En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada de orden se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden , llamada matriz inversa de y denotada por si , donde es la matriz identidad de orden y el producto utilizado es el producto de matrices usual.
Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo. La matriz singular se caracteriza porque su multiplicación por la matriz columna es igual a cero para algún no nulo.
La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.
Ejemplos
Matriz de dos filas (matriz adjunta)
Dada una matriz de tamaño con determinante no nulo entonces
y esta está definida siempre y cuando con . Así por ejemplo la inversa de la matriz
ya que
Matriz de tres filas
Dada una matriz de tamaño con determinante no nulo:
donde se definen
Propiedades de la Matriz Inversa
Sea una matriz de rango máximo
La matriz inversa de es única.
Si y entonces la matriz inversa del producto es
Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir
Y, evidentemente:
Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:
El conjunto de matrices de con componentes sobre el cuerpo que admiten inversa, con el producto de matrices, tiene una estructura isomorfa al grupo lineal de orden . En este grupo la operación de inversa es un automorfismo.
Demostración de la unicidad de la inversa
Supongamos que y son inversas de
Multiplicando ambas relaciones por
De modo que y se prueba que la inversa es única.
Demostración del criterio de invertibilidad de las matrices cuadradas
Se probará la doble implicación.
Suficiencia
Supongamos que existe tal que . Entonces al aplicar la función determinante se obtiene
Utilizando la propiedad multiplicativa del determinante y sabiendo que tenemos que
por lo que deducimos que es distinto de cero.
Necesidad
Supongamos que el determinante de es distinto de cero. Sea el elemento ij de la matriz y sea la matriz sin la fila y la columna (comúnmente conocida como -ésimo menor de A). Entonces tenemos que
Además, si , entonces podemos deducir que
pues la parte izquierda de la relación es el determinante de con la columna sustituida por la columna y, de nuevo por propiedades del determinante, sabemos que una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.
Cuando la matriz tiene más de tres filas, esta fórmula es muy ineficiente y conduce a largos cálculos. Hay métodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante más eficientes.
Métodos numéricos
El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.
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matriz, invertible, matemáticas, particular, álgebra, lineal, matriz, cuadrada, displaystyle, orden, displaystyle, dice, invertible, singular, degenerada, regular, existe, otra, matriz, cuadrada, orden, displaystyle, llamada, matriz, inversa, displaystyle, den. En matematicas en particular en algebra lineal una matriz cuadrada A displaystyle A de orden n displaystyle n se dice que es invertible no singular no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n displaystyle n llamada matriz inversa de A displaystyle A y denotada por A 1 displaystyle A 1 si A A 1 A 1 A I n displaystyle A cdot A 1 A 1 cdot A I n donde I n displaystyle I n es la matriz identidad de orden n displaystyle n y el producto utilizado es el producto de matrices usual Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo La matriz singular A displaystyle A se caracteriza porque su multiplicacion por la matriz columna X displaystyle X es igual a cero para algun X displaystyle X no nulo La inversion de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada Indice 1 Ejemplos 1 1 Matriz de dos filas matriz adjunta 1 2 Matriz de tres filas 2 Propiedades de la Matriz Inversa 2 1 Demostracion de la unicidad de la inversa 2 2 Demostracion del criterio de invertibilidad de las matrices cuadradas 2 2 1 Suficiencia UNIQ postMath 00000031 QINU 2 2 2 Necesidad UNIQ postMath 00000038 QINU 3 Metodos de inversion de matrices 3 1 Solucion analitica 3 1 1 Inversion de matrices 2 2 3 1 2 Inversion de matrices de ordenes superiores 3 2 Metodos numericos 4 Grupo lineal 5 Vease tambien 6 Referencias 7 Enlaces externosEjemplos EditarMatriz de dos filas matriz adjunta Editar Dada una matriz A displaystyle A de tamano 2 2 displaystyle 2 times 2 con determinante no nulo entonces A 1 a b c d 1 1 det A d b c a 1 a d b c d b c a displaystyle A 1 begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix 1 frac 1 det A begin bmatrix d amp b c amp a end bmatrix frac 1 