Cuerpo finito

En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois)^[1]​ es un cuerpo definido sobre un conjunto finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía. Todos los cuerpos finitos tienen un número de elementos q = pⁿ, para algún número primo p y algún entero positivo n. Para cada cardinalidad q así definida hay una y solo una manera posible de definir un cuerpo finito, por lo que todos los cuerpos finitos del mismo orden son isomorfos entre sí.^[2]​

Clasificación

Dado que todo cuerpo de característica 0 contiene a los racionales y es por lo tanto infinito, todos los cuerpos finitos tienen característica p prima. Por lo tanto, su tamaño (o cardinalidad) es de la forma pⁿ, para algún entero positivo n > 0 (pues el cuerpo es un espacio vectorial sobre el subcuerpo de cardinalidad p generado por el elemento 1). Sin embargo, no es cierto en general que todo cuerpo de característica prima sea finito.

Para todo primo p, los enteros módulo p forman un cuerpo de p elementos, denotado por Z/pZ (pues su grupo aditivo es isomorfo al grupo cíclico de p elementos), F_p, o GF(p); en algunos casos se usa Z_p, aunque esta notación es evitada por teoristas de los números, pues puede crear confusión con el anillo de los números p-ádicos. Todo cuerpo con p elementos es isomorfo a este.

Si q = pⁿ es una potencia de un primo, existe (salvo isomorfismo) exactamente un cuerpo con q elementos, en concreto, el cuerpo de descomposición de ${\displaystyle x^{p^{n}}-x}$  sobre ${\displaystyle \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} }$ .^[3]​ Dicho cuerpo se denota por F_q, F[pⁿ] o GF(pⁿ) y se puede construir de la siguiente manera:

• se toma un polinomio irreducible f(X) de grado n con coeficientes en F_p,
• se defíne F_q = F_p[X] / <f(X)>, donde
  • F_p[X] denota el anillo de todos los polinomios con coeficientes en F_p,
  • <f(X)> denota el ideal generado por f(X),
  • la barra diagonal indica que se toma el anillo cociente (definido de forma similar al grupo cociente).

El polinomio f(X) se puede hallar factorizando X^q-X sobre F_p. El cuerpo F_q contiene una copia de F_p como subcuerpo.

No hay otros cuerpo finitos.

Ejemplos

Cuerpo F[7]

Sea F[7] el conjunto de los enteros módulo 7 bajo la adición y multiplicación módulo 7. Es decir, los elementos de F[7] son las clases de equivalencia representadas por los elementos [0], [1], [2], [3], [4], [5] y [6] donde:

• [a] + [b] = [j], siendo [j] el resto de la división de (a + b)/7 ( por ejemplo [5] + [6] = [4], puesto que 5+6=11, que dividido por 7, da resto 4).
• [a] x [b] = [k] donde [k] es el resto de la división de (a x b)/7 (Por ejemplo, [5] x [6] = [2], puesto que 5 x 6 = 30 y 30 entre 7, da como resto 2).

Se verifica que F[7] es un anillo conmutativo con elemento unitario [1]. Además se cumple:

• [1] x [1] = [1] = [6] x [6].
• [2] x [4] = [1] = [4] x [2].
• [3] x [5] = [1] = [5] x [3].

Los elementos de F[7] distintos de cero forman un grupo abeliano bajo la multiplicación. F[7] es, pues, un campo. Puesto que tiene un número finito de elementos es un campo finito.

Aritmética en F[7]

Cociente

Sean a y b ≠ 0, elementos de F'[7], diremos que a÷b = c s.s.s. a = b×c

Como ejemplo 5÷3= 5×3^-1 =4, pues 3×4= 5.

Potencia

1. Para todo a≠0; a⁰ =1
2. a^h+1 = a^ha ; h está en ℤ

Ejemplo 2²= 2¹×2 = 2×2 = 4

Raíz cuadrada

sea a elemento de F'[7], diremos que b, si existe, es la raíz cuadrada de a si a = b²

Ejemplo ${\displaystyle {\sqrt {2}}=3\lor 4}$ , pues 3² = 2 o 4² = 2; sólo tienen sendas raíces 1, 2 y 4^[4]​

Cuerpo F[2²]

El cuerpo F[2²] se construye como el anillo cociente entre el anillo de polinomios con coeficientes en F[2] sobre el ideal generado por un polinomio irreducible, por ejemplo, f(x) = x² + x + 1.

