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Transformada de Legendre

En matemáticas se dice que dos funciones diferenciables f y g son una transformada de Legendre si cada una de sus primeras derivadas son función inversa de la otra:

Interpretación geométrica de la Transformada de Legendre.

Se dice entonces de f y g que están relacionadas por una transformada de Legendre. Son unívocas hasta una constante aditiva que normalmente se fija mediante el requisito adicional de que

La transformada de Legendre es su propia inversa, y está relacionada con la integración por partes. Dicha transformada se puede generalizar a la transformada de Legendre-Fenchel. Una transformada de Legendre da como resultado una nueva función, en la que se sustituye una o más variables independientes con la derivada de la función original respecto a esa variable. Reciben su nombre debido a Adrien-Marie Legendre.

Motivación

En ciertos problemas matemáticos o físicos es deseable expresar una cierta magnitud f (como la energía interna) como función diferente g en que los argumentos sean precisamente las derivadas de la función respecto a las antiguas variables. Si designamos al nuevo argumento y se tiene que la relación con el viejo argumento es y = df/dx.
La transformación de Legendre permite la construcción anterior, mediante el teorema de la función implícita, de una nueva función g que satisface los requisitos anteriores:

 


Donde   es la función original y   es el operador transformada de Legendre. Una función   admite transformada de Legendre, si existe su derivada segunda y no se anula nunca:
En esas condiciones el Teorema de la Función Implícita aplicado a la función:

 


garantiza que existe la función diferenciable, x(y).

Aplicaciones a los potenciales termodinámicos

La estrategia tras el uso de las transformadas de Legendre es cambiar la dependencia de una función de una variable independiente a otra función (la derivada de la función original con respecto a su variable independiente) tomando la diferencia entre la función original y su producto. Se usan para realizar transformaciones entre los diversos potenciales termodinámicos.

Por ejemplo, mientras las energía interna es una función explícita de las variables extensivas, entropía, volumen (y composición química)

 

la entalpía es otra función de estado que puede construirse como la transformada de Legendre de la energía interna U con respecto a −PV

 
 

se convierte en función de la entropía y la cantidad intensiva, presión, como variables naturales, y es útil cuando la P (externa) es constante. La transformación estará definida siempre que sea posible "invertir" el volumen en función de la presión y la entropía, cosa que requiere que:

 

Donde βs es la compresibilidad adiabática.

Las energías libres (Helmholtz y Gibbs se obtienen mediante sucesivas transformadas de Legendre, eliminando TS (de U y H, respectivamente), cambiando la dependencia de la entropía S a su variable conjugada intensiva temperatura T, y es útil cuando ésta es constante.

Aplicaciones a la electrotecnia

Otro ejemplo de la física: considere un condensador de placas plano-paralelas cuyas placas puedan aproximarse o alejarse una de otra, intercambiando trabajo con fuerzas mecánicas externas que mantienen la separación de las placas (análogo a un gas en un cilindro con un pistón. Queremos que la fuerza atractiva f entre las placas sea función de la separación variable x (Los dos vectores espaciales apuntan en sentidos opuestos). Si las cargas de las placas se mantienen constantes mientras se mueven, la fuerza es el gradiente negativo de la energía electrostática.

 

Sin embargo, si se mantiene constante el voltaje entre las placas V conectando una batería, que es una reserva de carga a diferencia de potencial constante, la fuerza se convierte en el gradiente negativo de la transformada de Legendre

 

Las dos funciones resultan ser negativas solo por la linealidad de la capacitancia. Por supuesto, para una carga, voltaje y distancia dadas, la fuerza estática debe ser la misma mediante cualquier cálculo ya que las placas no pueden "saber" qué se mantendrá constante mientras se mueven.

Aplicaciones en mecánica clásica

En mecánica clásica se usa una transformada de Legendre para derivar la formulación hamiltoniana partiendo de la formulación lagrangiana, y viceversa.

