Se entiende por método de integración a la integral de las diferentes técnicas elementales usadas (a veces de forma combinada) para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Así, dada una función , un método de integración nos permite encontrar otra función tal que:
El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más elaborado que el problema de calcular la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental tal que:
Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse por los métodos de integración correspondientes.
Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto requiere conocer de antemano una función que sea el resultado de la antiderivada de . Para ello se puede disponer de tablas como las presentadas a continuación:
Funciones trigonométricas
Funciones hiperbólicas
Funciones analíticas
El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que si
entonces
Integración por cambio de variable
Introducción
El método integración por sustitución o cambio de variable se utiliza para evaluar integrales. El método se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que permita convertir el integrando en algo sencillo. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena. Antes de enunciar el teorema, considere un ejemplo simple para integrales indefinidas.
Frecuentemente este método es utilizado pero no todas las integrales permiten el uso de este método, en los casos en los que sí es posible, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.
Para integrales definidas, los límites de integración deben cambiarse pues estos deben estar en términos de la nueva variable pero el procedimiento es similar.
Integrales definidas
Sea una función diferenciable con derivada continua donde es un intervalo, si es una función continua en entonces
Demostración
Sean y dos funciones tales que es continua en y es integrable en el intervalo cerrado entonces la función también es integrable en , por lo que las integrales
Antes de escribir el integrando en términos de la variable , hay que cambiar los límites de integración.
Si entonces .
Si entonces .
Por lo que la integral se convierte en
Ejemplo 2
Supóngase ahora que la integral a resolver es
Cuando las integrales son de tipo racional e involucran las funciones trigonométricas y/o , la sustitución conveniente resulta ser , conocida como la sustitución de Weierstrass, esta sustitución lleva a
Por una identidad conocida obtenemos
Y no es difícil ver que
por lo que la integral queda después de dicha sustitución:
En el cálculo y en general en el análisis matemático, integración por partes es el proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral de sus derivadas y antiderivadas. Frecuentemente usado para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada, por lo cual, una solución puede ser hallada más fácilmente.
El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema
Teorema
Si y son funciones continuas entonces
Típicamente se encuentra la fórmula como sigue:
Si y entonces
Demostración
La fórmula de integración por partes puede ser obtenida de la siguiente manera.
La integración por partes es útil cuando la función a integrar puede considerarse como el producto de una función , cuya derivada es más sencilla que , por otra función que claramente es de la forma .
Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función de acuerdo con el orden, ayudándose de la regla mnemotécnica "ILATE":[cita requerida]
Inversa trigonométrica: ...
Logarítmicas: ...
Algebraicas o polinómicas: ...
Trigonométricas: ...
Exponencial: o siendo .
Otra recomendación sería cambiar el orden de trigonométrica y exponencial. Si seguimos esta otra recomendación podemos usar la regla mnemotécnica ALPES, asignándole el puesto de u de acuerdo con el orden de aparición:
Procediendo por el método de integración por partes se tiene que
luego
Ejemplo 3
El segundo truco consiste en utilizar la integración por partes para hallar en función de y después despejar en la ecuación resultante.
Se desea calcular la integral
Procediendo por el método de integración por partes se tiene que
Entonces
Fórmulas de Reducción
Utilizando el método de integración por partes puede demostrarse que
para con .
Integrales de funciones trigonométricas
Integrales que contiene potencias de senos y cosenos
Buscamos calcular la integral
siendo .
En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene solo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o solo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.
Tenemos los siguientes tres casos.
Cuando es impar
Cuando es impar entonces es la forma , podemos apartar un factor del seno y en el factor elevado a la potencia par, sustituirlo por la identidad , es decir
Al tener la integral de esta forma, podemos realizar el siguiente cambio de variable
Reemplazando obtendremos
Cuando es impar
Cuando es impar entonces es de la forma , podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear la identidad en el factor elevado a la potencia par, es decir
Al hacer el cambio de variable
Tendremos que
Cuando y son pares
Cuando y son números pares entonces pueden ser escritos como y respectivamente, podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo
y en ocasiones, es útil usar la identidad:
por lo que
Ejemplo
Se desea calcular
Nótese que la potencia impar la tiene la función seno, por lo que estamos en el primer caso siendo y , si aplicamos la fórmula
donde entonces
Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes
Buscamos calcular la integral
siendo .
Se puede usar una estrategia similar a la anterior.
Dado que
se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad . O bien, dado que
se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
Tenemos los siguientes tres casos.
Cuando es par
Si es par entonces se puede escribir de la forma , separamos un factor de y utilizamos la identidad , es decir
Al hacer el cambio de variable
la integral se transforma en
Cuando es impar
Si es par entonces puede escribirse de la forma , el truco está en separar un factor de y emplear la identidad , es decir
Al hacer eso cambio de variable
entonces la integral se transforma en
La tangente tiene potencia par
Supóngase que sólo se desea integrar la función siendo un número par entonces
La secante tiene potencia impar
Si sólo la función a integrar es la función siendo un número impar entonces para calcular
se procede por el método de integración por partes.
Procediendo por el método de integración por partes
Se tiene que
Ninguno de los anteriores
Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores, se traslada a y recordando que
Para otros casos, las directrices no son tan claras, podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocasionalmente, un poco de inventiva.
A veces será necesario poder integrar por medio de la fórmula establecida:
Se necesitará también la integral indefinida de la secante:
Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:
Primero se mutiplican numerador y denominador por la función , es decir
Al realizar el cambio de variable
por lo que la integral se convierte en:
Por lo tanto
NOTA: Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes, sólo basta recordar la identidad
Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios:
Si el denominador es un polinómico mónico con kraíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:
Si entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:
Por lo que la integral de la función es una combinación lineal de funciones de la forma:
Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.
