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Filosofía de las matemáticas

Agosto 04, 2021

La filosofía de las matemáticas es un área de la filosofía teórica, que trata de comprender y explicar los requisitos, el objeto, el método y la naturaleza[1]​ de las matemáticas. Como área de estudio puede ser aproximada desde dos direcciones: el punto de vista de los filósofos y el de los matemáticos. Desde el punto de vista filosófico, el objetivo principal es dilucidar una variedad de aspectos problemáticos en la relación entre las matemáticas y la filosofía. Desde el punto de vista matemático, el interés principal es proveer al conocimiento matemático de fundamentos firmes. Es importante mantener presente que aunque estos puntos de vista pueden implicar diferentes esquemas e intereses, no son opuestos, sino más bien complementarios: «Cuando los matemáticos profesionales se ocupan de los fundamentos de su disciplina, se dice que se dedican a la investigación fundamental (o trabajo fundacional o de fundamentos.- ver Metamatemática). Cuando los filósofos profesionales investigan cuestiones filosóficas relativas a las matemáticas, se dice que contribuyen a la filosofía de las matemáticas. Por supuesto, la distinción entre la filosofía de las matemáticas y los fundamentos de las matemáticas es vaga, y a la mayor interacción que haya entre los filósofos y los matemáticos que trabajan en cuestiones relativas a la naturaleza de las matemáticas, mejor.».[2]​

  • De acuerdo a Jeremy Avigad (profesor de ciencias matemáticas y de filosofía en la Universidad Carnegie Mellon[3]​) “El conocimiento matemático ha sido considerado por mucho tiempo como un paradigma del conocimiento humano con verdades que son a la vez necesarias y ciertas, por lo que dar una explicación del conocimiento matemático es una parte importante de la epistemología. Los objetos matemáticos, tales como los números y los conjuntos, son ejemplos arquetípicos de abstracciones, dado que el tratamiento de tales objetos en nuestro discurso es como si fueran independientes del tiempo y el espacio, encontrar un lugar para los objetos de este tipo en un marco más amplio del pensamiento es una tarea central de la ontología, o metafísica. El rigor y la precisión del lenguaje matemático depende del hecho de que está basado en un vocabulario limitado y gramática muy estructuradas, y las explicaciones semánticas del discurso matemático a menudo sirven como punto de partida de la filosofía del lenguaje. Aunque el pensamiento matemático ha demostrado un alto grado de estabilidad a través de la historia, su práctica también ha evolucionado con el tiempo, y algunos desarrollos han provocado controversia y debate; clarificar los objetivos básicos de esta práctica y los métodos apropiados es, por lo tanto, una tarea metodológica y fundacional importante, situando la filosofía de las matemáticas dentro de la filosofía general de la ciencia.
  • De acuerdo a Bertrand Russell, las matemáticas son un estudio que, cuando se parte de sus porciones más familiares, puede llevarse a cabo en cualquiera de dos direcciones opuestas (una busca la expansión del conocimiento, la otra darle fundamentos: Nota del traductor). Pero se debe entender que la distinción es una, no en la materia objeto, pero en el estado de la mente del investigador...(...)... así como necesitamos dos tipos de instrumentos, el telescopio y el microscopio, para la ampliación de nuestras capacidades visuales, igual necesitamos dos tipos de instrumentos para la ampliación de nuestras capacidades lógicas, una para hacernos avanzar a las matemáticas superiores, y el otro que nos lleve hacia atrás, hacia los fundamentos lógicos de las cosas que estamos inclinados a tomar por sentado en las matemáticas. Veremos que mediante el análisis de las nociones matemáticas ordinarias se adquiere una nueva perspectiva, nuevos poderes, y los medios de llegar a nuevos temas matemáticos completos, mediante la adopción de nuevas líneas de avance, siguiendo nuestro viaje hacia atrás.[4]​
Principia Mathematica, una de las obras más importantes sobre filosofía de las matemáticas.

Como ya se ha sugerido, estas aproximaciones no son conflictivas. En las palabras de Imre Lakatos: «Al discutir los esfuerzos modernos para establecer los fundamentos para el conocimiento matemático uno tiende a olvidarse que esos son solo un capítulo en el gran esfuerzo para superar el escepticismo a través de establecer los fundamentos para el conocimiento en general. El objeto de mi contribución es mostrar la filosofía matemática moderna como profundamente empotrada en la epistemología general y como solo siendo entendible en ese contexto». (énfasis de Lakatos[5]​).

Introducción

Desde la antigüedad la filosofía ha tenido interés en, por lo menos, ciertos aspectos de la matemática.[6]​ En las palabras de Miguel de Guzmán: "Pero hay otros aspectos interesantes de la matemática que atraen de modo natural al filósofo. La dinámica interna del pensamiento matemático, la lógica de su estructura, simple, tersa, sobria, clara, hacen de ella un modelo de reflexión fiable que suscita el consenso de todos. Los filósofos interesados en aclarar los misterios del conocimiento humano han visto en el pensamiento matemático un campo ideal de trabajo donde poner a prueba sus hipótesis y teorías.".[7]​ Mario Bunge va más lejos y llega a sugerir que las matemáticas son no sólo el fundamento del quehacer científico sino también del filosófico.[8]​

Por mucho de ese tiempo la opinión general era la que Carl Friedrich Gauss resumió: «La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas. Ella a menudo se digna a prestar un servicio a la astronomía y a otras ciencias naturales, pero en todas las relaciones, tiene derecho a la primera fila».[9]​ Esta preeminencia se debía a una percepción que, últimamente, emana de Platón: "En las matemáticas se halla el origen y fundamento de la teoría platónica de las formas o ideas. En esta la idealización de los entes matemáticos se transforma en la idealización de los entes físicos y psíquicos. La verdad matemática, por su invariabilidad en el tiempo, era el modelo a seguir en todo conocimiento intelectual. El método deductivo, que partiendo de axiomas y definiciones llegaba a la demostración de teoremas, era el modelo prestigioso de razonamiento para todo saber. En el diálogo "Menón" Sócrates,  a través de preguntas y respuestas, hace que un esclavo alcance por su propio razonamiento una verdad matemática; así, de una manera popular, expone Platón que las matemáticas están en el alma humana, ya que en esta se halla presente el logos que gobierna el mundo material mediante las proporciones aritméticas y geométricas. Sólo se requiere la introspección para volvernos conscientes de ese saber interno.".[10]​

Esa posición es generalmente conocida como realismo; platonismo o realismo platónico y "de manera muy esquemática, puede sintetizarse en la creencia de que los objetos matemáticos son reales y su existencia es un hecho objetivo e independiente de nuestro conocimiento de los mismos.... existen fuera del espacio y del tiempo de la experiencia física y cualquier pregunta significativa sobre ellos tiene una respuesta definida. Así el matemático es, en este sentido, como un científico empírico que no puede inventar ni construir sino solo descubrir algo que ya existe.[11]​ Acorde con el físico Paul Davies: "Los científicos no usan las matemáticas simplemente como una forma conveniente de organizar los datos. Creen que las relaciones matemáticas reflejan aspectos reales del mundo físico."[12]​

Sin embargo, hacia fines del siglo XIX esta situación comenzó a cambiar, proceso que eventualmente culminó, a fines del siglo XIX y comienzo del XX, en la llamada crisis de los fundamentos:[13]​[14]​[15]​[16]​[17]​[18]​ "La imagen tradicional de las matemáticas (formal e infalible) fue cuestionada a raíz de la llamada "crisis de los fundamentos de las matemáticas", que sucedió en el siglo XIX. Dicha "crisis" se originó principalmente por dos descubrimientos: primero el de las geometrías no euclidianas y, segundo, el de la teoría de los conjuntos."[19]​

Esa situación ha sido resumida de la siguiente manera[20]​

"Hasta bien entrado el siglo XIX, la geometría era universalmente considerada la rama más firme del conocimiento.... La Geometría era, simplemente, el estudio de las propiedades del espacio. Estas se manifestaban como verdades objetivas, universalmente válidas para la mente humana.
Durante el siglo XIX sucedieron “varios desastres que iban a cambiar completamente esta situación. El primero fue el descubrimiento de geometrías no euclídeas, al que inmediatamente siguió otro desastre mayor: el desarrollo del análisis por caminos contrarios a la intuición geométrica (curvas que llenan el espacio, funciones continuas no diferenciables, etc.) lo que puso de manifiesto la gran vulnerabilidad del único fundamento que hasta entonces tenían las Matemáticas: la intuición geométrica. Esto era una auténtica catástrofe puesto que en algún sentido implicaba la pérdida de la certeza, no solo en la Matemática sino en todo el conocimiento humano.
Se pensó entonces buscar otra “base segura” para fundamentar las Matemáticas, y así Dedekind y Weierstrass mostraron como era posible construir el análisis -el continuo- a partir de la Aritmética. Parecía que todo volvía a estar en orden, pues nadie dudaba de la certeza proporcionada por nuestra intuición de contar y así los números enteros serían la nueva base segura para todo el edificio matemático... (ver programa de Hilbert).
Pero el intento de fundamentar rigurosamente la Matemática iba a ser llevado un paso más lejos por Frege, quien comenzó un ambicioso programa para basar las Matemáticas en la Lógica -a través de la Aritmética. Este fue el punto de partida de la escuela logicista que más tarde sería continuada por Russell y Whitehead. La idea logicista consistía en demostrar que la Matemática clásica era parte de la lógica, de modo que una vez culminado su programa podría asegurarse que la Matemática estaba libre de contradicción al menos en la misma medida que la propia lógica.
Sin embargo, ya en ese momento se habían hecho descubrimientos que iban a sacudir completamente este optimismo dejando de nuevo a la Matemática sin fundamentos seguros. En efecto, la construcción del continuo a partir de la Aritmética se basaba en la Teoría de Conjuntos de Cantor (ver hipótesis del continuo), que también había sido utilizada por Frege en sus fundamentación de la Aritmética. Pero la teoría de Cantor, y en particular su hipótesis básica sobre la existencia de conjuntos encerrada en su definición: “un conjunto es cualquier colección de objetos distintos de nuestra intuición o nuestro pensamiento”, que puede ser traducida por “cualquier condición determina un conjunto”, iba a revelarse inconsistente."

Esa crisis dio origen a varias tentativas de resolución, lo que, a su vez, dio origen a tres corrientes principales: las escuelas intuicionista, logicista y formalista[21]​ (esa es la visión general o común, algunos incluyen otras escuelas, tales como el fenomenalismo de Husserl[22]​). Argumentablemente esas tentativas fueron infructuosas[23]​ lo que dio origen a otras escuelas, tanto derivadas de las anteriores[24]​como de otras percepciones básicas -por ejemplo, del empirismo. Sin embargo, y argumentablemente, la situación todavía no se ha resuelto del todo.[25]​[26]​[27]​

Problemas

Al respecto de todo lo anterior hay algunas interrogantes fundamentales y sistemáticas tales como:

  1. el modo de ser de los objetos matemáticos: acaso estos existen "realmente" e independientemente de cualquier empleo específico, y si es así, ¿en qué sentido? Y ¿qué significa referirse a un objeto matemático? ¿Cuál es el carácter de los teoremas matemáticos? ¿Cuál es la relación entre la lógica y las matemáticas? - Aquí se trata de cuestiones ontológicas.
  2. el origen del conocimiento matemático: ¿Cuáles son la fuente y la esencia de la verdad matemática? ¿Cuáles son las condiciones de la ciencia matemática? ¿Cuáles son, en lo fundamental, sus métodos de investigación? ¿Qué papel, en relación a lo anterior, la naturaleza del ser humano? - Aquí se trata de cuestiones epistemológica.
  3. la relación entre las matemáticas y la realidad: ¿Cuál es la relación entre el mundo abstracto de las matemáticas y el universo material? Tienen las matemáticas sus raíces en la experiencia, y si es así, ¿cómo? ¿Cómo es que las matemáticas ”calzan tan bien con los objetos de la realidad" (Albert Einstein[28]​)? ¿De qué manera los conceptos tales como número, punto, infinito etc., adquieren un significado que trasciende el ámbito estrictamente matemático? William Lane Craig argumentó que la eficacia de las matemáticas en la naturaleza se explica mejor apelando a la existencia de un Dios.[29]​

El punto de partida es casi siempre la concepción de que las proposiciones matemáticas son ciertas por principio, de manera atemporal y exacta y que su veracidad no depende ni de evidencias empíricas ni de puntos de vista personales. La tarea consiste tanto en determinar las condiciones de la posibilidad de adquirir ese conocimiento, como en cuestionar críticamente este punto de partida.

Corrientes

Artístico

La visión que sostiene que las matemáticas son la combinación estética de suposiciones, y luego también afirma que las matemáticas son un arte, fue compartida por el matemático británico G. H. Hardy[30]​ y también metafóricamente por el francés Henri Poincaré.[31]​ Para Hardy, en su libro Apología de un matemático, la definición de matemáticas se parecía más a la combinación estética de conceptos.[32]​

Platonismo

Esta sección es un extracto de Platonismo matemático[editar]

En filosofía de las matemáticas, el platonismo matemático o realismo matemático es una corriente de pensamiento que afirma que los objetos matemáticos (números, figuras geométricas, funciones, etc.) no son simples invenciones humanas, sino objetos abstractos que existen por sí mismos, independientemente de la mente humana,[33]​[34]​ es decir, que los objetos y teoremas matemáticos existen en forma aislada del mundo material e independientemente del espacio y del tiempo. Con este punto de vista, las leyes de la naturaleza y los axiomas de la matemática tienen una posición similar y su efectividad encuentra una explicación: su fundamento lo constituye el verdadero mundo de los objetos matemáticos. El platonismo matemático es una forma de realismo filosófico, aplicado a los objetos matemáticos.

El platonismo matemático implica que tanto los objetos matemáticos como las leyes matemáticas no se inventan, sino que se descubren. Con esto se explica al carácter objetivo e interpersonal de las matemáticas. Este realismo ontológico es incompatible con todas las variedades de la filosofía materialista. Algunos de sus representantes fueron Gödel,[35]​[36]​ Wigner y Erdös. Entre los filósofos que han adoptado la posición se cuentan Quine, Dummett[37]​ y Mark Steiner.[38]​ El realismo[39]​[40]​[41]​ es quizás la posición más difundida entre los matemáticos.[42]​

Alrededor de los 1900 tuvo mucha influencia en esa posición el argumento de Frege,[43]​ que se puede resumir así: «Términos singulares que se refieren a números naturales aparecen en enunciados verdaderos simples. Solo es posible para los enunciados simples con términos singulares como componentes ser verdaderos si los objetos a los que se refieren los términos singulares existen. Por lo tanto: los números naturales existen. Pero, si los números naturales existen, son objetos abstractos que son independientes de todas las actividades racionales. Por lo tanto: los números naturales son objetos abstractos que existen independientes de todas las actividades racionales, es decir, el objeto aritmético del platonismo es verdad.» Wigner en su trabajo La irrazonable eficacia de la Matemática en las Ciencias Naturales expresó que: «Es un milagro, como ha señalado Schroedinger, que a pesar de la perturbadora complejidad del mundo, puedan descubrirse en los fenómenos ciertas regularidades.»[44]​

En el presente los partidarios del platonismo matemático generalmente citan el siguiente argumento a favor de sus posiciones, argumento que busca mostrar que las teorías epistémicas son (deben ser) consistentes con la aproximación realista: El argumento de indispensabilidad de Quine y Putnam básicamente sugiere que debemos estar «ontológicamente comprometida con todas aquellas entidades que sean indispensables para nuestras mejores teorías científicas», es decir, debemos afirmar como válidas e independientes todos aquellos elementos básicos del análisis que necesitamos en nuestros razonamientos, alternativamente, somos intelectualmente deshonestos. «Los objetos y/o estructuras matemáticos son indispensables para nuestras mejores teorías científicas. Por lo tanto, debemos reconocer la existencia de esos objetos o estructuras.»