Eso es posible, puesto que la función lagrangiana o lagrangiano que aparece en la formulación lagrangiana es un función explícita de las coordenadas posicionales qj y las velocidades generalizadas dqj /dt (y tiempo). Por su parte la función de Hamilton o hamiltoniano que aparece en la formulación hamiltoniana es función explícita de las coordenadas posicionales y los momentos. El punto importante es que los momentos pueden ser obtenidos como derivadas del lagrangiano:

 


con lo cual estamos en las condiciones para construir el hamiltoniano a partir del lagrangiano (siempre y cuando además se cumpla la condición requerida por el teorema de la función implícita). En esas condiciones el hamiltoniano viene dado como transformación de Legendre del lagrangiano:

 


La transformación anterior es posible que el lagrangiano en cada punto del espacio de configuración sea una forma bilineal cuadrática no-degenerada de las velocidades puesto que en ese caso, la condición de existencia de la inversa   está automáticamente garantizada por el teorema de la función implícita ya que:

 


Cada una de las dos formulaciones de la mecánica clásica tiene su propio campo de aplicación, tanto en los fundamentos teóricos del tema como en la práctica, dependiendo de la sencillez de cómputo de un problema en particular. Las coordenadas no tienen necesariamente que ser rectilíneas o cartesinas, sino también ángulos, etc. Una opción óptima tomaría ventaja de las simetrías físicas reales.

Ejemplos

 
Ejemplo de una transformada de Legendre para una función cuadrática. En la figura de arriba se muestra la recta tangente de dicha curva y, abajo, la gráfica de la transformada de Legendre para esta función. Con código de color se observa que la transformada de Legendre depende de la pendiente de la recta tangente y su valor corresponde a la distancia entre la curva original y la distancia donde la recta tangente corta al eje vertical.

La función exponencial ex tiene a  x ln x − x  como transformada de Legendre, dado que las primeras derivadas respectivas ex y ln x son inversa una de la otra. Este ejemplo muestra que los dominios respectivos de una función y su transformada de Legendre no tienen por qué coincidir.

De forma similar, la forma cuadrática

 

donde A es una matriz simétrica invertible de n por n, tiene por transformada de Legendre a

 

Transformada de Legendre en una dimensión

En una dimensión, se puede encontrar la transformada de Legendre de una función f : R → R con primera derivada invertible usando la fórmula

 

Se puede ver esto como la integración de ambos lados de la condición definitoria restringida a una dimensión

 

de x0 a x1, haciendo uso del teorema fundamental del cálculo en el lado izquierdo y sustituyendo

 

en el lado derecho para encontrar

 

donde g′(y0) = x0, g′(y1) = x1. Usando integración por partes la última integral se simplifica como

 

Por tanto,

 

Dado que el lado izquierdo de esta ecuación sólo depende de x1 y el derecho sólo de x0, tienen que evaluar a la misma constante.

 

Resolviendo para g y escogiendo que C sea cero obtenemos la fórmula mencionada anteriormente.

Interpretación geométrica

Para una función estrictamente convexa, se puede interpretar la transformada de Legendre como una correspondencia entre la gráfica de la función y la familia de tangentes de la gráfica. (Para una función de una variable, las tangentes están bien definidas en todos los puntos excepto para un conjunto numerable de ellos, dado que una función convexa es diferenciable en todos sus puntos excepto en una cantidad numerable de ellos.)

La ecuación de una línea con pendiente m y punto b de corte del eje de las ordenadas la da

 

Para que esta línea sea tangente a la gráfica de una función f en el punto (x0, f(x0)) se precisa que

 

y

 

f es estrictamente monótona ya que es la derivada de una función estrictamente convexa, y la segunda función se puede resolver para x0, permitiendo eliminar x0 de la primera, dejando el término b' de la tangente como función de su pendiente m:

 

Aquí f* denota la transformada de Legendre de f.

La familia de tangentes de la gráfica de f la da por tanto, parametrizada por m,

 

o, escrito de forma explícita, viene dada por las soluciones de la ecuación

 

La gráfica de la función original se puede reconstruir partiendo de esta familia de líneas como la envolvente de esta familia exigiendo que

 

Eliminando m de estas dos ecuaciones obtenemos

 

Identificando y con f(x) y reconociendo el lado derecho de la ecuación anterior como la transformada de Legendre de f*, encontramos que

 

Transformada de Legendre en más de una dimensión

Para una función real diferenciable sobre un subconjunto abierto U de Rn, el conjugado de Legendre del par (U, f) se define como el par (V, g), donde V es la imagen de U según la función gradiente Df, y g es la función sobre V dada por la fórmula

 

donde

 

es el producto escalar sobre Rn.

