Formalismo matemático

En fundamentos de las matemáticas, filosofía de las matemáticas y filosofía de la lógica, el formalismo matemático es una teoría que sostiene que las proposiciones de las matemáticas y la lógica pueden considerarse como declaraciones sobre las consecuencias de ciertas reglas de manipulación de símbolos o términos o cadena de caracteres.^[1]​^[2]​

Por ejemplo, la geometría euclidiana puede ser visto como un juego de lenguaje cuyo objetivo consiste en mover ciertas cadenas de símbolos (llamados axiomas) de acuerdo con un conjunto de reglas llamadas reglas de inferencia para generar nuevas cadenas. En este juego se puede demostrar o probar que el teorema de Pitágoras es válido porque la cadena que representa el teorema de Pitágoras se puede construir usando sólo las reglas establecidas.

De acuerdo con el formalismo, las "verdades" expresadas en la lógica y las matemáticas no son acerca de los números, series, o triángulos o cualquier otra materia específica — de hecho, no son "sobre" nada en absoluto. Son formas sintácticas cuyos contenidos o significados o referencias (ver Sobre el sentido y la referencia) no existen a menos que se les de una interpretación (o semántica).

En la actualidad algunos^[3]​ —siguiendo a Michael Resnik^[4]​— clasifican el formalismo en "formalismo de juego". "Formalismo de términos" (aquel en el cual los términos (axiomas) solo se denotan a sí mismos y de ellos se deriva proposiciones, pero sin pronunciarse acerca de la realidad ontológica de los mismos; lo que se busca no es prueba de existencia, pero coherencia. etc.

A partir de la década de los 80 del siglo XX, algunos han propuesto que todo nuestro conocimiento matemático formal debe ser sistemáticamente codificados en formatos legibles por un ordenador, a fin de facilitar la comprobación o chequeo automatizadas de las demostraciones matemáticas; la Demostración automática de teoremas y el uso de Demostración interactiva de teoremas en el desarrollo de las teorías matemáticas y programas informáticos. Debido a su estrecha relación con la informática, esta idea también es atractiva a matemáticos logicistas; intuicionistas y constructivistas de la tradición de la "computabilidad"^[5]​ (ver también Proyecto Mizar,^[6]​ la biblioteca matemática que contiene la colección más grande del mundo de obras matemáticas estrictamente formalizadas y computarizadas.) (pero ver más abajo).

Se ha sugerido que la adopción del punto de vista formalista exime a los matemáticos de la necesidad de preocuparse por cuestiones de los “fundamentos de las matemáticas” y proceder como si estos asuntos hubieran sido resueltos o carecieran de interés matemático. Muchos agregan que, en la práctica, los sistemas axiomáticos que se estudian son sugeridos por las exigencias de la ciencia en cada caso particular.

Historia y evolución del concepto

Aun cuando la idea básica de la formalización de los términos lógico-matemáticos tiene una trayectoria bastante larga,^[7]​ y por lo menos en parte debido a la llamada crisis de los fundamentos de las matemáticas, hacia finales del siglo XIX comenzó a tomar arraigo la tesis que es posible definir las matemáticas como el resultado de la manipulación de símbolos de acuerdo a ciertas reglas. Por ejemplo, en 1898, se propuso que:

«En la concepción formalista la aritmética es un juego con signos que se llaman vacíos, con lo cual se quiere decir que no tienen otro contenido (en el juego de cálculo) que el que se les asigna en relación a su comportamiento bajo ciertas reglas de combinación (reglas del juego). El jugador de ajedrez hace un uso similar de sus piezas ... Por supuesto que hay diferencias importantes entre el ajedrez y la aritmética. Las reglas del ajedrez son arbitrarias, mientras que el sistema de reglas de la aritmética es tal que los números pueden ser referidos a los colectores de percepción por medio de axiomas simples y con ello nos proporcionan importantes contribuciones en el conocimiento de la naturaleza.»