La integración numérica comprende una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida. A efectos prácticos se usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
Notas
Para cada función f(x) existe una infinidad de funciones que tienen a f(x) por derivada, y por tanto hay una infinidad de soluciones a la integral ∫f(x) dx. Todas estas soluciones son difieren por una constante sin calcular. Por ejemplo: x²+5, x²-20, x²+ 13.41 son tres soluciones para ∫ 2x dx-. De este modo, si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier función de la forma F(x)+C también lo es. Esto se representa como ∫ f(x)dx = F(x)+C pero por simplicidad de la presentación se omite la constante arbitraria C en cada uno de los ejemplos.
Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231. Available in translation as Fourier, Joseph (1878), The analytical theory of heat, Freeman, Alexander (trans.), Cambridge University Press, pp. 200-201.
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899), Gerhardt, Karl Immanuel, ed., Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller.
Integrales resueltas usando técnicas de integración en wikimatematica.org
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Integración por Partes
Explicación: Método de integración por partes
Integración por Sustitución Simple
Integración por Sustitución Trigonométrica
Datos:Q273328
Agosto 03, 2021
métodos, integración, entiende, método, integración, integral, diferentes, técnicas, elementales, usadas, veces, forma, combinada, para, calcular, antiderivada, integral, indefinida, función, así, dada, función, displaystyle, método, integración, permite, enco. Se entiende por metodo de integracion a la integral de las diferentes tecnicas elementales usadas a veces de forma combinada para calcular una antiderivada o integral indefinida de una funcion Asi dada una funcion f x displaystyle f x un metodo de integracion nos permite encontrar otra funcion F x displaystyle F x tal que F x f x d x displaystyle F x int f x mathrm d x lo cual por el teorema fundamental del calculo equivale a hallar una funcion F x displaystyle F x tal que f x displaystyle f x sea su derivada n 1 d F x d x f x displaystyle frac d F x dx f x Indice 1 Generalidades 2 Integracion directa 2 1 Funciones trigonometricas 2 2 Funciones hiperbolicas 3 Funciones analiticas 4 Integracion por cambio de variable 4 1 Introduccion 4 2 Integrales definidas 4 3 Demostracion 4 4 Ejemplos 4 4 1 Ejemplo 1 4 4 2 Ejemplo 2 5 Integracion por Partes 5 1 Teorema 5 2 Demostracion 5 3 Recomendaciones 5 4 Ejemplos 5 4 1 Ejemplo 1 5 4 2 Ejemplo 2 5 4 3 Ejemplo 3 5 5 Formulas de Reduccion 6 Integrales de funciones trigonometricas 6 1 Integrales que contiene potencias de senos y cosenos 6 1 1 Cuando n displaystyle n es impar 6 1 2 Cuando m displaystyle m es impar 6 1 3 Cuando m displaystyle m y n displaystyle n son pares 6 1 4 Ejemplo 6 2 Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes 6 2 1 Cuando n displaystyle n es par 6 2 2 Cuando m displaystyle m es impar 6 2 3 La tangente tiene potencia par 6 2 4 La secante tiene potencia impar 6 2 5 Ninguno de los anteriores 6 3 Sustitucion de Weierstrass 7 Integrales de funciones racionales 8 Integracion numerica 9 Notas 10 Vease tambien 11 Bibliografia 12 Enlaces externos 12 1 VideosGeneralidades EditarEl problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho mas elaborado que el problema de calcular la derivada de una funcion De hecho no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una funcion elemental es mas la primitiva de muchas funciones elementales no es ninguna funcion elemental Por ejemplo no existe ninguna funcion elemental F x displaystyle F x tal que F x e x 2 d x displaystyle F x int e x 2 dx Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo polinomicas fracciones racionales trigonometricas etc entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse por los metodos de integracion correspondientes Integracion directa EditarEn ocasiones es posible aplicar la relacion dada por el teorema fundamental del calculo de forma directa Esto requiere conocer de antemano una funcion F x displaystyle F x que sea el resultado de la antiderivada de f x displaystyle f x Para ello se puede disponer de tablas como las presentadas a continuacion d x x C x n d x x n 1 n 1 C n 1 d x x ln x C e x d x e x C a x d x a x ln a C a gt 0 a 1 ln x d x x ln x x C d x x 2 1 arctan x C d x x 2 a 2 1 2 a ln x a x a C d x a 2 x 2 1 2 a ln x a x a C d x a 2 x 2 arcsen x a C d x x x 2 a 2 1 a arcsec x a C displaystyle begin aligned amp int dx x C amp int x n dx frac x n 1 n 1 C quad n neq 1 amp int frac dx x ln x C amp int e x dx e x C amp int a x dx frac a x ln a C quad a gt 0 a neq 1 amp int ln x dx x ln x x C amp int frac dx x 2 1 arctan x C amp int frac dx x 2 a 2 frac 1 2a ln left frac x a x a right C amp int frac dx a 2 x 2 frac 1 2a ln left frac x a x a