El principal problema del platonismo en la filosofía de las matemáticas es explicar cómo podemos los seres humanos, como seres finitos, reconocer los objetos matemáticos y las verdades si éstas se encuentran en las «esferas celestiales de las ideas». De acuerdo a Gödel, esto se logra mediante la intuición matemática que, de manera similar a un órgano sensorial, hace que los seres humanos percibamos partes de ese otro mundo. Tales intuiciones racionales también son defendidas por la mayor parte de los clásicos del racionalismo, así como, en debates más recientes acerca de la justificación y el conocimiento a priori, entre otros por Laurence Bonjour.[45]​ Sin embargo, un tratamiento más sofisticado de este asunto sugiere que el problema es más profundo: «nuestras mejores teorías epistémicas parecen excluir cualquier conocimiento de los objetos matemáticos.»[46]​[47]​ Esto generalmente se conoce como el dilema de Benacerraf[48]​[49]​ dado que generalmente se interpreta como estableciendo que debemos abandonar nuestras teorías epistemologías o la certeza matemática.[50]​[51]​[52]​

Matematicismo

Artículo principal: Matematicismo

La hipótesis del universo matemático de Max Tegmark (o matematicismo) va más allá del platonismo al afirmar que no sólo existen todos los objetos matemáticos, sino que no existe nada más. El único postulado de Tegmark es: Todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente. Es decir, en el sentido de que "en esos [mundos] lo suficientemente complejos como para contener subestructuras autoconscientes [ellos] se percibirán subjetivamente a sí mismos como existiendo en un mundo 'real' físicamente".[53]​[54]​

Aristotelismo

En filosofía de las matemáticas, el realismo aristotélico sostiene que las matemáticas estudian propiedades como la simetría, la continuidad y el orden que pueden realizarse literalmente en el mundo físico. Por ejemplo, el número 4 se realiza en la relación entre un montón de loros y el universal "ser un loro" que divide el montón en tantos loros.[55]​

Aristóteles considera que los objetos matemáticos son, a diferencia de Platón, abstracciones de objetos y realidades materiales dependientes del mundo físico y no podían tener realidad aparte de las cosas empíricas. No son o existen per se, sino en los objetos individuales como seres en potencia. Las matemáticas carecen de universalidad.[56]​ Según Aristóteles en la Metafísica, hay "una ciencia que estudia el ser en tanto que ser y los accidentes propios del ser [...] diferente de todas las ciencias particulares" que sólo tratan del ser bajo cierto punto de vista, sus accidentes, y "en este caso están las ciencias matemáticas".[57]​ Por eso los seres matemáticos no son sustancias, pues "la forma sustancial es la esencia; el número, por lo contrario, expresa la materia: un número de carne, de hueso".[58]​ En las Categorías, llama a estos seres sustancias segundas, ya que la categoría de cantidad es posterior a la de sustancia.[59]​ Las entidades matemáticas son todos los objetos potenciales del intelecto que dan una idea de la belleza y un placer intelectual.[60]​

Aristóteles criticó las ideas platónicas afirmando que el verdadero ser se encuentra no en lo universal, sino en lo individual.[61]​ Este es el origen y la base de un realismo filosófico moderado, que sostiene que los conceptos universales son realidades en la mente y aunque carecen de existencia independiente, tienen su fundamento en las cosas existentes.[62]​ Los defensores más conocidos son Alberto Magno y Tomás de Aquino.[63]​[64]​ La escuela "Sydney School" adoptó una noción realista neoaristotélica de las matemáticas frente el platonismo y el nominalismo.[65]​[66]​ También se ha considerado a Nicolai Hartmann[67]​ y Penelope Maddy[68]​ como aristotélicos en sus filosofías sobre las matemáticas. La aritmética euclidiana desarrollada por John Penn Mayberry en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets también cae en la tradición realista aristotélica.[69]​

Formalismo

Artículo principal: Formalismo matemático

El formalismo matemático entiende las matemáticas como un juego (en el sentido de Wittgenstein[70]​) basado en un cierto conjunto de reglas para manipular cadenas de caracteres: "..el programa del formalismo matemático consiste en construir la Matemática como un sistema lógico-formal puro, cuya condición fundamental es la ausencia de contradicción, prescindiendo de todo tipo de contenido; se trata, pues, de un sistema formal vacío. Este sistema formal estaría integrado por uno o más conjuntos de elementos fundamentales, por relaciones definidas entre los elementos de estos conjuntos y por proposiciones reguladoras de estas relaciones (proposiciones que comprenden los axiomas y las demás proposiciones de ellos deducidas: los teoremas).[71]​ Por ejemplo, en el juego de geometría euclidiana se obtiene el teorema de Pitágoras combinando ciertas cadenas (los axiomas) según determinadas reglas (las del razonamiento lógico).[72]​[73]​

David Hilbert es generalmente considerado fundador del formalismo moderno.[74]​ Su interés era la construcción axiomática consistente y completa de la totalidad de las matemáticas,[75]​ seleccionando como punto de partida los números naturales y asumiendo que mediante el uso de axiomas se obvía la necesidad de definir los objetos básicos (op. cit) con el fin de lograr un sistema completo y consistente (ver Programa de Hilbert).

En esta visión los enunciados matemáticos pierden el carácter de verdades; dejan de ser, en última instancia, proposiciones "sobre algo". Lo que importa son las relaciones que se establecen entre ellos: "Hilbert sostiene que la verdadera importancia en la construcción de los saberes matemáticos no es el resultado numérico, sino la ley de cómo estructurar las relaciones entre los objetos matemáticos.... Las reglas que enlazan funcionalmente los objetos con su sistema de referencia formarán parte de un Sistema Formalizado Matemático; en donde, se entiende como formalización a un conjunto de leyes descubiertas en el seno de su misma estructura, la que mantiene su consistencia en las demostraciones."[76]​

Otro matemático que fue inspirado por el formalismo fue Haskell Curry, generalmente considerado el fundador de la lógica combinatoria.

A pesar de que esta propuesta fue de corta duración, debido al teorema de incompletitud de Gödel, que demostró que cualquier sistema de axiomas que incluya los números naturales es ya sea incompleto o contradictorio, llegó, de facto, a constituir la posición más aceptada entre los matemáticos hasta el último cuarto del siglo XX: "Los años setenta vieron decaer la tendencia formalista, representada por el grupo Bourbaki, seudónimo de varias generaciones de matemáticos franceses,"[77]​

Deductivismo

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En filosofía de las matemáticas, el deductivismo, o a veces si-entoncismo (del inglés if-thenism), es una variante del formalismo que propone que el trabajo del matemático consiste en derivar proposiciones a partir de la asunción de que ciertas otras son correctas (si A, entonces B).[78]​ Tradicionalmente se ha asumido que esas proposiciones básicas (o axiomas) son o deberían ser indudablemente correctas. Pero eso no es ni necesariamente correcto ni necesario. No es necesario porque la matemática no necesita fundaciones indudables,[79]​ y no es necesariamente correcto porque, de hecho, la matemática trabaja perfectamente (especialmente en el área de las matemáticas aplicadas) sobre la base que los axiomas son presumiblemente correctos y presumiblemente coherentes y que las inferencias que siguen de esos presumibles axiomas son presumiblemente posibles (en el sentido que se puede crear un modelo matemático a partir de ellas).[80]​

Los deductivistas requieren que toda y cada prueba matemática sea una deducción. Ellos reconocen que no todas tales pruebas son estrictamente válidas (véase Validez (epistemología) y Validez (lógica)) pero consideran que toda prueba informal debe ser completable como deducción para ser considerada válida.[81]​

Por ejemplo, el deductivismo considera que el teorema de Pitágoras no es verdadero sin más, sino solo en relación a ciertos supuestos. Si a las cadenas se les asignan significados, de tal manera que los axiomas sean verdaderos y reglas de inferencia sean válidas, entonces se obtienen «conclusiones ciertas», tales como el teorema de Pitágoras. En este sentido, el formalismo no sigue siendo obligatoriamente un juego simbólico sin sentido. El matemático puede confiar, en cambio, que existe una interpretación de las cadenas de caracteres sugerida por ejemplo por la física o por otras ciencias naturales, tal que las reglas conduzcan a «afirmaciones verdaderas». Por lo tanto un matemático deductivista se puede mantener al margen tanto de la responsabilidad por la interpretación como de las dificultades ontológicas de los filósofos.

En 1967, Hilary Putnam[82]​ revivió una idea de Bertrand Russell —el «si-entoncismo» (if-thenism[83]​)— e introdujo el deductivismo[84]​ como una respuesta a algunos problemas con el logicismo en Principia Mathematica.[85]​ Putnam propone considerar las matemáticas como el estudio de las consecuencias de los axiomas, usando teoría de modelos. En consecuencia interpreta las proposiciones matemáticas como refiriéndose a un posible modelo para esas proposiciones. A diferencia de la sugerencia logicista de Russell y otros, el deductivismo basa y transforma la matemática en una lógica con un sentido mucho más amplio que el sentido logicista. La lógica deductivista incluye, por ejemplo, la teoría de conjuntos necesaria para estudiar las consecuencias que siguen de axiomas.[86]​ El logicismo podría ser solo una versión del deductivismo, usando una concepción más restrictiva de la lógica matemática.[81]​

Según Putnam, si bien la condición de veracidad (o corrección) de esas verdades se satisface (o demuestra) mostrando que constituyen un modelo de ese conjunto de axiomas (es decir, constituyen un caso ejemplar de tales axiomas), el de los axiomas solo puede ser asumido,[87]​ y por lo tanto el todo está expuesto a error. «Las matemáticas pueden estar erradas, y no sólo en el sentido de que las pruebas podrían ser falaces o que los axiomas podrían no ser (si reflexionamos más profundamente) realmente evidentes. Las matemáticas (o, más bien, una teoría matemática) podría estar equivocado en el sentido de que los axiomas "evidentes" podrían ser falsos, y los axiomas que son verdaderos pueden no ser "evidentes" en absoluto. Pero esto no hace que la búsqueda de la verdad matemática sea imposible más de lo que lo ha hecho en la ciencia empírica, ni tampoco significa que no debemos confiar en nuestra intuición cuando no tenemos nada mejor para continuar.»[84]​

Convencionalismo

Artículo principal: Convencionalismo

El matemático francés Henri Poincaré fue uno de los primeros en articular una visión convencionalista.[88]​ El uso de Poincaré de geometrías no euclidianas en su trabajo sobre ecuaciones diferenciales lo convenció de que la geometría euclidiana no debería considerarse una verdad a priori. Sostuvo que los axiomas en geometría deberían elegirse por los resultados que producen, no por su aparente coherencia con las intuiciones humanas sobre el mundo físico.

Intuicionismo

Artículo principal: Intuicionismo

El intuicionismo matemático[89]​ rechaza tanto la sugerencia logicista como la formalista, proponiendo que el conocimiento matemático se basa en la aprehensión -que antecede cualquier lenguaje o lógica- de algunos conceptos matemáticos básicos.[90]​[91]​ Este intuicionismo se origina en la propuesta de L. E. J. Brouwer[92]​ que el saber matemático se basa en la intuición primordial[93]​[94]​ de los números naturales ( 1, 2, 3... ). Cada uno de esos números puede, a partir de la intuición básica del 1, ser "construido" agregando 1 al anterior. (Nótese que esto introduce un elemento temporal - ver D. Pareja. op. ci).

A partir de lo anterior, el resto de la matemática puede (y debe) ser construida de forma explícita y rigurosa, lo que requiere un método claro y preciso[95]​- Solo entidades cuya existencia (positiva o negativa) haya sido demostrada de tal manera, o por medio de tal método, tienen validez matemática.[96]​ Parafraseando el dicho platonista, se podría decir que, desde el punto de vista intuicionista, las verdades matemáticas no se descubren, se crean.[97]​

Entre otras consecuencias de lo anterior se encuentra la restricción del principio del tercero excluido:[98]​[99]​ saber que una proposición es falsa implica, para los intuicionistas, poder demostrar esa falsedad.[100]​[101]​ (ver, por ejemplo, Lógica intuicionista). Sigue que, en un momento dado (por ejemplo, el presente) es perfectamente posible que haya proposiciones acerca de las cuales no tenemos certeza acerca de si son correctas o no. (nótese que esto introduce, nuevamente, un elemento temporal en la "verdad" matemática). (Lo anterior no es un rechazo absoluto del principio. Los intuicionistas lo utilizan en situaciones específicas -por ejemplo, en el caso de conjuntos bien definidos y finitos. Ver Aritmética de Heyting)[97]​)

Otras diferencias con lo que se puede considerar matemáticas clásicas se encuentran en la concepción del infinito y la del continuo. Para los intuicionistas un (cualquier) ente es válido si y solo si puede ser construido por medio de un procedimiento especificado y con un número finito de pasos o operaciones (este procedimiento puede ser un algoritmo o algún otro que siga una regla: por ejemplo: arrojar un dado veinte mil veces a fin de generar cualquier número). Pero ¿cuál procedimiento específico y finito puede generar el infinito? Cualquier procedimiento que escojamos solo nos dará algún número concreto. Consecuentemente, el infinito intuicionista es solo potencial, a diferencia del "infinito oficial" que lo concibe como "una totalidad completa y acabada.".[102]​ Si bien esta diferencia es más bien metafísica (op. cit), argumentablemente sin consecuencias mayores para la práctica matemática, es la introducción a la diferencia sobre la concepción del continuo, que si tiene tales consecuencias. (op. cit, esp p 108).

El concepto intuicionista del continuo[103]​ rechaza la concepción axiomática clásica (de Cantor y Zermelo, etc ver Hipótesis del continuo, etc), basada en la teoría de conjuntos y sugiere utilizar una especie de "principio de elección" (choice principles[104]​ que Brouwer llama "secuencias de elecciones libres"), basado en la intuición que, entre dos puntos (o números) cualquiera, un matemático puede elegir libremente otro punto o número, y así indefinidamente: “El continuo lineal no puede ser agotado por la interpolación de nuevas unidades. Y no puede por lo tanto ser pensado como una mera colección de unidades.”.[105]​ (al respecto de todo esto, ver: "El Error de Cantor"[106]​).

La introducción de secuencias de elecciones tiene varias consecuencias[107]​ difíciles de aceptar para la matemática no intuicionista.[108]​ Como ejemplos, la demostración intuicionista del teorema de la barra (bar theorema[109]​) y el teorema del abanico (fan theoreme[110]​).

Aparte de Arend Heyting, otros matemáticos y lógicos de nota influidos por esta visión incluyen: Hermann Weyl, quien promovió una visión constructivista de la matemáticas. La aplicación del intuicionismo a la topología por Alfred Tarski; los trabajos matemáticos de Andréi Kolmogórov y los de Andréi Márkov y los desarrollos de una lógica intuicionista por Saul Kripke.[111]​

Entre los filósofos que continúan esta tradición encontramos Michael Dummett.[112]​

Logicismo

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En filosofía de las matemáticas, el logicismo es la doctrina que sostiene que la matemática es en algún sentido importante reducible a la lógica,[113]​ o en otras palabras que las matemáticas son básicamente una extensión de la lógica. Los logicistas sostienen que las matemáticas se pueden conocer a priori, pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es solo parte de nuestro conocimiento de la lógica en general, y por lo tanto es analítico y no requiere ninguna facultad especial de intuición matemática. Desde este punto de vista, la lógica es el fundamento adecuado de las matemáticas y todas las afirmaciones matemáticas son verdades lógicas necesarias.

Rudolf Carnap (1931) presenta la tesis logicista en dos partes:[114]​

  1. Los conceptos matemáticos se pueden derivar de conceptos lógicos a través de definiciones explícitas
  2. Los teoremas de las matemáticas se pueden derivar de axiomas lógicos a través de deducciones puramente lógicas
Bertrand Russell y Alfred North Whitehead fueron partidarios de esta línea de pensamiento inaugurada por Gottlob Frege. El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofía analítica en el siglo XX, aunque a veces se alega que los teoremas de incompletitud de Gödel socavan el propósito del proyecto.

Constructivismo

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En filosofía de las matemáticas, el constructivismo o escuela constructivista requiere para la prueba de la existencia de un objeto matemático, que este pueda ser encontrado o «construido». Para esta escuela no es suficiente la prueba por contradicción clásica (reducción al absurdo) que consiste en suponer que un objeto X no existe y partiendo de esta premisa derivar una contradicción. Según los constructivistas tal procedimiento no permite encontrar el objeto estudiado y en consecuencia su existencia no está realmente probada. La posición opuesta se denomina platonismo matemático.

Se confunde frecuentemente el constructivismo con el intuicionismo cuando en realidad este último no es sino un tipo de constructivismo. Para el intuicionismo, las bases fundamentales de las matemáticas se encuentran en lo que denominan la intuición matemática, haciendo en consecuencia de esta una actividad instrínsecamente subjetiva. El constructivismo no adopta en general dicha postura y es completamente compatible con la concepción objetiva de las matemáticas.

Erret Bishop propuso el constructivismo a partir de las sugerencias de Brouwer y Márkov,[115]​ pero modificando algunas percepciones de los autores mencionados de tal manera que la propuesta constructivista resulta más restrictiva que las sugerencias de Brouwer y Márkov pero, al mismo tiempo, logra que todos sus teoremas resulten compatibles tanto con esas sugerencias como con las de la matemática clásica, cosa que no ocurre con las otras dos.[116]​ Bishop logra esta flexibilidad a través de no definir lo que llama "rutinas finitas" (algoritmos) que constituyen el proceso de demostración. Si bien esto parece introducir una cierta falta de precisión, fuerza a quienes practican esta aproximación a utilizar estrictamente la lógica intuicionista. Parece ser que utilizar tal lógica equivale a practicar matemática algorítmica formal. Si eso fuera el caso, la aproximación intuicionista podría ser implementada en relación a cualquier objeto matemático, no solo esa clase especial de «objetos constructivos».[117]​

El constructivismo critica el formalismo llevado hasta el extremo por el grupo de matemáticos llamado Nicolas Bourbaki, admite la sucesión de los números naturales, mas no el conjunto de los naturales, cuestionan la lógica en que se fundamenta la matemática de Bourbaki y proclama la tercera opción respecto del principio del tercero excluido (a más de p y ~p, cabe otra salida).[118]​

Finitismo

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En filosofía de las matemáticas, el finitismo es una forma extrema de constructivismo, de acuerdo a la cual un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de los números naturales en un número de pasos finitos. En contraste, la mayoría de constructivistas admiten un conjunto de pasos infinito numerable. El defensor más famoso del finitismo fue Leopold Kronecker, que dijo: "Dios creó los números naturales; el resto es obra del hombre."[119]​ Aunque la mayoría de los constructivistas modernos tienen un punto de vista más laxo, se puede buscar el origen del constructivismo en el trabajo de Kronecker sobre el finitismo.

