Identidades y fórmulas de trigonometría

Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida en el dominio común o descartando los puntos que anulan alguna función en caso de ser divisor. Las funciones están ligadas por operaciones racionales y por potencias de exponente entero, aunque en algunos casos se recurre a la raíz cuadrada. Los ángulos se suman algebraicamente, se multiplican o se dividen por enteros positivos y luego actúan como argumento de alguna función.

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Trigonometría
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Funciones, leyes y teoremas
Funciones e (inversas) ·Senos ·Cosenos ·Tangentes ·Cotangentes ·Teorema de Pitágoras·Identidades y fórmulas de trigonometría
Cálculo infinitesimal
Sustitución trigonométrica ·Integrales de funciones directas (e inversas) ·Derivadas
Temas relacionados
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Nota: la notación ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\alpha }$ se define como ${\displaystyle (\operatorname {sen} \alpha )^{2}}$. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

Funciones trigonométricas

 

Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra

• ${\displaystyle \operatorname {sen} \theta =y{\text{, }}\cos \theta =x}$  en ${\displaystyle \Delta R}$  de hipotenusa igual a uno, cateto adyacente ${\displaystyle x}$ , cateto opuesto ${\displaystyle y}$ , respecto a ${\displaystyle \theta .}$ 
• ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }},{\text{ }}\theta \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi k\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}$ 
• ${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }},{\text{ }}\theta \neq \pi k\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}$ 
• ${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},{\text{ }}\theta \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi k,\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}$ 
• ${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }},{\text{ }}\theta \neq \pi k,\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}$ ^[1]​

Relaciones básicas

Periodicidad ${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle \cos \theta =\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}$
Simetría	${\displaystyle \operatorname {sen} \theta =-\operatorname {sen}(-\theta )}$
Relación pitagórica	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$
Identidad de la razón	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}}$

De estas identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Para obtener el signo correcto en algunos casos se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco^[2]​

En términos de	${\displaystyle \operatorname {sen} }$	${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle \csc }$
${\displaystyle \operatorname {sen} \theta }$	${\displaystyle \operatorname {sen} \theta }$	${\displaystyle \cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}$	${\displaystyle {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}$
${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}$	${\displaystyle \cos \theta \ }$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}$
${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \tan \theta \ }$	${\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}$	${\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$
${\displaystyle \cot \theta }$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}{\operatorname {sen} \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {\cos \theta }{\cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \cot \theta \ }$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$
${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }}$	${\displaystyle \sec \theta \ }$	${\displaystyle {\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$
${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}}}$	${\displaystyle {{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} \over \tan \theta }}$	${\displaystyle {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {\sec \theta \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \csc \theta \ }$

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

${\displaystyle \tan {x}={\frac {\operatorname {sen} {x}}{\cos {x}}}\qquad \cot {x}={\frac {1}{\tan {x}}}={\frac {\cos {x}}{\operatorname {sen} {x}}}}$ 

${\displaystyle \sec {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \csc {x}={\frac {1}{\operatorname {sen} {x}}}}$ 

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)=\operatorname {sen}(x+2\pi )\qquad \cos(x)=\cos(x+2\pi )\qquad \tan(x)=\tan(x+\pi )}$ 

${\displaystyle \operatorname {sen}(-x)=\operatorname {sen}(x+\pi )\qquad \cos(-x)=-\cos(x+\pi )}$ 

${\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)\qquad \cot(-x)=-\cot(x)}$ 

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \cos(x)=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$ 

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

${\displaystyle a\operatorname {sen}(x)+b\cos(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \operatorname {sen} \left(x+\varphi \right)}$ 

donde

${\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(b/a)}$  si α es positivo y ${\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(b/a)+\pi }$  si no.

Usando la función Atan2 también puede escribirse como

${\displaystyle a\operatorname {sen}(x)+b\cos(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \operatorname {sen} \left(x+\operatorname {atan2} (b,a)\right)}$ .