right C amp int frac dx sqrt a 2 x 2 operatorname arcsen left frac x a right C amp int frac dx x sqrt x 2 a 2 frac 1 a operatorname arcsec left frac x a right C end aligned Funciones trigonometricas Editar sen x d x cos x C cos x d x sen x C tan x d x ln sec x C ln cos x C cot x d x ln sen x C sec x d x ln sec x tan x C csc x d x ln csc x cot x C sec 2 x d x tan x C csc 2 x d x cot x C sec x tan x d x sec x C csc x cot x d x csc x C displaystyle begin aligned amp int operatorname sen x dx cos x C amp int cos x dx operatorname sen x C amp int tan x dx ln sec x C ln cos x C amp int cot x dx ln operatorname sen x C amp int sec x dx ln sec x tan x C amp int csc x dx ln csc x cot x C amp int sec 2 x dx tan x C amp int csc 2 x dx cot x C amp int sec x tan x dx sec x C amp int csc x cot x dx csc x C end aligned Funciones hiperbolicas Editar senh x d x cosh x C cosh x d x senh x C tanh x d x ln cosh x C coth x d x ln senh x C sech x d x arctan senh x C csch x d x ln tanh x 2 C displaystyle begin aligned amp int operatorname senh x dx cosh x C amp int cosh x dx operatorname senh x C amp int tanh x dx ln cosh x C amp int coth x dx ln operatorname senh x C amp int operatorname sech x dx arctan operatorname senh x C amp int operatorname csch x dx ln left tanh left frac x 2 right right C end aligned Funciones analiticas EditarEl problema de integracion es trivial si se consideran funciones analiticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que si f x m 0 a m x x 0 m displaystyle f x sum m 0 infty a m x x 0 m entonces F x f x d x m 0 a m x x 0 m d x m 0 a m m 1 x x 0 m 1 displaystyle begin aligned F x amp int f x dx amp int sum m 0 infty a m x x 0 m dx amp sum m 0 infty frac a m m 1 x x 0 m 1 end aligned Integracion por cambio de variable EditarIntroduccion Editar El metodo integracion por sustitucion o cambio de variable se utiliza para evaluar integrales El metodo se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que permita convertir el integrando en algo sencillo Este metodo realiza lo opuesto a la regla de la cadena Antes de enunciar el teorema considere un ejemplo simple para integrales indefinidas Supongase que la integral a resolver es x 2 2 x 3 1 7 d x displaystyle int x 2 2x 3 1 7 dx Se hace el cambio de variable u 2 x 3 1 d u 6 x 2 d x displaystyle begin aligned u amp 2x 3 1 du amp 6x 2 dx end aligned Por lo que la integral se convierte en x 2 2 x 3 1 7 d x 1 6 2 x 3 1 7 u 7 6 x 2 d x d u 1 6 u 7 d u 1 6 u 8 8 C 2 x 3 1 8 48 C displaystyle begin aligned int x 2 2x 3 1 7 dx amp frac 1 6 int underbrace 2x 3 1 7 u 7 underbrace 6x 2 dx du amp frac 1 6 int u 7 du amp frac 1 6 left frac u 8 8 right C amp frac 2x 3 1 8 48 C end aligned donde C R displaystyle C in mathbb R es una constante arbitraria llamada constante de integracion Frecuentemente este metodo es utilizado pero no todas las integrales permiten el uso de este metodo en los casos en los que si es posible el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original d d x 2 x 3 1 8 48 C 1 48 8 2 x 3 1 7 6 x 2 x 2 2 x 3 1 7 displaystyle begin aligned frac d dx left frac 2x 3 1 8 48 C right amp frac 1 48 8 2x 3 1 7 6x 2 amp x 2 2x 3 1 7 end aligned Para integrales definidas los limites de integracion deben cambiarse pues estos deben estar en terminos de la nueva variable pero el procedimiento es similar Integrales definidas Editar Sea g a b I displaystyle g a b to I una funcion diferenciable con derivada continua donde I R displaystyle I subseteq mathbb R es un intervalo si f I R displaystyle f I to mathbb R es una funcion continua en I displaystyle I entonces a b f g x g x d x g a g b f u d u displaystyle int a b f g x g x dx int g a g b f u du Demostracion Editar Sean f displaystyle f y g displaystyle g dos funciones tales que f displaystyle f es continua en I displaystyle I y g displaystyle g es integrable en el intervalo cerrado a b displaystyle a b entonces la funcion f g x g x displaystyle f g x g x tambien es integrable en a b displaystyle a b por lo que las integrales a b f g x g x d x displaystyle int a b f g x g x dx y g a g b f u d u displaystyle int g a g b f u du existen hay que demostrar que ambas son iguales Dado que f displaystyle f es continua entonces tiene una antiderivada F displaystyle F la funcion compuesta F g displaystyle F circ g esta definida como g displaystyle g es diferenciable combinando la regla de la cadena y la definicion de antiderivada tenemos F g F g x g x f g x g x displaystyle left F circ g right F left g x right g x f left g x right g x utilizando el teorema fundamental del calculo dos veces obtenemos a b f g x g x d x a b F g x d x F g b F g a F g b F g a g a g b f u d u displaystyle begin aligned int a b f g x g x dx amp int a b left F circ g right x dx amp F circ g b F circ g a amp F left g b right F left g a right amp int g a g b f u du end aligned Ejemplos Editar Ejemplo 1 Editar Suponiendo que la integral a