De forma alternativa, si X es un espacio vectorial real e Y es un espacio dual, entonces para cada punto   e  , existe una identificación natural de los espacios cotangentes T*Xx con Y y T*Yy con X. Si f es una función real diferenciable sobre X, entonces, su derivada exterior df es una sección del fibrado cotangente T*X y como tal, podemos construir una correspondencia de X sobre Y. De forma similar, si g es una función real diferenciable sobre Y, dg define una correspondencia de Y sobre X. Si ambas correspondencias son inversas de la otra, decimos que tenemos una transformada de Legendre.

Más propiedades

En lo que sigue, la transformada de Legendre de una función f se denota como f*.

Propiedades de escalado

La transformada de Legendre tiene las siguientes propiedades de escala:

 
 

Se sigue de aquí que si una función es homogénea de grado r entonces su imagen bajo la transformada de Legendre es una función homogénea de grado s, donde 1/r + 1/s = 1.

Comportamiento ante traslación

 
 

Comportamiento ante inversión

 

Comportamiento ante transformaciones lineales

Sea A una transformación lineal de Rn en Rm. Para cualquier función convexa f sobre Rn, tenemos

 


donde A* es el adjunto de A definido por

 

Una función convexa cerrada f es simétrica con respecto a un conjunto dado G de transformaciones lineales ortogonales,

 

si y sólo si f* es simétrica con respecto a G.

Convolución infimal

La convolución infimal de dos funciones f y g se define como

 

Sean f1, …, fm funciones convexas propias sobre Rn. Entonces

 

