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Adición (matemática)

La adición o suma es la operación matemática de composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno, es la forma más básica de contar.

3 + 2 = 5.[1]

En términos más formales, la suma es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos), y también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan su imagen en ellos. También se suman matrices.

En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores, etc.

Historia

El hombre neolítico ya hacía matemática elemental, por lo tanto sabía sumar; pero previamente captó la idea de restar, puesto que sus medios de subsistencia disminuían durante el año, y no le era tan fácil de reponer.

Los egipcios llegaron a sumar lo que se llaman hoy, números naturales y los números fraccionarios. Los babilonios llegaron a sumar los cuadrados de los números naturales. Los chinos y los hindúes sumaron números negativos. En el Renacimiento, con el auge de la banca y del comercio, se impuso la suma de decimales, catapultada por el uso del sistema de numeración decimal. Además se popularizó la adición de logaritmos vulgares, que reemplazaba eficazmente a la multiplicación de números tanto en el comercio, finanzas, astronomía, navegación, etc.[2]

Con la forma de los diferentes tipos de número, se habla de suma de números reales (o expresiones decimales) y la suma de números complejos, que no es sino la suma de pares ordenados de números reales. Pero sí, con sus propias peculiaridades, tanto al generalizar para racionales y enteros. Además se suman con otros objetos, aun en el álgebra de Boole se habla de suma boleana.[3]

Propiedades de la suma de números naturales

  • Propiedad de cerradura o clausurativa: si   entonces  , siendo   cualquiera de estos conjuntos:   o  .
  • Propiedad conmutativa: El arreglo de los sumandos no modifica el resultado:  .
  • Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suma tres o más números, el resultado siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento.[4]​ Un ejemplo es:  .
  • Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo,  .
  • Propiedad cancelativa: Si   entonces   y recíprocamente.

No funcionan con números naturales

Elemento neutro: El elemento identidad aditivo de los números es el cero, denotado por 0; porque todo número sumado con el 0 da el mismo número como total. Simbólicamente:  ; ejemplo:  [nota 1][nota 2]
Elemento opuesto: Si   existe   tal que  . Ejemplo:  

Sumatorio

Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más). Con esto, la suma de los números 1, 2 y 4 es  .

También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos. Por ejemplo:

  •   es la suma de los cien primeros números naturales.
  •   es la suma de las diez primeras potencias de 2.

En sumas largas o infinitas se emplea un nuevo símbolo, llamado sumatorio, y se representa con la letra griega sigma mayúscula (Σ). Por ejemplo:

  •   es la suma de los cien primeros números naturales.
  •   es la suma de las diez primeras potencias de 2.
  •   es la suma de todos los números racionales de la forma  .

Esta es una suma de una sucesión, cuyo enésimo término es la suma de los primeros n términos de la serie infinita; es decir, se suman todos los elementos de un conjunto infinito; sin embargo, en realidad se calcula el límite de todos los elementos que se suman y se calcula el límite matemático.

Efectuar una suma

 

El procedimiento paradigmático para efectuar sumas de varios números, denominados «sumandos», es el siguiente:

Los sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en columnas, empezando por la derecha con la cifra de las unidades (U), a la izquierda las decenas (D), la siguiente las centenas (C), la siguiente los millares (M), etc.

La suma de los números 750 + 1583 + 69 se ordenarían de la siguiente forma:

 

Se suman en primer lugar las cifras de la columna de las unidades según las tablas elementales, colocando en el resultado la cifra de unidades que resulte; cuando estas unidades sean más de 10 las decenas se acumulan como un sumando más en la fila de acarreo.

En este caso 3 más 9 son 12, el 2 del 12 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa como acarreo en la columna siguiente.

 

En la columna de las decenas, procediendo entonces a la suma de esa columna como si fueran unidades.

Sumamos el 1 del acarreo más 5, 8 y 6 que dan un total de 20, el 0 de 20 se pone en la parte inferior como resultado y el 2 se pasa como acarreo a la columna siguiente.

 

Se procede de igual forma con la columna de las decenas, acarreo incluido, colocando en la fila de acarreo sobre la columna de las centenas las decenas (de unidades de decenas).

En la columna de las centenas tenemos, el 2 de acarreo, el 7 y el 5 que sumados dan 14, el 4 del 14 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa a la siguiente columna como acarreo.