resolver es 2 3 x cos 2 x 2 3 d x displaystyle int 2 3 x cos 2x 2 3 dx Se hace el cambio de variable u 2 x 2 3 d u 4 x d x d u 4 x d x displaystyle begin aligned u amp 2x 2 3 du amp 4xdx frac du 4 amp xdx end aligned Antes de escribir el integrando en terminos de la variable u displaystyle u hay que cambiar los limites de integracion Si x 2 displaystyle x 2 entonces u 11 displaystyle u 11 Si x 3 displaystyle x 3 entonces u 21 displaystyle u 21 Por lo que la integral se convierte en 2 3 x cos 2 x 2 3 d x 1 4 11 21 cos u d u 1 4 sen u 11 21 sen 21 sen 11 4 displaystyle begin aligned int 2 3 x cos 2x 2 3 dx amp frac 1 4 int 11 21 cos udu amp frac 1 4 operatorname sen u bigg 11 21 amp frac operatorname sen 21 operatorname sen 11 4 end aligned Ejemplo 2 Editar Supongase ahora que la integral a resolver es 1 5 3 cos x d x displaystyle int frac 1 5 3 cos x dx Cuando las integrales son de tipo racional e involucran las funciones trigonometricas sen x displaystyle operatorname sen x y o cos x displaystyle cos x la sustitucion conveniente resulta ser u tan x 2 displaystyle u tan x 2 conocida como la sustitucion de Weierstrass esta sustitucion lleva a sen x 2 u 1 u 2 cos x 2 1 1 u 2 displaystyle operatorname sen left frac x 2 right frac u sqrt 1 u 2 quad qquad cos left frac x 2 right frac 1 sqrt 1 u 2 Por una identidad conocida obtenemos cos x cos 2 x 2 sen 2 x 2 1 1 u 2 2 u 1 u 2 2 1 u 2 1 u 2 displaystyle begin aligned cos x amp cos 2 left frac x 2 right operatorname sen 2 left frac x 2 right amp left frac 1 sqrt 1 u 2 right 2 left frac u sqrt 1 u 2 right 2 amp frac 1 u 2 1 u 2 end aligned Y no es dificil ver que d x 2 1 u 2 d u displaystyle dx frac 2 1 u 2 du por lo que la integral queda despues de dicha sustitucion 1 5 3 cos x d x 1 5 3 1 u 2 1 u 2 2 1 u 2 d u 2 2 u 2 8 d u d u u 2 4 1 2 arctan u 2 C 1 2 arctan 1 2 tan x 2 C displaystyle begin aligned int frac 1 5 3 cos x dx amp int frac 1 5 3 left frac 1 u 2 1 u 2 right frac 2 1 u 2 du amp int frac 2 2u 2 8 du amp int frac du u 2 4 amp frac 1 2 arctan left frac u 2 right C amp frac 1 2 arctan left frac 1 2 tan left frac x 2 right right C end aligned Integracion por Partes Editar Regla mnemotecnica Un Dia Vi Una Vaca Vestida De Uniforme En el calculo y en general en el analisis matematico integracion por partes es el proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en terminos de la integral de sus derivadas y antiderivadas Frecuentemente usado para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada por lo cual una solucion puede ser hallada mas facilmente El metodo de integracion por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema Teorema Editar Si f displaystyle f y g displaystyle g son funciones continuas entonces f x g x d x f x g x f x g x d x displaystyle int f x g x dx f x g x int f x g x dx a b f x g x d x f x g x a b a b f x g x d x displaystyle int a b f x g x dx f x g x bigg a b int a b f x g x dx Tipicamente se encuentra la formula como sigue Si u f x displaystyle u f x y v g x displaystyle v g x entonces u d v u v v d u displaystyle int udv uv int vdu a b u d v u v a b a b v d u displaystyle int a b udv uv bigg a b int a b vdu Demostracion Editar La formula de integracion por partes puede ser obtenida de la siguiente manera Supongamos que f x displaystyle f x y g x displaystyle g x son dos funciones continuas si omitimos los argumentos y solo escribimos f displaystyle f y g displaystyle g entonces por la regla del producto tenemos que d d x f g g d f d x f d g d x displaystyle frac d dx Big fg Big g frac df dx f frac dg dx que puede ser escrito como f d g d x d d x f g g d f d x displaystyle f frac dg dx frac d dx Big fg Big g frac df dx integrando ambas lados de la igualdad f d g d x d x d d x f g g d f d x d x d d x f g d x g d f d x d x f g g d f d x d x displaystyle begin aligned int f frac dg dx dx amp int left frac d dx Big fg Big g frac df dx right dx amp int frac d dx Big fg Big dx int g frac df dx dx amp fg int g frac df dx dx end aligned Esto es f x g x d x f x g x f x g x d x displaystyle int f x g x dx f x g x int f x g x dx Recomendaciones Editar La integracion por partes es util cuando la funcion a integrar puede considerarse como el producto de una funcion f displaystyle f cuya derivada es mas sencilla que f displaystyle f por otra funcion que claramente es de la forma g displaystyle g Desde un punto de vista didactico se recomienda escoger la funcion u displaystyle u de acuerdo con el orden ayudandose de la regla mnemotecnica ILATE cita requerida Inversa trigonometrica arctan x arcsec x displaystyle arctan x operatorname arcsec x Logaritmicas ln x log b x displaystyle ln x log b x Algebraicas o polinomicas x 2 3 x 50 displaystyle x 2 3x 50 Trigonometricas sen x tan x displaystyle operatorname sen x tan x Exponencial e x displaystyle e x o a x displaystyle a x siendo a R displaystyle a in mathbb R Otra recomendacion seria cambiar el orden