciencias sociales un isomorfismo consiste en la aplicacion de una ley analoga por no existir una especifica o tambien la comparacion de un sistema biologico con un sistema social cuando se trata de definir la palabra sistema Lo es igualmente la imitacion o copia de una estructura tribal en un habitat con estructura urbana Los morfismos EditarLos isomorfismos de una estructura consigo misma de manera biyectiva se denominan automorfismos 8 En general en una categoria arbitraria los isomorfismos se definen por ser los morfismos f X Y que admiten un morfismo inverso h Y X inverso tanto por la derecha como por la izquierda Pueden no ser los morfismos biyectivos como ya ocurre en el caso de los espacios topologicos Referencias Editar Awodey Steve 2006 Isomorphisms Category theory Oxford University Press p 11 ISBN 9780198568612 Mathworld a b Casanovas E 1998 Teoria axiomatica de conjuntos Universidad de Barcelona 5 6 7 Consultado el 23 de abril de 2013 a b c d Hrbecek Karel Jech Thomas 1999 Introduction to Set Theory en ingles Marcel Dekker Inc pp 36 58 Hernandez Hernandez Fernando 1998 Teoria de conjuntos Una introduccion Sociedad Matematica Mexicana pp 84 85 Von Bertalanfffy Ludwing 2009 Teoria General de los Sistemas Fondo de Cultura Economica p 82 88 ISBN 978 968 16 0627 5 Von Bertalanffy Ludwing 2009 Teoria General de los Sistemas Fondo de Cultura Economica p 86 Automorphism from Wolfram MathWorld Consultado el 2009 Datos Q189112Obtenido de https es wikipedia org w index php title Isomorfismo amp oldid 137121519, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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