Fundamentos de las matemáticas

Los fundamentos de las matemáticas son el estudio de conceptos matemáticos básicos como números, figuras geométricas, conjuntos, funciones, etc. y cómo forman jerarquías de estructuras y conceptos más complejos, especialmente las estructuras fundamentalmente importantes que forman el lenguaje de las matemáticas: fórmulas, teorías y sus modelos, dando un significado a las fórmulas, definiciones, pruebas, algoritmos, etc. también llamados conceptos metamatemáticos, con atención a los aspectos filosóficos y a favorecer la unidad de la matemática. La búsqueda por los fundamentos de la matemática es una pregunta central de la filosofía de las matemáticas; la naturaleza abstracta de los objetos matemáticos presenta desafíos filosóficos especiales.

Los fundamentos de las matemáticas como un todo no apuntan a contener los fundamentos de cada tópico matemático. Generalmente, los fundamentos de un campo de estudio, se refieren a un análisis más o menos sistemático de sus conceptos más básicos, su unidad conceptual y su ordenamiento natural o jerarquía de conceptos, los cuales podrían ayudar a conectarlos con el resto del conocimiento humano. El desarrollo, surgimiento y aclaración de los fundamentos puede aparecer tarde en la historia de un campo, y podría no ser visto por algunos como su parte más interesante.

Las matemáticas siempre jugaron un rol especial en el pensamiento científico, sirviendo desde tiempos antiguos como modelo de verdad y rigor para la inquisición racional, dando herramientas o incluso fundamentos para otras ciencias (especialmente la física). Pero las matemáticas ya hacía abstracciones muy elevadas en el siglo XIX, que trajeron paradojas y nuevos desafíos, exigiendo un examen más profundo y sistemático de la naturaleza y del criterio de la verdad matemática, así como también una unificación de las diversas ramas de la matemática en un todo coherente.

La búsqueda sistemática de los fundamentos de las matemáticas empezó al fin del siglo XIX, y formó una disciplina matemática nueva llamada lógica matemática, con fuertes vínculos con la ciencia de la computación teórica. Fue mediante una serie de crisis con resultados paradójicos, que los descubrimientos se estabilizaron durante el siglo XX con un amplio y coherente cuerpo de conocimiento matemático con muchísimos aspectos o componentes (teoría de conjuntos, teoría de modelos, teoría de pruebas...), cuyas detalladas propiedades y posibles variantes aún están en campo de investigación. Su alto nivel de sofisticación técnica inspiró a muchos filósofos a conjeturar que podrían servir como modelo para los fundamentos de otras ciencias.

Crisis de los fundamentos

La crisis fundacional de la matemática (llamada originalmente en alemán: Grundlagenkrise der Mathematik) fue un término acuñado a principios del siglo XX para referirse a la situación teórica que llevó a una investigación sistemática y profunda de los fundamentos, que acabó inaugurando una nueva rama de la matemática.

Numerosas escuelas filosóficas matemáticas incurrieron en dificultades una tras otra, a medida que la asunción de que los fundamentos de la matemática podían ser justificados de manera consistentes dentro de la propia matemática fue puesta en duda por el descubrimiento de varias paradojas (entre ellas la célebre paradoja de Russell).

El término "paradoja" no debe ser confundido con el término contradicción. Una contradicción dentro de una teoría formal es una demostración formal de la existencia de un absurdo como resultado de un conjunto de asunciones inapropiadas (tales como 2 + 2 = 5), un conjunto de axiomas o teoría que da lugar a una contradicción se clasifica de inconsistente y debe ser rechazada como teoría útil (ya que en ella cualquier proposición acabaría siendo demostrable). Sin embargo, una paradoja puede referirse o bien a un resultado contraintuitivo pero verdadero, o a un argumento informal que lleva a una contradicción, así que una teoría candidata donde se atente la formalización de un argumento debe inhabilitar al menos uno de sus pasos; en este caso el problema es encontrar una teoría satisfactoria sin contradicciones. Ambos significados pueden aplicar si la versión formalizada del argumento forma la prueba de una verdad sorprendente. Por ejemplo, la paradoja de Russell puede ser expresada como "no hay un conjunto que contenga a todos los conjuntos" (exceptuando algunas teorías axiomáticas marginales).