Johannes Thomae (1840-1921)^[8]​

Generalmente se considera que el fundador del formalismo moderno es David Hilbert.^[9]​ Hacia fines del siglo XIX y comienzos del XX el interés de Hilbert era la construcción axiomática; consistente y completa de la totalidad de las matemáticas,^[10]​ seleccionando como punto de partida los números naturales y asumiendo que mediante el uso de axiomas se obvía la necesidad de definir los objetos básicos (op. cit) con el fin de lograr un sistema completo y consistente. (nótese que en lo anterior Hilbert considera el cálculo como Cálculo lógico, llevando a cabo inferencias (no necesaria o exclusivamente deductivas) a partir de una concepción axiomática de los números naturales, concepción que toma esos números como evidentes en la medida que solo se refieren a sí mismos.- ver Programa de Hilbert).

Sin embargo el optimismo en la "implementabilidad" del proyecto fue de corta duración, debido al teorema de incompletitud de Gödel, que demostró que cualquier sistema de axiomas que incluya los números naturales es ya sea incompleto o contradictorio.

A pesar de lo anterior, Alfred Tarski retomó el concepto, pero introduciendo la idea que el estatus (corrección, validez, etc) de una prueba o demostración es relativa a los axiomas elegidos para expresar la teoría en cuestión.^[11]​ Tarski comenzó -en la década del 30 del siglo XX- buscando redifinir ciertos conceptos semánticos (en particular, el de Verdad (ver aquí), con el fin último de construir un sistema formal axiomático que permitiera la reformulación de teoremas en el lenguaje de ese sistema, eliminando así los problemas.^[12]​ Es generalmente aceptado que en ese proyecto Tarski transformó radicalmente el sistema "metamatematico" de Hilbert, mostrando, entre otras cosas, que las consecuencias lógicas de un argumento siguen de ese argumento si y solo si cada modelo de las premisas es un modelo de las conclusiones.^[13]​ (lo anterior se puede resumir en lo que Jaakko Hintikka llama los "teoremas de inconsistencia y la imposibilidad", la proposición que conceptos tales como "verdad" no pueden ser usados en lenguajes de primer orden (digamos por ejemplo: el común y corriente) sin caer en inconsistencias. Esos conceptos solo pueden ser definidos y usados en un "metalenguaje". Eventualmente Tarski creyó que la manera de resolver el problema en matemáticas es basar la totalidad de las matemáticas en el álgebra.^[14]​)

Uno de los estudiantes más conocidos de Hilbert fue John von Neumann quien, en 1931,^[15]​ buscó presentar el formalismo como una síntesis dialéctica de la tesis logicista y la antítesis intuicionista. Von Neumann promovió el uso de modelos matemáticos que, explícitamente, buscan ser coherentes con el conjunto de axiomas de la teoría, cualquiera sean esos axiomas (ver Teoría de juegos). Estos trabajos resultaron de mayor importancia para desarrollos científicos contemporáneos,^[16]​ desde la economía^[17]​ a la mecánica cuántica.^[18]​ (ver Postulados de la mecánica cuántica).

Rudolf Carnap^[19]​^[20]​ confronta directamente el problema generado por los teoremas de Gödel,^[21]​ buscando resolverlo por medio del llamado "Principio de tolerancia":^[22]​ En lógica, no hay moral. Todo el mundo es libre de construir su propia lógica, es decir, su propia forma de lenguaje, como quiera. [énfasis de Carnap] . Carnap extiende esa tolerancia a las matemáticas: "La actitud tolerante aquí se sugiere es, en cuanto a los cálculos matemáticos especiales se refiere, la actitud que es tácitamente compartida por la mayoría de los matemáticos." Adicionalmente Carnap busca eliminar totalmente la relevancia del significado para las matemáticas. La corrección (nótese el término) de un teorema es decidida no en relación a consideraciones o algún conjunto de reglas "externas" sino en relación a las que se eligen para el sistema específico del cual el teorema se deriva, el único en el cual tiene sentido.^[23]​