 

Se procede de igual forma con todas las columnas, añadiendo a la columna última de la izquierda las decenas de la columna anterior en vez de subir a la fila de acarreo.

En la columna de los millares tenemos 1 de acarreo más el 1 de sumando que sumados dan 2, que se pone en la parte inferior como resultado, al no haber más sumandos damos por finalizada la operación.

 

Normalmente los acarreos o llevadas no se anotan en el papel, sumando directamente el acarreo a los sumandos de la columna siguiente y el aspecto de la realización de la suma sin las anotaciones auxiliares sería el siguiente:

 

En diversos conjuntos numéricos

Con los naturales

Según la axiomática de Peano la adición en el conjunto de los n números naturales se definen por estas dos condiciones:

  1.  
  2.  , donde   y   son números naturales;   es la función sucesor cuyo dominio es  .[5]

Con los enteros

  • Si los sumandos tienen el mismo signo se suman los valores absolutos y al resultado se le asigna el signo común.
  • Si los dos sumandos tienen diferente signo se resta del mayor valor absoluto el menor valor absoluto. A la diferencia se le asigna el signo del número de mayor valor absoluto.[6]

Con los números racionales

  • Cuando tienen el mismo denominador, solamente se suman los numeradores, según la regla de la adición de números enteros y el denominador es el mismo.
  • Si tienen diferentes denominadores, todos los números racionales se reducen a racionales con el mismo denominador; luego se aplica el criterio inmediato anterior.[7]

Tablas de sumar

 

Véase también

Notas y referencias

Notas

  1. Salvo que en ℕ se incluya 0
  2. Por isomorfismo se prueba que el cero de N, Z, Q, R y C es el mismo

Referencias

  1. From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."
  2. Boyer. Historia de la matemática.
  3. Dirk Sruik: La matemática sus orígenes y su desarrollo. Ediciones Siglo Veinte, Buenos Aires (1960).
  4. Álgebra Moderna de la colección Schaumm
  5. Álgebra de Baldor
  6. álgebra moderna (sic) de Dociani et al. citado antes.

Enlaces externos

  •   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre adición.
  •   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Adición.
  •   Datos: Q32043
  •   Multimedia: Addition
  •   Recursos didácticos: Números naturales/La suma