Algunas escuelas de pensamiento al buscar acercarse al enfoque correcto a los fundamentos de las matemáticas se oponían ferozmente entre sí. La escuela liderante era la escuela de enfoque formalista, de la cual, David Hilbert era el proponente principal, culminando con lo que se conoce como Programa de Hilbert, quien pensaba en fundamentar la matemática en una pequeña base de un sistema lógico sondeado en términos del finitismo metamatemático. El oponente principal era la escuela del intuicionismo, liderada por L. E. J. Brouwer, quien resueltamente descartó el formalismo como un juego fútil con símbolos (van Dalen, 2008). La disputa fue encarnizada. En 1920 Hilbert triunfó en sacar a Brouwer, a quien él consideraba una amenaza a la matemática, eliminándolo del cuadro editorial del Mathematische Annalen, la revista líder en matemáticas en aquella época.

Perspectivas filosóficas

Artículo principal: Filosofía de la matemática

Resumen de las tres filosofías matemáticas principales:

• Platonismo: platonistas, como Kurt Gödel (1906–1978), sostienen que los números son abstractos, objetos necesariamente existentes, independientes de la mente humana.
• Formalismo matemático: formalistas, como David Hilbert (1862–1943), sostienen que la matemática no es ni más ni menos que un lenguaje matemático. Son simplemente una serie de juegos.
• Intuicionismo: intuicionistas, como L. E. J. Brouwer (1882–1966), sostienen que la matemática es una creación de la mente humana. Los números, como personajes de cuentos de hadas, son simplemente entidades mentales, que no existirían sin que nunca hubiera algunas mentes humanas que pensaran en ellos.

A principios del siglo XX, tres escuelas de filosofía de las matemáticas tenían visiones contrapuestas sobre los fundamentos matemáticos: el formalismo, el Intuicionismo y el logicismo.

Formalismo

Artículo principal: Formalismo (matemática)

La postura de los formalistas, tal como fue enunciada por David Hilbert (1862–1943), es que la matemática es sólo un lenguaje formal y una serie de juegos. De hecho, Hilbert usó el término "juego de fórmulas" en su respuesta de 1927 al criticismo de L. E. J. Brouwer:

"And to what has the formula game thus made possible been successful? This formula game enables us to express the entire thought-content of the science of mathematics in a uniform manner and develop it in such a way that, at the same time, the interconnections between the individual propositions and facts become clear... The formula game that Brouwer so deprecates has, besides its mathematical value, an important general philosophical significance. For this formula game is carried out according to certain definite rules, in which the technique of our thinking is expressed. These rules form a closed system that can be discovered and definitively stated."^[1]​

Por tanto, Hilbert insistió en que la matemática no es un juego "arbitrario" con reglas "arbitrarias", sino más bien un juego que debe coincidir con nuestro pensamiento, que son el punto de partida de nuestra exposición oral y escrita.^[1]​

"We are not speaking here of arbitrariness in any sense. Mathematics is not like a game whose tasks are determined by arbitrarily stipulated rules. Rather, it is a conceptual system possessing internal necessity that can only be so and by no means otherwise".^[2]​

La filosofía inicial del formalismo, tal como es ejemplificada por David Hilbert, es una respuesta a las paradojas de la teoría axiomática de conjuntos, que se basa en la lógica formal. Prácticamente todos los teoremas matemáticos hoy en día se pueden formular como teoremas de la teoría de conjuntos. La verdad de un enunciado matemático, en esta teoría está representada por el hecho de que una declaración se puede derivar de los axiomas de la teoría de conjuntos utilizando las reglas de la lógica formal.

El uso del formalismo por sí solo no explica varias cuestiones: ¿Por qué debemos utilizar estos axiomas y no otros, por qué debemos emplear unas reglas lógicas y no otras, por qué proposiciones matemáticas "verdaderas" (p. ej. las leyes de la aritmética) parecen ser verdad? y así sucesivamente. Hermann Weyl hará estas mismas preguntas a Hilbert:

"What "truth" or objectivity can be ascribed to this theoretic construction of the world, which presses far beyond the given, is a profound philosophical problem. It is closely connected with the further question: what impels us to take as a basis precisely the particular axiom system developed by Hilbert? Consistency is indeed a necessary but not a sufficient condition. For the time being we probably cannot answer this question...."^[3]​

