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Gradiente

En análisis matemático, particularmente en cálculo vectorial, el gradiente o también conocido como vector gradiente,[1]​ denotado de un campo escalar , es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de , (), indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector gradiente.

En las dos imágenes anteriores, los valores de la función se representan en blanco y negro.
El negro representa valores más altos y su gradiente correspondiente se representa con flechas azules.

El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función (atención a no confundir el gradiente con la divergencia; esta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo, ). También puede representarse mediante , o usando la notación .

La generalización del concepto de gradiente para funciones vectoriales de varias variables es el concepto de matriz Jacobiana.[2]

Definición

En matemáticas, el ‘gradiente’ es una generalización multivariable de la derivada. Mientras que una derivada se puede definir solo en funciones de una sola variable, para funciones de varias variables, el gradiente toma su lugar. El gradiente es una función de valor vectorial, a diferencia de una derivada, que es una función de valor escalar.

Al igual que la derivada, el gradiente representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función. Más precisamente, el gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico. Esta propiedad de caracterización del degradado permite que se defina independientemente de la elección del sistema de coordenadas, como un campo vectorial cuyos componentes en un sistema de coordenadas se transformarán cuando se pase de un sistema de coordenadas a otro.

Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas «equiescalares») del mapa.

Si   es un campo escalar entonces el gradiente de   en   se define como el campo vectorial   cuyas componentes son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

 

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

 .

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

 .

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

 .

Interpretación

De forma geométrica, el gradiente es un vector normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etc. Algunos ejemplos son:

  • Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto  , la temperatura es  . Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuan rápido aumenta la temperatura en esa dirección.
  • Considere una montaña en la cual su altura en el punto   se define como  . El gradiente de   en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.

Propiedades

El gradiente verifica que:

  •  
  •  ,[3]​ con estas dos propiedades, el gradiente es un operador lineal.
  • Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por   =cte.
  • Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
  • Su norma es igual a esta derivada direccional máxima.
  • Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
  • El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

 

Demostración
(1) Sea M el conjunto de puntos que verifican  , sea una curva   en M, y sea un vector tangente  , entonces:
 

de modo que   es ortogonal a todo vector tangente  

(2) La derivada direccional en la dirección de un vector unitario   viene dada por:

 

que es máxima cuando   apunta en la dirección de  


(3) Por lo expuesto en (2)

(4) El incremento infinitesimal en una dirección   de   viene dado por la derivada direccional en esa dirección, y dado que en un punto estacionario tal incremento ha de ser nulo para cualquier dirección el gradiente ha de anularse.

(5) La componente k-ésima del rotacional puede calcularse empleando el símbolo de Levi-Civita y si las derivadas cruzadas son iguales se tiene:

 

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas

A partir de su definición puede demostrarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

 

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión

 

Para coordenadas cilíndricas ( ,  ) resulta

 

y para coordenadas esféricas ( ,  ,  )

 

En un sistema de coordenadas curvilíneo general el gradiente tiene la forma:

 

donde en la expresión anterior se usa el convenio de sumación de Einstein.

Gradiente de un campo vectorial

Véase también Tensores finitos de deformación

En un espacio euclidiano tridimensional, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de   un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento:

 

Fijada una base vectorial, este tensor podrá representarse por una matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial. El gradiente de deformación estará bien definido solo si el límite anterior existe para todo   y es una función continua de dicho vector.

Técnicamente el gradiente de deformación no es otra cosa que la aplicación lineal de la que la matriz jacobiana es su expresión explícita en coordenadas.

Ejemplos

1. Dada la función   su vector gradiente es el siguiente:

 

2. Dada la función   su vector gradiente es el siguiente:

 

3. Dada la función   su vector gradiente es el siguiente:

 

Aplicaciones

Aproximación lineal de una función

El gradiente de una función   caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular  . Se expresa así:

 

donde   es el gradiente evaluado en  .

Aplicaciones en física

La interpretación física del gradiente es la siguiente: mide la rapidez de variación de una magnitud física al desplazarse una cierta distancia. Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes (aquí se entiende por gradiente alto o grande uno tal que su módulo es grande). Un gradiente de una magnitud pequeño o nulo implica que dicha magnitud apenas varía de un punto a otro.

El gradiente de una magnitud física posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.

 
  • Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como:
 
  • Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es directamente proporcional al gradiente de temperaturas
 
siendo   la conductividad térmica.