adición, matemática, este, artículo, sección, tiene, referencias, pero, necesita, más, para, complementar, verificabilidad, este, aviso, puesto, abril, 2017, adición, redirige, aquí, para, reacción, química, homónima, véase, reacción, adición, suma, redirige, . Este articulo o seccion tiene referencias pero necesita mas para complementar su verificabilidad Este aviso fue puesto el 26 de abril de 2017 Adicion redirige aqui Para la reaccion quimica homonima vease reaccion de adicion Suma redirige aqui Para otras acepciones vease Suma desambiguacion La adicion o suma es la operacion matematica de composicion que consiste en combinar o anadir dos numeros o mas para obtener una cantidad final o total La suma tambien ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola coleccion Por otro lado la accion repetitiva de sumar uno es la forma mas basica de contar 3 2 5 1 En terminos mas formales la suma es una operacion aritmetica definida sobre conjuntos de numeros naturales enteros racionales irracionales reales y complejos y tambien sobre estructuras asociadas a ellos como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos numeros o funciones que tengan su imagen en ellos Tambien se suman matrices En el algebra moderna se utiliza el nombre suma y su simbolo para representar la operacion formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano o la operacion de un modulo que dota al modulo de estructura de grupo abeliano Tambien se utiliza a veces en teoria de grupos para representar la operacion que dota a un conjunto de estructura de grupo En estos casos se trata de una denominacion puramente simbolica sin que necesariamente coincida esta operacion con la suma habitual en numeros funciones vectores etc Indice 1 Historia 2 Propiedades de la suma de numeros naturales 2 1 No funcionan con numeros naturales 3 Sumatorio 4 Efectuar una suma 5 En diversos conjuntos numericos 5 1 Con los naturales 5 2 Con los enteros 5 3 Con los numeros racionales 6 Tablas de sumar 7 Vease tambien 8 Notas y referencias 8 1 Notas 8 2 Referencias 9 Enlaces externosHistoria EditarEl hombre neolitico ya hacia matematica elemental por lo tanto sabia sumar pero previamente capto la idea de restar puesto que sus medios de subsistencia disminuian durante el ano y no le era tan facil de reponer Los egipcios llegaron a sumar lo que se llaman hoy numeros naturales y los numeros fraccionarios Los babilonios llegaron a sumar los cuadrados de los numeros naturales Los chinos y los hindues sumaron numeros negativos En el Renacimiento con el auge de la banca y del comercio se impuso la suma de decimales catapultada por el uso del sistema de numeracion decimal Ademas se popularizo la adicion de logaritmos vulgares que reemplazaba eficazmente a la multiplicacion de numeros tanto en el comercio finanzas astronomia navegacion etc 2 Con la forma de los diferentes tipos de numero se habla de suma de numeros reales o expresiones decimales y la suma de numeros complejos que no es sino la suma de pares ordenados de numeros reales Pero si con sus propias peculiaridades tanto al generalizar para racionales y enteros Ademas se suman con otros objetos aun en el algebra de Boole se habla de suma boleana 3 Propiedades de la suma de numeros naturales EditarPropiedad de cerradura o clausurativa si a b S displaystyle a b in S entonces a b S displaystyle a b in S siendo S displaystyle S cualquiera de estos conjuntos N Z Q R displaystyle mathbb N mathbb Z mathbb Q mathbb R o C displaystyle mathbb C Propiedad conmutativa El arreglo de los sumandos no modifica el resultado a b b a displaystyle a b b a Propiedad asociativa Propiedad que establece que cuando se suma tres o mas numeros el resultado siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento 4 Un ejemplo es a b c a b c displaystyle a b c a b c Propiedad distributiva La suma de dos numeros multiplicada por un tercer numero es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer numero Por ejemplo 3 4 6 3 6 4 6 displaystyle 3 4 cdot 6 3 cdot 6 4 cdot 6 Propiedad cancelativa Si a c b c displaystyle a c b c entonces a b displaystyle a b y reciprocamente No funcionan con numeros naturales Editar Elemento neutro El elemento identidad aditivo de los numeros es el cero denotado por 0 porque todo numero sumado con el 0 da el mismo numero como total Simbolicamente a 0 0 a a displaystyle