En algunos casos, estas preguntas pueden ser contestadas satisfactoriamente a través del estudio de las teorías formales, en disciplinas como las matemáticas inversas y la teoría de la complejidad computacional. Como ha señalado por Weyl, los sistemas lógicos formales también corren el riesgo de inconsistencia; en la aritmética de G. Peano, esto sin duda ya se ha salvado con varias pruebas de consistencia, pero hay debate sobre si son o no son suficientemente finitistas para que tengan sentido. El segundo teorema de incompletitud de Gödel establece que los sistemas lógicos de la aritmética no pueden contener una prueba válida de su propia consistencia. Lo que Hilbert quería hacer era probar que un sistema lógico ${\displaystyle S}$  fuese consistente, basado en principios ${\displaystyle P}$  que fueran sólo una pequeña parte de ${\displaystyle S}$ . Pero Gödel demostró que los principios ${\displaystyle P}$  ni siquiera podrían demostrar su propia coherencia, por no hablar de la de ${\displaystyle S}$ !

Intuicionismo

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En filosofía de las matemáticas, el intuicionismo o neointuicionismo (contrario a preintuicionismo) es una aproximación a las matemáticas que considera todo objeto matemático como producto de la mente humana. Así por ejemplo, los números, como los personajes de los cuentos de hadas, no son más que entidades mentales, que no existiría si las mentes humanas no pensaran en ellos.

Como consecuencia de esta concepción, la existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de su construcción. La existencia de un objeto debe ser demostrada en lugar de deducirse de una demostración de la imposibilidad de su no-existencia. Luego, la prueba conocida por reducción al absurdo se vería con sospecha. Esto contrasta con el enfoque clásico, que formula que la existencia de un objeto se puede demostrar refutando su falsedad. Para los intuicionistas esto no es válido; la refutación de la falsedad de un objeto matemático no significa que es posible hallar una prueba constructiva de su existencia. Por consiguiente, el intuicionismo es una variedad del constructivismo matemático, aunque no son el mismo concepto.

Para el intuicionismo la validez de un enunciado matemático es equivalente a haber sido probado, pues ¿qué otro criterio (diría un intuicionista) puede ser válido si los objetos son meras construcciones mentales? Esto significa que un enunciado matemático no tiene el mismo significado para un intuicionista que para un matemático clásico.

Por ejemplo, en lógica intuicionista, decir A o B significa que A o B pueden ser probados. En particular la Ley de Tercero Excluido o Principio de Bivalencia, A o A negada, no es válida por el hecho de que no se puede probar la declaración A o su negación.

El intuicionismo también rechaza la abstracción del infinito; no considera asignarle a algún conjunto dado entidades infinitas, como el campo de los números naturales, o a una secuencia arbitraria de números racionales.

Esto requiere la reconstrucción de los fundamentos de la teoría de conjuntos y el cálculo como la teoría constructivista de conjuntos y el análisis constructivo, respectivamente.

Algunas teorías modernas de la filosofía de las matemáticas niegan la existencia de fundamentos en el sentido original. Algunas teorías tienden a centrarse en la práctica de las matemáticas, y tienen como objetivo describir y analizar el funcionamiento real de los matemáticos como grupo social. Otras tratan de crear una ciencia cognitiva de las matemáticas, se centran en la cognición humana como el origen de la fiabilidad de las matemáticas cuando se aplica al mundo real. Estas teorías propondrían encontrar fundamentos sólo en el pensamiento humano, y no en cualquier construcción externa objetiva. La cuestión sigue siendo controvertida

Logicismo

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En filosofía de las matemáticas, el logicismo es la doctrina que sostiene que la matemática es en algún sentido importante reducible a la lógica,^[4]​ o en otras palabras que las matemáticas son básicamente una extensión de la lógica. Los logicistas sostienen que las matemáticas se pueden conocer a priori, pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es solo parte de nuestro conocimiento de la lógica en general, y por lo tanto es analítico y no requiere ninguna facultad especial de intuición matemática. Desde este punto de vista, la lógica es el fundamento adecuado de las matemáticas y todas las afirmaciones matemáticas son verdades lógicas necesarias.

Rudolf Carnap (1931) presenta la tesis logicista en dos partes:^[5]​

1. Los conceptos matemáticos se pueden derivar de conceptos lógicos a través de definiciones explícitas
2. Los teoremas de las matemáticas se pueden derivar de axiomas lógicos a través de deducciones puramente lógicas

Bertrand Russell y Alfred North Whitehead fueron partidarios de esta línea de pensamiento inaugurada por Gottlob Frege. El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofía analítica en el siglo XX, aunque a veces se alega que los teoremas de incompletitud de Gödel socavan el propósito del proyecto.

