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Para una presentacion accesible y menos tecnica vease Introduccion a la relatividad general La teoria general de la relatividad o relatividad general es una teoria del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916 Representacion artistica de la explosion de la supernova SN 2006gy situada a 238 millones de anos luz De ser valido el principio de accion a distancia las perturbaciones de origen gravitatorio de este estallido nos afectarian inmediatamente y mas tarde nos llegarian las de origen electromagnetico que se transmiten a la velocidad de la luz Esquema bidimensional de la curvatura del espacio tiempo cuatro dimensiones generada por una masa esferica El nombre de la teoria se debe a que generaliza la llamada teoria especial de la relatividad y el principio de relatividad para un observador arbitrario Los principios fundamentales introducidos en esta generalizacion son el principio de equivalencia que describe la aceleracion y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad la nocion de la curvatura del espacio tiempo y el principio de covariancia generalizado La teoria de la relatividad general propone que la propia geometria del espacio tiempo se ve afectada por la presencia de materia de lo cual resulta una teoria relativista del campo gravitatorio De hecho la teoria de la relatividad general predice que el espacio tiempo no sera plano en presencia de materia y que la curvatura del espacio tiempo sera percibida como un campo gravitatorio La intuicion basica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme La teoria general de la relatividad permitio tambien reformular el campo de la cosmologia Einstein expreso el proposito de la teoria de la relatividad general para aplicar plenamente el programa de Ernst Mach de la relativizacion de todos los efectos de inercia incluso anadiendo la llamada constante cosmologica a sus ecuaciones de campo 1 para este proposito Este punto de contacto real de la influencia de Ernst Mach fue claramente identificado en 1918 cuando Einstein distingue lo que el bautizo como el principio de Mach los efectos inerciales se derivan de la interaccion de los cuerpos del principio de la relatividad general que se interpreta ahora como el principio de covariancia general 2 El matematico aleman David Hilbert escribio e hizo publicas las ecuaciones de la covariancia antes que Einstein ello resulto en no pocas acusaciones de plagio contra Einstein pero probablemente sea mas porque es una teoria o perspectiva geometrica La misma postula que la presencia de masa o energia curva el espacio tiempo y esta curvatura afecta la trayectoria de los cuerpos moviles e incluso la trayectoria de la luz HistoriaPoco despues de la formulacion de la teoria de la relatividad especial en 1905 Albert Einstein comenzo a elucubrar como describir los fenomenos gravitatorios con ayuda de la nueva mecanica En 1907 se embarco en la busqueda de una nueva teoria relativista de la gravedad que duraria ocho anos Despues de numerosos desvios y falsos comienzos su trabajo culmino el 25 de noviembre de 1915 con la presentacion a la Academia Prusiana de las Ciencias de su articulo que contenia las que hoy son conocidas como Ecuaciones de Campo de Einstein Estas ecuaciones forman el nucleo de la teoria y especifican como la densidad local de materia y energia determina la geometria del espacio tiempo Las ecuaciones de campo de Einstein son no lineales y muy dificiles de resolver Einstein utilizo los metodos de aproximacion en la elaboracion de las predicciones iniciales de la teoria Pero ya en 1916 el astrofisico Karl Schwarzschild encontro la primera solucion exacta no trivial de las Ecuaciones de Campo de Einstein la llamada Metrica de Schwarzschild Esta solucion sento las bases para la descripcion de las etapas finales de un colapso gravitacional y los objetos que hoy conocemos como agujeros negros En el mismo ano se iniciaron los primeros pasos hacia la generalizacion de la solucion de Schwarzschild a los objetos con carga electrica obteniendose asi la solucion de Reissner Nordstrom ahora asociada con la carga electrica de los agujeros negros En 1917 Einstein aplico su teoria al universo en su conjunto iniciando el campo de la cosmologia relativista En linea con el pensamiento contemporaneo en el que se suponia que el universo era estatico agrego a sus ecuaciones una constante cosmologica para reproducir esa observacion En 1929 sin embargo el trabajo de Hubble y otros demostraron que nuestro universo se esta expandiendo Esto es facilmente descrito por las soluciones encontradas por Friedmann en 1922 para la expansion cosmologica que no requieren de una constante cosmologica Lemaitre utilizo estas soluciones para formular la primera version de los modelos del Big Bang en la que nuestro universo ha evolucionado desde un estado anterior extremadamente caliente y denso Einstein declaro mas tarde que agregar esa constante cosmologica a sus ecuaciones fue el mayor error de su vida Durante ese periodo la relatividad general se mantuvo como una especie de curiosidad entre las teorias fisicas Fue claramente superior a la gravedad newtoniana siendo consistente con la relatividad especial y contestaba varios efectos no explicados por la teoria newtoniana El mismo Einstein habia demostrado en 1915 como su teoria lograba explicar el avance del perihelio anomalo del planeta Mercurio sin ningun parametro arbitrario Del mismo modo en una expedicion de 1919 liderada por Eddington confirmaron la prediccion de la relatividad general para la desviacion de la luz