de trigonometrica y exponencial Si seguimos esta otra recomendacion podemos usar la regla mnemotecnica ALPES asignandole el puesto de u de acuerdo con el orden de aparicion Arcoseno y cualquier trigonometrica inversa Logaritmica Polinomica Exponencial Seno coseno y cualquier trigonometrica Formulas mas generales de integracion por partes existen en Integral de Riemann Stieltjes y en Integracion de Lebesgue Stieltjes Ejemplos Editar Ejemplo 1 Editar En ocasiones un truco que a menudo funciona en la integracion por partes consiste en considerar que la funcion g x displaystyle g x o escoger a d v displaystyle dv como la constante 1 displaystyle 1 Se desea calcular la integral ln x d x displaystyle int ln x dx si procedemos por el metodo de integracion por partes entonces u ln x d v d x d u d x x v x displaystyle begin aligned u amp ln x amp dv amp dx du amp frac dx x amp v amp x end aligned luego ln x d x x ln x x x d x x ln x 1 d x x ln x x C displaystyle begin aligned int ln x dx amp x ln x int frac x x dx amp x ln x int 1 dx amp x ln x x C end aligned donde C R displaystyle C in mathbb R es una constante arbitraria llamada constante de integracion Ejemplo 2 Editar El segundo ejemplo es similar al anterior solo que ahora se desea integrar una funcion trigonometrica inversa arctan x d x displaystyle int arctan x dx Procediendo por el metodo de integracion por partes se tiene que u arctan x d v d x d u d x 1 x 2 v x displaystyle begin aligned u amp arctan x amp dv amp dx du amp frac dx 1 x 2 amp v amp x end aligned luego arctan x d x x arctan x x 1 x 2 d x x arctan x ln 1 x 2 2 C displaystyle begin aligned int arctan x dx amp x arctan x int frac x 1 x 2 dx 8pt amp x arctan x frac ln 1 x 2 2 C end aligned Ejemplo 3 Editar El segundo truco consiste en utilizar la integracion por partes para hallar f textstyle int f en funcion de f textstyle int f y despues despejar f textstyle int f en la ecuacion resultante Se desea calcular la integral ln x x d x displaystyle int frac ln x x dx Procediendo por el metodo de integracion por partes se tiene que u ln x d v d x x d u d x x v ln x displaystyle begin aligned u amp ln x amp dv amp frac dx x du amp frac dx x amp v amp ln x end aligned Entonces ln x x d x ln 2 x ln x x d x 2 ln x x d x ln 2 x ln x x d x ln 2 x 2 C displaystyle begin aligned int frac ln x x dx amp ln 2 x int frac ln x x dx 2 int frac ln x x dx amp ln 2 x int frac ln x x dx amp frac ln 2 x 2 C end aligned Formulas de Reduccion Editar Utilizando el metodo de integracion por partes puede demostrarse que sen n x d x 1 n sen n 1 x cos x n 1 n sen n 2 x d x cos n x d x 1 n cos n 1 x sen x n 1 n cos n 2 x d x d x x 2 1 n 1 2 n 2 x x 2 1 n 1 2 n 3 2 n 2 d x x 2 1 n 1 displaystyle begin aligned int operatorname sen n x dx amp frac 1 n operatorname sen n 1 x cos x frac n 1 n int operatorname sen n 2 x dx int cos n x dx amp frac 1 n cos n 1 x operatorname sen x frac n 1 n int cos n 2 x dx int frac dx x 2 1 n amp frac 1 2n 2 frac x x 2 1 n 1 frac 2n 3 2n 2 int frac dx x 2 1 n 1 end aligned para n 2 displaystyle n geq 2 con n Z displaystyle n in mathbb Z Integrales de funciones trigonometricas EditarIntegrales que contiene potencias de senos y cosenos Editar Buscamos calcular la integral sen n x cos m x d x displaystyle int operatorname sen n x cos m x dx siendo m n Z displaystyle m n in mathbb Z En general se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene solo un factor seno y el resto de la expresion en terminos de coseno o solo un factor coseno y el resto de la expresion en terminos de seno La identidad sen 2 x cos 2 x 1 displaystyle operatorname sen 2 x cos 2 x 1 permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno Tenemos los siguientes tres casos Cuando n displaystyle n es impar Editar Cuando n displaystyle n es impar entonces n displaystyle n es la forma n 2 k 1 displaystyle n 2k 1 podemos apartar un factor del seno y en el factor elevado a la potencia par sustituirlo por la identidad sen 2 x 1 cos 2 x displaystyle operatorname sen 2 x 1 cos 2 x es decir sen n x cos m x d x sen 2 k 1 x cos m x d x sen 2 k x cos m x sen x d x sen 2 x k cos m x sen x d x 1 cos 2 x k cos m x sen x d x displaystyle begin aligned int operatorname sen n x cos m x dx amp int operatorname sen 2k 1 x cos m x dx amp int operatorname sen 2k x cos m x operatorname sen x dx amp int left operatorname sen 2 x right k cos m x operatorname sen x dx amp int left 1 cos 2 x right k cos m x operatorname sen x dx end aligned Al tener la integral de esta forma podemos realizar el siguiente cambio de variable u cos x d u sen x d x displaystyle begin aligned u amp cos x du amp operatorname sen x dx end aligned Reemplazando obtendremos sen n x cos m x d x 1 u 2 k u m d u displaystyle begin aligned int operatorname sen n x cos m x dx int left 1 u 2 right k u m du end aligned Cuando m displaystyle m es impar Editar Cuando m displaystyle m es impar