Constructivismo

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En filosofía de las matemáticas, el constructivismo o escuela constructivista requiere para la prueba de la existencia de un objeto matemático, que este pueda ser encontrado o «construido». Para esta escuela no es suficiente la prueba por contradicción clásica (reducción al absurdo) que consiste en suponer que un objeto X no existe y partiendo de esta premisa derivar una contradicción. Según los constructivistas tal procedimiento no permite encontrar el objeto estudiado y en consecuencia su existencia no está realmente probada. La posición opuesta se denomina platonismo matemático.

Se confunde frecuentemente el constructivismo con el intuicionismo cuando en realidad este último no es sino un tipo de constructivismo. Para el intuicionismo, las bases fundamentales de las matemáticas se encuentran en lo que denominan la intuición matemática, haciendo en consecuencia de esta una actividad instrínsecamente subjetiva. El constructivismo no adopta en general dicha postura y es completamente compatible con la concepción objetiva de las matemáticas.

Erret Bishop propuso el constructivismo a partir de las sugerencias de Brouwer y Márkov,^[6]​ pero modificando algunas percepciones de los autores mencionados de tal manera que la propuesta constructivista resulta más restrictiva que las sugerencias de Brouwer y Márkov pero, al mismo tiempo, logra que todos sus teoremas resulten compatibles tanto con esas sugerencias como con las de la matemática clásica, cosa que no ocurre con las otras dos.^[7]​ Bishop logra esta flexibilidad a través de no definir lo que llama "rutinas finitas" (algoritmos) que constituyen el proceso de demostración. Si bien esto parece introducir una cierta falta de precisión, fuerza a quienes practican esta aproximación a utilizar estrictamente la lógica intuicionista. Parece ser que utilizar tal lógica equivale a practicar matemática algorítmica formal. Si eso fuera el caso, la aproximación intuicionista podría ser implementada en relación a cualquier objeto matemático, no solo esa clase especial de «objetos constructivos».^[8]​

El constructivismo critica el formalismo llevado hasta el extremo por el grupo de matemáticos llamado Nicolas Bourbaki, admite la sucesión de los números naturales, mas no el conjunto de los naturales, cuestionan la lógica en que se fundamenta la matemática de Bourbaki y proclama la tercera opción respecto del principio del tercero excluido (a más de p y ~p, cabe otra salida).^[9]​

Platonismo

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En filosofía de las matemáticas, el platonismo matemático o realismo matemático es una corriente de pensamiento que afirma que los objetos matemáticos (números, figuras geométricas, funciones, etc.) no son simples invenciones humanas, sino objetos abstractos que existen por sí mismos, independientemente de la mente humana,^[10]​^[11]​ es decir, que los objetos y teoremas matemáticos existen en forma aislada del mundo material e independientemente del espacio y del tiempo. Con este punto de vista, las leyes de la naturaleza y los axiomas de la matemática tienen una posición similar y su efectividad encuentra una explicación: su fundamento lo constituye el verdadero mundo de los objetos matemáticos. El platonismo matemático es una forma de realismo filosófico, aplicado a los objetos matemáticos.

El platonismo matemático implica que tanto los objetos matemáticos como las leyes matemáticas no se inventan, sino que se descubren. Con esto se explica al carácter objetivo e interpersonal de las matemáticas. Este realismo ontológico es incompatible con todas las variedades de la filosofía materialista. Algunos de sus representantes fueron Gödel,^[12]​^[13]​ Wigner y Erdös. Entre los filósofos que han adoptado la posición se cuentan Quine, Dummett^[14]​ y Mark Steiner.^[15]​ El realismo^[16]​^[17]​^[18]​ es quizás la posición más difundida entre los matemáticos.^[19]​

Alrededor de los 1900 tuvo mucha influencia en esa posición el argumento de Frege,^[20]​ que se puede resumir así: «Términos singulares que se refieren a números naturales aparecen en enunciados verdaderos simples. Solo es posible para los enunciados simples con términos singulares como componentes ser verdaderos si los objetos a los que se refieren los términos singulares existen. Por lo tanto: los números naturales existen. Pero, si los números naturales existen, son objetos abstractos que son independientes de todas las actividades racionales. Por lo tanto: los números naturales son objetos abstractos que existen independientes de todas las actividades racionales, es decir, el objeto aritmético del platonismo es verdad.» Wigner en su trabajo La irrazonable eficacia de la Matemática en las Ciencias Naturales expresó que: «Es un milagro, como ha señalado Schroedinger, que a pesar de la perturbadora complejidad del mundo, puedan descubrirse en los fenómenos ciertas regularidades.»^[21]​