También de mayor importancia fue (es?) la contribución del grupo Bourbaki en favor de exigir rigor y promover el uso del método axiomático.^[24]​ A partir de esto, el formalismo llegó, de facto, a constituir la posición más aceptada entre los matemáticos hasta el último cuarto del siglo XX: "Los años setenta vieron decaer la tendencia formalista, representada por el grupo Bourbaki, seudónimo de varias generaciones de matemáticos franceses."^[25]​

Sin embargo el formalismo todavía ejerce gran influencia, parte a través del "legado" de lo anterior pero también por medio de su importancia, quizás fundamental, en el desarrollo de la Informática, específicamente, los lenguajes de programación, a través del trabajo de Haskell Curry, generalmente considerado el fundador de la lógica combinatoria.

Aun cuando ni Bertrand Russell ni Alfred North Whitehead fueron realmente formalistas (sino más bien logicistas) la publicación, en 1910, por esos autores de Principia mathematica fue generalmente percibida como un gran avance en el intento de derivar los conocimientos matemáticos de la época a partir de un conjunto de principios o axiomas.

Deductivismo

Esta sección es un extracto de Deductivismo.[editar]

En filosofía de las matemáticas, el deductivismo, o a veces si-entoncismo (del inglés if-thenism), es una variante del formalismo que propone que el trabajo del matemático consiste en derivar proposiciones a partir de la asunción de que ciertas otras son correctas (si A, entonces B).^[26]​ Tradicionalmente se ha asumido que esas proposiciones básicas (o axiomas) son o deberían ser indudablemente correctas. Pero eso no es ni necesariamente correcto ni necesario. No es necesario porque la matemática no necesita fundaciones indudables,^[27]​ y no es necesariamente correcto porque, de hecho, la matemática trabaja perfectamente (especialmente en el área de las matemáticas aplicadas) sobre la base que los axiomas son presumiblemente correctos y presumiblemente coherentes y que las inferencias que siguen de esos presumibles axiomas son presumiblemente posibles (en el sentido que se puede crear un modelo matemático a partir de ellas).^[28]​

Los deductivistas requieren que toda y cada prueba matemática sea una deducción. Ellos reconocen que no todas tales pruebas son estrictamente válidas (véase Validez (epistemología) y Validez (lógica)) pero consideran que toda prueba informal debe ser completable como deducción para ser considerada válida.^[29]​

Por ejemplo, el deductivismo considera que el teorema de Pitágoras no es verdadero sin más, sino solo en relación a ciertos supuestos. Si a las cadenas se les asignan significados, de tal manera que los axiomas sean verdaderos y reglas de inferencia sean válidas, entonces se obtienen «conclusiones ciertas», tales como el teorema de Pitágoras. En este sentido, el formalismo no sigue siendo obligatoriamente un juego simbólico sin sentido. El matemático puede confiar, en cambio, que existe una interpretación de las cadenas de caracteres sugerida por ejemplo por la física o por otras ciencias naturales, tal que las reglas conduzcan a «afirmaciones verdaderas». Por lo tanto un matemático deductivista se puede mantener al margen tanto de la responsabilidad por la interpretación como de las dificultades ontológicas de los filósofos.

En 1967, Hilary Putnam^[30]​ revivió una idea de Bertrand Russell —el «si-entoncismo» (if-thenism^[31]​)— e introdujo el deductivismo^[32]​ como una respuesta a algunos problemas con el logicismo en Principia Mathematica.^[33]​ Putnam propone considerar las matemáticas como el estudio de las consecuencias de los axiomas, usando teoría de modelos. En consecuencia interpreta las proposiciones matemáticas como refiriéndose a un posible modelo para esas proposiciones. A diferencia de la sugerencia logicista de Russell y otros, el deductivismo basa y transforma la matemática en una lógica con un sentido mucho más amplio que el sentido logicista. La lógica deductivista incluye, por ejemplo, la teoría de conjuntos necesaria para estudiar las consecuencias que siguen de axiomas.^[34]​ El logicismo podría ser solo una versión del deductivismo, usando una concepción más restrictiva de la lógica matemática.^[29]​