a 0 0 a a ejemplo 0 3 3 displaystyle 0 3 3 nota 1 nota 2 Elemento opuesto Si a S displaystyle a in S existe a S displaystyle a in S tal que a a 0 displaystyle a a 0 Ejemplo 7 7 0 displaystyle 7 7 0 Sumatorio EditarArticulo principal Sumatorio Si todos los terminos se escriben individualmente se utiliza el simbolo leido mas Con esto la suma de los numeros 1 2 y 4 es 1 2 4 7 displaystyle 1 2 4 7 Tambien se puede emplear el simbolo cuando a pesar de no escribirse individualmente los terminos se indican los numeros omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los numeros omitidos Por ejemplo 1 2 3 98 99 100 displaystyle 1 2 3 cdots 98 99 100 es la suma de los cien primeros numeros naturales 2 4 8 512 1024 displaystyle 2 4 8 cdots 512 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2 En sumas largas o infinitas se emplea un nuevo simbolo llamado sumatorio y se representa con la letra griega sigma mayuscula S Por ejemplo k 1 100 k displaystyle sum k 1 100 k es la suma de los cien primeros numeros naturales k 1 10 2 k displaystyle sum k 1 10 2 k es la suma de las diez primeras potencias de 2 k 1 1 k 2 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 2 es la suma de todos los numeros racionales de la forma 1 k 2 displaystyle frac 1 k 2 Esta es una suma de una sucesion cuyo enesimo termino es la suma de los primerosnterminos de la serie infinita es decir se suman todos los elementos de un conjunto infinito sin embargo en realidad se calcula el limite de todos los elementos que se suman y se calcula el limite matematico Efectuar una suma Editar3 2 5 displaystyle color Blue left begin array l 3 to left begin array l color Cyan bigstar color Green clubsuit color Plum blacklozenge end array right 2 to left begin array l color Red blacksquare color Sepia spadesuit end array right end array right to 5 El procedimiento paradigmatico para efectuar sumas de varios numeros denominados sumandos es el siguiente Los sumandos se colocan en filas sucesivas ordenando las cifras en columnas empezando por la derecha con la cifra de las unidades U a la izquierda las decenas D la siguiente las centenas C la siguiente los millares M etc La suma de los numeros 750 1583 69 se ordenarian de la siguiente forma M C D U 7 5 0 1 5 8 3 6 9 1 sumando 2 sumando 3 sumando displaystyle begin array rrrrr amp M amp C amp D amp U amp amp 7 amp 5 amp 0 amp 1 amp 5 amp 8 amp 3 amp amp amp 6 amp 9 hline end array begin array l longleftarrow 1 circ textrm sumando longleftarrow 2 circ textrm sumando longleftarrow 3 circ textrm sumando end array Se suman en primer lugar las cifras de la columna de las unidades segun las tablas elementales colocando en el resultado la cifra de unidades que resulte cuando estas unidades sean mas de 10 las decenas se acumulan como un sumando mas en la fila de acarreo En este caso 3 mas 9 son 12 el 2 del 12 se pone en la parte inferior y el 1 se pasa como acarreo en la columna siguiente 1 M C D U 7 5 0 1 5 8 3 6 9 2 acarreo 1 sumando 2 sumando 3 sumando displaystyle begin array rrrrr amp amp amp 1 amp amp M amp C amp D amp U amp amp 7 amp 5 amp 0 amp 1 amp 5 amp 8 amp 3 amp amp amp 6 amp 9 hline amp amp amp amp 2 end array begin array l color Red longleftarrow textrm acarreo longleftarrow 1 circ textrm sumando longleftarrow 2 circ textrm sumando longleftarrow 3 circ textrm sumando end array En la columna de las decenas procediendo entonces a la suma de esa columna como si fueran unidades Sumamos el 1 del acarreo mas 5 8 y 6 que dan un total de 20 el 0 de 20 se pone en la parte inferior como resultado y el 2 se pasa como acarreo a la columna siguiente 2 1 M C D U 7 5 0 1 5 8 3 6 9 0 2 acarreo 1 sumando 2 sumando 3 sumando displaystyle begin array rrrrr amp amp 2 amp 1 amp amp M amp C amp D amp U amp amp 7 amp 5 amp 0 amp 1 amp 5 amp 8 amp 3 amp amp amp 6 amp 9 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igual forma con todas las columnas anadiendo a la columna ultima de la izquierda las decenas de la columna anterior en vez de subir a la fila de acarreo En la columna de los millares tenemos 1 de acarreo mas el 1 de sumando que sumados dan 2 que se pone en la parte inferior como resultado al no haber mas sumandos damos por finalizada la operacion 1 2 1 M C D U 7 5 0 1 5 8 3 6 9 2 4 0 2 acarreo 1 sumando 2 sumando 3 sumando total displaystyle begin array rrrrr amp 1 