En el presente los partidarios del platonismo matemático generalmente citan el siguiente argumento a favor de sus posiciones, argumento que busca mostrar que las teorías epistémicas son (deben ser) consistentes con la aproximación realista: El argumento de indispensabilidad de Quine y Putnam básicamente sugiere que debemos estar «ontológicamente comprometida con todas aquellas entidades que sean indispensables para nuestras mejores teorías científicas», es decir, debemos afirmar como válidas e independientes todos aquellos elementos básicos del análisis que necesitamos en nuestros razonamientos, alternativamente, somos intelectualmente deshonestos. «Los objetos y/o estructuras matemáticos son indispensables para nuestras mejores teorías científicas. Por lo tanto, debemos reconocer la existencia de esos objetos o estructuras.»

El principal problema del platonismo en la filosofía de las matemáticas es explicar cómo podemos los seres humanos, como seres finitos, reconocer los objetos matemáticos y las verdades si éstas se encuentran en las «esferas celestiales de las ideas». De acuerdo a Gödel, esto se logra mediante la intuición matemática que, de manera similar a un órgano sensorial, hace que los seres humanos percibamos partes de ese otro mundo. Tales intuiciones racionales también son defendidas por la mayor parte de los clásicos del racionalismo, así como, en debates más recientes acerca de la justificación y el conocimiento a priori, entre otros por Laurence Bonjour.^[22]​ Sin embargo, un tratamiento más sofisticado de este asunto sugiere que el problema es más profundo: «nuestras mejores teorías epistémicas parecen excluir cualquier conocimiento de los objetos matemáticos.»^[23]​^[24]​ Esto generalmente se conoce como el dilema de Benacerraf^[25]​^[26]​ dado que generalmente se interpreta como estableciendo que debemos abandonar nuestras teorías epistemologías o la certeza matemática.^[27]​^[28]​^[29]​

Argumento de indispensabilidad

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Un argumento de indispensabilidad es, en general, un argumento según el cual se debe creer en una afirmación porque aquello resulta indispensable para determinados fines.

Quizás el argumento de indispensabilidad más conocido sea el de Quine y Putnam en defensa del realismo matemático. Según este argumento, las entidades matemáticas deben poseer el estatus ontológico de las entidades científicas, puesto que son indispensables para las mejores teorías físicas. En concreto, el argumento es el mostrado a continuación:^[30]​

1. Hay que tener compromisos ontológicos con todas las entidades, y sólo con ellas, que son indispensables para las mejores teorías científicas
2. Las entidades matemáticas son indispensables para las mejores teorías científicas
3. Por lo tanto, hay que tener compromisos ontológicos con las entidades matemáticas

Otra versión del argumento, en resumen de Putnam, es la siguiente: «La cuantificación sobre las entidades matemáticas es indispensable para la ciencia [...] Por lo tanto, debemos aceptarla; pero esto nos compromete a aceptar la existencia dichas entidades matemáticas en cuestión.»

Realismo rudimentario

Pocos matemáticos suelen estar preocupados en su trabajo diario sobre el logicismo, el formalismo o cualquier otra posición filosófica. En cambio, su principal preocupación es que la empresa matemática en su conjunto siga siendo siempre productiva. Por lo general, esto se asegura al permanecer con una mente abierta, práctica y ocupada; potencialmente amenazada con volverse excesivamente ideológica, fanáticamente reduccionista o perezosa. Este punto de vista fue expresado por el Premio Nobel de Física Richard Feynman

People say to me, “Are you looking for the ultimate laws of physics?” No, I’m not… If it turns out there is a simple ultimate law which explains everything, so be it — that would be very nice to discover. If it turns out it’s like an onion with millions of layers… then that’s the way it is. But either way there’s Nature and she’s going to come out the way She is. So therefore when we go to investigate we shouldn’t predecide what it is we’re looking for only to find out more about it. Now you ask: “Why do you try to find out more about it?” If you began your investigation to get an answer to some deep philosophical question, you may be wrong. It may be that you can’t get an answer to that particular question just by finding out more about the character of Nature. But that’s not my interest in science; my interest in science is to simply find out about the world and the more I find out the better it is, I like to find out…^[31]​

Philosophers, incidentally, say a great deal about what is absolutely necessary for science, and it is always, so far as one can see, rather naive, and probably wrong^[32]​

y también por Steven Weinberg^[33]​

The insights of philosophers have occasionally benefited physicists, but generally in a negative fashion—by protecting them from the preconceptions of other philosophers.(...) without some guidance from our preconceptions one could do nothing at all. It is just that philosophical principles have not generally provided us with the right preconceptions.