Referencias

  •   Datos: Q908652
  •   Multimedia: Legendre transformation / Q908652

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En matematicas se dice que dos funciones diferenciables f y g son una transformada de Legendre si cada una de sus primeras derivadas son funcion inversa de la otra Interpretacion geometrica de la Transformada de Legendre D f D g 1 displaystyle Df left Dg right 1 Se dice entonces de f y g que estan relacionadas por una transformada de Legendre Son univocas hasta una constante aditiva que normalmente se fija mediante el requisito adicional de que f x g y x y displaystyle f x g y x y La transformada de Legendre es su propia inversa y esta relacionada con la integracion por partes Dicha transformada se puede generalizar a la transformada de Legendre Fenchel Una transformada de Legendre da como resultado una nueva funcion en la que se sustituye una o mas variables independientes con la derivada de la funcion original respecto a esa variable Reciben su nombre debido a Adrien Marie Legendre Indice 1 Motivacion 1 1 Aplicaciones a los potenciales termodinamicos 1 2 Aplicaciones a la electrotecnia 1 3 Aplicaciones en mecanica clasica 2 Ejemplos 3 Transformada de Legendre en una dimension 4 Interpretacion geometrica 5 Transformada de Legendre en mas de una dimension 6 Mas propiedades 6 1 Propiedades de escalado 6 2 Comportamiento ante traslacion 6 3 Comportamiento ante inversion 6 4 Comportamiento ante transformaciones lineales 6 5 Convolucion infimal 7 ReferenciasMotivacion EditarEn ciertos problemas matematicos o fisicos es deseable expresar una cierta magnitud f como la energia interna como funcion diferente g en que los argumentos sean precisamente las derivadas de la funcion respecto a las antiguas variables Si designamos al nuevo argumento y se tiene que la relacion con el viejo argumento es y df dx La transformacion de Legendre permite la construccion anterior mediante el teorema de la funcion implicita de una nueva funcion g que satisface los requisitos anteriores g y L f y x y y f x y displaystyle g y mathcal L f y x y y f x y Donde f x displaystyle f x es la funcion original y L C 2 D R C 2 D R displaystyle mathcal L C 2 D mathbb R to C 2 D mathbb R es el operador transformada de Legendre Una funcion f x displaystyle f x admite transformada de Legendre si existe su derivada segunda y no se anula nunca En esas condiciones el Teorema de la Funcion Implicita aplicado a la funcion F R 3 R F x y y d f d x displaystyle begin array lcr F mathbb R 3 amp to amp mathbb R F x y amp amp y frac df dx end array garantiza que existe la funcion diferenciable x y Aplicaciones a los potenciales termodinamicos Editar La estrategia tras el uso de las transformadas de Legendre es cambiar la dependencia de una funcion de una variable independiente a otra funcion la derivada de la funcion original con respecto a su variable independiente tomando la diferencia entre la funcion original y su producto Se usan para realizar transformaciones entre los diversos potenciales termodinamicos Por ejemplo mientras las energia interna es una funcion explicita de las variables extensivas entropia volumen y composicion quimica U U S V N i displaystyle U U S V N i la entalpia es otra funcion de estado que puede construirse como la transformada de Legendre de la energia interna U con respecto a PV H U P V H S P N i displaystyle H U PV H S P N i P U V S displaystyle P left frac partial U partial V right S se convierte en funcion de la entropia y la cantidad intensiva presion como variables naturales y es util cuando la P externa es constante La transformacion estara definida siempre que sea posible invertir el volumen en funcion de la presion y la entropia cosa que requiere que 0 2 U V 2 S P V S 1 b s V displaystyle 0 neq left frac partial 2 U partial V 2 right S left frac partial P partial V right S frac 1 beta s V Donde bs es la compresibilidad adiabatica Las energias libres Helmholtz y Gibbs se obtienen mediante sucesivas transformadas de Legendre eliminando TS de U y H respectivamente cambiando la dependencia de la entropia S a su variable conjugada intensiva temperatura T y es util cuando esta es constante Aplicaciones a la electrotecnia Editar Otro ejemplo de la fisica considere un condensador de placas plano paralelas cuyas placas puedan aproximarse o alejarse una de otra intercambiando trabajo con fuerzas mecanicas externas que mantienen la separacion de las placas analogo a un gas en un cilindro con un piston Queremos que la fuerza atractiva f entre las placas sea funcion de la separacion variable x Los dos vectores espaciales apuntan en sentidos opuestos Si las cargas de las placas se mantienen constantes mientras se mueven la fuerza es el gradiente negativo de la energia electrostatica U Q x 1 2 Q V displaystyle U Q mathbf x begin matrix frac 1 2 end matrix QV Sin embargo si se mantiene constante el voltaje entre las placas V conectando una bateria que es una reserva de carga a diferencia de potencial constante la fuerza se convierte en el gradiente negativo de la transformada de Legendre U Q V 1 2 Q V