Coseno

En matemática, el coseno es una función par y continua con periodo ${\displaystyle 2\pi }$, además una función trascendente. Su nombre se abrevia cos.

Coseno
Gráfica de Coseno
Definición	cos x
Dominio	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Imagen	[-1,1]
Cálculo infinitesimal
Derivada	-sen x
Función primitiva	sen x + c
Función inversa	arccos x
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${\displaystyle \cos \;x=\cos(-x)}$

${\displaystyle \cos \;x=-\cos(x+\pi )}$

En trigonometría, el coseno de un ángulo ${\displaystyle \alpha }$ de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}={\frac {AC}{AB}}}$

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo ${\displaystyle \alpha .}$

Si ${\displaystyle B}$ pertenece a la circunferencia de radio uno con centro ${\displaystyle O=A}$ se tiene:

${\displaystyle \cos \alpha =b=AC}$

Ya que ${\displaystyle c=AB=1}$.

Esta construcción permite representar el valor del coseno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector ${\displaystyle {\vec {AB}}}$ mediante su descomposición en los vectores ortonormales ${\displaystyle {\vec {AC}}}$ y ${\displaystyle {\vec {CB}}}$.

Cálculo por serie de potencias

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real ${\displaystyle x}$  con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, ${\displaystyle x}$ . Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es:

${\displaystyle \cos x=1-{\cfrac {x^{2}}{2!}}+{\cfrac {x^{4}}{4!}}-{\cfrac {x^{6}}{6!}}+\ldots +(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\ldots }$ 

que en sumatorio sería:

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\;(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$ 

En el plano complejo

En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:

${\displaystyle {\cos }\ (z)={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}}$

Dada la fórmula de Euler: ${\displaystyle e^{iz}={\cos }\ (z)+i{\operatorname {sen} }\ (z)}$  donde ${\displaystyle e}$  es la base del logaritmo natural, e ${\displaystyle i}$  es la unidad de los números imaginarios. Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a ${\displaystyle e^{-iz}}$  se tiene también que: ${\displaystyle e^{-iz}={\cos }\ (-z)+i{\operatorname {sen} }\ (-z)=}$  ${\displaystyle {\cos }\ (z)-i{\operatorname {sen} }\ (z)}$  Sumando estas dos ecuaciones se tiene: ${\displaystyle e^{iz}+e^{-iz}=2{\cos }\ (z)}$  donde despejando el coseno se obtiene lo que se quiere.

Representación gráfica en la recta

 

Gráfica de la función coseno, con el eje X expresado en radianes.

Relaciones trigonométricas

El coseno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

${\displaystyle \cos \;\alpha =\;\;\;\cos \;(\alpha +k2\pi ),\;\;k\in \mathbb {Z} }$

Por inducción ya que aplicando un número par de veces ${\displaystyle \cos \;\alpha =-\cos(\alpha +\pi )}$  se llega a todos los valores de k.

Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$  a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

${\displaystyle \cos \alpha =\operatorname {sen} \left(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ 

Coseno de la suma de dos ángulos

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=}$  ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta }$  ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=}$  ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta +\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta }$

La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Coseno del ángulo doble

${\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\operatorname {sen} ^{2}\alpha }$

Como: ${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=}$  ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta }$  Bastará con el cambio ${\displaystyle \beta =\alpha \,}$

Coseno del ángulo mitad

${\displaystyle \cos {\bigg (}{\frac {\alpha }{2}}{\bigg )}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [-{\frac {\pi }{2}},\,\,{\frac {\pi }{2}}\,)+2k\pi \\-{\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [\;\;\;{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}})+2k\pi \end{cases}}\;,\;\;para\;k\in \mathbb {Z} }$

Usando las fórmulas: ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$  y ${\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta }$  resulta: ${\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=2\cos ^{2}\theta -1}$    Representación de ${\displaystyle y\;=\;{\sqrt {\frac {1+\cos(2x)}{2}}}.}$  y aislando ${\displaystyle \operatorname {sen} \theta }$ : ${\displaystyle \vert \cos \theta \vert ={\sqrt {\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}}$  El cambio ${\displaystyle \theta ={\frac {\alpha }{2}}}$  corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno: ${\displaystyle 0<\cos {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}})+2k\pi ,}$  ${\displaystyle 0>\cos {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}})+2k\pi }$  donde ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ .

Suma de funciones como producto

${\displaystyle \cos a+\cos b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$  ${\displaystyle \cos a-\cos b=-2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$

La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

Producto de funciones como suma

${\displaystyle \cos(A)\cos(B)=\cos ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)-\;\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)-\;\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)}$ 

${\displaystyle \cos(A)\cos(B)={\frac {1}{2}}\left(\cos(A+B)+\cos(A-B)\right)}$ 

Ángulos para los cuales el coseno se conoce con exactitud

Ángulos en Rad (X)	Ángulos en Grados (X°)	Cos(X)
${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	30°	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	45°	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	60°	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	90°	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \pi }$	180°	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle 2\pi }$	360°	${\displaystyle 1}$

Tomando los mismos valores para los ángulos con signo opuesto a los ángulos enunciados en la tabla, puesto que el coseno es una función par.

Derivada del coseno

${\displaystyle \cos 'x=-\operatorname {sen} x\,}$ 

Generalizaciones del coseno

• Coseno hiperbólico cosh(x)
• Función elíptica cn(x)

Véase también

• Sinusoide
• Función
• Función par
• Trigonometría
• Funciones trigonométricas

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Coseno». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q1256164
•   Multimedia: Cosine function