Reuben Goodstein es otro exponente del finitismo. Parte de su trabajo implicaba construir el análisis partiendo de fundamentos finitistas. Aunque lo negase, gran parte de los escritos matemáticos de Ludwig Wittgenstein tiene una gran afinidad con el finitismo.

Incluso más estricto que el finitismo es el ultrafinitismo (también conocido como ultraintuicionismo), asociado principalmente con Alexander Esenin-Volpin. Rechaza no solo los infinitos, sino también las cantidades finitas que no pueden construirse de manera factible con los recursos disponibles. Otra variante del finitismo es la aritmética euclidiana, un sistema desarrollado por John Penn Mayberry en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets.[120]​ El sistema de Mayberry es aristotélico en general de inspiración y, a pesar de su fuerte rechazo a cualquier papel del operacionalismo o la viabilidad en los fundamentos de las matemáticas, llega a conclusiones algo similares, como, por ejemplo, que la superexponenciación no es una función finitaria legítima.

Estructuralismo

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En filosofía de las matemáticas, el estructuralismo considera las matemáticas principalmente como una ciencia que se ocupa de las estructuras generales, es decir, las relaciones de los elementos dentro de un sistema.

Según Stewart Shapiro, «El estructuralismo matemático es similar, en algunos aspectos, al punto de vista funcionalista en, por ejemplo, la filosofía de la mente. Una definición funcional es, en efecto, estructural, ya que, también se centra en las relaciones que los elementos definidos tienen el uno al otro. La diferencia es que las estructuras matemáticas son más abstractos, y autónomas, en el sentido de que no hay restricciones sobre el tipo de cosas que pueden ejemplificar.»[121]​[122]​

Para ilustrar lo anterior, considérese un «sistema ejemplo» tal como la administración de un club deportivo.[123]​ Los distintos cargos (presidente, auditor, tesorero, etc.) son independientes de las personas que asumen esas tareas. Considerando sólo el esquema de los cargos (y por tanto «omitiendo» las personas reales que trabajan en ellos), se obtiene la estructura general de una asociación. El club en sí, con las personas que han tomado posesión de los cargos, ejemplifica esta estructura.

Del mismo modo, cualquier sistema cuyos elementos tengan un sucesor único ejemplifica la estructura de los números naturales. Lo mismo se aplica a otros objetos matemáticos. Puesto que el estructuralismo no considera los objetos, tales como números, de manera separada de su totalidad o estructura, sino que más bien los considera como "espacios en una estructura", esquiva la cuestión de la existencia de los objetos matemáticos y los explica como errores categoriales. Así, por ejemplo, el número dos, en tanto número natural, ya no se puede considerar en forma separada de la estructura de los números naturales, sino como el identificador del «segundo lugar en la estructura de los números naturales»: no tiene propiedades internas ni una estructura propia. En consecuencia, existen tanto variantes del estructuralismo que asumen la existencia de los objetos matemáticos, como otras que rechazan su existencia[124]​

Los problemas con esta corriente surgen principalmente de la cuestión de las propiedades y el ser de las estructuras.[125]​ Al igual que en el problema de los universales es aparente que las «estructuras» son algo que puede aplicarse a muchos sistemas simultáneamente. Por ejemplo, la estructura de un equipo de fútbol es ciertamente ejemplificado por miles de equipos. Esto plantea la cuestión de si y cómo las estructuras existen, si acaso existen independientes de los sistemas. Otras cuestiones pendientes están relacionadas con el acceso a las estructuras y la de ¿cómo podemos aprender acerca de ellas?

Entre los representantes actuales del estructuralismo se cuentan Stewart Shapiro,[122]​ Michael Resnik,[126]​ Geoffrey Hellman[127]​ y Paul Benacerraf.

Ficcionalismo

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En filosofía de las matemáticas, el ficcionalismo considera que las proposiciones y teorías matemáticas pretenden ser sobre objetos matemáticos abstractos, como sugiere el platonismo, pero no existen cosas tales como objetos abstractos, y por lo tanto las teorías matemáticas no son ciertas.[128]​

Se planteó en 1980 cuando Hartry Field publicó Science Without Numbers, que rechazó y de hecho revirtió el argumento de indispensabilidad, donde Quine sugirió que las matemáticas eran indispensables para nuestras mejores teorías científicas y por lo tanto se deberían aceptar como un cuerpo de verdades que hablan de entidades independientes existentes. En cambio, Field sugirió que las matemáticas son prescindibles y por lo tanto se deberían considerar como un cuerpo de falsedades que no hablan de nada real.[129]​

Empirismo

El empirismo matemático[130]​ puede trazarse a la obra Un sistema de lógica de John Stuart Mill al afirmar que las matemáticas son "ciencia empírica de validez más general".[131]​ Para Mill, los conceptos matemáticos proceden del mundo físico y las verdades de la matemática son verdades acerca del mundo físico, aunque de un carácter más general. Las verdades matemáticas serían las verdades más generales de todas (Dummett 1998, pp. 125-126). Mill propuso que los principios matemáticos y las conclusiones de la ciencia deductiva (como la geometría, aritmética, álgebra...) son inductivas. Los axiomas se basan en la observación y en generalizaciones a partir de experiencias repetidas. Por ejemplo, 2 + 2 y 3 + 1 son necesariamente iguales porque un grupo de 4 cosas puede disponerse en dos grupos de 2 cosas y en un grupo de 3 cosas y otro de 1. Mill anticipa que este punto de vista "debe esperarse la recepción más desfavorable".[132]​ Gottlob Frege reprendió muchas de las ideas de Mill sobre la filosofía de las matemáticas en su obra Los fundamentos de la aritmética.[133]​

A pesar de que la sugerencia de Mill no despertó gran interés entre matemáticos (P Kitcher: "el problema que muchas de sus formulaciones son imprecisas (casi invitando las bien conocidas ironías de Frege) y, en adición, Mill solo considera las más rudimentarias partes de la matemáticas"[134]​), la idea básica fue eventualmente retomada por dos autores: Stephan Körner[135]​ y László Kalmár.[136]​ Para Körner, "las teorías científicas integradas en la matemática funcionan y están justificadas, junto con su marco de trabajo matemático como constituyentes sincategoremáticos[137]​ de las proposiciones empíricas ". Para Kalmar "los axiomas de cualquier rama interesante de las matemáticas fueron originalmente extraídos, más o menos directamente, de los hechos empíricos, y las reglas de inferencia utilizadas en ella originalmente manifestaron su validez universal en nuestra práctica del pensamiento; III) la consistencia de la mayoría de nuestros sistemas formales es un hecho empírico, (y) aun cuando se ha demostrado, la aceptabilidad de los métodos metamatemáticos utilizados en la prueba (por ejemplo inducción transfinita hasta cierto ordinal constructivo) es de nuevo un hecho empírico.".[138]​

Esta visión ha sido expandida por, entre otros, Philip Kitcher, quien busca sistematizarla;[139]​ Carl E. Behrens, quien sugiere que "Al rehabilitar el empirismo de John Stuart Mill y combinarlo con el conocimiento cada vez mayor de la naturaleza de la mente humana, podemos escapar del indefinible universo platónico de la conciencia inmaterial y abandonar la vana búsqueda por la certidumbre que ha plagado la filosofía desde los tiempos de los griegos.[140]​

Cuasi-empirismo

Artículo principal: Cuasi-empirismo matemático

El término cuasi-empirismo fue introducido por Imre Lakatos[141]​ a fin de enfatizar un punto crucial de su sugerencia: "Una teoría euclidiana puede ser proclamada verdadera. Una teoría cuasi-empírica puede —a lo más— ser bien corroborada, pero es siempre conjetural. Adicionalmente, en una teoría Euclidiana los postulados verdaderos básicos en "la cumbre" del sistema deductivo (generalmente llamados 'axiomas') demuestran, por así decirlo, el resto del sistema; en una teoría cuasi-empírica los postulados básicos (verdaderos) son explicados por el resto del sistema." (op cit, sección 2).

"El cuasi-empirismo postula que para entender y explicar las matemáticas no basta con analizar su estructura lógica ni su lenguaje sino que hay que estudiar su práctica real, la manera en que efectivamente las aplican los matemáticos, las enseñan los profesores y las aprenden los estudiantes, su historia, las revoluciones que ocurren en ellas, los paradigmas y los programas que dominan, las comunidades de matemáticos, el tipo de retórica que se emplea en ellas y el papel que juega el conocimiento matemático en las distintas sociedades y culturas."[142]​

  • El cuasi empirismo de Lakatos: Lakatos plantea que la supuesta necesidad lógica (o verdad a priori) de las matemáticas deriva de que nos hemos olvidado, no conocemos, o no valoramos adecuadamente el proceso de pruebas y refutaciones informales, siempre falibles, por medio del cual se llega a las pruebas formales que después dan lugar a las axiomatizaciones. Lakatos propone que: 1) las pruebas formales son falseables por medio de las pruebas informales; 2) el proceder de las matemáticas no es axiomático, como plantean los formalistas, sino basado en una sucesión de pruebas y refutaciones que sólo llegan a resultados falibles; 3) el intento de proveer de fundamentos a las matemáticas conlleva un retroceso al infinito; 4) la historia de las matemáticas debe ser estudiada no a través de teorías aisladas sino de series de teorías o, mejor aún, de programas de investigación que incluyen un núcleo firme no falseable y un cinturón protector de hipótesis auxiliares que sí son falseables, pero que son modificables;10 5) debemos preferir no el programa matemático que esté completamente axiomatizado sino el que sea progresivo, esto es, el que permita descubrir hechos nuevos e inesperados.[142]​
  • El cuasi empirismo de Putman: Hilary Putnam parte de las tesis quineanas acerca del holismo de las teorías y la naturalización de la epistemología, pero también, como su maestro Reichenbach, del impacto de la física moderna en nuestra concepción de la ciencia y de la realidad. En las matemáticas, según Putnam, hay un juego entre postulación, pruebas informales o cuasi-empíricas y revolución conceptual. Putnam reconoce que las matemáticas no son ciencias experimentales y que son más a priori que, por ejemplo, la física, sin embargo señala que la distinción entre lo a priori y lo a posteriori es más bien relativa: que algo sea a priori significa, simplemente, que juega un papel fundamental en nuestra concepción del mundo o en nuestra forma de vida y que, por tanto, no estamos dispuestos a renunciar a ello. Concretamente, la teoría de conjuntos es indispensable para la física[cita requerida], por ello, las entidades sobre las cuales cuantifica, a saber, los conjuntos, deben ser considerados como reales, pues no se puede aceptar el conocimiento que proporciona la física sin aceptar dichas entidades o, mejor dicho, al aceptar el conocimiento de la física, ya se ha aceptado, implícitamente, la teoría de conjuntos. Así, las matemáticas comparten el contenido empírico con las teorías físicas de las que forman parte y se modifican junto con ellas.

Psicologismo

Artículo principal: Psicologismo

El psicologismo en la filosofía de las matemáticas es la posición en la que los conceptos y / o verdades matemáticos se basan en hechos (o leyes) psicológicos o se derivan de ellos o se explican por ellos. John Stuart Mill parece haber sido un defensor de un tipo de psicologismo lógico, al igual que muchos lógicos alemanes del siglo XIX como Christoph Sigwart y Johann Eduard Erdmann, así como una serie de psicólogos, por ejemplo, Gustave Le Bon.[143]​

Gottlob Frege criticó el psicologismo en sus Los fundamentos de la aritmética y en muchas de sus obras y ensayos, incluida su revisión de la Filosofía de la aritmética de Husserl. Edmund Husserl, en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas, llamado "Prolegómenos a la lógica pura", criticó a fondo el psicologismo y buscó distanciarse de él. El psicologismo también fue criticado por Charles Sanders Peirce y Maurice Merleau-Ponty. No obstante, modernas revisiones han acusado a las críticas de Frege y Husserl de cometer peticiones de principio, además de criticar las opiniones de ambos sobre la naturaleza de las leyes lógicas, especialmente que sean necesarias y únicas, ya examinados en los artículos de Quine, quien pidió un famoso regreso al psicologismo.[143]​