estelar por el Sol durante el eclipse total de Sol del 29 de mayo de 1919 haciendo famoso a Einstein instantaneamente Sin embargo esta teoria ha entrado en la corriente de la fisica teorica y la astrofisica desarrolladas aproximadamente entre 1960 y 1975 ahora conocido como la edad de oro de la relatividad general Los fisicos empezaron a comprender el concepto de agujero negro y a identificar la manifestacion de objetos astrofisicos como los cuasares Cada vez mas precisas las pruebas del sistema solar confirmaron el poder predictivo de la teoria y la cosmologia relativista tambien se volvio susceptible a encaminar pruebas observacionales AntecedentesLos exitos explicativos de la teoria de la relatividad especial condujeron a la aceptacion de la teoria practicamente por la totalidad de los fisicos Eso llevo a que antes de la formulacion de la relatividad general existieran dos teorias fisicas incompatibles La teoria especial de la relatividad covariante en el sentido de Lorentz que integraba adecuadamente el electromagnetismo y que descarta explicitamente las acciones instantaneas a distancia La teoria de la gravitacion de Newton explicitamente no covariante que explicaba de manera adecuada la gravedad mediante acciones instantaneas a distancia concepto de fuerza a distancia La necesidad de buscar una teoria que integrase como casos limites particulares las dos anteriores requeria la busqueda de una teoria de la gravedad que fuese compatible con los nuevos principios relativistas introducidos por Einstein Ademas de incluir la gravitacion en una teoria de formulacion covariante hubo otra razon adicional Einstein habia concebido la teoria especial de la relatividad como una teoria aplicable solo a sistemas de referencia inerciales aunque realmente puede generalizarse a sistemas acelerados sin necesidad de introducir todo el aparato de la relatividad general La insatisfaccion de Einstein con su creencia de que la teoria era aplicable solo a sistemas inerciales le llevo a buscar una teoria que proporcionara descripciones fisicas adecuadas para un sistema de referencia totalmente general Esta busqueda era necesaria ya que segun la relatividad espacial ninguna informacion puede viajar a mayor velocidad que la luz y por lo tanto no puede existir relacion de causalidad entre dos eventos unidos por un intervalo de tipo espacio space like Sin embargo uno de los pilares fundamentales de la gravedad newtoniana el principio de accion a distancia supone que las alteraciones producidas en el campo gravitatorio se transmiten instantaneamente a traves del espacio La contradiccion entre ambas teorias es evidente puesto que asumir las tesis de Newton llevaria implicita la posibilidad de que un observador fuera afectado por las perturbaciones gravitatorias producidas fuera de su cono de luz Einstein resolvio este problema interpretando los fenomenos gravitatorios como simples alteraciones de la curvatura del espacio tiempo producidas por la presencia de masas De ello se deduce que el campo gravitatorio al igual que el campo electromagnetico tiene una entidad fisica independiente y sus variaciones se transmiten a una velocidad finita en forma de ondas gravitacionales La presencia de masa energia o momentum en una determinada region de la variedad tetradimensional provoca la alteracion de los coeficientes de la metrica en una forma cuyos detalles pormenorizados analizaremos en las secciones siguientes En esta vision la gravitacion solo seria una pseudo fuerza equivalente a la fuerza de Coriolis o a la fuerza centrifuga efecto de haber escogido un sistema de referencia no inercial Principios generalesLas caracteristicas esenciales de la teoria de la relatividad general son las siguientes El principio general de covariancia las leyes de la Fisica deben tomar la misma forma matematica en todos los sistemas de coordenadas El principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz las leyes de la relatividad especial espacio plano de Minkowski se aplican localmente para todos los observadores inerciales La curvatura del espacio tiempo es lo que observamos como un campo gravitatorio en presencia de materia la geometria del espacio tiempo no es plana sino curva una particula en movimiento libre inercial en el seno de un campo gravitatorio sigue una trayectoria geodesica Principio de covariancia Articulo principal Principio de covariancia El principio de covariancia es la generalizacion de la teoria de la relatividad especial donde se busca que las leyes fisicas tengan la misma forma en todos los sistemas de referencia Esto ultimo equivale a que todos los sistemas de referencia sean indistinguibles y desde el punto de vista fisico equivalentes En otras palabras que cualquiera que sea el movimiento de los observadores las ecuaciones tendran la misma forma matematica y contendran los mismos terminos Esta fue la principal motivacion de Einstein para que estudiara y postulara la relatividad general El principio de covariancia sugeria que las leyes debian escribirse en terminos de tensores cuyas leyes de transformacion covariantes y contravariantes podian proporcionar la invarianza de forma buscada satisfaciendose el principio fisico de covariancia El principio de equivalencia Los dos astronautas de la imagen se encuentran en una nave en caida libre Por ello no experimentan gravedad alguna su estado se describe coloquialmente como de gravedad cero Se dice por ello que son observadores inerciales Un hito fundamental en el desarrollo de la teoria de la relatividad general lo constituye el principio de equivalencia enunciado por Albert