Physicists do of course carry around with them a working philosophy. For most of us, it is a rough-and-ready realism, a belief in the objective reality of the ingredients of our scientific theories. But this has been learned through the experience of scientific research and rarely from the teachings of philosophers. (...) we should not expect [the philosophy of science] to provide today's scientists with any useful guidance about how to go about their work or about what they are likely to find. (...)

After a few years' infatuation with philosophy as an undergraduate I became disenchanted. The insights of the philosophers I studied seemed murky and inconsequential compared with the dazzling successes of physics and mathematics. From time to time since then I have tried to read current work on the philosophy of science. Some of it I found to be written in a jargon so impenetrable that I can only think that it aimed at impressing those who confound obscurity with profundity. (...) But only rarely did it seem to me to have anything to do with the work of science as I knew it. (...)

I am not alone in this; I know of no one who has participated actively in the advance of physics in the postwar period whose research has been significantly helped by the work of philosophers. I raised in the previous chapter the problem of what Wigner calls the "unreasonable effectiveness" of mathematics; here I want to take up another equally puzzling phenomenon, the unreasonable ineffectiveness of philosophy.

Even where philosophical doctrines have in the past been useful to scientists, they have generally lingered on too long, becoming of more harm than ever they were of use.

Él creía que cualquier indecidibilidad en matemáticas, como la hipótesis del continuo, podría potencialmente ser resuelta a pesar del teorema de incompletitud, mediante la búsqueda de nuevos axiomas adecuados para añadir a la teoría de conjuntos.

Resolución parcial de la crisis

A partir de 1935, el grupo Bourbaki de matemáticos franceses empezaron a publicar una serie de libros para formalizar muchas áreas de matemáticas basados en los nuevos fundamentos de la teoría de conjuntos.

Evolución histórica

Matemática en la Antigua Grecia

Aunque que el uso práctico de la matemática fue desarrollada ya en civilizaciones de la edad de bronce, el interés específico por sus aspectos fundacionales y teóricos parece remontarse a la matemática helénica. Los primeros filósofos griegos discutieron ampliamente sobre qué rama de la matemática era más antigua, si la aritmética o la geometría. Zenón de Elea (490 a. C - ca. 430 a. C.) formuló cuatro aporías que aparentan mostrar que el cambio es imposible, que en esencia no fueron convenientemente aclaradas hasta el desarrollo de matemática moderna.

La escuela pitagórica de matemática insistía originalmente en que solo existían los números naturales y racionales. El descubrimiento de la irracionalidad de √2, la proporción de la diagonal de un cuadrado con su lado (data del siglo V a.C), fue un golpe filosófico a dicha escuela que solo aceptaron de mala gana. La discrepancia entre racionales y reales fue finalmente resuelta por Eudoxo de Cnido, un estudiante de Platón, quien redujo la comparación de las proporciones de los irracionales a comparaciones de múltiples proporciones racionales, además de anticipar la definición de número real de Richard Dedekind.

En su obra Segundos analíticos, Aristóteles (384 a.C - 322 a.C) asentó el método axiomático, para organizar lógicamente un campo del conocimiento en términos de conceptos primitivos, axiomas, postulados, definiciones, y teoremas, tomando una mayoría de sus ejemplos de la aritmética y la geometría. Este método llegó a la cumbre con Elementos de Euclides (300 a.C), un proyecto monumental de la geometría estructural con rigurosidad alta :cada proposición es justificable por una demostración mediante chains of syllogisms (though they do not always conform strictly to Aristotelian templates). Aristotle's syllogistic logic, together with the Axiomatic Method exemplified by Euclid's Elements, are universally recognized as towering scientific achievements of ancient Greece.

Análisis sobre los reales

Cauchy (1789 - 1857) inició el proyecto de demostrar los teoremas de cálculo infinitesimal sobre una base rigurosa, rechazando el principio de generalidad del álgebra usado por diversos matemáticos durante el siglo XVIII. En su Cours d'Analyse ('Curso de análisis) de 1821, Cauchy definió las cantidades infinitesimales como sucesiones decrecientes que convergen a 0, que pueden ser usadas para definir la continuidad. Aunque no formalizó ninguna noción de convergencia.