La identidad

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\left(x\right)+\cos ^{2}\left(x\right)=1}$ 

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

${\displaystyle \tan ^{2}\left(x\right)+1=\sec ^{2}\left(x\right)}$ 

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

${\displaystyle \cot ^{2}\left(x\right)+1=\csc ^{2}\left(x\right)}$ 

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}\qquad \operatorname {sen}(x)={\frac {\tan {x}}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}}$ 

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(x)}}}\qquad \operatorname {sen}(x)={\frac {1}{\sec {x}}}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}$ 

Ejemplo 2:

${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}t-1}{\sec ^{2}t}}=\operatorname {sen} ^{2}t}$

${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}t-1}{\sec ^{2}t}}=}$  ${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{\cos ^{2}t}}-1}{\frac {1}{\cos ^{2}t}}}=}$  ${\displaystyle \cos ^{2}t\left({\frac {1}{\cos ^{2}t}}-1\right)=}$  ${\displaystyle \cos ^{2}t\left({\frac {1-\cos ^{2}t}{\cos ^{2}t}}\right)=}$  ${\displaystyle 1-\cos ^{2}t=}$  ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}t.}$

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

${\displaystyle \operatorname {sen}(x\pm y)=\operatorname {sen}(x)\cos(y)\pm \cos(x)\operatorname {sen}(y)}$  ${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$  ${\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}}$

Triángulo usado para demostrar el resultado del seno de la suma de dos ángulos. Primera demostración por semejanza de triángulos: Para comprobar ${\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha +\beta )=}$  ${\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )}$  hace falta substituir las relaciones trigonométricas del dibujo construible: ${\displaystyle {\frac {DB}{DA}}={\frac {EF}{EA}}{\frac {AF}{AD}}+{\frac {AF}{AE}}{\frac {DF}{DA}}}$  simplificando ${\displaystyle AD}$  y sacando factor común ${\displaystyle {\frac {AF}{AE}}}$  queda: ${\displaystyle DB={\frac {AF}{AE}}(EF+FD)}$  como ${\displaystyle EF+FD=ED}$ : ${\displaystyle {\frac {DB}{DE}}={\frac {AF}{AE}}}$  confirmándose el resultado por semejanza de triángulos.   Dibujo para demostrar una identidad trigonométrica. Segunda demostración por áreas de triángulos: La relación entre áreas del dibujo es: ${\displaystyle A_{total}=A_{a}+A_{b}}$  aplicando fórmulas de áreas y con ${\displaystyle a\cos \alpha =b\cos \beta }$  se obtiene: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\alpha +\beta )ab}{2}}={\frac {\operatorname {sen} \alpha \cos \beta ab}{2}}+{\frac {\operatorname {sen} \beta \cos \alpha ab}{2}}}$  simplificando: ${\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha +\beta )=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\operatorname {sen} \beta \cos \alpha }$ . Demostración de ${\displaystyle \operatorname {sen}(x-y)=}$  ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\cos(y)-\cos(x)\operatorname {sen}(y)}$  aplicando la identidad antes demostrada: ${\displaystyle \operatorname {sen}(x-y)=}$  ${\displaystyle \operatorname {sen}(x+(-y))=}$  ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\cos(-y)+\cos(x)\operatorname {sen}(-y)=}$  ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\cos(y)+\cos(x)(-\operatorname {sen}(y))}$ . Demostración de ${\displaystyle \cos(x+y)=}$  ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)-\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$  aplicando la primera identidad: ${\displaystyle \cos(x+y)=\operatorname {sen}(x+(y+{\frac {\pi }{2}}))=}$  ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\cos(y+{\frac {\pi }{2}})+\cos(x)\operatorname {sen}(y+{\frac {\pi }{2}})=}$  ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)(-\operatorname {sen}(y))+\cos(x)\cos(y)}$ . Demostración de ${\displaystyle \cos(x-y)=}$  ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$  aplicando la identidad antes demostrada: ${\displaystyle \cos(x-y)=}$  ${\displaystyle \cos(x+(-y))=}$  ${\displaystyle \cos(x)\cos(-y)-\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(-y)=}$  ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)-\operatorname {sen}(x)(-\operatorname {sen}(y))=}$  ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$ . Demostración de ${\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}}$  ${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )=}$ ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\alpha \pm \beta )}{\cos(\alpha \pm \beta )}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\alpha )\cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )}{\cos(\beta )\cos(\alpha )\mp \operatorname {sen}(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )}}=}$  ${\displaystyle {\frac {\frac {\operatorname {sen}(\alpha )\cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )}}{\frac {\cos(\beta )\cos(\alpha )\mp \operatorname {sen}(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )}}}=}$  ${\displaystyle {\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}}$ .

