Arcocoseno

En trigonometría el arcocoseno está definido como la función inversa del coseno de un ángulo. Si tenemos: ${\displaystyle \arccos \alpha \,}$, su significado geométrico es el arco cuyo coseno es alfa.

Función arcocoseno
Gráfica de Función arcocoseno
Definición	${\displaystyle \textstyle f{\mbox{ tal que }}f(\cos(x))=x\,}$
Tipo	Trigonométrica inversa
Dominio	${\displaystyle \textstyle [-1,1]}$
Codominio	${\displaystyle \textstyle [0,\pi ]}$
Imagen	${\displaystyle \textstyle [0,\pi ]}$
Propiedades	Estrictamente decreciente Biyectiva en su dominio
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
Función inversa	${\displaystyle \textstyle \cos(x)\quad x\in [0,\pi ]}$
Funciones relacionadas	arcoseno arcotangente
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La función coseno no es biyectiva, por lo que no tiene inversa. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convención es preferible restringir el dominio de la función coseno al intervalo ${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$.

Notación

La notación matemática del arcocoseno es arccos; es común la escritura ambigua cos^-1. En diversos lenguajes de programación se suele utilizar la forma ACOS y ACS.

Propiedades

 

Función recíproca trigonométrica.

El arcocoseno de una función continua es estrictamente decreciente, definida por todo el valor del intervalo ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$ :

${\displaystyle {\begin{array}{lccl}\arccos :&[-1,1]&\rightarrow &[0,\pi ]\\&x&\rightarrow &y=\arccos(x)\end{array}}}$ 

Su gráfico es simétrico respecto al punto ${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}$ , siendo:

${\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos(-x)}$ 

La derivada del la función arcocoseno es

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ 

Por medio del la guía descrita simétrica vale la relación por argumentos negativos:

${\displaystyle \arccos \left(-x\right)=\pi -\arccos x}$ 

Es posible combinar la suma o diferencia de arcocoseno en una expresión donde el arcocoseno figura una rotación:

${\displaystyle \arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}}$ 

${\displaystyle \arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}}$ 

Serie de potencias

El desarrollo en serie de potencias del arcocoseno viene dado por:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{6}}x^{3}+...}$ 

Nótese que este desarrollo solo es válido cuando se expresa el ángulo en radianes.

Demostración

Aplicando el desarrollo en serie de Taylor es sencillo demostrar el siguiente desarrollo: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}t^{n}}$  Efectuando el cambio t=s² se obtiene este desarrollo: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-s^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}s^{2n}}$  Dado que: ${\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-s^{2}}}}ds}$  Integrando término a término la segunda serie se obtiene el desarrollo en serie del arcocoseno: ${\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}$

Aplicaciones

En un triángulo rectángulo, el arcocoseno equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto adyacente y la hipotenusa.

Véase también

• Trigonometría
• Identidad trigonométrica

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Arcocoseno». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q720341
•   Multimedia: Arc cosine function