Según Putnam, si bien la condición de veracidad (o corrección) de esas verdades se satisface (o demuestra) mostrando que constituyen un modelo de ese conjunto de axiomas (es decir, constituyen un caso ejemplar de tales axiomas), el de los axiomas solo puede ser asumido,^[35]​ y por lo tanto el todo está expuesto a error. «Las matemáticas pueden estar erradas, y no sólo en el sentido de que las pruebas podrían ser falaces o que los axiomas podrían no ser (si reflexionamos más profundamente) realmente evidentes. Las matemáticas (o, más bien, una teoría matemática) podría estar equivocado en el sentido de que los axiomas "evidentes" podrían ser falsos, y los axiomas que son verdaderos pueden no ser "evidentes" en absoluto. Pero esto no hace que la búsqueda de la verdad matemática sea imposible más de lo que lo ha hecho en la ciencia empírica, ni tampoco significa que no debemos confiar en nuestra intuición cuando no tenemos nada mejor para continuar.»^[32]​

Proceso de formalización

Para que una teoría T cualquiera sea formalizable, esta requiere constituir un sistema axiomatizado^[36]​

La constitución de un sistema axiomático (o axiomatización de una teoría) es la selección, para esa teoría, de un conjunto de proposiciones que serán consideradas como básicas (es decir, desde las cuales se puede, en principio, derivar el resto de las proposiciones que constituyen el cuerpo de la teoría) y evidentes o no demostrables^[37]​ (ver axioma)

Ejemplos de teorías axiomatizadas son: la geometría plana con los axiomas de Euclides, la aritmética (teoría de números) con los axiomas de Peano, la teoría de conjuntos con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, la teoría de probabilidades con los axiomas de Kolmogórov, etc.

A partir de lo anterior, y restringiéndonos sólo a lógica de primer orden, se escoge un lenguaje L de primer orden apropiado para T. (específicamente un Lenguaje formalizado). El vocabulario para un lenguaje de primer orden formalizado consiste de cinco componentes o términos. Cuatro de ellos son siempre los mismos y no dependen de la teoría T. Estos primeros cuatro términos son:

1. Una lista enumerable de variables: Su número puede ser infinito, pero de cardinal igual a ${\displaystyle \aleph 0}$ , el cardinal de los números naturales.
2. Los símbolos para las conectivas: (¬) para la negación, (∧) para la conjunción, (∨) para la disyunción (o inclusivo), (→) para la implicación y (↔) para la equivalencia o doble implicación. Estas conectivas son realmente las mismas de nuestro lenguaje usual.
3. El signo para la igualdad matemática (=) imprescindible en la notación matemática.
4. Los Cuantificadores: ( ∀ ) universal y ( ∃ ) el existencial.
5. Los término (o parámetros) indefinidos (o "primitivos"). Dado que T es, ahora, una teoría axiomatizada, T trae implícita o explícitamente, ciertos «términos indefinidos» extras a los anteriores — a veces también denominados elementos primitivos — a los que generalmente se les asigna sendos símbolos. Estos símbolos, uno por cada término indefinido de la teoría T, usualmente se denominan parámetros del lenguaje de primer orden L. Este conjunto de símbolos corresponde al quinto término del vocabulario de nuestro lenguaje L para la teoría T. Por ejemplo, entre los términos indefinidos de la geometría plana de Euclides, aparece punto, recta, interestancia, incidencia, etc. y para cada uno de ellos usamos símbolos apropiados para completar el vocabulario del lenguaje de primer orden L.

Otros ejemplos: Entre los términos indefinidos de la aritmética, en la axiomatización de Peano, aparece cero, suma y multiplicación, y para ellos uno escoge como sus símbolos, 0, + y × respectivamente. La teoría de conjuntos más fácil de formalizar es, la de Fraenkel-Zermelo (FZ), por cuanto que esta teoría, no tiene sino un solo término indefinido, esto es, la relación de pertenencia que simbolizamos como "${\displaystyle \in }$ ".