entonces m displaystyle m es de la forma m 2 k 1 displaystyle m 2k 1 podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear la identidadcos 2 x 1 sen 2 x displaystyle cos 2 x 1 operatorname sen 2 x en el factor elevado a la potencia par es decir sen n x cos m x d x sen n x cos 2 k 1 x d x sen n x cos 2 k x cos x d x sen n x cos 2 x k cos x d x sen n x 1 sen 2 x k cos x d x displaystyle begin aligned int operatorname sen n x cos m x dx amp int operatorname sen n x cos 2k 1 x dx amp int operatorname sen n x cos 2k x cos x dx amp int operatorname sen n x left cos 2 x right k cos x dx amp int operatorname sen n x left 1 operatorname sen 2 x right k cos x dx end aligned Al hacer el cambio de variable u sen x d u cos x d x displaystyle begin aligned u amp operatorname sen x du amp cos x dx end aligned Tendremos que sen n x cos m x d x u n 1 u 2 k d u displaystyle begin aligned int operatorname sen n x cos m x dx int u n left 1 u 2 right k du end aligned Cuando m displaystyle m y n displaystyle n son pares Editar Cuando m displaystyle m y n displaystyle n son numeros pares entonces pueden ser escritos como n 2 k displaystyle n 2k y m 2 p displaystyle m 2p respectivamente podemos aplicar las identidades de la mitad de angulo sen 2 x 1 cos 2 x 2 displaystyle operatorname sen 2 x frac 1 cos 2x 2 cos 2 x 1 cos 2 x 2 displaystyle cos 2 x frac 1 cos 2x 2 y en ocasiones es util usar la identidad 2 sen x cos x sen 2 x displaystyle 2 operatorname sen x cos x operatorname sen 2x por lo que sen n x cos m x d x sen 2 k x cos 2 p x d x sen 2 x k cos 2 x p d x 1 cos 2 x 2 k 1 cos 2 x 2 p d x displaystyle begin aligned int operatorname sen n x cos m x dx amp int operatorname sen 2k x cos 2p x dx amp int left operatorname sen 2 x right k left cos 2 x right p dx amp int left frac 1 cos 2x 2 right k left frac 1 cos 2x 2 right p dx end aligned Ejemplo Editar Se desea calcular sen 5 x cos 2 x d x displaystyle int operatorname sen 5 x cos 2 x dx Notese que la potencia impar la tiene la funcion seno por lo que estamos en el primer caso siendo n 5 displaystyle n 5 y m 2 displaystyle m 2 si aplicamos la formula sen n x cos m x d x 1 u 2 k u m d u displaystyle begin aligned int operatorname sen n x cos m x dx int left 1 u 2 right k u m du end aligned donde u cos x displaystyle u cos x entonces sen 5 x cos 2 x d x 1 u 2 2 u 2 d u 1 2 u 2 u 4 u 2 d u u 2 2 u 4 u 6 d u u 3 3 2 u 5 5 u 7 7 C cos 3 x 3 2 cos 5 x 5 cos 7 x 7 C displaystyle begin aligned int operatorname sen 5 x cos 2 x dx amp int left 1 u 2 right 2 u 2 du amp int left 1 2u 2 u 4 right u 2 du amp int left u 2 2u 4 u 6 right du amp frac u 3 3 frac 2u 5 5 frac u 7 7 C amp frac cos 3 x 3 frac 2 cos 5 x 5 frac cos 7 x 7 C end aligned Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes Editar Buscamos calcular la integral sec n x tan m x d x displaystyle int sec n x tan m x dx siendo n m Z displaystyle n m in mathbb Z Se puede usar una estrategia similar a la anterior Dado que d d x tan x sec 2 x displaystyle frac d dx tan x sec 2 x se puede separar un factor sec 2 x displaystyle sec 2 x y convertir la potencia restante par de la secante en una expresion relacionada con la tangente por medio de la identidad sec 2 x 1 tan 2 x displaystyle sec 2 x 1 tan 2 x O bien dado que d d x sec x sec x tan x displaystyle frac d dx sec x sec x tan x se puede separar un factor sec x tan x displaystyle sec x tan x y convertir la potencia restante par de tangente a secante Tenemos los siguientes tres casos Cuando n displaystyle n es par Editar Si n displaystyle n es par entonces se puede escribir de la forma n 2 k displaystyle n 2k separamos un factor de sec 2 x displaystyle sec 2 x y utilizamos la identidad sec 2 x 1 tan 2 x displaystyle sec 2 x 1 tan 2 x es decir sec n x tan m x d x sec 2 k x tan m x d x sec 2 k 2 x tan m x sec 2 x d x sec 2 k 1 x tan m x sec 2 x d x sec 2 x k 1 tan m x sec 2 x d x 1 tan 2 x k 1 tan m x sec 2 x d x displaystyle begin aligned int sec n x tan m x dx amp int sec 2k x tan m x dx amp int sec 2k 2 x tan m x sec 2 x dx amp int sec 2 k 1 x tan m x sec 2 x dx amp int left sec 2 x right k 1 tan m x sec 2 x dx amp int left 1 tan 2 x right k 1 tan m x sec 2 x dx end aligned Al hacer el cambio de variable u tan x d u sec 2 x d x displaystyle begin aligned u amp tan x du amp sec 2 x dx end aligned la integral se transforma en sec n x tan m x d x 1 u 2 k 1 u m d u displaystyle int sec n x tan m x dx int left 1 u 2 right k 1 u m du Cuando m displaystyle m es impar Editar Si m displaystyle m es par entonces puede escribirse de la forma m 2 k 1 displaystyle m 2k 1 el truco esta en separar un factor de sec x tan x displaystyle sec x tan x y emplear la identidad tan 2 x sec 2 x 1 displaystyle tan 2 x sec 2 x 1 es decir sec n x tan m x d x sec n x tan 2 k 1 x d x sec n 1 x tan 2 k x sec x tan x d x sec n 1 x sec 2 x 1 k sec x tan x d x displaystyle begin aligned int sec n x tan m x dx amp int sec