Véase también

Notas y referencias

  1. Serge Lang
  2. Este artículo no tenía bibliografía ni referencias; pero incluye contenido, tomado ilícitamente de «Advanced Calculus» de Angus E. Taylor & W. Robert Mann. ISBN 0-471-02366-6, distinto al de los referenciados
  3. Kaplan

Bibliografía

  • Wilfred Kaplan. "Cálculo Avanzado". CECSA, impreso en México,editado en 1983.
  • Watson Fulks. "Cálculo Avanzado". Editorial Limusa S.A, México, impreso en 1973
  • Serge Lang. "Cálculo II". Fondo Educativo Interamericano. México,publicado en 1976

Enlaces externos

  •   Datos: Q173582
  •   Multimedia: Category:Gradient fields

gradiente, para, otros, usos, este, término, véase, desambiguación, análisis, matemático, particularmente, cálculo, vectorial, gradiente, también, conocido, como, vector, gradiente, denotado, displaystyle, nabla, campo, escalar, displaystyle, campo, vectorial,. Para otros usos de este termino vease Gradiente desambiguacion En analisis matematico particularmente en calculo vectorial el gradiente o tambien conocido como vector gradiente 1 denotado f displaystyle nabla f de un campo escalar f displaystyle f es un campo vectorial El vector gradiente de f displaystyle f evaluado en un punto generico x displaystyle x del dominio de f displaystyle f f displaystyle nabla f x displaystyle x indica la direccion en la cual el campo f displaystyle f varia mas rapidamente y su modulo representa el ritmo de variacion de f displaystyle f en la direccion de dicho vector gradiente En las dos imagenes anteriores los valores de la funcion se representan en blanco y negro El negro representa valores mas altos y su gradiente correspondiente se representa con flechas azules El gradiente se representa con el operador diferencial nabla displaystyle nabla seguido de la funcion atencion a no confundir el gradiente con la divergencia esta ultima se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo F displaystyle nabla cdot vec F Tambien puede representarse mediante f displaystyle vec nabla f o usando la notacion grad f displaystyle operatorname grad f La generalizacion del concepto de gradiente para funciones vectoriales de varias variables es el concepto de matriz Jacobiana 2 Indice 1 Definicion 2 Interpretacion 3 Propiedades 4 Expresion en diferentes sistemas de coordenadas 5 Gradiente de un campo vectorial 6 Ejemplos 7 Aplicaciones 7 1 Aproximacion lineal de una funcion 7 2 Aplicaciones en fisica 8 Vease tambien 9 Notas y referencias 9 1 Bibliografia 10 Enlaces externosDefinicion EditarEn matematicas el gradiente es una generalizacion multivariable de la derivada Mientras que una derivada se puede definir solo en funciones de una sola variable para funciones de varias variables el gradiente toma su lugar El gradiente es una funcion de valor vectorial a diferencia de una derivada que es una funcion de valor escalar Al igual que la derivada el gradiente representa la pendiente de la recta tangente a la grafica de una funcion Mas precisamente el gradiente apunta a los puntos de la grafica a los cuales la grafica tiene un mayor incremento La magnitud del gradiente es la pendiente de la grafica en esa direccion Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuacion del espacio tangente al grafico Esta propiedad de caracterizacion del degradado permite que se defina independientemente de la eleccion del sistema de coordenadas como un campo vectorial cuyos componentes en un sistema de coordenadas se transformaran cuando se pase de un sistema de coordenadas a otro Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presion P campo escalar de 3 variables entonces el vector gradiente en un punto generico del espacio indicara la direccion en la cual la presion cambiara mas rapidamente Otro ejemplo es el de considerar el mapa de lineas de nivel de una montana como campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadas latitud longitud un escalar altitud campo escalar de 2 variables En este caso el vector gradiente en un punto generico indicara la direccion de maxima inclinacion de la montana Notese que el vector gradiente sera perpendicular a las lineas de contorno lineas equiescalares del mapa Si f R n R displaystyle f mathbb R n to mathbb R es un campo escalar entonces el gradiente de f displaystyle f en r displaystyle mathbf r se define como el campo vectorial f R n R n displaystyle nabla f mathbb R n to mathbb R n cuyas componentes son las derivadas parciales del campo escalar esto es f r f r x 1 f r x n displaystyle nabla f mathbf r left frac partial f mathbf r partial x 1 dots frac partial f mathbf r partial x n right Esta definicion se basa en que el gradiente permite calcular facilmente las derivadas direccionales Definiendo en primer lugar la derivada direccional segun un vector ϕ n lim ϵ 0 ϕ r ϵ n ϕ r ϵ displaystyle frac partial phi partial mathbf n equiv lim epsilon to 0 frac phi mathbf r epsilon hat mathbf n phi mathbf r epsilon Una forma equivalente de definir el gradiente es como el unico vector que multiplicado por el vector unitario da la derivada direccional del campo escalar ϕ n n ϕ displaystyle frac partial phi partial mathbf n mathbf n cdot nabla phi Con la definicion anterior el gradiente esta caracterizado de forma univoca El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla g r a d ϕ ϕ displaystyle rm grad phi nabla phi Interpretacion EditarDe forma geometrica el gradiente es un vector normal perpendicular a la curva de nivel en el punto que se esta estudiando llamese x y x y z tiempo temperatura etc Algunos ejemplos son Considere una habitacion en la cual la temperatura se define a traves de un campo escalar de tal manera que en cualquier punto x y z displaystyle x y z la temperatura es ϕ x y z displaystyle phi x y z Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo Siendo esto asi para cada punto de la habitacion el gradiente en ese punto nos dara la direccion en la cual la temperatura aumenta mas rapido La magnitud del gradiente nos dira cuan rapido aumenta la temperatura en esa direccion Considere una montana en la cual su altura en el punto x y displaystyle x y se define como H x y displaystyle H x y El gradiente de H displaystyle H en ese punto estara en la direccion para la que hay un mayor grado de inclinacion La magnitud del gradiente nos mostrara cuan empinada se encuentra la pendiente Propiedades EditarEl gradiente verifica que f g f g displaystyle nabla f g nabla f nabla g a f a f displaystyle nabla alpha f alpha nabla f 3 con estas dos propiedades el gradiente es un operador lineal Es ortogonal a las superficies equiescalares definidas por ϕ displaystyle phi cte Apunta en la direccion en que la derivada direccional es maxima Su norma es igual a esta derivada direccional maxima Se anula en los puntos estacionarios maximos minimos y puntos de silla El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional esto es ϕ 0 displaystyle nabla times nabla phi equiv vec 0 Demostracion 1 Sea M el conjunto de puntos que verifican ϕ x c displaystyle phi x c sea una curva x t displaystyle mathbf x t en M y sea un vector tangente v d x d t displaystyle mathbf v frac d mathbf x dt entonces d d t ϕ x t 0 ϕ x i d x i d t ϕ v 0 displaystyle frac d dt phi mathbf x t 0 frac partial phi partial x i frac dx i dt nabla phi cdot mathbf v 0 de modo que ϕ displaystyle nabla phi es ortogonal a todo vector tangente v displaystyle mathbf v 2 La derivada direccional en la direccion de un vector unitario v displaystyle mathbf v viene dada por ϕ v ϕ c o s 8 displaystyle nabla phi cdot mathbf v nabla phi cos theta que es maxima cuando v displaystyle mathbf v apunta en la direccion de ϕ displaystyle nabla phi 3 Por lo expuesto en 2 4 El incremento infinitesimal en una direccion v displaystyle mathbf v de F displaystyle Phi viene dado por la derivada direccional en esa direccion y dado que en un punto estacionario tal incremento ha de ser nulo para cualquier direccion el gradiente ha de anularse 5 La componente k esima del rotacional puede calcularse empleando el simbolo de Levi Civita y si las derivadas cruzadas son iguales se tiene ϵ i j k i j ϕ 0 displaystyle epsilon ijk partial i partial j phi 0 Expresion en diferentes sistemas de coordenadas EditarA partir de su definicion puede demostrarse su expresion en diferentes sistemas de coordenadas En coordenadas cartesianas su expresion es simplemente ϕ ϕ x x ϕ y y ϕ z z displaystyle nabla phi frac partial phi partial x hat x frac partial phi partial y hat y frac partial phi partial z hat z En un sistema de coordenadas ortogonales el gradiente requiere los factores de escala mediante la expresion ϕ 1 h 1 ϕ q 1 q 1 1 h 2 ϕ q 2 q 2 1 h 3 ϕ q 3 q 3 displaystyle nabla phi frac 1 h 1 frac partial phi partial q 1 hat q 1 frac 1 h 2 frac partial phi partial q 2 hat q 2 frac 1 h 3 frac partial phi partial q 3 hat q 3 Para coordenadas cilindricas h r h z 1 displaystyle h rho h z 1 h f r displaystyle h varphi rho resulta ϕ ϕ r r 1 r ϕ f f ϕ z z displaystyle nabla phi frac partial phi partial rho hat rho frac 1 rho frac partial phi partial varphi hat varphi frac partial phi partial z hat z y para coordenadas esfericas h r 1 displaystyle h r 1 h 8 r displaystyle h theta r h f r s e n 8 displaystyle h varphi r rm sen theta ϕ ϕ r r 1 r ϕ 8 8 1 r s e n 8 ϕ f f displaystyle nabla phi frac partial phi partial r hat r frac 1 r frac partial phi partial theta hat theta frac 1 r rm sen theta frac partial phi partial varphi hat varphi En un sistema de coordenadas curvilineo general el gradiente tiene la forma ϕ g i j 1 2 ϕ x i e j displaystyle nabla phi g ij 1 2 frac partial