Imagen (matemática)

En matemáticas, la imagen, campo de valores o rango de una función ${\displaystyle f\colon X\to Y\,}$, también llamada la imagen de ${\displaystyle X}$ bajo ${\displaystyle f}$, es el conjunto contenido en ${\displaystyle Y}$ formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función.

Ejemplo de imagen: La imagen del conjunto X es el conjunto Y, porque todos sus valores son imagen de alguno del conjunto X. Imágenes particulares de los valores: la imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será C y la de 4 será C también.

Ejemplo de Subconjunto imagen: Subconjunto imagen de X (D,B,A) dentro del conjunto Y (aquí Y no es imagen de X, porque no todos sus valores son imagen de algún valor del conjunto de X). Imágenes particulares de los valores: La imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será A, y C no es imagen de nadie (no tiene antiimagen).

Se puede denotar como ${\displaystyle {\rm {{im}(f)\,}}}$, ${\displaystyle f(X)}$, ${\displaystyle \operatorname {Im} _{f}\,}$ o bien ${\displaystyle I_{f}\,}$ y formalmente está definida por:

${\displaystyle \operatorname {Im} _{f}:=\left\{y\in Y\;|\;\exists x\in X,\;f(x)=y\right\}}$

Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si ${\displaystyle f:A\to B}$ es una función, entonces la imagen del elemento ${\displaystyle a\in A}$ es el elemento ${\displaystyle f(a)\in B}$.

Diferencia con el contradominio

 

El conjunto imagen siempre es un subconjunto del contradominio.

Es importante diferenciar el concepto de contradominio del concepto de conjunto imagen.

Si ${\displaystyle f:X\to Y}$  es una función, al conjunto ${\displaystyle Y}$  se le conoce como contradominio, mientras que el conjunto imagen consta únicamente de los valores que realmente toma.

Por ejemplo, la función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}}$  tiene por contradominio el conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$  (todos los números reales), pero como ${\displaystyle x^{2}}$  nunca toma valores negativos, el conjunto imagen está formado únicamente por los números reales no negativos y se representa con el conjunto:

${\displaystyle \operatorname {Im} _{f}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}}$ 

En general, el conjunto imagen es un subconjunto del codominio, y cuando el rango coincide con el codominio se dice que la función es sobreyectiva o suprayectiva.

Véase también

• Dominio
• Codominio

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Imagen (matemática)». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q860623