${\displaystyle F[4]=F_{2}[X]/\langle x^{2}+x+1\rangle }$ 

El cuerpo F₄ puede representarse como el conjunto ${\displaystyle \{0,1,\alpha ,\alpha +1\}}$  donde la suma y la multiplicación quedan definidas considerando que ${\displaystyle \alpha ^{2}+\alpha +1=0}$ . Por ejemplo, para hallar

${\displaystyle (\alpha )(\alpha +1)=(\alpha ^{2}+\alpha )=(\alpha ^{2}+\alpha +1)+1=1\ }$  (ya que 1 + 1 = 0 en F₂)

Para encontrar un inverso multiplicativo de ${\displaystyle \alpha }$  en este campo, se debe encontrar un polinomio ${\displaystyle g(\alpha )}$  tal que ${\displaystyle \alpha \times g(\alpha )=1\ mod\ (\alpha ^{2}+\alpha +1)}$ ; el polinomio ${\displaystyle g(\alpha )=\alpha +1}$  cumple esta propiedad, de modo que es el inverso de ${\displaystyle \alpha }$ .

Obsérvese que el campo F₄ no tiene relación con el anillo Z₄ de enteros módulo 4.

Otros ejemplos

Para construir el campo F[3³], se comienza con el polinomio irreducible (en F₃) x³ + x² + x - 1. Se tiene entonces

${\displaystyle F[3^{3}]=F_{3}[X]/\langle x^{3}+x^{2}+x-1\rangle }$ 

De modo equivalente, F[3³] = {ax² + bx + c | a, b, c ∈ F₃}, donde la multiplicación se define considerando que x³ + x² + x - 1 = 0.

Las matrices ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{0}&b_{0}\\-b_{0}&a_{0}\end{pmatrix}}}$  con a₀ y b₀ elementos de Z₃ forman un campo de 9 elementos, y el grupo multiplicativo de este campo, es cíclico, de orden 8. Es por tanto isomorfo a F[3²].

Propiedades

• Todos los elementos de ${\displaystyle F_{q}}$  satisfacen la ecuación polinómica ${\displaystyle \quad x^{q}-x=0}$ .

Demostración

Dado un campo finito ${\displaystyle F_{q}}$  de orden q = p^n (con p primo), el grupo multiplicativo ${\displaystyle F_{q}^{\times }}$  es de orden q-1, por lo que para todo ${\displaystyle x\in F_{q}^{\times }:\quad x^{q-1}=1}$ , y por tanto ${\displaystyle \quad x^{q}=x}$

Grupo multiplicativo

Dado un cuerpo ${\displaystyle F_{q}}$ , su grupo multiplicativo ${\displaystyle F_{q}^{\times }}$  es un grupo cíclico de orden q-1.^[5]​

Demostración^[6]​

La demostración se obtiene probando que todo subgrupo de ${\displaystyle F_{q}^{\times }}$  es cíclico. Sea G uno de tales subgrupos, de orden ${\displaystyle p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{k}^{e_{k}}}$ . Por el teorema fundamental de grupos finitos abelianos, ${\displaystyle G\cong Z_{p_{1}^{e_{1}}}\otimes Z_{p_{2}^{e_{2}}}\otimes ...\otimes Z_{p_{k}^{e_{k}}}}$  Sea m el mínimo común múltiplo de ${\displaystyle p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{k}^{e_{k}}}$  Dado que todo ${\displaystyle x\in G}$  satisface ${\displaystyle x^{r}-1=0}$  para algún r que divide a m, entonces satisface ${\displaystyle x^{m}-1=0}$  Puesto que ${\displaystyle x^{m}-1=0}$  tiene como máximo m raíces en F, entonces ${\displaystyle n\leqslant m}$ . Por otro lado ${\displaystyle m\leqslant |G|}$ , por lo que ${\displaystyle m=n}$  Por tanto G contiene un elemento de orden n por lo que es cíclico.

Esto significa que si F es un campo finito de q elementos, siempre hay al menos un elemento x ∈ F tal que F = { 0, 1, x, x²,..., x^q-2 }. Los elementos x que cumplen esta condición reciben el nombre de elementos primitivos y el número de ellos viene dado por ${\displaystyle \varphi (q-1)}$ , donde ${\displaystyle \varphi }$  es la función indicatriz de Euler.

Dado un elemento primitivo x, entonces para todo a ≠ 0 en F hay un único n ∈ {0,..., q - 2} tal que a = xⁿ. El valor de n para un dado a se llama logaritmo discreto de a en base x. En la práctica, aunque calcular xⁿ es relativamente trivial dado n, encontrar n para un a dado es un problema difícil, por lo que resulta de interés en criptografía.^[7]​

Subcuerpos

El cuerpo ${\displaystyle F_{q}}$  (donde q=p^m) contiene una copia de ${\displaystyle F_{q'}}$  (donde q'=pⁿ) si y solo si n divide a m. En esta situación, ${\displaystyle F_{q'}}$  es un subcuerpo de ${\displaystyle F_{q}}$ , y ${\displaystyle F_{q}}$  es una extensión de ${\displaystyle F_{q'}}$ . La razón para la dirección "si" es que hay polinomios irreducibles de cualquier grado en F_p^m.