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

${\displaystyle \operatorname {sen}(\pi \pm x)=\mp \operatorname {sen}(x)}$ 

${\displaystyle \cos(\pi \pm x)=-\cos(x)}$ 

${\displaystyle \tan(\pi \pm x)=\pm \tan(x)}$ 

${\displaystyle \csc(\pi \pm x)=\mp \csc(x)}$ 

Para ángulos complementarios:

${\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\cos(x)}$ 

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\operatorname {sen}(x)}$ 

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\cot(x)}$ 

${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\sec(x)}$ 

${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\csc(x)}$ 

${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\tan(x)}$ 

Para ángulos opuestos:

${\displaystyle \operatorname {sen} \left(-x\right)=-\operatorname {sen} \left(x\right)}$ 

${\displaystyle \cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)}$ 

${\displaystyle \tan \left(-x\right)=-\tan \left(x\right)}$ 

${\displaystyle \csc \left(-x\right)=-\csc \left(x\right)}$ 

${\displaystyle \sec \left(-x\right)=\sec \left(x\right)}$ 

${\displaystyle \cot \left(-x\right)=-\cot \left(x\right)}$ 

Otras relaciones:

${\displaystyle {\sqrt {2}}\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}\mp x\right)=\cos \left(x\right)\pm \operatorname {sen} \left(x\right)}$ 

Identidades del ángulo múltiple

Si T_n es el n-ésimo Polinomio de Chebyshev, entonces

${\displaystyle \cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).}$ 

Fórmula de De Moivre:

${\displaystyle \cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)=(\cos(x)+i\operatorname {sen}(x))^{n}}$ 

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x —o sea, sen(x+x) = sen(2x)— en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.

Fórmula del ángulo doble
${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} 2\theta &=2\operatorname {sen} \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\,}$	${\displaystyle \cot 2\theta ={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}\,}$
Fórmula del ángulo triple
${\displaystyle \operatorname {sen} 3\theta =3\operatorname {sen} \theta -4\operatorname {sen} ^{3}\theta \,}$	${\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}$	${\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$
Fórmula del ángulo medio
${\displaystyle \operatorname {sen} {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}$	${\displaystyle \cos {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\tfrac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\end{aligned}}}$

Producto infinito de Leonhard Euler

${\displaystyle \cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\operatorname {sen}(\theta ) \over \theta }}$ 

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sen²(x).

Seno	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{3}\theta ={\frac {3\operatorname {sen} \theta -\operatorname {sen} 3\theta }{4}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{5}\theta ={\frac {10\operatorname {sen} \theta -5\operatorname {sen} 3\theta +\operatorname {sen} 5\theta }{16}}}$
Coseno	${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}}$
Otros	${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}\ \\={\frac {\operatorname {sen} ^{2}2\theta }{4}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {\operatorname {sen} ^{3}2\theta }{8}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}\ \\={\frac {\operatorname {sen} ^{4}2\theta }{16}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {\operatorname {sen} ^{5}2\theta }{32}}}$

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

${\displaystyle \operatorname {sen} x\operatorname {sen} y={\cos(x-y)-\cos(x+y) \over 2}}$  ${\displaystyle \cos x\cos y={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}$  ${\displaystyle \operatorname {sen} x\cos y={\operatorname {sen}(x+y)+\operatorname {sen}(x-y) \over 2}}$  ${\displaystyle \cos x\operatorname {sen} y={\operatorname {sen}(x+y)-\operatorname {sen}(x-y) \over 2}}$

Demostración ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}$  Sabemos por el teorema de la suma y la resta que: ${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$  Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos: 1): ${\displaystyle \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$  2): ${\displaystyle \cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$  Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que: 3): ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$  Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría: ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)+\cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)+\cos(x-y)}$  Simplificando el elemento sen(x)sen(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría: ${\displaystyle 2\cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\cos(x-y)}$  Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda: ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}$  Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores. Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también: ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)={\cos(x-y)-\cos(x+y) \over 2}}$  Notar el cambio de signo.

Paso de suma a producto

${\displaystyle \operatorname {sen} a+\operatorname {sen} b=\;\;\;2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$  ${\displaystyle \operatorname {sen} a-\operatorname {sen} b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$  ${\displaystyle \cos a+\cos b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$  ${\displaystyle \cos a-\cos b=-2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$  ${\displaystyle \tan a\pm \tan b={\frac {\operatorname {sen}(a\pm b)}{\cos a\cos b}}}$

Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

Paso de diferencia de cuadrados a producto

1). ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}y=\operatorname {sen}(x+y)\operatorname {sen}(x-y)\,}$  2). ${\displaystyle \cos ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}y=\cos(x+y)\cos(x-y)\,}$

Demostración: De la suma y diferencia de ángulos se tiene: ${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\operatorname {sen} x\operatorname {sen} y\,}$  ${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\operatorname {sen} x\operatorname {sen} y\,}$  ${\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}x\cos ^{2}y-\operatorname {sen} ^{2}x\operatorname {sen} ^{2}y\,}$  De la relación pitagórica tenemos: ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}x=1-\cos ^{2}x\,}$  ${\displaystyle \cos ^{2}y=1-\operatorname {sen} ^{2}y\,}$  Luego: ${\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}x(1-\operatorname {sen} ^{2}y)-(1-\cos ^{2}x)\operatorname {sen} ^{2}y\,}$  ${\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}y\,}$  Análogamente se puede demostrar la otra relación.