Puesto que los parámetros son los únicos símbolos en el vocabulario de un lenguaje de primer orden que dependen de la teoría previamente axiomatizada T, entonces, uno formaliza T simplemente escogiendo estos parámetros. Una vez hecha esta “selección”, la totalidad de la teoría T queda formalizada. Se puede ahora expresar en el lenguaje de primer orden resultante L, no sólo los axiomas, definiciones y teoremas de T, si no mucho más. Se puede expresar en ese lenguaje L todos los axiomas de la lógica clásica y desde luego, también toda la argumentación que uno usa en la prueba de los teoremas de la teoría T. Resumiendo, se puede ahora proseguir enteramente con L; es decir, “formalmente”.

Desarrollos en la automatización

En 1993/4 surgió el proyecto QED^[38]​ (principalmente bajo el impulso de Robert S. Boyer): la propuesta de creación de una base de datos informatizada de todo el conocimiento matemático, estrictamente formalizado y con todas las pruebas habiendo sido verificados de forma automática.

Para este proyecto se creó una “ lista de correo” en la internet y se organizaron dos conferencias: La primera tuvo lugar, en 1994, en el Laboratorio Nacional Argonney la segunda, en 1995, en Varsovia, organizada por el grupo Mizar.^[39]​

Sin embargo, y a partir de 1996, el proyecto parece haber cesado sus actividades. En un artículo de 2007, Freek Wiedijk identifica dos razones para el fracaso del proyecto.:^[40]​

• Muy pocos están trabajando en la formalización de las matemáticas. No hay una aplicación atractiva para las matemáticas totalmente mecanizadas.
• Las matemáticas formalizadas aún no se parecen a las matemáticas reales, tradicionales. Esto es en parte debido a la complejidad de la notación matemática, y en parte a las limitaciones de los demostradores de teoremas y asistente de demostración existentes. El documento concluye que los principales contendientes, el sistema Mizar, los Demostradores de teoremas HOL (por ejemplo, Isabelle) y el sistema interactivo Coq, tienen graves deficiencias en su capacidad para expresar las matemáticas.

Aun así se proponen regularmente proyectos del tipo QED, y la biblioteca Mizar ha logrado formalizar una gran parte de las matemáticas de pregrado. A partir de 2007, es la mayor tal biblioteca.^[41]​

Véase también

• Lógica matemática
• Teoría de categorías
• Teoría de conjuntos
• Teoría de la demostración
• Teoría de modelos
• Metamatemática
• Método formal
• Método hipotético-deductivo
• Teoría de tipos

Bibliografía

• Ruiz Z; Angel:
• Ledesma Pereña, Nicasio: La Matemática Moderna: Entre el formalismo modificado de Cavaillès y el platonismo estructural de Lautman.
• Corry; Leo: David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1894-1905)
• Weir, Alan: Formalism in the Philosophy of Mathematics en Stanford Encyclopedia of Philosophy (en Idioma inglés)
• Weir; Alan: A Neo-Formalist Approach to Mathematical Truth (en Idioma inglés)

Referencias

1. Weir, Alan: Formalism in the Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
2. Hourya Benis Sinaceur Tarski’s Practice and Philosophy: Between Formalism and Pragmatism
3. Weir, Alan: Formalism in the Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
4. M Resnik (1980): "Frege and the Philosophy of Mathematics"
5. Ver, por ejemplo: Adam Grabowski y Adam Naumowicz (2009) Preface a Computer Reconstruction of the Body of Mathematics Volume 18(31) de STUDIES IN LOGIC, GRAMMAR AND RHETORIC
6. «Mizar Project Home Page». Consultado el 4 de abril de 2017. 
7. Ver, por ejemplo . Pedro Angulo L: Formalismo Matemático y Epistemología ( Parte 1)
8. Citado por Douglas M. Jesseph (1993): Berkeley's Philosophy of Mathematics , p 107
9. Diego Pareja H (2008): "el concepto moderno de formalismo que incluye las técnicas del razonamiento finitista debemos atribuirlo a Hilbert y a sus discípulos." en 5. 8 – David Hilbert y el formalismo. Razonamientos finistas son aquellos "razonamientos absolutamente seguros y libres de cualquier clase de sospecha" (ibid)
10. Ferran Mir S (2006) : "La conocida intervención de David Hilbert (1862-1943) en el Congreso Internacional de Paris de 1900, en la que planteo los 23 problemas matemáticos a resolver durante el siglo XX, iba mucho más allá de la mera relación de dichos problemas. La convicción claramente expresada por Hilbert de que todo problema ha de tener su solución basada en la pura razón [6, Pags. 125 y ss.]: "En las matemáticas no existe el ignorabimus". Un año antes, Hilbert había publicado su Grundlagen der Geometrie, en el que establecía los axiomas a partir de los cuales podía desarrollarse, mediante pura deducción, toda la disciplina en todas sus variantes, tanto euclideas como no euclideas. Mediante este ideal axiomático podía construir un raciocinio sobre objetos que no necesitaba definir; al contrario de Euclides que había precisado de una definición (intuitiva) de los objetos básicos (punto, línea, plano, etc.). El hecho de prescindir de las definiciones de los objetos básicos, hace que se le haya reprochado la reducción de las matemáticas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos: un puro juego con símbolos. La combinación del ideal axiomático con la convicción de que todo problema debe tener solución, conducirá en los años sucesivos a la idea de completud del sistema axiomático. En los primeros años del siglo XX, esta idea es todavía vaga [13, P·g. 151], pero esta claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas pueden derivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matemáticas ordinarias. También esta presente la idea de simplicidad: el conjunto de axiomas ha de ser lo más reducido posible y deben ser independientes unos de otros." en
11. H. B. Sinaceur (2009): 2.2 Tarski's versión of Formalism en Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them? Sten Lindström et al, edtrs. pp 375-6
12. Ver Gómez-Torrente, Mario, Alfred Tarski, en The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
13. Tarski (1936) : "On the concept of logical consequence"
14. Para todo esto, ver J Hintikka (2004): ON TARSKI’S ASSUMPTIONS
15. J. von Neumann (1931) "The Formalist Foundations of Mathematics"
16. Para todo esto, ver Robert Leonard (2010): Von Neumann, Morgenstern, and the Creation of Game Theory: From Chess to Social Science, 1900-1960
17. Sandye Gloria-Palermo (2010): Introducing Formalism in Economics: The Growth Model of John von Neumann
18. P. Jordan, J. v. Neumann and E. Wigner: (1933): On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism Annals of Mathematics.- Second Series, Vol. 35, No. 1 (Jan., 1934), pp. 29-64
19. Carnap, Rudolf, 1934/37, Logische Syntax der Sprache, Vienna: Springer. Sin traducción al castellano
20. Para una introducción a esta materia, ver Thomas Ricketts : "Frege, Carnap and Quine: Continuities and Discontinuities" en Carnap Brought Home: The View from Jena Steve Awodey, Carsten Klein (2005) Edtrs, p 181 y sig (esp p 191 y sig
21. Para una examinacion de estos asuntos, ver S. Awodey y A. W. Carus: "How Carnap Could Have Replied to Godel. en Carnap Brought Home: The View from Jena Steve Awodey, Carsten Klein (2005) Edtrs, pp 203-224