displaystyle U QV begin matrix frac 1 2 end matrix QV Las dos funciones resultan ser negativas solo por la linealidad de la capacitancia Por supuesto para una carga voltaje y distancia dadas la fuerza estatica debe ser la misma mediante cualquier calculo ya que las placas no pueden saber que se mantendra constante mientras se mueven Aplicaciones en mecanica clasica Editar En mecanica clasica se usa una transformada de Legendre para derivar la formulacion hamiltoniana partiendo de la formulacion lagrangiana y viceversa Eso es posible puesto que la funcion lagrangiana o lagrangiano que aparece en la formulacion lagrangiana es un funcion explicita de las coordenadas posicionales qj y las velocidades generalizadas dqj dt y tiempo Por su parte la funcion de Hamilton o hamiltoniano que aparece en la formulacion hamiltoniana es funcion explicita de las coordenadas posicionales y los momentos El punto importante es que los momentos pueden ser obtenidos como derivadas del lagrangiano p j L q i q i q j displaystyle p j frac partial L q i dot q i partial dot q j con lo cual estamos en las condiciones para construir el hamiltoniano a partir del lagrangiano siempre y cuando ademas se cumpla la condicion requerida por el teorema de la funcion implicita En esas condiciones el hamiltoniano viene dado como transformacion de Legendre del lagrangiano H q j p j t i q i p i L q j q j t i q i q i p i p i L q j q j q i p i t displaystyle H left q j p j t right sum i dot q i p i L q j dot q j t sum i dot q i q i p i p i L q j dot q j q i p i t La transformacion anterior es posible que el lagrangiano en cada punto del espacio de configuracion sea una forma bilineal cuadratica no degenerada de las velocidades puesto que en ese caso la condicion de existencia de la inversa q j q j p j q j displaystyle dot q j dot q j p j q j esta automaticamente garantizada por el teorema de la funcion implicita ya que 2 L q j 2 a j j 0 displaystyle frac partial 2 L partial dot q j 2 a jj neq 0 Cada una de las dos formulaciones de la mecanica clasica tiene su propio campo de aplicacion tanto en los fundamentos teoricos del tema como en la practica dependiendo de la sencillez de computo de un problema en particular Las coordenadas no tienen necesariamente que ser rectilineas o cartesinas sino tambien angulos etc Una opcion optima tomaria ventaja de las simetrias fisicas reales Ejemplos Editar Ejemplo de una transformada de Legendre para una funcion cuadratica En la figura de arriba se muestra la recta tangente de dicha curva y abajo la grafica de la transformada de Legendre para esta funcion Con codigo de color se observa que la transformada de Legendre depende de la pendiente de la recta tangente y su valor corresponde a la distancia entre la curva original y la distancia donde la recta tangente corta al eje vertical La funcion exponencial ex tiene a x ln x x como transformada de Legendre dado que las primeras derivadas respectivas ex y ln x son inversa una de la otra Este ejemplo muestra que los dominios respectivos de una funcion y su transformada de Legendre no tienen por que coincidir De forma similar la forma cuadratica u x 1 2 x t A x displaystyle u x begin matrix frac 1 2 end matrix x t A x donde A es una matriz simetrica invertible de n por n tiene por transformada de Legendre a v y 1 2 y t A 1 y displaystyle v y begin matrix frac 1 2 end matrix y t A 1 y Transformada de Legendre en una dimension EditarEn una dimension se puede encontrar la transformada de Legendre de una funcion f R R con primera derivada invertible usando la formula g y y x f x x f 1 y displaystyle g y y x f x x f prime 1 y Se puede ver esto como la integracion de ambos lados de la condicion definitoria restringida a una dimension f x g 1 x displaystyle f prime x g prime 1 x de x0 a x1 haciendo uso del teorema fundamental del calculo en el lado izquierdo y sustituyendo y g 1 x displaystyle y g prime 1 x en el lado derecho para encontrar f x 1 f x 0 y 0 y 1 y g y d y displaystyle f x 1 f x 0 int y 0 y 1 y g prime prime y dy donde g y0 x0 g y1 x1 Usando integracion por partes la ultima integral se simplifica como y 1 g y 1 y 0 g y 0 y 0 y 1 g y d y y 1 x 1 y 0 x 0 g y 1 g y 0 displaystyle y 1 g prime y 1 y 0 g prime y 0 int y 0 y 1 g prime y dy y 1 x 1 y 0 x 0 g y 1 g y 0 Por tanto f x 1 g y 1 y 1 x 1 f x 0 g y 0 y 0 x 0 displaystyle f x 1 g y 1 y 1 x 1 f x 0 g y 0 y 0 x 0 Dado que el lado izquierdo de esta ecuacion solo depende de x1 y el derecho solo de x0 tienen que evaluar a la misma constante f x g y y x C x g y f 1 y displaystyle f x g y y x C x g prime y f prime 1 y Resolviendo para g y escogiendo que C sea cero obtenemos la formula mencionada anteriormente Interpretacion geometrica EditarPara una funcion estrictamente convexa se puede interpretar la transformada de Legendre como una correspondencia entre la grafica de la funcion y la familia de tangentes de la grafica Para una funcion de una variable las tangentes estan bien definidas en todos los puntos excepto para un conjunto numerable de ellos dado que una funcion convexa es diferenciable en todos sus puntos excepto