Demostración

Es inmediato que ${\displaystyle \qquad [F_{q}:F_{p}]=m\qquad }$ , y que ${\displaystyle \qquad [F_{q'}:F_{p}]=n}$  No es posible que ${\displaystyle \qquad F_{P}\subset F_{q'}\subset F_{q}\qquad }$  a no ser que n divida a m. Suponiendo entonces que m = n k y substituyendo ${\displaystyle \qquad y=p^{n}\qquad }$  en la ecuación ${\displaystyle y^{m}-1=(y-1)\cdot (y^{m-1}+...+y+1)\qquad }$  se obtiene que q'-1 divide a q-1. Puesto que el grupo multiplicativo ${\displaystyle F_{q}^{\times }}$  es cíclico de orden q-1, y q'-1 divide a q-1 Existe ${\displaystyle \beta \in F_{q}^{\times }:\beta ^{q'-1}=1\qquad }$ , cuyas potencias q'-1 satisfacen ${\displaystyle x^{q'-1}-1=0}$  Por tanto, ${\displaystyle \qquad x^{q'}-x\qquad }$  descompone completamente a ${\displaystyle F_{q}}$ , y sus raíces forman un cuerpo de orden q'.

Si se construyen los campos finitos de forma tal que F_pⁿ esté efectivamente contenido en F_p^m siempre que n divida a m, se puede tomar la unión de todos esos campos; ésta es también un campo de característica p, aunque infinito. Es la clausura algebraica de cada uno de los campos F_pⁿ. Aun si no se construyen de esta manera los campos, se puede hablar de su clausura algebraica, aunque su construcción es ahora más delicada.

Teorema de Wedderburn

El teorema de Wedderburn, en ocasiones llamado pequeño teorema de Wedderburn para distinguirlo del teorema de Artin-Wedderburn, establece que todo dominio finito es un cuerpo. Por tanto, en lo que se refiere a los anillos finitos, no hay distinción entre dominios, anillos de división y cuerpos.^[8]​ Este teorema es equivalente a afirmar que el grupo de Brauer de todo cuerpo finito es trivial.

El teorema fue demostrado por Joseph Wedderburn en 1905, lo que supuso un avance en el ámbito de los anillos conmutativos.^[9]​

Endomorfismo de Frobenius

La función

${\displaystyle f:F_{q}\to F_{q}\quad }$ 

definida por

${\displaystyle \quad f(x):=x^{p}\quad }$ , donde ${\displaystyle \quad q=p^{n}}$ 

es biyectiva y un endomorfismo, con lo cual es un automorfismo de F. Es un caso particular de un tipo de homomorfismo llamado endomorfismo de Frobenius, en honor a Ferdinand Georg Frobenius. El hecho de que el mapa f sea sobreyectivo implica que todo campo finito es perfecto.

El automorfismo de Frobenius tiene orden n, y por lo tanto el grupo cíclico generado por este es el grupo completo de automorfismos del cuerpo.

Los primeros cuerpos finitos

F₂:

+ 0 1 0 0 1 1 1 0

× 0 1 0 0 0 1 0 1

F₃:

+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1

× 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

F₄:

+ 0 1 α α+1 0 0 1 α α+1 1 1 0 α+1 α α α α+1 0 1 α+1 α+1 α 1 0

× 0 1 α α+1 0 0 0 0 0 1 0 1 α α+1 α 0 α α+1 1 α+1 0 α+1 1 α

Nota: ${\displaystyle F[4]=F_{2}[\alpha ]/\langle \alpha ^{2}+\alpha +1\rangle }$ 

Véase también

• Teoría de cuerpos.
• Teoría de anillos.
• Anillo de división.

Referencias

Notas

1. Judson, 2012, p. 358.
2. (Artin, 2011, p. 459)
3. Birkhoff y Mac Lane, 1999, p. 456.
4. Teorema nº5, 1995, Facultad de Matemáticas UNMSM, Lima
5. (Artin, 2011, p. 461)
6. (Judson, 2012, p. 362)
7. «Discrete logarithm». planetmath.org. Consultado el 10 de septiembre de 2013. 
8. «proof of Wedderburn’s theorem». planetmath.org. Consultado el 12 de septiembre de 2013. 
9. Herstein, 1970, p. 366.

Bibliografía

• Judson, Thomas W. (2012). Abstract Algebra. Theory and Applications (pdf). disponible online bajo licencia GFDL. 
• Artin, Michael (2011). Algebra (2ª edición). Pearson Education. ISBN 978-0132413770. 
• Birkhoff, Garrett; Mac Lane, Saunders (1999). Algebra (3ª edición). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462. 
• Herstein, I. N. (1970). Algebra Moderna. México, D.F.: Trillas. 

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Cuerpo finito.
• Weisstein, Eric W. «Finite Field». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q603880
•   Multimedia: Finite fields