n x tan 2k 1 x dx amp int sec n 1 x tan 2k x sec x tan x dx amp int sec n 1 x left sec 2 x 1 right k sec x tan x dx end aligned Al hacer eso cambio de variable u sec x d u sec x tan x d x displaystyle begin aligned u amp sec x du amp sec x tan x dx end aligned entonces la integral se transforma en sec n x tan m x d x u n 1 u 2 1 k d u displaystyle int sec n x tan m x dx int u n 1 u 2 1 k du La tangente tiene potencia par Editar Supongase que solo se desea integrar la funcion tan n x displaystyle tan n x siendo n displaystyle n un numero par entonces tan n x d x tan 2 k x d x tan 2 k 2 x tan 2 x d x tan 2 k 2 x sec 2 x 1 d x tan 2 k 2 x sec 2 x d x tan 2 k 2 x d x displaystyle begin aligned int tan n x dx amp int tan 2k x dx amp int tan 2k 2 x tan 2 x dx amp int tan 2k 2 x left sec 2 x 1 right dx amp int tan 2k 2 x sec 2 x dx int tan 2k 2 x dx end aligned La secante tiene potencia impar Editar Si solo la funcion a integrar es la funcion sec n x displaystyle sec n x siendo n displaystyle n un numero impar entonces para calcular sec 2 k 1 x d x displaystyle int sec 2k 1 x dx se procede por el metodo de integracion por partes El ejemplo clasico de este caso consiste en hallar la integral de la secante cubica es decir sec 3 x d x displaystyle int sec 3 x dx Podemos reescribir el integrando como sec 3 x d x sec x sec 2 x d x displaystyle begin aligned int sec 3 x dx amp int sec x sec 2 x dx end aligned Procediendo por el metodo de integracion por partes u sec x d v sec 2 x d x d u sec x tan x d x v tan x displaystyle begin aligned u amp sec x amp dv amp sec 2 x dx du amp sec x tan x dx amp v amp tan x end aligned Se tiene que sec 3 x d x sec x sec 2 x d x sec x tan x sec x tan 2 x d x sec x tan x sec x sec 2 x 1 d x sec x tan x sec 3 x d x sec x d x 2 sec 3 x d x sec x tan x ln sec x tan x sec 3 x d x sec x tan x ln sec x tan x 2 C displaystyle begin aligned int sec 3 x dx amp int sec x sec 2 x dx amp sec x tan x int sec x tan 2 x dx amp sec x tan x int sec x left sec 2 x 1 right dx amp sec x tan x int sec 3 x dx int sec x dx 2 int sec 3 x dx amp sec x tan x ln sec x tan x int sec 3 x dx amp frac sec x tan x ln sec x tan x 2 C end aligned Ninguno de los anteriores Editar Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores se traslada a sen x displaystyle operatorname sen x y cos x displaystyle cos x recordando que tan x sen x cos x sec x 1 cos x csc x 1 sen x displaystyle begin aligned tan x amp frac operatorname sen x cos x sec x amp frac 1 cos x csc x amp frac 1 operatorname sen x end aligned Para otros casos las directrices no son tan claras podria ser necesario usar identidades integracion por partes y ocasionalmente un poco de inventiva A veces sera necesario poder integrar tan x displaystyle tan x por medio de la formula establecida tan x d x ln cos x C displaystyle int tan x dx ln cos x C Se necesitara tambien la integral indefinida de la secante sec x d x ln sec x tan x C displaystyle int sec x dx ln sec x tan x C Esta ultima se podria comprobar mediante la derivacion de lado derecho o como sigue Primero se mutiplican numerador y denominador por la funcion sec x tan x displaystyle sec x tan x es decir sec x d x sec x sec x tan x sec x tan x d x sec 2 x sec x tan x sec x tan x d x displaystyle begin aligned int sec xdx amp int sec x left frac sec x tan x sec x tan x right dx amp int frac sec 2 x sec x tan x sec x tan x dx end aligned Al realizar el cambio de variable u sec x tan x d u sec x tan x sec 2 x d x displaystyle begin aligned u amp sec x tan x du amp sec x tan x sec 2 x dx end aligned por lo que la integral se convierte en sec x d x d u u ln u C ln sec x tan x C displaystyle begin aligned int sec xdx amp int frac du u amp ln u C amp ln sec x tan x C end aligned Por lo tanto sec x d x ln sec x tan x C displaystyle int sec xdx ln sec x tan x C NOTA Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes la estrategia es analoga a la del par secantes tangentes solo basta recordar la identidad csc 2 x 1 cot 2 x displaystyle csc 2 x 1 cot 2 x Sustitucion de Weierstrass Editar La sustitucion de Weierstrass es una sustitucion que permite convertir una funcion racional de funciones trigonometricas en una funcion racional sin funciones trigonometricas Michael Spivak escribio que esta sustitucion era las sustitucion mas sigilosa del mundo Se desea evaluar una integral de la forma R sen x cos x d x displaystyle int R operatorname sen x cos x dx siendo R x y P x y Q x y displaystyle R x y frac P x y Q x y con P Q R x y displaystyle P Q in mathbb R x y Se hace el cambio de variable t tan x 2 displaystyle t tan left frac x 2 right por lo que sen x 2 t 1 t 2 displaystyle operatorname sen left frac x 2 right frac t sqrt 1 t 2 y cos x 2 1 1 t 2 displaystyle cos left frac x 2 right frac 1 sqrt 1 t 2 De donde se sigue que sen x 2 t 1 t 2 displaystyle operatorname sen x frac 2t 1 t 2 y cos x 1 t 2 1 t 2 displaystyle cos x frac 