ad bc begin bmatrix d amp b c amp a end bmatrix y esta esta definida siempre y cuando a d b c 0 displaystyle ad bc neq 0 con a b c d R displaystyle a b c d in mathbb R Asi por ejemplo la inversa de la matriz 2 1 5 3 2 1 5 3 1 3 1 5 2 displaystyle begin bmatrix 2 amp 1 5 amp 3 end bmatrix mapsto begin bmatrix 2 amp 1 5 amp 3 end bmatrix 1 begin bmatrix 3 amp 1 5 amp 2 end bmatrix ya que 2 1 5 3 3 1 5 2 1 0 0 1 displaystyle begin bmatrix 2 amp 1 5 amp 3 end bmatrix begin bmatrix 3 amp 1 5 amp 2 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end bmatrix Matriz de tres filas Editar Dada una matriz A displaystyle A de tamano 3 3 displaystyle 3 times 3 con determinante no nulo A 1 a b c d e f g h i 1 1 det A A B C D E F G H I T 1 det A A D G B E H C F I displaystyle A 1 begin bmatrix a amp b amp c d amp e amp f g amp h amp i end bmatrix 1 frac 1 det A begin bmatrix A amp B amp C D amp E amp F G amp H amp I end bmatrix T frac 1 det A begin bmatrix A amp D amp G B amp E amp H C amp F amp I end bmatrix donde se definen A e i f h D b i c h G b f c e B d i f g E a i c g H a f c d C d h e g F a h b g I a e b d displaystyle begin matrix A ei fh amp D bi ch amp G bf ce B di fg amp E ai cg amp H af cd C dh eg amp F ah bg amp I ae bd end matrix Propiedades de la Matriz Inversa EditarSea A R n n displaystyle A in mathbb R n times n una matriz de rango maximo La matriz inversa de A displaystyle A es unica Si B R n n displaystyle B in mathbb R n times n y C R n n displaystyle C in mathbb R n times n entonces la matriz inversa del producto B C displaystyle BC es B C 1 C 1 B 1 displaystyle left BC right 1 C 1 B 1 Si la matriz A displaystyle A es invertible tambien lo es su transpuesta y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa es decir A T 1 A 1 T displaystyle left A T right 1 left A 1 right T Y evidentemente A 1 1 A displaystyle left A 1 1 right A Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y solo si el determinante de A es distinto de cero Ademas la inversa satisface la igualdad A 1 1 A adj A displaystyle A 1 1 over begin vmatrix A end vmatrix operatorname adj A donde A displaystyle begin vmatrix A end vmatrix es el determinante de A displaystyle A y adj A displaystyle operatorname adj A es la matriz de adjuntos de A displaystyle A entendida como a la matriz de cofactores traspuesta Ver la explicacion de la diferente manera de entender el termino adjunto 1 2 3 4 5 en el articulo matriz de adjuntos El conjunto de matrices de n n displaystyle n times n con componentes sobre el cuerpo K displaystyle mathbf K que admiten inversa con el producto de matrices tiene una estructura isomorfa al grupo lineal GL n K displaystyle text GL n mathbf K de orden n displaystyle n En este grupo la operacion de inversa es un automorfismo 1 GL n K GL n K displaystyle cdot 1 text GL n mathbf K to text GL n mathbf K Demostracion de la unicidad de la inversa Editar Supongamos que B displaystyle B y C displaystyle C son inversas de A displaystyle A A B B A I y A C C A I displaystyle AB BA I quad text y quad AC CA I Multiplicando ambas relaciones por C displaystyle C B A C I C C y B A C B A C B I B displaystyle BA C IC C quad text y quad BA C B AC BI B De modo que B C displaystyle B C y se prueba que la inversa es unica Demostracion del criterio de invertibilidad de las matrices cuadradas Editar Se probara la doble implicacion Suficiencia displaystyle Rightarrow Editar Supongamos que existe B displaystyle B tal que A B B A I displaystyle AB BA I Entonces al aplicar la funcion determinante se obtiene det A B det B A det I displaystyle det left AB right det left BA right det left I right Utilizando la propiedad multiplicativa del determinante y sabiendo que det I 1 displaystyle det I 1 tenemos que det A det B 1 displaystyle det left A right det left B right 1 por lo que deducimos que det A displaystyle det A es distinto de cero Necesidad displaystyle Leftarrow Editar Supongamos que el determinante de A displaystyle A es distinto de cero Sea a i j displaystyle a ij el elemento ij de la matriz A displaystyle A y sea A i j displaystyle A ij la matriz A displaystyle A sin la fila i displaystyle i y la columna j displaystyle j comunmente conocida como j displaystyle j esimo menor de A Entonces tenemos que det A i 1 n 1 i j a i j det A i j displaystyle det A sum i 1 n 1 i j a ij det A ij Ademas si k j displaystyle k neq j entonces podemos deducir que i 1 n 1 i j a i k det A i j 0 displaystyle sum i 1 n 1 i j a ik det A ij 0 pues la parte izquierda