Paso de senos y cosenos a tangentes

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible expresar senos y cosenos en tangentes.

${\displaystyle |\operatorname {sen} {(x)}|={\frac {|\tan {(x)}|}{\sqrt {1+\tan ^{2}{(x)}}}}}$ 

${\displaystyle \operatorname {sen} {\left(x\right)}={2}\operatorname {sen} {\left({\frac {x}{2}}\right)}\cos {\left({\frac {x}{2}}\right)}={\frac {2\tan {\left({\frac {1}{2}}x\right)}}{1+\tan ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}}}$ 

${\displaystyle \cos {\left(x\right)}=2\cos ^{2}{\left({\frac {x}{2}}\right)}-1={\frac {1-\tan ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}{1+\tan ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}}}$ 

${\displaystyle |\cos {\left(x\right)}|={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}{\left(x\right)}}}}}$ 

Funciones trigonométricas inversas

${\displaystyle \arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{si }}x>0\\-\pi /2,&{\mbox{si }}x<0\end{matrix}}\right.}$ 

${\displaystyle \arctan(x)+\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}$ 

Composición de funciones trigonométricas

${\displaystyle \operatorname {sen}(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$  ${\displaystyle \operatorname {sen}(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$  ${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsen} (x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$  ${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsen} (x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,}$  ${\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} :}$
${\displaystyle \cos(n\arccos(x))={\frac {2^{n}x^{n}}{2}}+\sum _{k=1}(-1)^{k}{\frac {n}{k}}\left({\begin{matrix}n-1-k\\k-1\end{matrix}}\right)(2x)^{n-2k}}$
${\displaystyle \operatorname {sen}(n\operatorname {arcsen} (x))=x\left[\sum _{k=0}(-1)^{k}\left({\begin{matrix}n-1-k\\k\end{matrix}}\right)(2x)^{n-2k-1}\right]}$

Fórmula de productos infinitos

Seno	Coseno
${\displaystyle \operatorname {sen} x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$  ${\displaystyle \operatorname {senh} x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$  ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}$	${\displaystyle \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}$  ${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}$

Fórmula de Euler

${\displaystyle e^{+\mathrm {i} x}=\cos {\left(x\right)}+\mathrm {i} \operatorname {sen} {\left(x\right)}}$ 

${\displaystyle e^{-\mathrm {i} x}=\cos {\left(x\right)}-\mathrm {i} \operatorname {sen} {\left(x\right)}}$ 

Teorema del coseno

Artículo principal: Teorema del coseno

Teorema del coseno Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

Teorema del seno

Artículo principal: Teorema del seno

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

${\displaystyle {\frac {a}{\operatorname {sen}(A)}}={\frac {b}{\operatorname {sen}(B)}}={\frac {c}{\operatorname {sen}(C)}}}$ 

Aplicación

El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados para posteriormente identificar los valores de las funciones trigonométricas.

Definiciones exponenciales

La mayor parte de funciones trigonométricas admiten una formulación en términos de números complejos, algunos ejemplos:

Función	Función inversa
${\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsen} x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}$
${\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,}$	${\displaystyle \arccos x=-i\ln \left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,}$
${\displaystyle \tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,}$	${\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,}$
${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,}$
${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{x^{2}}}-1}}\right)\,}$
${\displaystyle \cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,}$
${\displaystyle \operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,}$	${\displaystyle \operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}\,}$

Véase también

• Trigonometría
• Función trigonométrica
• Hexágono trigonométrico. Recurso mnemónico para ayudar a recordar relaciones e identidades trigonométricas.
• Seno, coseno, tangente

Referencias

1. V. Vodney y otros: Fórmulas matemáticas fundamentales, Editorial Euro-Omega, Madrid 1995, pág. 29
2. Trigonometría (Segunda edición). Limusa(Noriega editores). ISBN 968-18-5617-1.  El recuadro se parece mucho pero el libro tiene un lapsus en la última casilla.

Bibliografía

• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos

• Algunas identidades extras más varios ejercicios resueltos.
• Prueba visual del seno de la suma. Prueba visual del teorema del seno.
• Trigonometría Fácil: El Hexágono Trigonométrico.
• Tabla de Identidades Trigonométricas para imprimir.

•   Datos: Q273008
•   Multimedia: Trigonometric identities