La definición moderna del criterio (ε, δ) y la noción de función continua fueron desarrollada por primera vez por Bolzano en 1817, pero durante un tiempo fue relativametne poco conocida. Estas nociones dan un fundamente riguroso al cálculo infinitesimal basado en el conjunto de los números reales, y resuelven claramente tanto las paradojas de Zenón como los argumentos de Berkeley.

Véase también

• Filosofía de las matemáticas
• Teoría de categorías
• Teoría de tipos
• Teoría de conjuntos
• Lógica matemática
• Teoría de la demostración
• Teoría de modelos
• Epistemología
• Elementos de Euclides
• Principia Mathematica

Referencias

1. Hilbert 1927 The Foundations of Mathematics in van Heijenoort 1967:475
2. p. 14 in Hilbert, D. (1919–20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), Basel, Birkhauser (1992).
3. Weyl 1927 Comments on Hilbert's second lecture on the foundations of mathematics in van Heijenoort 1967:484. Although Weyl the intuitionist believed that "Hilbert's view" would ultimately prevail, this would come with a significant loss to philosophy: "I see in this a decisive defeat of the philosophical attitude of pure phenomenology, which thus proves to be insufficient for the understanding of creative science even in the area of cognition that is most primal and most readily open to evidence – mathematics" (ibid).
4. Horsten, Leon. «Philosophy of Mathematics». En Edward N. Zalta, ed. Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Fall 2008 Edition). 
5. Carnap, Rudolf (1931), "Die logizistische Grundlegung der Mathematik", Erkenntnis 2, 91-121. Republished, "The Logicist Foundations of Mathematics", E. Putnam and G.J. Massey (trans.), in Benacerraf and Putnam (1964). Reprinted, pp. 41–52 in Benacerraf and Putnam (1983).
6. Bishop, E. (1967): Foundations of Constructive Analysis, New York: McGraw-Hill (ver Revisión del libro (ambos en inglés)
7. Gustavo Fernandez D: "SEMINARIO DE LOGICA Y FILOSOFIA DE LA CIENCIA I, página 101: Desarrollos posteriores de intuicionismo y constructivismo
8. Bridges, Douglas, punto 3.3: Bishop's Constructive Mathematics en Constructive Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
9. Roger Apéry (1984). «Matemática constructiva». Pensar La Matemática – Seminario de Filosofía y Matemática de la Ecole Normale Supériure de París. dirigido por J. Diedonné, M. Loi, y R. Thomm. Barcelona: Éditions du Seuil. ISBN 8472236145. 
10. P Maddy, citada por Luis Miguel Ángel Cano P (2003) en «El realismo, por tanto, es el punto de vista que sostiene que la matemática es la ciencia de los números, conjuntos, funciones, etc., tal y como la física es el estudio de los objetos físicos ordinarios, cuerpos astronómicos y partículas subatómicas entre otros. Esto es, la matemática trata acerca de esos objetos, y es el modo en que tales objetos son lo que hace a los enunciados de la matemática verdaderos o falsos.»
11. Internet Enciclopedia of Philosophy: Mathematical Platonism «Cualquiera explicación metafísica de las matemáticas que implica que las entidades matemáticas existen, que son abstractos, y que son independientes de todas nuestras actividades racionales.»
12. K Gödel: “Los conceptos tienen una existencia objetiva” en
13. Guillerma Díaz Muñoz (2000): Aproximación del realismo matemático de Gödel al realismo constructivo de Zubiri
14. Michael Dummett (1998): La existencia de los objetos matemáticos. el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine. Teorema, XVII (2). pp. 5-24.
15. Mark Steiner (1983): "Mi intención es argumentar a favor de la realidad de ciertas entidades matemáticas" en Mathematical Realism Noûs Vol. 17, No. 3 (Sep., 1983), pp. 363-385
16. Luke Jerzykiewicz (2007) "La gran mayoría de los realistas de hoy en día, incluyendo el propio Stewart Shapiro, sostienen que las entidades matemáticas (o estructuras) son abstractas y a-causal. 'Realismo', de hecho, viene a ser casi sinónimo de 'platonismo'. en Platonist epistemology and cognition el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine. p 1
17. Para una visión general de esta posición, ver Penelope Maddy (1992) Realism in Mathematics
18. Haim Gaifman: On Ontology and Realism in Mathematics el 21 de abril de 2014 en Wayback Machine.
