Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta. Una matriz de elementos:
es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y para todo i,j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.
Ejemplo para n = 3:
A es también la matriz traspuesta de sí misma: . Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas.
Propiedades
La suma de dos matrices simétricas es una matriz simétrica.
El producto de dos matrices simétricas no siempre es simétrico.
Si A es una matriz simétrica pxp y B es una matriz pxq, entonces BTAB es simétrica.[1]
Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable. En particular, es diagonalizable mediante una matriz ortogonal.
definida negativa: si y solo si todos sus autovalores son estrictamente negativos.
semidefinida positiva: si y solo si todos sus autovalores son mayores o iguales a cero.
semidefinida negativa: si y solo si todos sus autovalores son menores o iguales a cero.
indefinida: si y solo si tiene dos autovalores con distinto signo
James Joseph Sylvester, un matemático del siglo XIX, estableció un criterio para definir el signo de una matriz simétrica basándose en los signos de la serie de determinantes de los menores principales de la misma.
Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica
Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:
matriz, simétrica, matriz, simétrica, matriz, cuadrada, cual, tiene, característica, igual, traspuesta, matriz, displaystyle, times, elementos, displaystyle, left, begin, array, ccccccc, cdots, cdots, cdots, vdots, vdots, vdots, ddots, vdots, cdots, array, rig. Una matriz es simetrica si es una matriz cuadrada la cual tiene la caracteristica de ser igual a su traspuesta Una matriz de n m displaystyle n times m elementos A a 11 a 12 a 13 a 1 m a 21 a 22 a 23 a 2 m a 31 a 32 a 33 a 3 m a n 1 a n 2 a n 3 a n m displaystyle A left begin array ccccccc a 11 amp a 12 amp a 13 amp cdots amp a 1m a 21 amp a 22 amp a 23 amp cdots amp a 2m a 31 amp a 32 amp a 33 amp cdots amp a 3m vdots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots a n1 amp a n2 amp a n3 amp cdots amp a nm end array right es simetrica si es una matriz cuadrada m n y a i j a j i displaystyle a ij a ji para todo i j con i j 1 2 3 4 n Notese que la simetria es respecto a la diagonal principal Ejemplo para n 3 8 1 3 1 7 4 3 4 9 displaystyle left begin array rrr 8 amp 1 amp 3 1 amp 7 amp 4 3 amp 4 amp 9 end array right A es tambien la matriz traspuesta de si misma A t A displaystyle A t A Esta ultima igualdad es una definicion alternativa de matriz simetrica Las matrices simetricas son un caso particular de las matrices hermiticas Indice 1 Propiedades 2 Autovalores 3 Descomposicion en matriz simetrica y antisimetrica 4 Vease tambien 5 Referencias 6 Enlaces externosPropiedades EditarLa suma de dos matrices simetricas es una matriz simetrica El producto de dos matrices simetricas no siempre es simetrico Si A es una matriz simetrica pxp y B es una matriz pxq entonces BTAB es simetrica 1 Uno de los teoremas basicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimension finita que dice que toda matriz simetrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable En particular es diagonalizable mediante una matriz ortogonal Autovalores EditarComo las matrices simetricas son un caso particular de las matrices hermiticas todos sus autovalores son reales Con base en las propiedades de los autovalores de una matriz simetrica se pueden clasificar en los siguientes tipos definida positiva si y solo si todos sus autovalores son estrictamente positivos definida negativa si y solo si todos sus autovalores son estrictamente negativos semidefinida positiva si y solo si todos sus autovalores son mayores o iguales a cero semidefinida negativa si y solo si todos sus autovalores son menores o iguales a cero indefinida si y solo si tiene dos autovalores con distinto signoJames Joseph Sylvester un matematico del siglo XIX establecio un criterio para definir el signo de una matriz simetrica basandose en los signos de la serie de determinantes de los menores principales de la misma Descomposicion en matriz simetrica y antisimetrica EditarSea A una matriz cuadrada esta se puede descomponer en suma de parte simetrica y antisimetrica de la siguiente forma A 1 2 A A T 1 2 A A T displaystyle A frac 1 2 left A A T right frac 1 2 left A A T right donde la parte simetrica es 1 2 A A T displaystyle frac 1 2 left A A T right DemostracionSe utilizan las propiedades de la transposicion 1 2 A A T T 1 2 A A T T 1 2 A T A T T 1 2 A T A 1 2 A A T displaystyle begin array rcl left frac 1 2 left A A T right right T amp amp frac 1 2 left A A T right T frac 1 2 left A T left A T right T right amp amp frac 1 2 left A T A right frac 1 2 left A A T right end array Queda entonces demostrado por definicion que 1 2 A A T displaystyle frac 1 2 left A A T right es simetrica Vease tambien EditarMatriz antisimetricaReferencias Editar Ben Noble James W Daniel Algebra lineal aplicadaEnlaces externos EditarWeisstein Eric W Symmetric Matrix En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q339011Obtenido de https es wikipedia org w index php title Matriz simetrica amp oldid 132226005, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
