Monoide

En álgebra abstracta, un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro, es decir, es un semigrupo con elemento neutro.

Definición formal

Un monoide ${\displaystyle (A,\circledcirc )}$  es una estructura algebraica en la que ${\displaystyle A\,}$  es un conjunto y ${\displaystyle \circledcirc }$  es una operación binaria interna en ${\displaystyle A\,}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}$ 

Que cumple las siguientes tres propiedades (la primera es redundante con la definición):^[1]​

Operación interna: para cualquiera de los dos elementos del conjunto A operados bajo ${\displaystyle \circledcirc }$ , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir: ${\displaystyle \forall x,y\in A\;:\quad x\circledcirc y\in A}$  Asociatividad: para cualquier elemento del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir: ${\displaystyle \forall x,y,z\in A\;:\quad x\circledcirc (y\circledcirc z)=(x\circledcirc y)\circledcirc z}$  Elemento neutro: existe un (único) elemento, e, en A que es neutro de la operación ${\displaystyle \circledcirc }$ , es decir: ${\displaystyle \exists \ !e\in A\;,\quad \forall x\in A\;:\quad e\circledcirc x=x\circledcirc e=x}$

Es fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Conmutatividad

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna ${\displaystyle \circledcirc }$  si: ${\displaystyle \forall a,b\in A\;:\quad a\circledcirc b=b\circledcirc a}$

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Ejemplos

Concatenación de cadenas alfanuméricas

Artículo principal: Cadena de caracteres

Dado un conjunto A de caracteres alfanuméricos, que llamaremos alfabeto, una cadena alfanumerica del alfabeto A es una secuencia de elementos de A en cualquier orden y de cualquier longitud, si tomas el conjunto como:

${\displaystyle A=\{d,e,f,g,5,8,9\}}$ 

Cadenas del alfabeto^[2]​ A, que representamos C(A) pueden ser:

${\displaystyle \langle fdggdd\rangle }$ 

${\displaystyle \langle df5d8\rangle }$ 

${\displaystyle \langle 888\rangle }$ 

${\displaystyle \langle eeefeffe\rangle }$ 

La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería:

${\displaystyle \langle \rangle }$ 

Definimos la operación ${\displaystyle \|}$  de concatenación de cadenas del alfabeto A como:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\|:&C(A)\times C(A)&\to &C(A)\\&(a,b)&\to &c=a\|b\end{array}}}$ 

que podemos representar, de las siguientes formas:

• ${\displaystyle \langle egdd\rangle \|\langle dfdf\rangle \;\to \;\langle egdddfdf\rangle }$ 

• ${\displaystyle \langle 589\rangle \|\langle gg\rangle \;\to \;\langle 589gg\rangle }$ 

podemos ver que ${\displaystyle (C(A),\|)}$  tiene estructura algebraica de monoide:

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas del alfabeto A su concatenación es una cadena de A:

${\displaystyle \forall a,b\in C(A):\quad a\|b\in C(A)}$ .

2.- Es asociativa:

${\displaystyle \forall a,b,c\in C(A):\quad a\|(b\|c)=(a\|b)\|c\;}$ 

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres de A, existe la cadena vacía ${\displaystyle \langle \rangle }$  de A, de modo que:

${\displaystyle \forall a\in C(A):\quad \exists \,\langle \rangle :\quad \langle \rangle \|a=a\|\langle \rangle =a}$ 

La concatenación de cadenas de caracteres no es conmutativa:

${\displaystyle a,b\in C(A):\quad a\|b\neq b\|a}$ 

Siendo a, b de C(A) la concatenación de a con b no es igual a la concatenación de b con a.

Luego la concatenación de cadenas alfanuméricas es un monoide no conmutativo.

Multiplicación de números naturales

Partiendo del conjunto de los números naturales:

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,\dots \}\,}$ 

y la operación multiplicación, podemos ver que: ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )}$  es un monoide

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural:

${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {N} :\quad a\times b\in \mathbb {N} }$ .

2.- Es asociativa:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} :\quad a\times (b\times c)=(a\times b)\times c\;}$ 

3.- Tiene elemento neutro: el 1 en N, es neutro para todos los números naturales ya que cumple:

${\displaystyle \exists \,1\in \mathbb {N} :\quad \forall a\in \mathbb {N} :\quad 1\times a=a\times 1=a}$ 

4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa:

${\displaystyle \forall a,b\in A:\quad a\times b=b\times a\;}$ 

El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación: ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )}$ , tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

En la teoría de categorías

Una categoría monoidal^{[cita requerida]}, es una categoría con una operación binaria que convierte a la categoría en un monoide. Dos ejemplos:

1. La categoría de conjuntos con la unión disjunta de conjuntos y el conjunto vacío como elemento neutro.
2. La categoría ${\displaystyle \mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }}$  de los espacios vectoriales sobre un campo ${\displaystyle \mathbb {K} }$  junto con el producto tensorial de espacios vectoriales y a ${\displaystyle \mathbb {K} }$  como el elemento neutro.

Véase también

Grupo Monoide Semigrupo Magma Conjunto Ley de composición Interna Asociatividad Elemento neutro Elemento simétrico

Referencias

1. Álgebra (1971) Lang, Serge, versión española de Milagros Ancoche ISBN 84-03-20216-4; pg.3
2. Hernández Rodríguez, Leonardo Alonso; Jaramillo Valbuena, Sonia; Cardona Torres, Sergio Augusto (2010). «2.1.2». Practique la teoría de autómatas y lenguajes formales. Ediciones Elizcom. p. 8. ISBN 978-958-44-7913-6. 

Bibliografía

1. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando. Álgebra lineal (2 edición). Ediciones Pirámide, S.A. ISBN 978-84-368-0174-3.  La referencia utiliza el parámetro obsoleto |coautores= (ayuda)

Enlaces externos

• Enciclopedia Libre Universal en Español: Monoide
• CIENCIA.NET: Monoide (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).

•   Datos: Q208237