Arcotangente

En trigonometría, la arcotangente se define como la función inversa de la tangente de un ángulo. Simbolizada:

Función arcotangente
Gráfica de Función arcotangente
Definición	${\displaystyle \textstyle f{\mbox{ tal que }}f(\tan(x))=x}$ ${\displaystyle \forall x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$
Tipo	Trigonométrica inversa
Dominio	${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$
Codominio	${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$
Imagen	${\displaystyle \textstyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}$
Función inversa	${\displaystyle \textstyle \tan(x)\quad x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$
Límites	${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}\,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}\,}$
Funciones relacionadas	arcocoseno arcoseno
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${\displaystyle y=\arctan \alpha \,}$

su significado geométrico es el arco ${\displaystyle y}$ (en radianes) cuya tangente es ${\displaystyle \alpha }$.

La función tangente no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convención es preferible restringir el dominio de la función tangente al intervalo abierto ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$.

Notación

La notación matemática de la arcotangente es arctan; es común la escritura ambigua tan^-1. En diversos lenguajes de programación se suelen utilizar las formas ATN, ATAN, ARCTAN, ARCTG y ATG.

Propiedades

Es una función continua y derivable, de clase ${\displaystyle C^{\infty }}$  (es decir, existen sus derivadas de todos los órdenes).

Es una función impar, o sea que ${\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan(x)}$ .

Algunos valores especiales

${\displaystyle \arctan(0)=0}$ 

${\displaystyle \arctan \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)={\frac {\pi }{6}}}$ 

${\displaystyle \arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}$ 

${\displaystyle \arctan({\sqrt {3}})={\frac {\pi }{3}}}$ 

Límites en infinito

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}}$ 

Derivadas y crecimiento

${\displaystyle (\arctan(x))'={\frac {1}{x^{2}+1}}}$ 

En particular, resulta ser una función estrictamente creciente.

${\displaystyle (\arctan(x))''=-{\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}}$ , que es positivo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$  y negativo en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ .

Integral indefinida

Utilizando el método de integración por partes puede calcularse una función primitiva de ${\displaystyle \arctan(x)}$ :

${\displaystyle \int \arctan(x)\ dx=}$  ${\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\ dx=}$  ${\displaystyle \arctan(x)\cdot x\ -\ \int x\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}dx=}$  ${\displaystyle \arctan(x)\cdot x\ -\ {\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+1)\ +\ C}$ 

Serie de Maclaurin

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1.}$ 

Aplicaciones

En un triángulo rectángulo, la arcotangente equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y su cateto adyacente.

Véase también

• Trigonometría
• Función trigonométrica
• Identidad trigonométrica

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Arcotangente». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Arcocotangente». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q2257242
•   Multimedia: Arc tangent function