19. De acuerdo a Davis y Hersh (ver la Experiencia matemática “el matemático profesional típico es un platonista durante la semana y un formalista en el Domingo” (ver Realismo platónico), lo que generalmente se interpreta como significando que la mayoría de los matemático se comportan como si aceptaran que los objetos matemáticos y sus relaciones fueran objetivos, independientes de nuestra voluntad o subjetividad, pero si se les demanda una justificación de su posición, adoptan el formalismo (ver más abajo)
20. «The Fregean Argument for Object Platonism». Consultado el 4 de abril de 2017. 
21. Wigner, Eugene (2004). La irrazonable eficacia de la matemática en las ciencias naturales. (traducción: P. Crespo). p. 3. 
22. L Bonjour: In Defense of Pure Reason. (London: Cambridge University Press, 1998) Entrada en Wikipedia inglesa acerca de Bonjour
23. Paul Benacerraf (1973) Mathematical Truth
24. IEP; The Indispensability Argument in the Philosophy of Mathematics
25. W. D. Hart (1991): Benacerraf's Dilemma
26. Bob Hale and Crispin Wright Benacerraf's Dilemma Revisited el 21 de abril de 2014 en Wayback Machine.
27. Eleonora Cresto (2002): "Benacerraf nos ofrece allí un dilema, moldeado sobre la dicotomía entre platonismo y constructivismo: el primero nos permite entender como es que los enunciados matemáticos son verdaderos, pero no como es que los conocemos, el segundo explica el conocimiento matemático, pero no la verdad." en Comentarios a "La filosofía de la matemática del segundo Wittgenstein: El problema de la objetividad de la prueba matemática
28. Rui Vieira (2010): "Sin embargo, en un importante artículo, "Mathematical Truth", en el Journal of Philosophy, Vol. 70 (1973), el filósofo Paul Benacerraf argumentó que las explicaciones anti-platónicas de las matemáticas deprivan los enunciados matemáticos de su verdad objetiva en el sentido cotidiano popular, es decir, de la idea de que las verdades matemáticas son verdaderas piense alguien en ellas o no. La verdad objetiva es una propiedad de las matemáticas que para la mayoría de nosotros es obvia, pero explicaciones anti-platónicas hacen las matemáticas subjetivas (aunque el argumento de Benacerraf se dirige al convencionalismo y al formalismo, no creo que las tentativas del intuicionismo se libren nada mejor". en Mathematical Knowledge: A Dilemma.
29. GREGORY LAVERS (2009): "El sentido común respecto a la verdad y la forma sintáctica de los enunciados matemáticos nos lleva a concluir que los enunciados matemáticos se refieren a objetos abstractos. Al mismo tiempo, ese sentido común, en relación a la epistemología, parece implicar que los enunciados matemáticos no pueden referirse a objetos abstractos" (en BENACERRAF’S DILEMMA AND INFORMAL MATHEMATICS) y "Según Benacerraf, cualquier explicación de la verdad matemática debe satisfacer dos requisitos básicos: erigirse sobre la base de una semántica y de una epistemología paralelas a las usuales en el discurso no matemático. La semántica usual es necesaria para que los términos de los enunciados matemáticos se refieran a entidades reales, si tales enunciados han de ser verdaderos, como suponemos en nuestro usos lingüísticos habituales. La epistemología se necesita para que la verdad de los enunciados matemáticos presuponga algún conocimiento de las entidades referidas por los términos enunciados, como suponemos en nuestro discurso habitual.... prosigue Benacerraf, en general las explicaciones disponibles de la verdad matemática no logran satisfacer ambos requisitos, sino más bien alguno de ellas a expensas del otro.". Francisco Rodriguez C: Lo que es y no es la verdad matemática
30. Putnam, Hilary (1985). Mathematics, Matter and Method. Philosophical Papers 1 (2 edición). Cambridge: Cambridge University Press. 
31. Richard Feynman, The Pleasure of Finding Things Out p. 23
32. Richard Feynman, Lectures on Physics, volume I, chapter 2. el 5 de julio de 2013 en Wayback Machine.
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Enlaces externos

• Logic and Mathematics
• Foundations of Mathematics: past, present, and future (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última)., May 31, 2000, 8 pages.
• by Gregory Chaitin.
• Set theory and foundations of mathematics
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