Véase también

Referencias

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  26. Por ejemplo: Edward Nelson (2006): Warning Signs of a Possible Collapse of Contemporary Mathematics
  27. Por ejemplo: Alex Levine: Conjoining Mathematical Empiricism with Mathematical Realism: Maddy's Account of Set Perception Revisited en Synthese.- Vol. 145, No. 3 (Jul., 2005), pp. 425-448
  28. Véase: Guillermo Mattei Irrazonable eficacia de la matemática - ver también Eugene Paul Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences el 28 de febrero de 2011 en Wayback Machine.
  29. A. Si Dios no existiera, la aplicabilidad de las matemáticas sería solo una feliz coincidencia.
    B. La aplicabilidad de las matemáticas no es solo una feliz coincidencia.
    C. Por lo tanto, Dios existe.
    A. If God did not exist, the applicability of mathematics would be just a happy coincidence.
    B. The applicability of mathematics is not just a happy coincidence.
    C. Therefore, God exists.
    William Lane Craig
    Véase en: Argumento teleológico
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  31. https://www.brainyquote.com/quotes/henri_poincare_208086
  32. S, F. (January 1941). «A Mathematician's Apology». Nature 147 (3714): 3-5. doi:10.1038/147003a0. 
  33. P Maddy, citada por Luis Miguel Ángel Cano P (2003) en «El realismo, por tanto, es el punto de vista que sostiene que la matemática es la ciencia de los números, conjuntos, funciones, etc., tal y como la física es el estudio de los objetos físicos ordinarios, cuerpos astronómicos y partículas subatómicas entre otros. Esto es, la matemática trata acerca de esos objetos, y es el modo en que tales objetos son lo que hace a los enunciados de la matemática verdaderos o falsos.»
  34. Internet Enciclopedia of Philosophy: Mathematical Platonism «Cualquiera explicación metafísica de las matemáticas que implica que las entidades matemáticas existen, que son abstractos, y que son independientes de todas nuestras actividades racionales.»
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  36. Guillerma Díaz Muñoz (2000): Aproximación del realismo matemático de Gödel al realismo constructivo de Zubiri
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  39. Luke Jerzykiewicz (2007) "La gran mayoría de los realistas de hoy en día, incluyendo el propio Stewart Shapiro, sostienen que las entidades matemáticas (o estructuras) son abstractas y a-causal. 'Realismo', de hecho, viene a ser casi sinónimo de 'platonismo'. en Platonist epistemology and cognition el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine. p 1
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  41. Haim Gaifman: On Ontology and Realism in Mathematics el 21 de abril de 2014 en Wayback Machine.
  42. De acuerdo a Davis y Hersh (ver la Experiencia matemática “el matemático profesional típico es un platonista durante la semana y un formalista en el Domingo” (ver Realismo platónico), lo que generalmente se interpreta como significando que la mayoría de los matemático se comportan como si aceptaran que los objetos matemáticos y sus relaciones fueran objetivos, independientes de nuestra voluntad o subjetividad, pero si se les demanda una justificación de su posición, adoptan el formalismo (ver más abajo)
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  50. Eleonora Cresto (2002): "Benacerraf nos ofrece allí un dilema, moldeado sobre la dicotomía entre platonismo y constructivismo: el primero nos permite entender como es que los enunciados matemáticos son verdaderos, pero no como es que los conocemos, el segundo explica el conocimiento matemático, pero no la verdad." en Comentarios a "La filosofía de la matemática del segundo Wittgenstein: El problema de la objetividad de la prueba matemática
  51. Rui Vieira (2010): "Sin embargo, en un importante artículo, "Mathematical Truth", en el Journal of Philosophy, Vol. 70 (1973), el filósofo Paul Benacerraf argumentó que las explicaciones anti-platónicas de las matemáticas deprivan los enunciados matemáticos de su verdad objetiva en el sentido cotidiano popular, es decir, de la idea de que las verdades matemáticas son verdaderas piense alguien en ellas o no. La verdad objetiva es una propiedad de las matemáticas que para la mayoría de nosotros es obvia, pero explicaciones anti-platónicas hacen las matemáticas subjetivas (aunque el argumento de Benacerraf se dirige al convencionalismo y al formalismo, no creo que las tentativas del intuicionismo se libren nada mejor". en Mathematical Knowledge: A Dilemma.
  52. GREGORY LAVERS (2009): "El sentido común respecto a la verdad y la forma sintáctica de los enunciados matemáticos nos lleva a concluir que los enunciados matemáticos se refieren a objetos abstractos. Al mismo tiempo, ese sentido común, en relación a la epistemología, parece implicar que los enunciados matemáticos no pueden referirse a objetos abstractos" (en BENACERRAF’S DILEMMA AND INFORMAL MATHEMATICS) y "Según Benacerraf, cualquier explicación de la verdad matemática debe satisfacer dos requisitos básicos: erigirse sobre la base de una semántica y de una epistemología paralelas a las usuales en el discurso no matemático. La semántica usual es necesaria para que los términos de los enunciados matemáticos se refieran a entidades reales, si tales enunciados han de ser verdaderos, como suponemos en nuestro usos lingüísticos habituales. La epistemología se necesita para que la verdad de los enunciados matemáticos presuponga algún conocimiento de las entidades referidas por los términos enunciados, como suponemos en nuestro discurso habitual.... prosigue Benacerraf, en general las explicaciones disponibles de la verdad matemática no logran satisfacer ambos requisitos, sino más bien alguno de ellas a expensas del otro.". Francisco Rodriguez C: Lo que es y no es la verdad matemática
  53. Tegmark, Max (February 2008). «The Mathematical Universe». Foundations of Physics 38 (2): 101-150. Bibcode:2008FoPh...38..101T. arXiv:0704.0646. doi:10.1007/s10701-007-9186-9. 
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  75. Ferran Mir S (2006): "La conocida intervención de David Hilbert (1862-1943) en el Congreso Internacional de Paris de 1900, en la que planteo los 23 problemas matemáticos a resolver durante el siglo XX, iba mucho más allá de la mera relación de dichos problemas. La convicción claramente expresada por Hilbert de que todo problema ha de tener su solución basada en la pura razón [6, Pags. 125 y ss.]: "En las matemáticas no existe el ignorabimus". Un año antes, Hilbert había publicado su Grundlagen der Geometrie, en el que establecía los axiomas a partir de los cuales podía desarrollarse, mediante pura deducción, toda la disciplina en todas sus variantes, tanto euclideas como no euclideas. Mediante este ideal axiomático podía construir un raciocinio sobre objetos que no necesitaba definir; al contrario de Euclides que había precisado de una definición (intuitiva) de los objetos básicos (punto, línea, plano, etc.). El hecho de prescindir de las definiciones de los objetos básicos, hace que se le haya reprochado la reducción de las matemáticas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos: un puro juego con símbolos. La combinación del ideal axiomático con la convicción de que todo problema debe tener solución, conducirá en los años sucesivos a la idea de completud del sistema axiomático. En los primeros años del siglo XX, esta idea es todavía vaga [13, P·g. 151], pero esta claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas pueden derivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matemáticas ordinarias. También esta presente la idea de simplicidad: el conjunto de axiomas ha de ser lo más reducido posible y deben ser independientes unos de otros." en
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  78. Ian J. Dove: En su forma más simple el deductivismo es la visión que la matemática consiste enteramente de la derivación de teoremas a partir de axiomas. Es esa visión las únicas verdades en matemáticas son verdades condicionales de la forma Si (axioma); Entonces (teoremas)." en Certainty and Error in Mathematics: Deductivism and the Claims of Mathematical Fallibilism, p 5
  79. H Putnam: "no creo que haya una crisis en las fundaciones de las matemáticas. En realidad, no creo que la matemática ya sea tiene o necesita "fundaciones" en "Mathematics without foundations"
  80. H Putnam: "Porque nuestra convicción intuitiva que ciertos tipos de estructuras finitas podrían (énfasis de Putnam) existir juegan un papel esencial en la aplicación de las matemáticas. Es una parte, y una parte importante, de la pintura matemática total que ciertos conjuntos de axiomas son asumidos como representando estructuras presumiblemente posibles. .... Así hay cuestiones que que permanecen irreduciblemente un asunto de la filosofía de las matemáticas por sobre la "filosofía de la lógica": el asunto de iluminar y clarificar nuestra aceptación de estructuras matemáticas como "presumiblemente posibles", o de conjuntos de axiomas matemáticos como "presumiblemente consistentes..." The Thesis that Mathematics is Logic, conclusión (p 41-42)
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  83. Hilary Putnam (1967): Philosophical Papers: Volume 1, Mathematics, Matter and Method “The Thesis that Mathematics is logic” p 20 “(3) ‘If-thenism’ as a philosophy of mathematics”
  84. ↑ Hilary Putnam (1967): The Thesis that Mathematics is Logic.
  85. Russell Marcus (2006): Pluribus Putnams Unum (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última). p 6
  86. Russell Marcus (2006): E Pluribus Putnams Unum p 6
  87. Ian J. Dove: "A través de evitar el asunto de la verdad de los axiomas y teoremas, el deductivismo es capaz de evitar el problema de la epistemología de las matemáticas y lo reemplaza con el de la epistemología de la lógica... el deductivismo es anti-realista o, por lo menos, neutral en relación a la existencia de objetos abstractos. " en Certainty and Error in Mathematics: Deductivism and the Claims of Mathematical Fallibilism, p 5
  88. Heinzmann, Gerhard; Stump, David (2017). Zalta, Edward N., ed. Henri Poincaré (Winter 2017 edición). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado el 26 de agosto de 2020. 
  89. Iemhoff, Rosalie, Intuitionism in the Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.), forthcoming URL = <http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/entries/intuitionism/>
  90. van Atten, Mark: "Sobre la base de su filosofía de la mente, en la que Kant y Schopenhauer fueron las principales influencias, Brouwer caracteriza principalmente las matemáticas como la libre actividad del pensamiento exacto, una actividad que se basa en la intuición pura del tiempo (interior). Ningún reino independiente de los objetos y el lenguaje juegan algún papel fundamental. De este modo se esforzó por evitar la Escila del platonismo (con sus problemas epistemológico) y el Caribdis del formalismo (con su pobreza de contenido). Dado que, en vista de Brouwer, no hay factor determinante de la verdad matemática fuera de la actividad de pensar, una proposición sólo se hace realidad cuando el sujeto ha experimentado su verdad (por haber llevado a cabo una construcción mental apropiado), de manera similar, una proposición sólo es falsa cuando el sujeto ha experimentado su falsedad (por darse cuenta de que una construcción mental apropiado no es posible). Por lo tanto Brouwer puede afirmar que "no hay verdades sin experiencia" (Brouwer, 1975, p.488)." en 3. Brief Characterization of Brouwer's Intuitionism" en Luitzen Egbertus Jan Brouwer
  91. Carlos Torres A: "El intuicionismo fue la respuesta de Brouwer al logicismo de Russell, a la matemática no constructiva y a las paradojas, y se apoya en tres tesis radicales: i) los objetos matemáticos se construyen directamente en la intuición pura, siendo por ello previos al lenguaje y a la lógica; ii) las leyes que rigen el comportamiento de dichos objetos derivan de su construcción, no de la lógica, como pretenden Frege, Russell y los logicistas 33 y iii) en la matemática no es admisible ninguna teoría que rebase el marco de lo dable en la intuición, como sostienen Hilbert y los cantorianos." en KANT VISTO DESDE LAS MATEMÁTICAS revista unam vol.6/num 1 (2005) sección “ El intuicionismo de Brouwer”, pp 15-19
  92. L. E. J. Brouwer (1913): Bull. Amer. Math. Soc. 20 (2): 81–96. MR 1559427.
  93. DIEGO PAREJA HEREDIA: "Para los intuicionistas las bases de las matemáticas estaban en la explicación del origen, o la esencia de los números naturales 1, 2, 3,... Para la filosofía intuicionista, todo ser humano tiene una intuición congénita en relación con los números naturales. Esto significa en primer lugar que tenemos una certeza inmediata de lo que significamos con el número “1”, y en segundo lugar, que el proceso mental que originó el numero 1 puede repetirse. La repetición de este proceso, induce la creación del número 2, una nueva repetición y aparece el número 3. En esta forma, el ser humano puede construir cualquier segmento inicial 1, 2, 3,..., n, donde n es un natural arbitrario. Esta construcción mental de un número natural tras de otro, nunca podría darse, si no tuviéramos dentro de nosotros, una preconcepción del tiempo. Cuando afirmamos 2 va después de 1, el término “después” tiene una connotación de tiempo, y en ese aspecto Brouwer se adhiere al filósofo Immanuel Kant (1724-1804) para quien la mente humana tiene una apreciación inmediata de la noción de tiempo. Kant usó la palabra “intuición” para “apreciación inmediata”, y es de allí de donde proviene el término “intuicionismo”. " en 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo.
  94. La "intuición" a la que se hace referencia tiene un sentido más bien especializado: Miguel Espinoza: "Se supone que un conocimiento intuitivo no ocurre en etapas, no es gradual como una inferencia, como el conocimiento que presupone el lenguaje, como la aplicación de un algoritmo. Digo "se supone" porque la inmidiatez podría ser una ilusión. Que la conciencia sea incapaz de seguir los diferentes pasos del cerebro no significa que biológicamente haya también inmediatez. La rapidez de un ordenador no implica intuición. A veces en matemáticas se entiende también por intuición las operaciones de calculo o lo que llega a entenderse fácilmente. En la intuición, lo aprehendido y la operación de la mente forman un solo proceso, tienen una sola forma, por eso no se plantea el problema de la verdad-adecuacion. Para preguntarnos si lo que pensamos corresponde o no a algo externo al pensamiento, es necesario que el intelecto y la cosa estén separados. Esto no ocurre en la intuición. Es entonces la falta de distinción sujeto-objeto, la inmediatez atribuida a la intuición que ha dado a los intuicionistas la confianza en este modo de conocimiento. Toda inferencia debe estar basada finalmente en verdades intuitivas", en Intuicionismo y objetividad p 101-102
  95. J. BARRIO GUTIÉRREZ: "Intuicionismo matemático. Una de las corrientes matemáticas de más fecundidad en el momento actual es el llamado Intuicionismo matemático. En oposición al formalismo de Hilbert (v.), fue creado por L. Brouwer (v.) sobre la base de anteriores ideas defendidas por L. Kronecker. La tesis fundamental de este i(ntuicionismo) es la afirmación de que la Matemática (v.) está constituida exclusivamente por un conjunto de entes construidos intuitivamente por el matemático, sobre los que se seguirán construyendo otros mediante un sistema operacional claro, preciso y fecundo." en INTUICIONISMO
  96. De acuerdo a Brouwer "un ente solo existe si puede ser construido a partir de la intuición primordial".- Brouwer, citado por Espinoza en Intuicionismo y objetividad p 110.
  97. ↑ Dick de Jongh: Intuicionismo
  98. Ferran Mir Sabaté (2006): .
  99. A. N. Kolmogorov: "On the principle of excluded middle", pp. 414–437.
  100. ver Jorge Alberto Molina (2008): Negación y Doble Negación en el Intuicionismo de Brouwer
  101. SEP: 2.2 Intuitionism
  102. Ver Miguel Espinoza (2003): Intuicionismo y Objetividad (Thémata, Nro 30) p 111 -112 y 103-106
  103. Esta concepción se basa, de acuerdo a Angela Patricia Valencia Salas; Angela Patricia Franco Urián en "el uso de la noción del tiempo como base primordial de su elaboración del continuo. El tiempo es el único elemento “a priori” del continuo. Este se basa en lo que Brouwer denomina “intuición primordial o primigenia”, que consiste en la capacidad de conciencia de la relación entre antes-después, pasado-presente, como unidad de lo continuo y lo discreto, la posibilidad de pensar a la vez en singularidades unidas por un "entre" que nunca se agota por inserción de nuevas singularidades, por tanto es imposible tomar alguno de ellos como autosuficiente construir el otro a partir de ahí. Zalamea (2001) menciona que uno de los rasgos que caracteriza la idea de un continuo sintético es la Genericidad, que refiere a lo no particularizante, a la iniciación de un gran espacio de posibilidades no actualizadas ni determinadas y esto se observa en Brouwer tomando como base su Intuición Primigenia." en SOBRE UNA CONSTRUCCIÒN ALTERNATIVA AL CONTINUO DE CANTOR: EL CONTINUO INTUICIONISTA el 5 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
  104. ver: Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy (1973): Foundations of set theory p 259
  105. L. E. J. Brouwer, citado por D. P HEREDIA 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo.
  106. Michel Bordeau: El Error de Cantor en Jorge Martínez Contreras, Aura Ponce de León, Luis Villoro: El saber filosófico esp pp 396- 405
  107. Para profundizar estas, ver: Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy (1973): Foundations of set theory pp 252-264: "The Primordial intution of integer: Choice sequences and Brouwer's concept of set
  108. van Atten, Mark: "Los teoremas fundamentales del análisis intuicionista - el teorema de la barra, el teorema del abanico, y el teorema de la continuidad - se encuentran en "Sobre los dominios de definición de las funciones" (Brouwer, 1927). Los dos primeros son teoremas estructurales sobre los diferenciales, y el tercero (que no debe confundirse con el principio de continuidad para las secuencias de elección) establece que cada función total [0,1] → ℝ es continua e incluso uniformemente continua. El teorema del abanico es, de hecho, un corolario del teorema de la barra; combinado con el principio de continuidad, que no es válido clásicamente, produce el teorema de continuidad, que tampoco es clásicamente válido. Los teoremas de las barras y el abanico son, por otro lado, clásicamente válido, aunque las pruebas clásicas y intuicionista para ellos no son intercambiables. Las pruebas clásicas no son “intuicionisticamente” aceptable debido a la manera en que depender de PEM, las pruebas intuicionistas no son clásicamente aceptables porque dependen de la reflexión sobre la estructura de las pruebas mentales. En esta reflexión, Brouwer introdujo la noción de la forma de una prueba con "análisis completo" o "canónica", que sería adoptada más tarde por Martin-Löf y por Dummett. En una nota al pie, Brouwer menciona que tales pruebas, que él identifica con los objetos mentales en la mente del sujeto, suelen ser infinitas." en 4. Brouwer's Development of Intuitionism en Luitzen Egbertus Jan Brouwer
  109. Win Veldman: "Some applications of Brouwers Thesis on Bars, en One Hundred Years of Intuitionism (1907-2007): The Cerisy Conference pp 326 y sig (esp p 330)
  110. THIERRY COQUAND (2003): About Brouwer's fan theorem
  111. Para una visión mas profunda de estos desarrollos, ver A.G. Dragalin (originator) Intuitionism. en Encyclopedia of Mathematics.
  112. ver Gustavo Fernández D: Desarrollos posteriores de intuicionismo y constructivismo p 102 y sig
  113. Horsten, Leon. «Philosophy of Mathematics». En Edward N. Zalta, ed. Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Fall 2008 Edition). 
  114. Carnap, Rudolf (1931), "Die logizistische Grundlegung der Mathematik", Erkenntnis 2, 91-121. Republished, "The Logicist Foundations of Mathematics", E. Putnam and G.J. Massey (trans.), in Benacerraf and Putnam (1964). Reprinted, pp. 41–52 in Benacerraf and Putnam (1983).
  115. Bishop, E. (1967): Foundations of Constructive Analysis, New York: McGraw-Hill (ver Revisión del libro (ambos en inglés)
  116. Gustavo Fernandez D: "SEMINARIO DE LOGICA Y FILOSOFIA DE LA CIENCIA I, página 101: Desarrollos posteriores de intuicionismo y constructivismo
  117. Bridges, Douglas, punto 3.3: Bishop's Constructive Mathematics en Constructive Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
  118. Roger Apéry (1984). «Matemática constructiva». Pensar La Matemática – Seminario de Filosofía y Matemática de la Ecole Normale Supériure de París. dirigido por J. Diedonné, M. Loi, y R. Thomm. Barcelona: Éditions du Seuil. ISBN 8472236145. 
  119. From an 1886 lecture at the 'Berliner Naturforscher-Versammlung', according to H. M. Weber's memorial article, as quoted and translated in Gonzalez Cabillon, Julio (3 de febrero de 2000). «FOM: What were Kronecker's f.o.m.?». Consultado el 19 de julio de 2008.  Gonzalez gives as the sources for the memorial article, the following: Weber, H: "Leopold Kronecker", Jahresberichte der Deutschen Mathematiker Vereinigung, vol ii (1893), pp. 5-31. Cf. page 19. See also Mathematische Annalen vol. xliii (1893), pp. 1-25.
  120. Mayberry, J.P. (2001). The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets. Cambridge University Press. 
  121. Stewart Shapiro, en Mathematical Structuralism en "Internet Encyclopedia of Philosophy (IEP) 2010
  122. ↑ Stewart Shapiro (1997) Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology
  123. Stewart Shapiro, „Thinking About Mathematics“, Oxford 2000, S. 263
  124. Para una introducción a este aspecto, ver STRUCTURALISM, MATHEMATICAL Ver también Julian C. Cole (2010):
  125. Por ejemplo: Uri Nodelman - Edward N. Zalta.: Foundations for Mathematical Structuralism
  126. Por ejemplo: Michael D. Resnik (2004): Structuralism and the Independence of Mathematics
  127. Por ejemplo: G. Hellman (1996): Structuralism without structures
  128. Balaguer, Mark (2018). Zalta, Edward N., ed. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2018 edición). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Consultado el 9 de julio de 2019. 
  129. Quezada, Wilfredo; Quezada, Wilfredo (2017-10). «Filosofía de las matemáticas, teoría de cardinales grandes y sus bases cognitivas». Revista de filosofía 73: 281-297. ISSN 0718-4360. doi:10.4067/S0718-43602017000100281. Consultado el 9 de julio de 2019. 
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  131. J. S. Mill: "La matemática es la ciencia empírica de validez más general.".- citado por Mario A. Natiello en Los fundamentos de la matemática y los teoremas de Gödel el 11 de octubre de 2010 en Wayback Machine..- Véase también J. S. Mill: System of logic ("El sistema de la lógica"), vol 2, libro III, cap XXIV, punto 4, p 162, etc
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  133. The foundations of arithmetic; a logico-mathematical enquiry into the concept of number (2nd edición). Evanston, Illinois: Northwestern University Press. 1980. ISBN 0810106051. OCLC 650. 
  134. P Kitcher: The Nature of Mathematical Knowledge, p 4 (introducción)
  135. S. Körner, (1965): "An Empiricist Justification of Mathematics", en Yehoshua Bar-Hillel (ed.), "Logic, Methodology and Philosophy of Science".- Amsterdam: North Holland, 1965, pp. 222-227. (cuentas de "International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science" 1964)
  136. L Kalmár (1967): "Foundations of mathematics - Whither now?" en I. Lakatos (ed.). "Problems in the Philosophy of Mathematics" Amsterdam: North-Holland, 1967, pp. 192-193. (Proceedings of the Colloquium in the Philosophy of Science, London, 1965.)
  137. En la lógica escolástica, un término sincategoremático (sincategorema) es una palabra que no puede servir como el sujeto o el predicado de una proposición, y por lo tanto no puede representar a ninguna de las categorías de Aristóteles, pero se puede utilizar con otros términos para formar una proposición. Palabras como 'todo', 'y', 'si' son ejemplos de tales términos. Ver Syncategorematic term
  138. Patrick Peccatte (1998): Quasi-empiricism and anti-foundationalism
  139. P Kitcher (1983) The Nature of Mathematical Knowledge (Oxford University Press)
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Enlaces externos

