Función homogénea

En matemática, una función homogénea es una función que presenta un comportamiento multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal).

Definición formal

Supongamos una función cuya definición es ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$  entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo ${\displaystyle F}$ . Entonces se dice que ${\displaystyle f\,}$  es homogénea de grado k si:

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} ),\qquad \forall \alpha \in F\setminus \{0\},\quad \forall \mathbf {v} \in V}$ 

Ejemplos

Las funciones lineales

Cualquier función lineal ${\displaystyle f:V\rightarrow W\,}$  es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$ 

para todo ${\displaystyle \alpha \in F}$  y ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ . Del mismo modo, cualquier función multilineal ${\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W}$  es homogénea de grado n, por definición.

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$ 

para todo ${\displaystyle \alpha \in F}$  y ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}}$ . Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$  entre dos espacios de Banach ${\displaystyle X\,}$  y ${\displaystyle Y\,}$  es homogénea de grado ${\displaystyle n\,}$ .

Polinomios homogéneos

Los monomios de ${\displaystyle n}$  variables reales definen funciones homogéneas${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ . Por ejemplo,

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}$ 

es homogénea de grado 10 puesto que:

${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z)\,}$ 

Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo,

${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}\,}$ 

es un polinomio homogéneo de grado 5.

Propiedades

• El teorema de Euler sobre funciones homogéneas establece:

Supongamos que una función ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$  es infinitamente diferenciable. Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si: ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}$ .

• Teorema: Sea ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$  es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$  son funciones homogéneas de grado k-1. es decir

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}$ 

Éste resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.

Demostración

Sea ${\displaystyle x\in \mathbf {R} ^{n}}$  y la función ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})}$  homogénea. Por homogeneidad de la función${\displaystyle f}$  se sabe que ${\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}$  Se define ${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}}$  como ${\displaystyle y=\alpha x}$ . Reemplazando la ${\displaystyle \mathbf {y} }$  en la expresión anterior nos queda: ${\displaystyle f(\mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}$  Se deriva ambos lados de la igualdad con respecto a ${\displaystyle x_{i}\,}$  ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}$  por regla de la cadena la expresión se vuelve: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ){\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{i}}}=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}$  Sustituyendo nuevamente ${\displaystyle y=\alpha x}$ : ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {\alpha x} ){\frac {\partial (\alpha x_{i})}{\partial x_{i}}}=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}$  ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {\alpha x} )\alpha =\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}$  y finalmente da el resultado que se quiere obtener: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}$

Aplicación a las EDOs

La substitución ${\displaystyle v=y/x}$  convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)

${\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$ 

Donde ${\displaystyle I\,}$  y ${\displaystyle J\,}$  son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:

${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v}$ 

Referencia

Bibliografía

• Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Analysis II (2nd ed.) (en alemán). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9. 

Enlaces externos

• Función homogénea en Planet Math

•   Datos: Q1132952