1 t 2 1 t 2 Y no es dificil ver que d x 2 t 2 1 d t displaystyle dx frac 2 t 2 1 dt Por lo que esta sustitucion permite reescribir la integral como R sen x cos x d x 2 R 2 t 1 t 2 1 t 2 1 t 2 1 t 2 1 d t displaystyle int R operatorname sen x cos x dx 2 int R left frac 2t 1 t 2 frac 1 t 2 1 t 2 right frac 1 t 2 1 dt Que resulta ser una funcion racional de integracion mecanica Integrales de funciones racionales EditarArticulo principal Anexo Integrales de funciones racionales Dada una funcion racional expresable como el cociente de dos polinomios f x P x Q x P x Q x R x displaystyle f x frac P x Q x qquad P x Q x in mathbb R x Si el denominador es un polinomico monico Q x displaystyle scriptstyle Q x con k raices diferentes entonces admitira la siguiente factorizacion en terminos de polinomio irreducibles Q x x r 1 m 1 x r 2 m 2 x r k m k x 2 s 1 x t 1 n 1 x 2 s l x t l n l k l m i n j N r p s p t p R displaystyle begin cases Q x x r 1 m 1 x r 2 m 2 dots x r k m k x 2 s 1 x t 1 n 1 dots x 2 s l x t l n l k l m i n j in mathbb N r p s p t p in mathbb R end cases Si gr P lt gr Q displaystyle scriptstyle mbox gr P lt mbox gr Q entonces la funcion racional puede escribirse como combinacion lineal de fracciones racionales de las formas f 1 x 1 x r i f 2 x 1 x r i u f 3 x 1 x 2 a 2 f 4 x 1 x 2 a 2 v f 5 x x x 2 a 2 f 6 x x x 2 a 2 w displaystyle begin matrix f 1 x frac 1 x r i amp f 2 x cfrac 1 x r i u f 3 x frac 1 x 2 a 2 amp f 4 x cfrac 1 x 2 a 2 v f 5 x frac x x 2 a 2 amp f 6 x cfrac x x 2 a 2 w end matrix Por lo que la integral de la funcion f x displaystyle scriptstyle f x es una combinacion lineal de funciones de la forma F 1 x ln x r i F 2 x 1 u x r i u 1 F 3 x 1 a arctan x a F 4 x 1 2 a 2 x v 1 x 2 a 2 v 1 2 v 3 v 1 d x x 2 a 2 v 1 F 5 x 1 2 ln x 2 a 2 F 6 x 1 2 w 1 x 2 a 2 w 1 displaystyle begin aligned F 1 x amp ln x r i F 2 x amp cfrac 1 u x r i u 1 F 3 x amp cfrac 1 a arctan left frac x a right F 4 x amp frac 1 2a 2 left cfrac x v 1 x 2 a 2 v 1 frac 2v 3 v 1 int frac dx x 2 a 2 v 1 right F 5 x amp cfrac 1 2 ln x 2 a 2 F 6 x amp cfrac 1 2 w 1 x 2 a 2 w 1 end aligned Observese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivacion pero no bajo la integracion Integracion numerica EditarArticulo principal Integracion numerica La integracion numerica comprende una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numerico de una integral definida A efectos practicos se usa cuando no se conoce un metodo analitico de integracion o la funcion primitiva resulta tan complicada que para una aplicacion practica resulta mas util buscar directamente su valor numerico El termino cuadratura numerica a menudo abreviado a cuadratura es mas o menos sinonimo de integracion numerica especialmente si se aplica a integrales de una dimension a pesar de que para el caso de dos o mas dimensiones integral multiple tambien se utiliza Notas Editar Para cada funcion f x existe una infinidad de funciones que tienen a f x por derivada y por tanto hay una infinidad de soluciones a la integral f x dx Todas estas soluciones son difieren por una constante sin calcular Por ejemplo x 5 x 20 x 13 41 son tres soluciones para 2x dx De este modo si F x es una antiderivada de f x cualquier funcion de la forma F x C tambien lo es Esto se representa como f x dx F x C pero por simplicidad de la presentacion se omite la constante arbitraria C en cada uno de los ejemplos Vease tambien EditarCalculo diferencial Calculo Integral Sustitucion Trigonometrica Sustitucion de WeierstrassBibliografia EditarLeithold L 1998 El Calculo 7a Edicion Mexico Oxford University Press Harla Mexico S A de C V Ron Larson R P 2006 Calculo con geometria analitica 8va Edicion Mexico McGraw Hill Apostol Tom M 1967 Calculus Vol 1 One Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra 2nd edicion Wiley ISBN 978 0 471 00005 1 Fourier Jean Baptiste Joseph 1822 Theorie analytique de la chaleur Chez Firmin Didot pere et fils p 231 Available in translation as Fourier Joseph 1878 The analytical theory of heat Freeman Alexander trans Cambridge University Press pp 200 201 Leibniz Gottfried Wilhelm 1899 Gerhardt Karl Immanuel ed Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern Erster Band Berlin Mayer amp Muller Rudin Walter 1987 Chapter 1 Abstract Integration Real and Complex Analysis International edicion McGraw Hill ISBN 978 0 07 100276 9 Enlaces externos EditarIntegrales resueltas usando tecnicas de integracion en wikimatematica orgVideos Editar Area bajo la curva con sumatorias Calculo del area con subintervalos Integracion por Partes Explicacion Metodo de integracion por partes Integracion por Sustitucion Simple Integracion por Sustitucion Trigonometrica Datos Q273328Obtenido de https es wikipedia org w index php title Metodos de integracion amp oldid 136671979 Metodo de integracion por partes, wikipedia, wiki, leyendo, leer, 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