  •   Datos: Q180536
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Agosto 04, 2021
filosofía, matemáticas, filosofía, matemáticas, área, filosofía, teórica, trata, comprender, explicar, requisitos, objeto, método, naturaleza, matemáticas, como, área, estudio, puede, aproximada, desde, direcciones, punto, vista, filósofos, matemáticos, desde,. La filosofia de las matematicas es un area de la filosofia teorica que trata de comprender y explicar los requisitos el objeto el metodo y la naturaleza 1 de las matematicas Como area de estudio puede ser aproximada desde dos direcciones el punto de vista de los filosofos y el de los matematicos Desde el punto de vista filosofico el objetivo principal es dilucidar una variedad de aspectos problematicos en la relacion entre las matematicas y la filosofia Desde el punto de vista matematico el interes principal es proveer al conocimiento matematico de fundamentos firmes Es importante mantener presente que aunque estos puntos de vista pueden implicar diferentes esquemas e intereses no son opuestos sino mas bien complementarios Cuando los matematicos profesionales se ocupan de los fundamentos de su disciplina se dice que se dedican a la investigacion fundamental o trabajo fundacional o de fundamentos ver Metamatematica Cuando los filosofos profesionales investigan cuestiones filosoficas relativas a las matematicas se dice que contribuyen a la filosofia de las matematicas Por supuesto la distincion entre la filosofia de las matematicas y los fundamentos de las matematicas es vaga y a la mayor interaccion que haya entre los filosofos y los matematicos que trabajan en cuestiones relativas a la naturaleza de las matematicas mejor 2 De acuerdo a Jeremy Avigad profesor de ciencias matematicas y de filosofia en la Universidad Carnegie Mellon 3 El conocimiento matematico ha sido considerado por mucho tiempo como un paradigma del conocimiento humano con verdades que son a la vez necesarias y ciertas por lo que dar una explicacion del conocimiento matematico es una parte importante de la epistemologia Los objetos matematicos tales como los numeros y los conjuntos son ejemplos arquetipicos de abstracciones dado que el tratamiento de tales objetos en nuestro discurso es como si fueran independientes del tiempo y el espacio encontrar un lugar para los objetos de este tipo en un marco mas amplio del pensamiento es una tarea central de la ontologia o metafisica El rigor y la precision del lenguaje matematico depende del hecho de que esta basado en un vocabulario limitado y gramatica muy estructuradas y las explicaciones semanticas del discurso matematico a menudo sirven como punto de partida de la filosofia del lenguaje Aunque el pensamiento matematico ha demostrado un alto grado de estabilidad a traves de la historia su practica tambien ha evolucionado con el tiempo y algunos desarrollos han provocado controversia y debate clarificar los objetivos basicos de esta practica y los metodos apropiados es por lo tanto una tarea metodologica y fundacional importante situando la filosofia de las matematicas dentro de la filosofia general de la ciencia De acuerdo a Bertrand Russell las matematicas son un estudio que cuando se parte de sus porciones mas familiares puede llevarse a cabo en cualquiera de dos direcciones opuestas una busca la expansion del conocimiento la otra darle fundamentos Nota del traductor Pero se debe entender que la distincion es una no en la materia objeto pero en el estado de la mente del investigador asi como necesitamos dos tipos de instrumentos el telescopio y el microscopio para la ampliacion de nuestras capacidades visuales igual necesitamos dos tipos de instrumentos para la ampliacion de nuestras capacidades logicas una para hacernos avanzar a las matematicas superiores y el otro que nos lleve hacia atras hacia los fundamentos logicos de las cosas que estamos inclinados a tomar por sentado en las matematicas Veremos que mediante el analisis de las nociones matematicas ordinarias se adquiere una nueva perspectiva nuevos poderes y los medios de llegar a nuevos temas matematicos completos mediante la adopcion de nuevas lineas de avance siguiendo nuestro viaje hacia atras 4 Principia Mathematica una de las obras mas importantes sobre filosofia de las matematicas Como ya se ha sugerido estas aproximaciones no son conflictivas En las palabras de Imre Lakatos Al discutir los esfuerzos modernos para establecer los fundamentos para el conocimiento matematico uno tiende a olvidarse que esos son solo un capitulo en el gran esfuerzo para superar el escepticismo a traves de establecer los fundamentos para el conocimiento en general El objeto de mi contribucion es mostrar la filosofia matematica moderna como profundamente empotrada en la epistemologia general y como solo siendo entendible en ese contexto enfasis de Lakatos 5 Indice 1 Introduccion 2 Problemas 3 Corrientes 3 1 Artistico 3 2 Platonismo 3 3 Matematicismo 3 4 Aristotelismo 3 5 Formalismo 3 6 Deductivismo 3 7 Convencionalismo 3 8 Intuicionismo 3 9 Logicismo 3 10 Constructivismo 3 11 Finitismo 3 12 Estructuralismo 3 13 Ficcionalismo 3 14 Empirismo 3 15 Cuasi empirismo 3 16 Psicologismo 4 Vease tambien 5 Referencias 6 Bibliografia 7 Enlaces externosIntroduccion EditarDesde la antiguedad la filosofia ha tenido interes en por lo menos ciertos aspectos de la matematica 6 En las palabras de Miguel de Guzman Pero hay otros aspectos interesantes de la matematica que atraen de modo natural al filosofo La dinamica interna del pensamiento matematico la logica de su estructura simple tersa sobria clara hacen de ella un modelo de reflexion fiable que suscita el consenso de todos Los filosofos interesados en aclarar los misterios del conocimiento humano han visto en el pensamiento matematico un campo ideal de trabajo donde poner a prueba sus hipotesis y teorias 7 Mario Bunge va mas lejos y llega a sugerir que las matematicas son no solo el fundamento del quehacer cientifico sino tambien del filosofico 8 Por mucho de ese tiempo la opinion general era la que Carl Friedrich Gauss resumio La matematica es la reina de las ciencias y la aritmetica es la reina de las matematicas Ella a menudo se digna a prestar un servicio a la astronomia y a otras ciencias naturales pero en todas las relaciones tiene derecho a la primera fila 9 Esta preeminencia se debia a una percepcion que ultimamente emana de Platon En las matematicas se halla el origen y fundamento de la teoria platonica de las formas o ideas En esta la idealizacion de los entes matematicos se transforma en la idealizacion de los entes fisicos y psiquicos La verdad matematica por su invariabilidad en el tiempo era el modelo a seguir en todo conocimiento intelectual El metodo deductivo que partiendo de axiomas y definiciones llegaba a la demostracion de teoremas era el modelo prestigioso de razonamiento para todo saber En el dialogo Menon Socrates a traves de preguntas y respuestas hace que un esclavo alcance por su propio razonamiento una verdad matematica asi de una manera popular expone Platon que las matematicas estan en el alma humana ya que en esta se halla presente el logos que gobierna el mundo material mediante las proporciones aritmeticas y geometricas Solo se requiere la introspeccion para volvernos conscientes de ese saber interno 10 Esa posicion es generalmente conocida como realismo platonismo o realismo platonico y de manera muy esquematica puede sintetizarse en la creencia de que los objetos matematicos son reales y su existencia es un hecho objetivo e independiente de nuestro conocimiento de los mismos existen fuera del espacio y del tiempo de la experiencia fisica y cualquier pregunta significativa sobre ellos tiene una respuesta definida Asi el matematico es en este sentido como un cientifico empirico que no puede inventar ni construir sino solo descubrir algo que ya existe 11 Acorde con el fisico Paul Davies Los cientificos no usan las matematicas simplemente como una forma conveniente de organizar los datos Creen que las relaciones matematicas reflejan aspectos reales del mundo fisico 12 Sin embargo hacia fines del siglo XIX esta situacion comenzo a cambiar proceso que eventualmente culmino a fines del siglo XIX y comienzo del XX en la llamada crisis de los fundamentos 13 14 15 16 17 18 La imagen tradicional de las matematicas formal e infalible fue cuestionada a raiz de la llamada crisis de los fundamentos de las matematicas que sucedio en el siglo XIX Dicha crisis se origino principalmente por dos descubrimientos primero el de las geometrias no euclidianas y segundo el de la teoria de los conjuntos 19 Esa situacion ha sido resumida de la siguiente manera 20 Hasta bien entrado el siglo XIX la geometria era universalmente considerada la rama mas firme del conocimiento La Geometria era simplemente el estudio de las propiedades del espacio Estas se manifestaban como verdades objetivas universalmente validas para la mente humana Durante el siglo XIX sucedieron varios desastres que iban a cambiar completamente esta situacion El primero fue el descubrimiento de geometrias no euclideas al que inmediatamente siguio otro desastre mayor el desarrollo del analisis por caminos contrarios a la intuicion geometrica curvas que llenan el espacio funciones continuas no diferenciables etc lo que puso de manifiesto la gran vulnerabilidad del unico fundamento que hasta entonces tenian las Matematicas la intuicion geometrica Esto era una autentica catastrofe puesto que en algun sentido implicaba la perdida de la certeza no solo en la Matematica sino en todo el conocimiento humano Se penso entonces buscar otra base segura para fundamentar las Matematicas y asi Dedekind y Weierstrass mostraron como era posible construir el analisis el continuo a partir de la Aritmetica Parecia que todo volvia a estar en orden pues nadie dudaba de la certeza proporcionada por nuestra intuicion de contar y asi los numeros enteros serian la nueva base segura para todo el edificio matematico ver programa de Hilbert Pero el intento de fundamentar rigurosamente la Matematica iba a ser llevado un paso mas lejos por Frege quien comenzo un ambicioso programa para basar las Matematicas en la Logica a traves de la Aritmetica Este fue el punto de partida de la escuela logicista que mas tarde seria continuada por Russell y Whitehead La idea logicista consistia en demostrar que la Matematica clasica era parte de la logica de modo que una vez culminado su programa podria asegurarse que la Matematica estaba libre de contradiccion al menos en la misma medida que la propia logica Sin embargo ya en ese momento se habian hecho descubrimientos que iban a sacudir completamente este optimismo dejando de nuevo a la Matematica sin fundamentos seguros En efecto la construccion del continuo a partir de la Aritmetica se basaba en la Teoria de Conjuntos de Cantor ver hipotesis del continuo que tambien habia sido utilizada por Frege en sus fundamentacion de la Aritmetica Pero la teoria de Cantor y en particular su hipotesis basica sobre la existencia de conjuntos encerrada en su definicion un conjunto es cualquier coleccion de objetos distintos de nuestra intuicion o nuestro pensamiento que puede ser traducida por cualquier condicion determina un conjunto iba a revelarse inconsistente Esa crisis dio origen a varias tentativas de resolucion lo que a su vez dio origen a tres corrientes principales las escuelas intuicionista logicista y formalista 21 esa es la vision general o comun algunos incluyen otras escuelas tales como el fenomenalismo de Husserl 22 Argumentablemente esas tentativas fueron infructuosas 23 lo que dio origen a otras escuelas tanto derivadas de las anteriores 24 como de otras percepciones basicas por ejemplo del empirismo Sin embargo y argumentablemente la situacion todavia no se ha resuelto del todo 25 26 27 Problemas EditarAl respecto de todo lo anterior hay algunas interrogantes fundamentales y sistematicas tales como el modo de ser de los objetos matematicos acaso estos existen realmente e independientemente de cualquier empleo especifico y si es asi en que sentido Y que significa referirse a un objeto matematico Cual es el caracter de los teoremas matematicos Cual es la relacion entre la logica y las matematicas Aqui se trata de cuestiones ontologicas el origen del conocimiento matematico Cuales son la fuente y la esencia de la verdad matematica Cuales son las condiciones de la ciencia matematica Cuales son en lo fundamental sus metodos de investigacion Que papel en relacion a lo anterior la naturaleza del ser humano Aqui se trata de cuestiones epistemologica la relacion entre las matematicas y la realidad Cual es la relacion entre el mundo abstracto de las matematicas y el universo material Tienen las matematicas sus raices en la experiencia y si es asi como Como es que las matematicas calzan tan bien con los objetos de la realidad Albert Einstein 28 De que manera los conceptos tales como numero punto infinito etc adquieren un significado que trasciende el ambito estrictamente matematico William Lane Craig argumento que la eficacia de las matematicas en la naturaleza se explica mejor apelando a la existencia de un Dios 29 El punto de partida es casi siempre la concepcion de que las proposiciones matematicas son ciertas por principio de manera atemporal y exacta y que su veracidad no depende ni de evidencias empiricas ni de puntos de vista personales La tarea consiste tanto en determinar las condiciones de la posibilidad de adquirir ese conocimiento como en cuestionar criticamente este punto de partida Corrientes EditarArtistico Editar La vision que sostiene que las matematicas son la combinacion estetica de suposiciones y luego tambien afirma que las matematicas son un arte fue compartida por el matematico britanico G H Hardy 30 y tambien metaforicamente por el frances Henri Poincare 31 Para Hardy en su libro Apologia de un matematico la definicion de matematicas se parecia mas a la combinacion estetica de conceptos 32 Platonismo Editar Kurt Godel Esta seccion es un extracto de Platonismo matematico editar En filosofia de las matematicas el platonismo matematico o realismo matematico es una corriente de pensamiento que afirma que los objetos matematicos numeros figuras geometricas funciones etc no son simples invenciones humanas sino objetos abstractos que existen por si mismos independientemente de la mente humana 33 34 es decir que los objetos y teoremas matematicos existen en forma aislada del mundo material e independientemente del espacio y del tiempo Con este punto de vista las leyes de la naturaleza y los axiomas de la matematica tienen una posicion similar y su efectividad encuentra una explicacion su fundamento lo constituye el verdadero mundo de los objetos matematicos El platonismo matematico es una forma de realismo filosofico aplicado a los objetos matematicos El platonismo matematico implica que tanto los objetos matematicos como las leyes matematicas no se inventan sino que se descubren Con esto se explica al caracter objetivo e interpersonal de las matematicas Este realismo ontologico es incompatible con todas las variedades de la filosofia materialista Algunos de sus representantes fueron Godel 35 36 Wigner y Erdos Entre los filosofos que han adoptado la posicion se cuentan Quine Dummett 37 y Mark Steiner 38 El realismo 39 40 41 es quizas la posicion mas difundida entre los matematicos 42 Alrededor de los 1900 tuvo mucha influencia en esa posicion el argumento de Frege 43 que se puede resumir asi Terminos singulares que se refieren a numeros naturales aparecen en enunciados verdaderos simples Solo es posible para los enunciados simples con terminos singulares como componentes ser verdaderos si los objetos a los que se refieren los terminos singulares existen Por lo tanto los numeros naturales existen Pero si los numeros naturales existen son objetos abstractos que son independientes de todas las actividades racionales Por lo tanto los numeros naturales son objetos abstractos que existen independientes de todas las actividades racionales es decir el objeto aritmetico del platonismo es verdad Wigner en su trabajo La irrazonable eficacia de la Matematica en las Ciencias Naturales expreso que Es un milagro como ha senalado Schroedinger que a pesar de la perturbadora complejidad del mundo puedan descubrirse en los fenomenos ciertas regularidades 44 En el presente los partidarios del platonismo matematico generalmente citan el siguiente argumento a favor de sus posiciones argumento que busca mostrar que las teorias epistemicas son deben ser consistentes con la aproximacion realista El argumento de indispensabilidad de Quine y Putnam basicamente sugiere que debemos estar ontologicamente comprometida con todas aquellas entidades que sean indispensables para nuestras mejores teorias cientificas es decir debemos afirmar como validas e independientes todos aquellos elementos basicos del analisis que necesitamos en nuestros razonamientos alternativamente somos intelectualmente deshonestos Los objetos y o estructuras matematicos son indispensables para nuestras mejores teorias cientificas Por lo tanto debemos reconocer la existencia de esos objetos o estructuras El principal problema del platonismo en la filosofia de las matematicas es explicar como podemos los seres humanos como seres finitos reconocer los objetos matematicos y las verdades si estas se encuentran en las esferas celestiales de las ideas De acuerdo a Godel esto se logra mediante la intuicion matematica que de manera similar a un organo sensorial hace que los seres humanos percibamos partes de ese otro mundo Tales intuiciones racionales tambien son defendidas por la mayor parte de los clasicos del racionalismo asi como en debates mas recientes acerca de la justificacion y el conocimiento a priori entre otros por Laurence Bonjour 