de la relacion es el determinante de A displaystyle A con la columna j displaystyle j sustituida por la columna k displaystyle k y de nuevo por propiedades del determinante sabemos que una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero De las dos ecuaciones anteriores podemos obtener d j k det A i 1 n 1 i j det A i j a i k displaystyle delta jk det left A right sum i 1 n 1 i j det left A ij right a ik donde d j k displaystyle delta jk es la delta de Kronecker Por tanto sabiendo que I i j d i j displaystyle I ij delta ij tenemos que det A I adj A A displaystyle det left A right I left mbox adj A right A es decir que A displaystyle A tiene inversa por la izquierda adj A T det A displaystyle frac left text adj A right T det left A right Como adj A T adj A T displaystyle left text adj A right T text adj left A T right entonces A T displaystyle A T tambien tiene inversa por la izquierda que es adj A T T det A T adj A det A displaystyle frac left text adj A T right T det left A T right frac text adj A det left A right Entonces adj A det A A T I displaystyle frac text adj A det left A right A T I luego aplicando la transpuesta A adj A T det A I displaystyle A frac left text adj A right T det left A right I que es lo que se queria demostrar Metodos de inversion de matrices EditarSolucion analitica Editar Inversion de matrices 2 2 Editar Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo Se puede hacer de la siguiente manera 6 A 1 a b c d 1 1 det A d b c a 1 a d b c d b c a displaystyle mathbf A 1 begin bmatrix a amp b c amp d end bmatrix 1 frac 1 det mathbf A begin bmatrix d amp b c amp a end bmatrix frac 1 ad bc begin bmatrix d amp b c amp a end bmatrix Esto es posible siempre y cuando a d b c 0 displaystyle ad bc neq 0 es decir el determinante de la matriz no es cero Ejemplo numerico C 1 2 3 4 C 1 1 2 3 4 1 1 2 4 2 3 1 displaystyle C begin bmatrix 1 amp 2 3 amp 4 end bmatrix C 1 begin bmatrix 1 amp 2 3 amp 4 end bmatrix 1 frac 1 2 begin bmatrix 4 amp 2 3 amp 1 end bmatrix Inversion de matrices de ordenes superiores Editar Para matrices de ordenes superiores puede utilizarse la siguiente formula A 1 1 A adj A displaystyle A 1 1 over begin vmatrix A end vmatrix operatorname adj A Donde A displaystyle begin vmatrix A end vmatrix es el determinante de A displaystyle A y adj A displaystyle operatorname adj A es la matriz de adjuntos de A displaystyle A Cuando la matriz tiene mas de tres filas esta formula es muy ineficiente y conduce a largos calculos Hay metodos alternativos para calcular la matriz inversa que son bastante mas eficientes Metodos numericos Editar El metodo de eliminacion de Gauss Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa Una alternativa es la descomposicion LU que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares una inferior y otra superior mucho mas faciles de invertir Utilizando el metodo de Gauss Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha sera la matriz inversa a la dada Grupo lineal EditarArticulo principal Grupo lineal El conjunto de todas las matrices n n displaystyle n times n que admiten inversa es una representacion lineal del grupo lineal de orden n denotado como GL n displaystyle textrm GL n Este grupo tiene importantes aplicaciones en algebra y fisica Ademas GL n M n n displaystyle textrm GL n subset M n times n es un conjunto abierto con la topologia inducida de R n 2 displaystyle mathbb R n 2 Vease tambien EditarMatriz involutivaReferencias Editar Apostol Tom M 2002 3 Determinantes 5 Autovalores de operadores en espacios euclideos Calculus vol 2 2ª edicion Barcelona Reverte S A pp 113 151 ISBN 84 291 5003 X fechaacceso requiere url ayuda Clapham Christopher 2004 Diccionario de Matematicas 1ª edicion Madrid Editorial Complutense pp 3 4 ISBN 84 89784 56 6 fechaacceso requiere url ayuda Castaneda Hernandez Sebastian Barrios Sarmiento Agustin 2004 3 6 Cofactores y Regla de Cramer Notas de algebra lineal 2ª edicion Barranquilla colombia Ediciones Uninorte p 193 ISBN 958 8133 89 0 fechaacceso requiere url ayuda Diaz Martin Jose Fernando 2005 6 Determinantes Introduccion Al Algebra 1ª edicion La coruna Espana NetBiblo pp 229 230 237 238 ISBN 84 9745 128 7 fechaacceso requiere url ayuda Perello Miquel A 2002 4 3 3 Calculo por determinantes de la matriz inversa Algebra lineal Teoria y practica Barcelona Edicions UPC pp 129 136 ISBN 8483016621 fechaacceso requiere url ayuda Strang Gilbert 2006 Linear Algebra 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