phi partial x i hat e j donde en la expresion anterior se usa el convenio de sumacion de Einstein Gradiente de un campo vectorial EditarVease tambien Tensores finitos de deformacionEn un espacio euclidiano tridimensional el concepto de gradiente tambien puede extenderse al caso de un campo vectorial siendo el gradiente de F displaystyle mathbf F un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento d F d r v lim v 0 F r v F r v F v displaystyle frac d mathbf F d mathbf r mathbf v lim mathbf v to 0 frac mathbf F mathbf r mathbf v mathbf F mathbf r mathbf v nabla mathbf F cdot mathbf v Fijada una base vectorial este tensor podra representarse por una matriz 3x3 que en coordenadas cartesianas esta formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial El gradiente de deformacion estara bien definido solo si el limite anterior existe para todo v displaystyle mathbf v y es una funcion continua de dicho vector Tecnicamente el gradiente de deformacion no es otra cosa que la aplicacion lineal de la que la matriz jacobiana es su expresion explicita en coordenadas Ejemplos Editar1 Dada la funcion f x y z 2 x 3 y 2 sen z displaystyle f x y z 2x 3y 2 operatorname sen z su vector gradiente es el siguiente f f x f y f z 2 6 y cos z displaystyle nabla f begin pmatrix frac partial f partial x frac partial f partial y frac partial f partial z end pmatrix begin pmatrix 2 6y cos z end pmatrix 2 Dada la funcion z x y x 2 2 x y 2 y 3 x y displaystyle z x y x 2 2x y 2 y 3 xy su vector gradiente es el siguiente z z x z y 2 x y 2 2 y 3 y 2 x displaystyle nabla z begin pmatrix frac partial z partial x frac partial z partial y end pmatrix begin pmatrix 2x y 2 2y 3y 2 x end pmatrix 3 Dada la funcion 3 a b g a 4 e b 3 e 2 arctan g g 2 p displaystyle xi alpha beta gamma alpha 4 e beta 3 e 2 arctan gamma gamma 2 pi su vector gradiente es el siguiente 3 3 a 3 b 3 g 4 a 3 3 b 2 e b 3 e 2 arctan g e 2 1 g 2 e b 3 e 2 arctan g 2 p g 2 p 1 displaystyle nabla xi begin pmatrix frac partial xi partial alpha frac partial xi partial beta frac partial xi partial gamma end pmatrix begin pmatrix 4 alpha 3 3 beta 2 e beta 3 e 2 arctan gamma frac e 2 1 gamma 2 e beta 3 e 2 arctan gamma 2 pi gamma 2 pi 1 end pmatrix Aplicaciones EditarAproximacion lineal de una funcion Editar El gradiente de una funcion f R n R displaystyle f mathbb R n to mathbb R caracteriza la mejor aproximacion lineal de la funcion en un punto particular x 0 R n displaystyle x 0 in mathbb R n Se expresa asi f x f x 0 x f x 0 x x 0 displaystyle f x f x 0 nabla x f x 0 x x 0 donde x f x 0 displaystyle nabla x f x 0 es el gradiente evaluado en x 0 displaystyle x 0 Aplicaciones en fisica Editar La interpretacion fisica del gradiente es la siguiente mide la rapidez de variacion de una magnitud fisica al desplazarse una cierta distancia Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes aqui se entiende por gradiente alto o grande uno tal que su modulo es grande Un gradiente de una magnitud pequeno o nulo implica que dicha magnitud apenas varia de un punto a otro El gradiente de una magnitud fisica posee innumerables aplicaciones en fisica especialmente en electromagnetismo y mecanica de fluidos En particular existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar Uno de ellos es el campo electrostatico que deriva del potencial electrico E ϕ displaystyle mathbf E boldsymbol nabla phi Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar se denomina potencial conservativo o irrotacional Asi una fuerza conservativa deriva de la energia potencial como F V displaystyle mathbf F boldsymbol nabla V Los gradientes tambien aparecen en los procesos de difusion que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura Asi por ejemplo el flujo de calor en un material es directamente proporcional al gradiente de temperaturasq k T displaystyle mathbf q k boldsymbol nabla T siendo k displaystyle scriptstyle k la conductividad termica Vease tambien EditarRotacional Divergencia matematica Cuatro gradientes Matriz hessiana Gradiente sesgadoNotas y referencias Editar Serge Lang Este articulo no tenia bibliografia ni referencias pero incluye contenido tomado ilicitamente de Advanced Calculus de Angus E Taylor amp W Robert Mann ISBN 0 471 02366 6 distinto al de los referenciados Kaplan Bibliografia Editar Wilfred Kaplan Calculo Avanzado CECSA impreso en Mexico editado en 1983 Watson Fulks Calculo Avanzado Editorial Limusa S A Mexico impreso en 1973 Serge Lang Calculo II Fondo Educativo Interamericano Mexico publicado en 1976Enlaces externos Editar Datos Q173582 Multimedia Category Gradient fields Obtenido de https es wikipedia org w index php title Gradiente amp oldid 142109558, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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