45 Sin embargo un tratamiento mas sofisticado de este asunto sugiere que el problema es mas profundo nuestras mejores teorias epistemicas parecen excluir cualquier conocimiento de los objetos matematicos 46 47 Esto generalmente se conoce como el dilema de Benacerraf 48 49 dado que generalmente se interpreta como estableciendo que debemos abandonar nuestras teorias epistemologias o la certeza matematica 50 51 52 Matematicismo Editar Articulo principal Matematicismo La hipotesis del universo matematico de Max Tegmark o matematicismo va mas alla del platonismo al afirmar que no solo existen todos los objetos matematicos sino que no existe nada mas El unico postulado de Tegmark es Todas las estructuras que existen matematicamente tambien existen fisicamente Es decir en el sentido de que en esos mundos lo suficientemente complejos como para contener subestructuras autoconscientes ellos se percibiran subjetivamente a si mismos como existiendo en un mundo real fisicamente 53 54 Aristotelismo Editar Aristoteles En filosofia de las matematicas el realismo aristotelico sostiene que las matematicas estudian propiedades como la simetria la continuidad y el orden que pueden realizarse literalmente en el mundo fisico Por ejemplo el numero 4 se realiza en la relacion entre un monton de loros y el universal ser un loro que divide el monton en tantos loros 55 Aristoteles considera que los objetos matematicos son a diferencia de Platon abstracciones de objetos y realidades materiales dependientes del mundo fisico y no podian tener realidad aparte de las cosas empiricas No son o existen per se sino en los objetos individuales como seres en potencia Las matematicas carecen de universalidad 56 Segun Aristoteles en la Metafisica hay una ciencia que estudia el ser en tanto que ser y los accidentes propios del ser diferente de todas las ciencias particulares que solo tratan del ser bajo cierto punto de vista sus accidentes y en este caso estan las ciencias matematicas 57 Por eso los seres matematicos no son sustancias pues la forma sustancial es la esencia el numero por lo contrario expresa la materia un numero de carne de hueso 58 En las Categorias llama a estos seres sustancias segundas ya que la categoria de cantidad es posterior a la de sustancia 59 Las entidades matematicas son todos los objetos potenciales del intelecto que dan una idea de la belleza y un placer intelectual 60 Aristoteles critico las ideas platonicas afirmando que el verdadero ser se encuentra no en lo universal sino en lo individual 61 Este es el origen y la base de un realismo filosofico moderado que sostiene que los conceptos universales son realidades en la mente y aunque carecen de existencia independiente tienen su fundamento en las cosas existentes 62 Los defensores mas conocidos son Alberto Magno y Tomas de Aquino 63 64 La escuela Sydney School adopto una nocion realista neoaristotelica de las matematicas frente el platonismo y el nominalismo 65 66 Tambien se ha considerado a Nicolai Hartmann 67 y Penelope Maddy 68 como aristotelicos en sus filosofias sobre las matematicas La aritmetica euclidiana desarrollada por John Penn Mayberry en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets tambien cae en la tradicion realista aristotelica 69 Formalismo Editar Articulo principal Formalismo matematico David Hilbert El formalismo matematico entiende las matematicas como un juego en el sentido de Wittgenstein 70 basado en un cierto conjunto de reglas para manipular cadenas de caracteres el programa del formalismo matematico consiste en construir la Matematica como un sistema logico formal puro cuya condicion fundamental es la ausencia de contradiccion prescindiendo de todo tipo de contenido se trata pues de un sistema formal vacio Este sistema formal estaria integrado por uno o mas conjuntos de elementos fundamentales por relaciones definidas entre los elementos de estos conjuntos y por proposiciones reguladoras de estas relaciones proposiciones que comprenden los axiomas y las demas proposiciones de ellos deducidas los teoremas 71 Por ejemplo en el juego de geometria euclidiana se obtiene el teorema de Pitagoras combinando ciertas cadenas los axiomas segun determinadas reglas las del razonamiento logico 72 73 David Hilbert es generalmente considerado fundador del formalismo moderno 74 Su interes era la construccion axiomatica consistente y completa de la totalidad de las matematicas 75 seleccionando como punto de partida los numeros naturales y asumiendo que mediante el uso de axiomas se obvia la necesidad de definir los objetos basicos op cit con el fin de lograr un sistema completo y consistente ver Programa de Hilbert En esta vision los enunciados matematicos pierden el caracter de verdades dejan de ser en ultima instancia proposiciones sobre algo Lo que importa son las relaciones que se establecen entre ellos Hilbert sostiene que la verdadera importancia en la construccion de los saberes matematicos no es el resultado numerico sino la ley de como estructurar las relaciones entre los objetos matematicos Las reglas que enlazan funcionalmente los objetos con su sistema de referencia formaran parte de un Sistema Formalizado Matematico en donde se entiende como formalizacion a un conjunto de leyes descubiertas en el seno de su misma estructura la que mantiene su consistencia en las demostraciones 76 Otro matematico que fue inspirado por el formalismo fue Haskell Curry generalmente considerado el fundador de la logica combinatoria A pesar de que esta propuesta fue de corta duracion debido al teorema de incompletitud de Godel que demostro que cualquier sistema de axiomas que incluya los numeros naturales es ya sea incompleto o contradictorio llego de facto a constituir la posicion mas aceptada entre los matematicos hasta el ultimo cuarto del siglo XX Los anos setenta vieron decaer la tendencia formalista representada por el grupo Bourbaki seudonimo de varias generaciones de matematicos franceses 77 Deductivismo Editar Esta seccion es un extracto de Deductivismo editar En filosofia de las matematicas el deductivismo o a veces si entoncismo del ingles if thenism es una variante del formalismo que propone que el trabajo del matematico consiste en derivar proposiciones a partir de la asuncion de que ciertas otras son correctas si A entonces B 78 Tradicionalmente se ha asumido que esas proposiciones basicas o axiomas son o deberian ser indudablemente correctas Pero eso no es ni necesariamente correcto ni necesario No es necesario porque la matematica no necesita fundaciones indudables 79 y no es necesariamente correcto porque de hecho la matematica trabaja perfectamente especialmente en el area de las matematicas aplicadas sobre la base que los axiomas son presumiblemente correctos y presumiblemente coherentes y que las inferencias que siguen de esos presumibles axiomas son presumiblemente posibles en el sentido que se puede crear un modelo matematico a partir de ellas 80 Los deductivistas requieren que toda y cada prueba matematica sea una deduccion Ellos reconocen que no todas tales pruebas son estrictamente validas vease Validez epistemologia y Validez logica pero consideran que toda prueba informal debe ser completable como deduccion para ser considerada valida 81 Por ejemplo el deductivismo considera que el teorema de Pitagoras no es verdadero sin mas sino solo en relacion a ciertos supuestos Si a las cadenas se les asignan significados de tal manera que los axiomas sean verdaderos y reglas de inferencia sean validas entonces se obtienen conclusiones ciertas tales como el teorema de Pitagoras En este sentido el formalismo no sigue siendo obligatoriamente un juego simbolico sin sentido El matematico puede confiar en cambio que existe una interpretacion de las cadenas de caracteres sugerida por ejemplo por la fisica o por otras ciencias naturales tal que las reglas conduzcan a afirmaciones verdaderas Por lo tanto un matematico deductivista se puede mantener al margen tanto de la responsabilidad por la interpretacion como de las dificultades ontologicas de los filosofos En 1967 Hilary Putnam 82 revivio una idea de Bertrand Russell el si entoncismo if thenism 83 e introdujo el deductivismo 84 como una respuesta a algunos problemas con el logicismo en Principia Mathematica 85 Putnam propone considerar las matematicas como el estudio de las consecuencias de los axiomas usando teoria de modelos En consecuencia interpreta las proposiciones matematicas como refiriendose a un posible modelo para esas proposiciones A diferencia de la sugerencia logicista de Russell y otros el deductivismo basa y transforma la matematica en una logica con un sentido mucho mas amplio que el sentido logicista La logica deductivista incluye por ejemplo la teoria de conjuntos necesaria para estudiar las consecuencias que siguen de axiomas 86 El logicismo podria ser solo una version del deductivismo usando una concepcion mas restrictiva de la logica matematica 81 Segun Putnam si bien la condicion de veracidad o correccion de esas verdades se satisface o demuestra mostrando que constituyen un modelo de ese conjunto de axiomas es decir constituyen un caso ejemplar de tales axiomas el de los axiomas solo puede ser asumido 87 y por lo tanto el todo esta expuesto a error Las matematicas pueden estar erradas y no solo en el sentido de que las pruebas podrian ser falaces o que los axiomas podrian no ser si reflexionamos mas profundamente realmente evidentes Las matematicas o mas bien una teoria matematica podria estar equivocado en el sentido de que los axiomas evidentes podrian ser falsos y los axiomas que son verdaderos pueden no ser evidentes en absoluto Pero esto no hace que la busqueda de la verdad matematica sea imposible mas de lo que lo ha hecho en la ciencia empirica ni tampoco significa que no debemos confiar en nuestra intuicion cuando no tenemos nada mejor para continuar 84 Convencionalismo Editar Articulo principal Convencionalismo El matematico frances Henri Poincare fue uno de los primeros en articular una vision convencionalista 88 El uso de Poincare de geometrias no euclidianas en su trabajo sobre ecuaciones diferenciales lo convencio de que la geometria euclidiana no deberia considerarse una verdad a priori Sostuvo que los axiomas en geometria deberian elegirse por los resultados que producen no por su aparente coherencia con las intuiciones humanas sobre el mundo fisico Intuicionismo Editar Articulo principal Intuicionismo El intuicionismo matematico 89 rechaza tanto la sugerencia logicista como la formalista proponiendo que el conocimiento matematico se basa en la aprehension que antecede cualquier lenguaje o logica de algunos conceptos matematicos basicos 90 91 Este intuicionismo se origina en la propuesta de L E J Brouwer 92 que el saber matematico se basa en la intuicion primordial 93 94 de los numeros naturales 1 2 3 Cada uno de esos numeros puede a partir de la intuicion basica del 1 ser construido agregando 1 al anterior Notese que esto introduce un elemento temporal ver D Pareja op ci A partir de lo anterior el resto de la matematica puede y debe ser construida de forma explicita y rigurosa lo que requiere un metodo claro y preciso 95 Solo entidades cuya existencia positiva o negativa haya sido demostrada de tal manera o por medio de tal metodo tienen validez matematica 96 Parafraseando el dicho platonista se podria decir que desde el punto de vista intuicionista las verdades matematicas no se descubren se crean 97 Entre otras consecuencias de lo anterior se encuentra la restriccion del principio del tercero excluido 98 99 saber que una proposicion es falsa implica para los intuicionistas poder demostrar esa falsedad 100 101 ver por ejemplo Logica intuicionista Sigue que en un momento dado por ejemplo el presente es perfectamente posible que haya proposiciones acerca de las cuales no tenemos certeza acerca de si son correctas o no notese que esto introduce nuevamente un elemento temporal en la verdad matematica Lo anterior no es un rechazo absoluto del principio Los intuicionistas lo utilizan en situaciones especificas por ejemplo en el caso de conjuntos bien definidos y finitos Ver Aritmetica de Heyting 97 Otras diferencias con lo que se puede considerar matematicas clasicas se encuentran en la concepcion del infinito y la del continuo Para los intuicionistas un cualquier ente es valido si y solo si puede ser construido por medio de un procedimiento especificado y con un numero finito de pasos o operaciones este procedimiento puede ser un algoritmo o algun otro que siga una regla por ejemplo arrojar un dado veinte mil veces a fin de generar cualquier numero Pero cual procedimiento especifico y finito puede generar el infinito Cualquier procedimiento que escojamos solo nos dara algun numero concreto Consecuentemente el infinito intuicionista es solo potencial a diferencia del infinito oficial que lo concibe como una totalidad completa y acabada 102 Si bien esta diferencia es mas bien metafisica op cit argumentablemente sin consecuencias mayores para la practica matematica es la introduccion a la diferencia sobre la concepcion del continuo que si tiene tales consecuencias op cit esp p 108 El concepto intuicionista del continuo 103 rechaza la concepcion axiomatica clasica de Cantor y Zermelo etc ver Hipotesis del continuo etc basada en la teoria de conjuntos y sugiere utilizar una especie de principio de eleccion choice principles 104 que Brouwer llama secuencias de elecciones libres basado en la intuicion que entre dos puntos o numeros cualquiera un matematico puede elegir libremente otro punto o numero y asi indefinidamente El continuo lineal no puede ser agotado por la interpolacion de nuevas unidades Y no puede por lo tanto ser pensado como una mera coleccion de unidades 105 al respecto de todo esto ver El Error de Cantor 106 La introduccion de secuencias de elecciones tiene varias consecuencias 107 dificiles de aceptar para la matematica no intuicionista 108 Como ejemplos la demostracion intuicionista del teorema de la barra bar theorema 109 y el teorema del abanico fan theoreme 110 Aparte de Arend Heyting otros matematicos y logicos de nota influidos por esta vision incluyen Hermann Weyl quien promovio una vision constructivista de la matematicas La aplicacion del intuicionismo a la topologia por Alfred Tarski los trabajos matematicos de Andrei Kolmogorov y los de Andrei Markov y los desarrollos de una logica intuicionista por Saul Kripke 111 Entre los filosofos que continuan esta tradicion encontramos Michael Dummett 112 Logicismo Editar Bertrand Russell Esta seccion es un extracto de Logicismo editar En filosofia de las matematicas el logicismo es la doctrina que sostiene que la matematica es en algun sentido importante reducible a la logica 113 o en otras palabras que las matematicas son basicamente una extension de la logica Los logicistas sostienen que las matematicas se pueden conocer a priori pero sugieren que nuestro conocimiento de las matematicas es solo parte de nuestro conocimiento de la logica en general y por lo tanto es analitico y no requiere ninguna facultad especial de intuicion matematica Desde este punto de vista la logica es el fundamento adecuado de las matematicas y todas las afirmaciones matematicas son verdades logicas necesarias Rudolf Carnap 1931 presenta la tesis logicista en dos partes 114 Los conceptos matematicos se pueden derivar de conceptos logicos a traves de definiciones explicitas Los teoremas de las matematicas se pueden derivar de axiomas logicos a traves de deducciones puramente logicasBertrand Russell y Alfred North Whitehead fueron partidarios de esta linea de pensamiento inaugurada por Gottlob Frege El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofia analitica en el siglo XX aunque a veces se alega que los teoremas de incompletitud de Godel socavan el proposito del proyecto Constructivismo Editar Esta seccion es un extracto de Constructivismo matematicas editar En filosofia de las matematicas el constructivismo o escuela constructivista requiere para la prueba de la existencia de un objeto matematico que este pueda ser encontrado o construido Para esta escuela no es suficiente la prueba por contradiccion clasica reduccion al absurdo que consiste en suponer que un objeto X no existe y partiendo de esta premisa derivar una contradiccion Segun los constructivistas tal procedimiento no permite encontrar el objeto estudiado y en consecuencia su existencia no esta realmente probada La posicion opuesta se denomina platonismo matematico Se confunde frecuentemente el constructivismo con el intuicionismo cuando en realidad este ultimo no es sino un tipo de constructivismo Para el intuicionismo las bases fundamentales de las matematicas se encuentran en lo que denominan la intuicion matematica haciendo en consecuencia de esta una actividad instrinsecamente subjetiva El constructivismo no adopta en general dicha postura y es completamente compatible con la concepcion objetiva de las matematicas Erret Bishop propuso el constructivismo a partir de las sugerencias de Brouwer y Markov 115 pero modificando algunas percepciones de los autores mencionados de tal manera que la propuesta constructivista resulta mas restrictiva que las sugerencias de Brouwer y Markov pero al mismo tiempo logra que todos sus teoremas resulten compatibles tanto con esas sugerencias como con las de la matematica clasica cosa que no ocurre con las otras dos 116 Bishop logra esta flexibilidad a traves de no definir lo que llama rutinas finitas algoritmos que constituyen el proceso de demostracion Si bien esto parece introducir una cierta falta de precision fuerza a quienes practican esta aproximacion a utilizar estrictamente la logica intuicionista Parece ser que utilizar tal logica equivale a practicar matematica algoritmica formal Si eso fuera el