amp 2 amp 1 amp amp M amp C amp D amp U amp amp 7 amp 5 amp 0 amp 1 amp 5 amp 8 amp 3 amp amp amp 6 amp 9 hline amp 2 amp 4 amp 0 amp 2 end array begin array l color Red longleftarrow textrm acarreo longleftarrow 1 circ textrm sumando longleftarrow 2 circ textrm sumando longleftarrow 3 circ textrm sumando longleftarrow textrm total end array Normalmente los acarreos o llevadas no se anotan en el papel sumando directamente el acarreo a los sumandos de la columna siguiente y el aspecto de la realizacion de la suma sin las anotaciones auxiliares seria el siguiente 7 5 0 1 5 8 3 6 9 2 4 0 2 displaystyle begin array rrrrr amp amp 7 amp 5 amp 0 amp 1 amp 5 amp 8 amp 3 amp amp amp 6 amp 9 hline amp 2 amp 4 amp 0 amp 2 end array En diversos conjuntos numericos EditarCon los naturales Editar Segun la axiomatica de Peano la adicion en el conjunto de los n numeros naturales se definen por estas dos condiciones p 1 S p displaystyle p 1 S p p S q S p q displaystyle p S q S p q donde p displaystyle p y q displaystyle q son numeros naturales S displaystyle S es la funcion sucesor cuyo dominio es N displaystyle mathbb N 5 Con los enteros Editar Si los sumandos tienen el mismo signo se suman los valores absolutos y al resultado se le asigna el signo comun Si los dos sumandos tienen diferente signo se resta del mayor valor absoluto el menor valor absoluto A la diferencia se le asigna el signo del numero de mayor valor absoluto 6 Con los numeros racionales Editar Cuando tienen el mismo denominador solamente se suman los numeradores segun la regla de la adicion de numeros enteros y el denominador es el mismo Si tienen diferentes denominadores todos los numeros racionales se reducen a racionales con el mismo denominador luego se aplica el criterio inmediato anterior 7 Tablas de sumar EditarTabla de sumar Tabla del 1 0 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 5 1 6 6 1 7 7 1 8 8 1 9 9 1 10 10 1 11 Tabla del 2 0 2 2 1 2 3 2 2 4 3 2 5 4 2 6 5 2 7 6 2 8 7 2 9 8 2 10 9 2 11 10 2 12 Tabla del 3 0 3 3 1 3 4 2 3 5 3 3 6 4 3 7 5 3 8 6 3 9 7 3 10 8 3 11 9 3 12 10 3 13 Tabla del 4 0 4 4 1 4 5 2 4 6 3 4 7 4 4 8 5 4 9 6 4 10 7 4 11 8 4 12 9 4 13 10 4 14 Tabla del 5 0 5 5 1 5 6 2 5 7 3 5 8 4 5 9 5 5 10 6 5 11 7 5 12 8 5 13 9 5 14 10 5 15 Tabla del 6 0 6 6 1 6 7 2 6 8 3 6 9 4 6 10 5 6 11 6 6 12 7 6 13 8 6 14 9 6 15 10 6 16 Tabla del 7 0 7 7 1 7 8 2 7 9 3 7 10 4 7 11 5 7 12 6 7 13 7 7 14 8 7 15 9 7 16 10 7 17 Tabla del 8 0 8 8 1 8 9 2 8 10 3 8 11 4 8 12 5 8 13 6 8 14 7 8 15 8 8 16 9 8 17 10 8 18 Tabla del 9 0 9 9 1 9 10 2 9 11 3 9 12 4 9 13 5 9 14 6 9 15 7 9 16 8 9 17 9 9 18 10 9 19 Tabla del 10 0 10 10 1 10 11 2 10 12 3 10 13 4 10 14 5 10 15 6 10 16 7 10 17 8 10 18 9 10 19 10 10 20 displaystyle begin array c text Tabla de sumar begin array ccccc begin array c hline text Tabla del 1 begin array rcrcr 0 amp amp 1 amp amp 1 1 amp amp 1 amp amp 2 2 amp amp 1 amp amp 3 3 amp amp 1 amp amp 4 4 amp amp 1 amp amp 5 5 amp amp 1 amp amp 6 6 amp amp 1 amp amp 7 7 amp amp 1 amp amp 8 8 amp amp 1 amp amp 9 9 amp amp 1 amp amp 10 10 amp amp 1 amp amp 11 end array hline end array amp begin array c hline text Tabla del 2 begin array rcrcr 0 amp amp 2 amp amp 2 1 amp amp 2 amp amp 3 2 amp amp 2 amp amp 4 3 amp amp 2 amp amp 5 4 amp amp 2 amp amp 6 5 amp amp 2 amp amp 7 6 amp amp 2 amp amp 8 7 amp amp 2 amp amp 9 8 amp amp 2 amp amp 10 9 amp amp 2 amp amp 11 10 amp amp 2 amp amp 12 end array hline end array amp begin array c hline text Tabla del 3 begin array rcrcr 0 amp amp 3 amp amp 3 1 amp amp 3 amp amp 4 2 amp amp 3 amp amp 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textbooks Boyer Historia de la matematica Dirk Sruik La matematica sus origenes y su desarrollo Ediciones Siglo Veinte Buenos Aires 1960 Definicion propiedad asociativa de la suma Algebra Moderna de la coleccion Schaumm Algebra de Baldor algebra moderna sic de Dociani et al citado antes Enlaces externos Editar Wikcionario tiene definiciones y otra informacion sobre adicion Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Adicion Definicion propiedad asociativa de la suma Datos Q32043 Multimedia Addition Recursos didacticos Numeros naturales La suma Obtenido de https es wikipedia org w index php title Adicion matematica amp oldid 142584209, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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