22. T Ricketts (op. cit, p 191): "Carnap llega a creer que ninguna tentativa de formular el principio de las inferencias demostrativas (probatorias) y mostrar que formulaciones alternativas son ya sea variables de notación o incorrectas puede tener éxito. La tentativa de lograrlo conduce a un estéril debate entre las escuelas de lógicos, demasiado reminescentes de los debates que, a los ojos de Carnap, marcan mucho de la historia de la filosofía"
23. Para todo esto, ver Weir, Alan, 4. Formalism and the Positivists en Formalism in the Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
24. Para una visión general de esta contribución, ver Jesús Hernández : LAS ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS Y NICOLÁS BOURBAKI o Alberto Campos: Axiomática y geometría desde Euclides hasta Hilbert y Bourbaki
25. Aroca, José Manuel El progreso de la matemática en los últimos 25 años
26. Ian J. Dove: En su forma más simple el deductivismo es la visión que la matemática consiste enteramente de la derivación de teoremas a partir de axiomas. Es esa visión las únicas verdades en matemáticas son verdades condicionales de la forma Si (axioma); Entonces (teoremas)." en Certainty and Error in Mathematics: Deductivism and the Claims of Mathematical Fallibilism, p 5
27. H Putnam: "no creo que haya una crisis en las fundaciones de las matemáticas. En realidad, no creo que la matemática ya sea tiene o necesita "fundaciones" en "Mathematics without foundations"
28. H Putnam: "Porque nuestra convicción intuitiva que ciertos tipos de estructuras finitas podrían (énfasis de Putnam) existir juegan un papel esencial en la aplicación de las matemáticas. Es una parte, y una parte importante, de la pintura matemática total que ciertos conjuntos de axiomas son asumidos como representando estructuras presumiblemente posibles. .... Así hay cuestiones que que permanecen irreduciblemente un asunto de la filosofía de las matemáticas por sobre la "filosofía de la lógica": el asunto de iluminar y clarificar nuestra aceptación de estructuras matemáticas como "presumiblemente posibles", o de conjuntos de axiomas matemáticos como "presumiblemente consistentes..." The Thesis that Mathematics is Logic, conclusión (p 41-42)
29. Keith Hossack (1991): Access to Mathematical Objects.-Crítica: Revista Hispanoamericana de Filosofía.- Vol XXIII, N 68 (Agosto 1991) 157- 181
30. Hilary Putnam (1967: A) The Thesis that Mathematics is Logic. y B) Mathematics without foundations. El énfasis en la fecha es relevante. La posición de Putnam experimento cambios. Ver Russell Marcus (2006): E Pluribus Putnams Unum
31. Hilary Putnam (1967): Philosophical Papers: Volume 1, Mathematics, Matter and Method “The Thesis that Mathematics is logic” p 20 “(3) ‘If-thenism’ as a philosophy of mathematics”
32. Hilary Putnam (1967): The Thesis that Mathematics is Logic.
33. Russell Marcus (2006): Pluribus Putnams Unum (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última). p 6
34. Russell Marcus (2006): E Pluribus Putnams Unum p 6
35. Ian J. Dove: "A través de evitar el asunto de la verdad de los axiomas y teoremas, el deductivismo es capaz de evitar el problema de la epistemología de las matemáticas y lo reemplaza con el de la epistemología de la lógica... el deductivismo es anti-realista o, por lo menos, neutral en relación a la existencia de objetos abstractos. " en Certainty and Error in Mathematics: Deductivism and the Claims of Mathematical Fallibilism, p 5
36. Para toda esta sección, ver Diego Pareja H (2008): 5. 8 – David Hilbert y el formalismo..- Ver también: S.N. Artemov (originator) Formalization method en Encyclopedia of Mathematics
37. Frederick Suppe (2001) 1. Axiomatization el 25 de marzo de 2016 en Wayback Machine. en A Companion to the Philosophy of Science W. H. Newton-Smith (Edtr)
38. The QED Manifesto in Automated Deduction - CADE 12, Springer-Verlag, Lecture Notes in Artificial Intelligence, Vol. 814, pp. 238-251, 1994. HTML version
39. «The QED Workshop II report». Consultado el 4 de abril de 2017. 
40. Wiedijk Freek, El Manifiesto QED Revisited de 2007
41. Fairouz Kamareddine, Manuel Maarek, Krzysztof Retel, and J. B. Wells, Gradual Computerisation/Formalisation of Mathematical Texts into Mizar

•   Datos: Q1433067