caso la aproximacion intuicionista podria ser implementada en relacion a cualquier objeto matematico no solo esa clase especial de objetos constructivos 117 El constructivismo critica el formalismo llevado hasta el extremo por el grupo de matematicos llamado Nicolas Bourbaki admite la sucesion de los numeros naturales mas no el conjunto de los naturales cuestionan la logica en que se fundamenta la matematica de Bourbaki y proclama la tercera opcion respecto del principio del tercero excluido a mas de p y p cabe otra salida 118 Finitismo Editar Esta seccion es un extracto de Finitismo editar Leopold Kronecker En filosofia de las matematicas el finitismo es una forma extrema de constructivismo de acuerdo a la cual un objeto matematico no existe a menos que sea construido partiendo de los numeros naturales en un numero de pasos finitos En contraste la mayoria de constructivistas admiten un conjunto de pasos infinito numerable El defensor mas famoso del finitismo fue Leopold Kronecker que dijo Dios creo los numeros naturales el resto es obra del hombre 119 Aunque la mayoria de los constructivistas modernos tienen un punto de vista mas laxo se puede buscar el origen del constructivismo en el trabajo de Kronecker sobre el finitismo Reuben Goodstein es otro exponente del finitismo Parte de su trabajo implicaba construir el analisis partiendo de fundamentos finitistas Aunque lo negase gran parte de los escritos matematicos de Ludwig Wittgenstein tiene una gran afinidad con el finitismo Incluso mas estricto que el finitismo es el ultrafinitismo tambien conocido como ultraintuicionismo asociado principalmente con Alexander Esenin Volpin Rechaza no solo los infinitos sino tambien las cantidades finitas que no pueden construirse de manera factible con los recursos disponibles Otra variante del finitismo es la aritmetica euclidiana un sistema desarrollado por John Penn Mayberry en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets 120 El sistema de Mayberry es aristotelico en general de inspiracion y a pesar de su fuerte rechazo a cualquier papel del operacionalismo o la viabilidad en los fundamentos de las matematicas llega a conclusiones algo similares como por ejemplo que la superexponenciacion no es una funcion finitaria legitima Estructuralismo Editar Esta seccion es un extracto de Estructuralismo matematicas editar En filosofia de las matematicas el estructuralismo considera las matematicas principalmente como una ciencia que se ocupa de las estructuras generales es decir las relaciones de los elementos dentro de un sistema Segun Stewart Shapiro El estructuralismo matematico es similar en algunos aspectos al punto de vista funcionalista en por ejemplo la filosofia de la mente Una definicion funcional es en efecto estructural ya que tambien se centra en las relaciones que los elementos definidos tienen el uno al otro La diferencia es que las estructuras matematicas son mas abstractos y autonomas en el sentido de que no hay restricciones sobre el tipo de cosas que pueden ejemplificar 121 122 Para ilustrar lo anterior considerese un sistema ejemplo tal como la administracion de un club deportivo 123 Los distintos cargos presidente auditor tesorero etc son independientes de las personas que asumen esas tareas Considerando solo el esquema de los cargos y por tanto omitiendo las personas reales que trabajan en ellos se obtiene la estructura general de una asociacion El club en si con las personas que han tomado posesion de los cargos ejemplifica esta estructura Del mismo modo cualquier sistema cuyos elementos tengan un sucesor unico ejemplifica la estructura de los numeros naturales Lo mismo se aplica a otros objetos matematicos Puesto que el estructuralismo no considera los objetos tales como numeros de manera separada de su totalidad o estructura sino que mas bien los considera como espacios en una estructura esquiva la cuestion de la existencia de los objetos matematicos y los explica como errores categoriales Asi por ejemplo el numero dos en tanto numero natural ya no se puede considerar en forma separada de la estructura de los numeros naturales sino como el identificador del segundo lugar en la estructura de los numeros naturales no tiene propiedades internas ni una estructura propia En consecuencia existen tanto variantes del estructuralismo que asumen la existencia de los objetos matematicos como otras que rechazan su existencia 124 Los problemas con esta corriente surgen principalmente de la cuestion de las propiedades y el ser de las estructuras 125 Al igual que en el problema de los universales es aparente que las estructuras son algo que puede aplicarse a muchos sistemas simultaneamente Por ejemplo la estructura de un equipo de futbol es ciertamente ejemplificado por miles de equipos Esto plantea la cuestion de si y como las estructuras existen si acaso existen independientes de los sistemas Otras cuestiones pendientes estan relacionadas con el acceso a las estructuras y la de como podemos aprender acerca de ellas Entre los representantes actuales del estructuralismo se cuentan Stewart Shapiro 122 Michael Resnik 126 Geoffrey Hellman 127 y Paul Benacerraf Ficcionalismo Editar Esta seccion es un extracto de Ficcionalismo editar En filosofia de las matematicas el ficcionalismo considera que las proposiciones y teorias matematicas pretenden ser sobre objetos matematicos abstractos como sugiere el platonismo pero no existen cosas tales como objetos abstractos y por lo tanto las teorias matematicas no son ciertas 128 Se planteo en 1980 cuando Hartry Field publico Science Without Numbers que rechazo y de hecho revirtio el argumento de indispensabilidad donde Quine sugirio que las matematicas eran indispensables para nuestras mejores teorias cientificas y por lo tanto se deberian aceptar como un cuerpo de verdades que hablan de entidades independientes existentes En cambio Field sugirio que las matematicas son prescindibles y por lo tanto se deberian considerar como un cuerpo de falsedades que no hablan de nada real 129 Empirismo Editar John Stuart Mill El empirismo matematico 130 puede trazarse a la obra Un sistema de logica de John Stuart Mill al afirmar que las matematicas son ciencia empirica de validez mas general 131 Para Mill los conceptos matematicos proceden del mundo fisico y las verdades de la matematica son verdades acerca del mundo fisico aunque de un caracter mas general Las verdades matematicas serian las verdades mas generales de todas Dummett 1998 pp 125 126 Mill propuso que los principios matematicos y las conclusiones de la ciencia deductiva como la geometria aritmetica algebra son inductivas Los axiomas se basan en la observacion y en generalizaciones a partir de experiencias repetidas Por ejemplo 2 2 y 3 1 son necesariamente iguales porque un grupo de 4 cosas puede disponerse en dos grupos de 2 cosas y en un grupo de 3 cosas y otro de 1 Mill anticipa que este punto de vista debe esperarse la recepcion mas desfavorable 132 Gottlob Frege reprendio muchas de las ideas de Mill sobre la filosofia de las matematicas en su obra Los fundamentos de la aritmetica 133 A pesar de que la sugerencia de Mill no desperto gran interes entre matematicos P Kitcher el problema que muchas de sus formulaciones son imprecisas casi invitando las bien conocidas ironias de Frege y en adicion Mill solo considera las mas rudimentarias partes de la matematicas 134 la idea basica fue eventualmente retomada por dos autores Stephan Korner 135 y Laszlo Kalmar 136 Para Korner las teorias cientificas integradas en la matematica funcionan y estan justificadas junto con su marco de trabajo matematico como constituyentes sincategorematicos 137 de las proposiciones empiricas Para Kalmar los axiomas de cualquier rama interesante de las matematicas fueron originalmente extraidos mas o menos directamente de los hechos empiricos y las reglas de inferencia utilizadas en ella originalmente manifestaron su validez universal en nuestra practica del pensamiento III la consistencia de la mayoria de nuestros sistemas formales es un hecho empirico y aun cuando se ha demostrado la aceptabilidad de los metodos metamatematicos utilizados en la prueba por ejemplo induccion transfinita hasta cierto ordinal constructivo es de nuevo un hecho empirico 138 Esta vision ha sido expandida por entre otros Philip Kitcher quien busca sistematizarla 139 Carl E Behrens quien sugiere que Al rehabilitar el empirismo de John Stuart Mill y combinarlo con el conocimiento cada vez mayor de la naturaleza de la mente humana podemos escapar del indefinible universo platonico de la conciencia inmaterial y abandonar la vana busqueda por la certidumbre que ha plagado la filosofia desde los tiempos de los griegos 140 Cuasi empirismo Editar Articulo principal Cuasi empirismo matematico El termino cuasi empirismo fue introducido por Imre Lakatos 141 a fin de enfatizar un punto crucial de su sugerencia Una teoria euclidiana puede ser proclamada verdadera Una teoria cuasi empirica puede a lo mas ser bien corroborada pero es siempre conjetural Adicionalmente en una teoria Euclidiana los postulados verdaderos basicos en la cumbre del sistema deductivo generalmente llamados axiomas demuestran por asi decirlo el resto del sistema en una teoria cuasi empirica los postulados basicos verdaderos son explicados por el resto del sistema op cit seccion 2 El cuasi empirismo postula que para entender y explicar las matematicas no basta con analizar su estructura logica ni su lenguaje sino que hay que estudiar su practica real la manera en que efectivamente las aplican los matematicos las ensenan los profesores y las aprenden los estudiantes su historia las revoluciones que ocurren en ellas los paradigmas y los programas que dominan las comunidades de matematicos el tipo de retorica que se emplea en ellas y el papel que juega el conocimiento matematico en las distintas sociedades y culturas 142 El cuasi empirismo de Lakatos Lakatos plantea que la supuesta necesidad logica o verdad a priori de las matematicas deriva de que nos hemos olvidado no conocemos o no valoramos adecuadamente el proceso de pruebas y refutaciones informales siempre falibles por medio del cual se llega a las pruebas formales que despues dan lugar a las axiomatizaciones Lakatos propone que 1 las pruebas formales son falseables por medio de las pruebas informales 2 el proceder de las matematicas no es axiomatico como plantean los formalistas sino basado en una sucesion de pruebas y refutaciones que solo llegan a resultados falibles 3 el intento de proveer de fundamentos a las matematicas conlleva un retroceso al infinito 4 la historia de las matematicas debe ser estudiada no a traves de teorias aisladas sino de series de teorias o mejor aun de programas de investigacion que incluyen un nucleo firme no falseable y un cinturon protector de hipotesis auxiliares que si son falseables pero que son modificables 10 5 debemos preferir no el programa matematico que este completamente axiomatizado sino el que sea progresivo esto es el que permita descubrir hechos nuevos e inesperados 142 El cuasi empirismo de Putman Hilary Putnam parte de las tesis quineanas acerca del holismo de las teorias y la naturalizacion de la epistemologia pero tambien como su maestro Reichenbach del impacto de la fisica moderna en nuestra concepcion de la ciencia y de la realidad En las matematicas segun Putnam hay un juego entre postulacion pruebas informales o cuasi empiricas y revolucion conceptual Putnam reconoce que las matematicas no son ciencias experimentales y que son mas a priori que por ejemplo la fisica sin embargo senala que la distincion entre lo a priori y lo a posteriori es mas bien relativa que algo sea a priori significa simplemente que juega un papel fundamental en nuestra concepcion del mundo o en nuestra forma de vida y que por tanto no estamos dispuestos a renunciar a ello Concretamente la teoria de conjuntos es indispensable para la fisica cita requerida por ello las entidades sobre las cuales cuantifica a saber los conjuntos deben ser considerados como reales pues no se puede aceptar el conocimiento que proporciona la fisica sin aceptar dichas entidades o mejor dicho al aceptar el conocimiento de la fisica ya se ha aceptado implicitamente la teoria de conjuntos Asi las matematicas comparten el contenido empirico con las teorias fisicas de las que forman parte y se modifican junto con ellas Psicologismo Editar Articulo principal Psicologismo El psicologismo en la filosofia de las matematicas es la posicion en la que los conceptos y o verdades matematicos se basan en hechos o leyes psicologicos o se derivan de ellos o se explican por ellos John Stuart Mill parece haber sido un defensor de un tipo de psicologismo logico al igual que muchos logicos alemanes del siglo XIX como Christoph Sigwart y Johann Eduard Erdmann asi como una serie de psicologos por ejemplo Gustave Le Bon 143 Gottlob Frege critico el psicologismo en sus Los fundamentos de la aritmetica y en muchas de sus obras y ensayos incluida su revision de la Filosofia de la aritmetica de Husserl Edmund Husserl en el primer volumen de sus Investigaciones logicas llamado Prolegomenos a la logica pura critico a fondo el psicologismo y busco distanciarse de el El psicologismo tambien fue criticado por Charles Sanders Peirce y Maurice Merleau Ponty No obstante modernas revisiones han acusado a las criticas de Frege y Husserl de cometer peticiones de principio ademas de criticar las opiniones de ambos sobre la naturaleza de las leyes logicas especialmente que sean necesarias y unicas ya examinados en los articulos de Quine quien pidio un famoso regreso al psicologismo 143 Vease tambien EditarFilosofia analitica Filosofia de la ciencia Fundamentos de la matematica Historia de la matematica Principia mathematica LogicomixReferencias Editar Natura es la traduccion latina de la palabra griega physis fysis que en su significado original hacia referencia a la forma innata en la que crecen espontaneamente plantas y animales ver D Harper Physical En Idioma aleman el termino naturaleza proviene de naturist que significa el curso de los animales caracter natural ver D Harper Nature Horsten Leon Philosophy of Mathematics The Stanford Encyclopedia of Philosophy Summer 2012 Edition Edward N Zalta ed Jeremy Avigad Consultado el 4 de abril de 2017 Bertrand Russell Introduction to Mathematical Philosophy chap 1 I Lakatos Infinite regress and foundations of mathematics en Mathematics science and epistemology Cambridge U 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Account of Set Perception Revisited en Synthese Vol 145 No 3 Jul 2005 pp 425 448 Vease Guillermo Mattei Irrazonable eficacia de la matematica ver tambien Eugene Paul Wigner The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences Archivado el 28 de febrero de 2011 en Wayback Machine A Si Dios no existiera la aplicabilidad de las matematicas seria solo una feliz coincidencia B La aplicabilidad de las matematicas no es solo una feliz coincidencia C Por lo tanto Dios existe A If God did not exist the applicability of mathematics would be just a happy coincidence B The applicability of mathematics is not just a happy coincidence C Therefore God exists William Lane Craig Vease en Argumento teleologico https www goodreads com work quotes 1486751 a mathematician s apology https www brainyquote com quotes henri poincare 208086 S F January 1941 A Mathematician s Apology Nature 147 3714 3 5 doi 10 1038 147003a0 P Maddy citada por Luis Miguel Angel Cano P 2003 en Frege y la nueva logica El realismo por tanto es el punto de vista que sostiene que la matematica es la ciencia de los numeros conjuntos funciones etc tal y como la fisica es el estudio de los objetos fisicos ordinarios cuerpos astronomicos y particulas subatomicas entre otros Esto es la matematica trata acerca de esos objetos y es el modo en que tales objetos son lo que hace a los enunciados de la matematica verdaderos o falsos Internet Enciclopedia of Philosophy Mathematical Platonism Cualquiera explicacion metafisica de las matematicas que implica que las entidades matematicas existen que son abstractos y que son independientes de todas nuestras actividades racionales K Godel Los conceptos tienen una existencia objetiva en My philosophical viewpoint Guillerma Diaz Munoz 2000 Aproximacion del realismo matematico de Godel al realismo constructivo de Zubiri Michael Dummett 1998 La existencia de los objetos matematicos Archivado el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine Teorema XVII 2 pp 5 24 Mark 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matematicos y sus relaciones fueran objetivos independientes de nuestra voluntad o subjetividad pero si se les demanda una justificacion de su posicion adoptan el formalismo ver mas abajo The Fregean Argument for Object Platonism Consultado el 4 de abril de 2017 Wigner Eugene 2004 La irrazonable eficacia de la matematica en las ciencias naturales traduccion P Crespo p 3 L Bonjour In Defense of Pure Reason London Cambridge University Press 1998 Entrada en Wikipedia inglesa acerca de Bonjour Paul Benacerraf 1973 Mathematical Truth IEP The Indispensability Argument in the Philosophy of Mathematics W D Hart 1991 Benacerraf s Dilemma Bob Hale and Crispin Wright Benacerraf s Dilemma RevisitedArchivado el 21 de abril de 2014 en Wayback Machine Eleonora Cresto 2002 Benacerraf nos ofrece alli un dilema moldeado sobre la dicotomia entre platonismo y constructivismo el primero nos permite entender como es que los enunciados matematicos son verdaderos pero no como es que los conocemos el segundo explica el conocimiento matematico pero no la verdad en Comentarios a La filosofia de la matematica del segundo Wittgenstein El problema de la objetividad de la prueba matematica Rui Vieira 2010 Sin embargo en un importante articulo