en una cantidad numerable de ellos La ecuacion de una linea con pendiente m y punto b de corte del eje de las ordenadas la da y m x b displaystyle y mx b Para que esta linea sea tangente a la grafica de una funcion f en el punto x0 f x0 se precisa que f x 0 m x 0 b displaystyle f left x 0 right mx 0 b y m f x 0 displaystyle m f prime left x 0 right f es estrictamente monotona ya que es la derivada de una funcion estrictamente convexa y la segunda funcion se puede resolver para x0 permitiendo eliminar x0 de la primera dejando el termino b de la tangente como funcion de su pendientem b f f 1 m m f 1 m f m displaystyle b f left f prime 1 left m right right m cdot f prime 1 left m right f star m Aqui f denota la transformada de Legendre de f La familia de tangentes de la grafica de f la da por tanto parametrizada por m y m x f m displaystyle y mx f star m o escrito de forma explicita viene dada por las soluciones de la ecuacion F x y m y f m m x 0 displaystyle F x y m y f star m mx 0 La grafica de la funcion original se puede reconstruir partiendo de esta familia de lineas como la envolvente de esta familia exigiendo que F x y m m f m x 0 displaystyle partial F x y m over partial m f star prime m x 0 Eliminando m de estas dos ecuaciones obtenemos y x f 1 x f f 1 x displaystyle y x cdot f star prime 1 x f star left f star prime 1 x right Identificando y con f x y reconociendo el lado derecho de la ecuacion anterior como la transformada de Legendre de f encontramos que f x f x displaystyle f x f star star x Transformada de Legendre en mas de una dimension EditarPara una funcion real diferenciable sobre un subconjunto abierto U de Rn el conjugado de Legendre del par U f se define como el par V g donde V es la imagen de U segun la funcion gradiente Df y g es la funcion sobre V dada por la formula g y y x f x x D f 1 y displaystyle g y left langle y x right rangle f left x right x left Df right 1 y donde u v k 1 n u k v k displaystyle left langle u v right rangle sum k 1 n u k cdot v k es el producto escalar sobre Rn De forma alternativa si X es un espacio vectorial real e Y es un espacio dual entonces para cada punto x X displaystyle x in X e y Y displaystyle y in Y existe una identificacion natural de los espacios cotangentes T Xx con Y y T Yy con X Si f es una funcion real diferenciable sobre X entonces su derivada exterior df es una seccion del fibrado cotangente T X y como tal podemos construir una correspondencia de X sobre Y De forma similar si g es una funcion real diferenciable sobre Y dg define una correspondencia de Y sobre X Si ambas correspondencias son inversas de la otra decimos que tenemos una transformada de Legendre Mas propiedades EditarEn lo que sigue la transformada de Legendre de una funcion f se denota como f Propiedades de escalado Editar La transformada de Legendre tiene las siguientes propiedades de escala f x a g x f p a g p a displaystyle f x a cdot g x Rightarrow f star p a cdot g star left frac p a right f x g a x f p g p a displaystyle f x g a cdot x Rightarrow f star p g star left frac p a right Se sigue de aqui que si una funcion es homogenea de grado r entonces su imagen bajo la transformada de Legendre es una funcion homogenea de grado s donde 1 r 1 s 1 Comportamiento ante traslacion Editar f x g x b f p g p b displaystyle f x g x b Rightarrow f star p g star p b f x g x y f p g p p y displaystyle f x g x y Rightarrow f star p g star p p cdot y Comportamiento ante inversion Editar f x g 1 x f p p g 1 p displaystyle f x g 1 x Rightarrow f star p p cdot g star left frac 1 p right Comportamiento ante transformaciones lineales Editar Sea A una transformacion lineal de Rn en Rm Para cualquier funcion convexa f sobre Rn tenemos A f f A displaystyle left Af right star f star A star donde A es el adjunto de A definido por A x y x A y displaystyle left langle Ax y star right rangle left langle x A star y star right rangle Una funcion convexa cerrada f es simetrica con respecto a un conjunto dado G de transformaciones lineales ortogonales f A x f x x A G displaystyle f left Ax right f x forall x forall A in G si y solo si f es simetrica con respecto a G Convolucion infimal Editar La convolucion infimal de dos funciones f y g se define como f inf g x inf f x y g y y R n displaystyle left f star inf g right x inf left f x y g y y in mathbb R n right Sean f1 fm funciones convexas propias sobre Rn Entonces f 1 inf inf f m f 1 f m displaystyle left f 1 star inf cdots star inf f m right star f 1 star cdots f m star Referencias EditarAlberty R A 2001 Use of Legendre transforms in chemical thermodynamics Pure Appl Chem 73 8 pp 1349 1380 1 Arnol d Vladimir Igorevich 1989 Mathematical Methods of Classical Mechanics second edition Springer ISBN 0 387 96890 3 Rockafellar Ralph Tyrell 1996 Convex Analysis Princeton University Press ISBN 0 691 01586 4 Datos Q908652 Multimedia Legendre transformation Q908652 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Transformada de Legendre amp oldid 149108406, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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