Mathematical Truth en el Journal of Philosophy Vol 70 1973 el filosofo Paul Benacerraf argumento que las explicaciones anti platonicas de las matematicas deprivan los enunciados matematicos de su verdad objetiva en el sentido cotidiano popular es decir de la idea de que las verdades matematicas son verdaderas piense alguien en ellas o no La verdad objetiva es una propiedad de las matematicas que para la mayoria de nosotros es obvia pero explicaciones anti platonicas hacen las matematicas subjetivas aunque el argumento de Benacerraf se dirige al convencionalismo y al formalismo no creo que las tentativas del intuicionismo se libren nada mejor en Mathematical Knowledge A Dilemma GREGORY LAVERS 2009 El sentido comun respecto a la verdad y la forma sintactica de los enunciados matematicos nos lleva a concluir que los enunciados matematicos se refieren a objetos abstractos Al mismo tiempo ese sentido comun en relacion a la epistemologia parece implicar que los enunciados matematicos no pueden referirse a objetos abstractos en BENACERRAF S DILEMMA AND INFORMAL MATHEMATICS y Segun Benacerraf cualquier explicacion de la verdad matematica debe satisfacer dos requisitos basicos erigirse sobre la base de una semantica y de una epistemologia paralelas a las usuales en el discurso no matematico La semantica usual es necesaria para que los terminos de los enunciados matematicos se refieran a entidades reales si tales enunciados han de ser verdaderos como suponemos en nuestro usos linguisticos habituales La epistemologia se necesita para que la verdad de los enunciados matematicos presuponga algun conocimiento de las entidades referidas por los terminos enunciados como suponemos en nuestro discurso habitual prosigue Benacerraf en general las explicaciones disponibles de la verdad matematica no logran satisfacer ambos requisitos sino mas bien alguno de ellas a expensas del otro Francisco Rodriguez C Lo que es y no es la verdad matematica Tegmark Max February 2008 The Mathematical Universe Foundations of Physics 38 2 101 150 Bibcode 2008FoPh 38 101T arXiv 0704 0646 doi 10 1007 s10701 007 9186 9 Tegmark Max November 1998 Is the Theory of Everything Merely the Ultimate Ensemble Theory Annals of Physics 270 1 1 51 Bibcode 1998AnPhy 270 1T S2CID 41548734 arXiv gr qc 9704009 doi 10 1006 aphy 1998 5855 Franklin James 2014 An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics Palgrave Macmillan Basingstoke Franklin James 2011 Aristotelianism in the philosophy of mathematics Studia Neoaristotelica 8 3 15 Marti Sanchez Miguel Marti Sanchez Miguel 2017 6 La filosofia de las matematicas de Aristoteles Topicos Mexico 52 43 66 ISSN 0188 6649 doi 10 21555 top v0i52 784 Consultado el 15 de julio de 2019 Aristoteles Metafisica 4 1 Del ser en tanto que ser www filosofia org Consultado el 5 de abril de 2021 Aristoteles Metafisica 14 5 El numero no es la causa de las cosas www filosofia org Consultado el 5 de abril de 2021 Copleston Frederick HISTORIA DE LA FILOSOFIA I LIBER p 269 Humphreys Justin Aristotle Internet Encyclopedia of Philosophy El problema de los universales www filosofia net Seminario de Filosofia INBAD Servicio de Publicaciones del MEC Madrid 1985 Consultado el 17 de octubre de 2019 Garcia Buitrago Nestor SI YO FUERA MAESTRO p 401 Nominalismo Realismo Conceptualismo Enciclopedia Catolica ec aciprensa com Consultado el 19 de agosto de 2019 Realismo Encyclopaedia Herder encyclopaedia herdereditorial com Consultado el 4 de noviembre de 2019 Aristotle Internet Encyclopedia of Philosophy www iep utm edu Consultado el 3 de marzo de 2020 Franklin James 2011 Studia Neoaristotelica ed An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics UNSW Sydney Palgrave Macmillan UK ISBN 978 1 349 48618 2 doi 10 5840 studneoar2011811 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concepto moderno de formalismo que incluye las tecnicas del razonamiento finitista debemos atribuirlo a Hilbert y a sus discipulos en 5 8 David Hilbert y el formalismo Razonamientos finistas son aquellos razonamientos absolutamente seguros y libres de cualquier clase de sospecha ibid Ferran Mir S 2006 La conocida intervencion de David Hilbert 1862 1943 en el Congreso Internacional de Paris de 1900 en la que planteo los 23 problemas matematicos a resolver durante el siglo XX iba mucho mas alla de la mera relacion de dichos problemas La conviccion claramente expresada por Hilbert de que todo problema ha de tener su solucion basada en la pura razon 6 Pags 125 y ss En las matematicas no existe el ignorabimus Un ano antes Hilbert habia publicado su Grundlagen der Geometrie en el que establecia los axiomas a partir de los cuales podia desarrollarse mediante pura deduccion toda la disciplina en todas sus variantes tanto euclideas como no euclideas Mediante este ideal axiomatico podia construir un raciocinio sobre objetos que no necesitaba definir al contrario de Euclides que habia precisado de una definicion intuitiva de los objetos basicos punto linea plano etc El hecho de prescindir de las definiciones de los objetos basicos hace que se le haya reprochado la reduccion de las matematicas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos un puro juego con simbolos La combinacion del ideal axiomatico con la conviccion de que todo problema debe tener solucion conducira en los anos sucesivos a la idea de completud del sistema axiomatico En los primeros anos del siglo XX esta idea es todavia vaga 13 P g 151 pero esta claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas pueden derivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matematicas ordinarias Tambien esta presente la idea de simplicidad el conjunto de axiomas ha de ser lo mas reducido posible y deben ser independientes unos de otros en LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS ANOS 20 Pedro Angulo L 2010 EPISTEMOLOGIA DE LA MATEMATICA CASO FORMALISMO Aroca Jose Manuel El progreso de la matematica en los ultimos 25 anos Ian J Dove En su forma mas simple el deductivismo es la vision que la matematica consiste enteramente de la derivacion de teoremas a partir de axiomas Es esa vision las unicas verdades en matematicas son verdades condicionales de la forma Si axioma Entonces teoremas en Certainty and Error in Mathematics Deductivism and the Claims of Mathematical Fallibilism p 5 H Putnam no creo que haya una crisis en las fundaciones de las matematicas En realidad no creo que la matematica ya sea tiene o necesita fundaciones en Mathematics without foundations H Putnam Porque nuestra conviccion intuitiva que ciertos tipos de estructuras finitas podrian enfasis de Putnam existir juegan un papel esencial en la aplicacion de las matematicas Es una parte y una parte importante de la pintura matematica total que ciertos conjuntos de axiomas son asumidos como representando estructuras presumiblemente posibles Asi hay cuestiones que que permanecen irreduciblemente un asunto de la filosofia de las matematicas por sobre la filosofia de la logica el asunto de iluminar y clarificar nuestra aceptacion de estructuras matematicas como presumiblemente posibles o de conjuntos de axiomas matematicos como presumiblemente consistentes The Thesis that Mathematics is Logic conclusion p 41 42 a b Keith Hossack 1991 Access to Mathematical Objects Critica Revista Hispanoamericana de Filosofia Vol XXIII N 68 Agosto 1991 157 181 Hilary Putnam 1967 A The Thesis that Mathematics is Logic y B Mathematics without foundations El enfasis en la fecha es relevante La posicion de Putnam experimento cambios Ver Russell Marcus 2006 E Pluribus Putnams Unum Hilary Putnam 1967 Philosophical Papers Volume 1 Mathematics Matter and Method The Thesis that Mathematics is logic p 20 3 If thenism as a philosophy of mathematics a b Hilary Putnam 1967 The Thesis that Mathematics is Logic Russell Marcus 2006 Pluribus Putnams Unum enlace roto disponible en Internet Archive vease el historial la primera version y la ultima p 6 Russell Marcus 2006 E Pluribus Putnams Unum p 6 Ian J Dove A traves de evitar el asunto de la verdad de los axiomas y teoremas el deductivismo es capaz de evitar el problema de la epistemologia de las matematicas y lo reemplaza con el de la epistemologia de la logica el deductivismo es anti realista o por lo menos neutral en relacion a la existencia de objetos abstractos en Certainty and Error in Mathematics Deductivism and the Claims of Mathematical Fallibilism p 5 Heinzmann Gerhard Stump David 2017 Zalta Edward N ed Henri Poincare Winter 2017 edicion The Stanford Encyclopedia of Philosophy Consultado el 26 de agosto de 2020 Iemhoff Rosalie Intuitionism in the Philosophy of Mathematics The Stanford Encyclopedia of Philosophy Fall 2012 Edition Edward N Zalta ed forthcoming URL lt http plato stanford edu archives fall2012 entries intuitionism gt van Atten Mark Sobre la base de su filosofia de la mente en la que Kant y Schopenhauer fueron las principales influencias Brouwer caracteriza principalmente las matematicas como la libre actividad del pensamiento exacto una actividad que se basa en la intuicion pura del tiempo interior Ningun reino independiente de los objetos y el lenguaje juegan algun papel fundamental De este modo se esforzo por evitar la Escila del platonismo con sus problemas epistemologico y el Caribdis del formalismo con su pobreza de contenido Dado que en vista de Brouwer no hay factor determinante de la verdad matematica fuera de la actividad de pensar una proposicion solo se hace realidad cuando el sujeto ha experimentado su verdad por haber llevado a cabo una construccion mental apropiado de manera similar una proposicion solo es falsa cuando el sujeto ha experimentado su falsedad por darse cuenta de que una construccion mental apropiado no es posible Por lo tanto Brouwer puede afirmar que no hay verdades sin experiencia Brouwer 1975 p 488 en 3 Brief Characterization of Brouwer s Intuitionism en Luitzen Egbertus Jan Brouwer Carlos Torres A El intuicionismo fue la respuesta de Brouwer al logicismo de Russell a la matematica no constructiva y a las paradojas y se apoya en tres tesis radicales i los objetos matematicos se construyen directamente en la intuicion pura siendo por ello previos al lenguaje y a la logica ii las leyes que rigen el comportamiento de dichos objetos derivan de su construccion no de la logica como pretenden Frege Russell y los logicistas 33 y iii en la matematica no es admisible ninguna teoria que rebase el marco de lo dable en la intuicion como sostienen Hilbert y los cantorianos en KANT VISTO DESDE LAS MATEMATICAS revista unam vol 6 num 1 2005 seccion El intuicionismo de Brouwer pp 15 19 L E J Brouwer 1913 INTUITIONISM AND FORMALISM Bull Amer Math Soc 20 2 81 96 MR 1559427 DIEGO PAREJA HEREDIA Para los intuicionistas las bases de las matematicas estaban en la explicacion del origen o la esencia de los numeros naturales 1 2 3 Para la filosofia intuicionista todo ser humano tiene una intuicion congenita en relacion con los numeros naturales Esto significa en primer lugar que tenemos una certeza inmediata de lo que significamos con el numero 1 y en segundo lugar que el proceso mental que origino el numero 1 puede repetirse La repeticion de este proceso induce la creacion del numero 2 una nueva repeticion y aparece el numero 3 En esta forma el ser humano puede construir cualquier segmento inicial 1 2 3 n donde n es un natural arbitrario Esta construccion mental de un numero natural tras de otro nunca podria darse si no tuvieramos dentro de nosotros una preconcepcion del tiempo Cuando afirmamos 2 va despues de 1 el termino despues tiene una connotacion de tiempo y en ese aspecto Brouwer se adhiere al filosofo Immanuel Kant 1724 1804 para quien la mente humana tiene una apreciacion inmediata de la nocion de tiempo Kant uso la palabra intuicion para apreciacion inmediata y es de alli de donde proviene el termino intuicionismo en 5 7 Brouwer Heyting y el Intuicionismo La intuicion a la que se hace referencia tiene un sentido mas bien especializado Miguel Espinoza Se supone que un conocimiento intuitivo no ocurre en etapas no es gradual como una inferencia como el conocimiento que presupone el lenguaje como la aplicacion de un algoritmo Digo se supone porque la inmidiatez podria ser una ilusion Que la conciencia sea incapaz de seguir los diferentes pasos del cerebro no significa que biologicamente haya tambien inmediatez La rapidez de un ordenador no implica intuicion A veces en matematicas se entiende tambien por intuicion las operaciones de calculo o lo que llega a entenderse facilmente En la intuicion lo aprehendido y la operacion de la mente forman un solo proceso tienen una sola forma por eso no se plantea el problema de la verdad adecuacion Para preguntarnos si lo que pensamos corresponde o no a algo externo al pensamiento es necesario que el intelecto y la cosa esten separados Esto no ocurre en la intuicion Es entonces la falta de distincion sujeto objeto la inmediatez atribuida a la intuicion que ha dado a los intuicionistas la confianza en este modo de conocimiento Toda inferencia debe estar basada finalmente en verdades intuitivas en Intuicionismo y objetividad p 101 102 J BARRIO GUTIERREZ Intuicionismo matematico Una de las corrientes matematicas de mas fecundidad en el momento actual es el llamado Intuicionismo matematico En oposicion al formalismo de Hilbert v fue creado por L Brouwer v sobre la base de anteriores ideas defendidas por L Kronecker La tesis fundamental de este i ntuicionismo es la afirmacion de que la Matematica v esta constituida exclusivamente por un conjunto de entes construidos intuitivamente por el matematico sobre los que se seguiran construyendo otros mediante un sistema operacional claro preciso y fecundo en INTUICIONISMO De acuerdo a Brouwer un ente solo existe si puede ser construido a partir de la intuicion primordial Brouwer citado por Espinoza en Intuicionismo y objetividad p 110 a b Dick de Jongh Intuicionismo Ferran Mir Sabate 2006 LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS ANOS 20 El Principio de Tercio Excluso A N Kolmogorov On the principle of excluded middle pp 414 437 ver Jorge Alberto Molina 2008 Negacion y Doble Negacion en el Intuicionismo de Brouwer SEP 2 2 Intuitionism Ver Miguel Espinoza 2003 Intuicionismo y Objetividad Themata Nro 30 p 111 112 y 103 106 Esta concepcion se basa de acuerdo a Angela Patricia Valencia Salas Angela Patricia Franco Urian en el uso de la nocion del tiempo como base primordial de su elaboracion del continuo El tiempo es el unico elemento a priori del continuo Este se basa en lo que Brouwer denomina intuicion primordial o primigenia que consiste en la capacidad de conciencia de la relacion entre antes despues pasado presente como unidad de lo continuo y lo discreto la posibilidad de pensar a la vez en singularidades unidas por un entre que nunca se agota por insercion de nuevas singularidades por tanto es imposible tomar alguno de ellos como autosuficiente construir el otro a partir de ahi Zalamea 2001 menciona que uno de los rasgos que caracteriza la idea de un continuo sintetico es la Genericidad que refiere a lo no particularizante a la iniciacion de un gran espacio de posibilidades no actualizadas ni determinadas y esto se observa en Brouwer tomando como base su Intuicion Primigenia en SOBRE UNA CONSTRUCCION ALTERNATIVA AL CONTINUO DE CANTOR EL CONTINUO INTUICIONISTA Archivado el 5 de marzo de 2016 en Wayback Machine ver Abraham Adolf Fraenkel Yehoshua Bar Hillel Azriel Levy 1973 Foundations of set theory p 259 L E J Brouwer citado por D P HEREDIA 5 7 Brouwer Heyting y el Intuicionismo Michel Bordeau El Error de Cantor en Jorge Martinez Contreras Aura Ponce de Leon Luis Villoro El saber filosofico esp pp 396 405 Para profundizar estas ver Abraham Adolf Fraenkel Yehoshua Bar Hillel Azriel Levy 1973 Foundations of set theory pp 252 264 The Primordial intution of integer Choice sequences and Brouwer s concept of set van Atten Mark Los teoremas fundamentales del analisis intuicionista el teorema de la barra el teorema del abanico y el teorema de la continuidad se encuentran en Sobre los dominios de definicion de las funciones Brouwer 1927 Los dos primeros son teoremas estructurales sobre los diferenciales y el tercero que no debe confundirse con el principio de continuidad para las secuencias de eleccion establece que cada funcion total 0 1 ℝ es continua e incluso uniformemente continua El teorema del abanico es de hecho un corolario del teorema de la barra combinado con el principio de continuidad que no es valido clasicamente produce el teorema de continuidad que tampoco es clasicamente valido Los teoremas de las barras y el abanico son por otro lado clasicamente valido aunque las pruebas clasicas y intuicionista para ellos no son intercambiables Las pruebas clasicas no son intuicionisticamente aceptable debido a la manera en que depender de PEM las pruebas intuicionistas no son clasicamente aceptables porque dependen de la reflexion sobre la estructura de las pruebas mentales En esta reflexion Brouwer introdujo la nocion de la forma de una prueba con analisis completo o canonica que seria adoptada mas tarde por Martin Lof y por Dummett En una nota al pie Brouwer menciona que tales pruebas que el identifica con los objetos mentales en la mente del sujeto suelen ser infinitas en 4 Brouwer s Development of Intuitionism en Luitzen Egbertus Jan Brouwer Win Veldman Some applications of Brouwers Thesis on Bars en One Hundred Years of Intuitionism 1907 2007 The Cerisy Conference pp 326 y sig esp p 330 THIERRY COQUAND 2003 About Brouwer s fan theorem Para una vision mas profunda de estos desarrollos ver A G Dragalin originator Intuitionism en Encyclopedia of Mathematics ver Gustavo Fernandez D Desarrollos posteriores de intuicionismo y 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