Einstein en el ano 1912 y al que su autor califico como la idea mas feliz de mi vida Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en caida libre y otro que se mueve en una region del espacio tiempo sin gravedad se encuentran en un estado fisico similar en ambos casos se trata de sistemas inerciales Galileo distinguia entre cuerpos de movimiento inercial en reposo o moviendose a velocidad constante y cuerpos de movimiento no inercial sometidos a un movimiento acelerado En virtud de la segunda ley de Newton que se remonta a los trabajos del dominico espanol Domingo de Soto toda aceleracion estaba causada por la aplicacion de una fuerza exterior La relacion entre fuerza y aceleracion se expresaba mediante esta formula m F a displaystyle m frac F a donde a es la aceleracion F la fuerza y m la masa La fuerza podia ser de origen mecanico electromagnetico o como no gravitatorio Segun los calculos de Galileo la aceleracion gravitatoria de los cuerpos era constante y equivalia a 9 8 m s2 sobre la superficie terrestre La fuerza con la que un cuerpo era atraido hacia el centro de la Tierra se denominaba peso Evidentemente segun los principios de la mecanica clasica un cuerpo en caida libre no es un sistema inercial puesto que se mueve aceleradamente dentro del campo gravitatorio en que se encuentra Sin embargo la teoria de la relatividad considera que los efectos gravitatorios no son creados por fuerza alguna sino que encuentran su causa en la curvatura del espacio tiempo generada por la presencia de materia Por ello un cuerpo en caida libre es un sistema localmente inercial ya que no esta sometido a ninguna fuerza porque la gravedad tiene este caracter en relatividad general Un observador situado en un sistema inercial como una nave en orbita no experimenta ninguna aceleracion y es incapaz de discernir si esta atravesando o no un campo gravitatorio Como consecuencia de ello las leyes de la fisica se comportan como si no existiera curvatura gravitatoria alguna De ahi que el principio de equivalencia tambien reciba el nombre de Invariancia Local de Lorentz En los sistemas inerciales rigen los principios y axiomas de la relatividad especial El principio de equivalencia implica asimismo que los observadores situados en reposo sobre la superficie de la Tierra no son sistemas inerciales experimentan una aceleracion de origen gravitatorio de unos 9 8 metros por segundo al cuadrado es decir sienten su peso Ejemplos de sistemas inerciales segun el Principio de Equivalencia Sistema Es inercial Principio de Equivalencia Es inercial Mecanica newtoniana Cuerpo en caida libre Si No Cuerpo en reposo sobre la superficie terrestre No Si Planeta orbitando alrededor del sol Si No Nave precipitandose hacia la tierra Si No Cohete despegando desde una base de lanzamiento No No Aunque la mecanica clasica tiene en cuenta la aceleracion medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio p ej un astronomo el Principio de Equivalencia contrariamente toma en consideracion la aceleracion experimentada por un observador situado en el sistema en cuestion cualquier cuerpo que se mueva sin restricciones por un campo gravitatorio puede ser considerado como un sistema inercial Es el caso de los planetas que orbitan en torno del Sol y de los satelites que orbitan alrededor de los primeros los habitantes de la Tierra no llegan a percibir si nos estamos acercando o alejando del Sol ni si nos encontramos en el afelio o en el perihelio a pesar de las enormes diferencias de la gravedad solar La gravedad se convierte en virtud del Principio de Equivalencia en una fuerza aparente como la fuerza centrifuga y la fuerza de Coriolis en estos dos ultimos supuestos su aparicion es debida a la eleccion de un marco de referencia acelerado un observador situado en la superficie de una esfera en rotacion En el caso de la gravedad unicamente percibimos la fuerza aparente gravitatoria cuando escogemos un sistema de referencia no inercial en reposo sobre la superficie terrestre pero no cuando nos situamos en otro que si lo es un cuerpo en caida libre Aunque el principio de equivalencia fue historicamente importante en el desarrollo de la teoria no es un ingrediente necesario de una teoria de la gravedad como prueba el hecho de que otras teorias metricas de la gravedad como la teoria relativista de la gravitacion prescindan del principio de equivalencia Ademas conviene senalar que el principio de equivalencia no se cumple en presencia de campos electromagneticos por ejemplo una particula cargada moviendose a lo largo de una geodesica de un espacio tiempo cualquiera en general emitira radiacion a diferencia de una particula cargada moviendose a lo largo de una geodesica del espacio de Minkowski Ese y otros hechos sugieren que el principio de equivalencia a pesar de su equivalencia historica no es parte esencial de una teoria relativista de la gravitacion La curvatura del espacio tiempo Articulo principal Curvatura del espacio tiempo La aceptacion del principio de equivalencia por Albert Einstein le llevo a un descubrimiento ulterior la contraccion o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio que quedo expresado en su articulo de 1911 Sobre la influencia de la gravedad en la propagacion de la luz 3 Supongamos que un foton emitido por una estrella cercana se aproxima a la Tierra En virtud de la ley de conservacion del tetramomentum la energia conservada del foton permanece invariante Por otro lado el principio de equivalencia implica que un observador situado en el foton que es un sistema inercial es decir se halla en caida libre no experimenta ninguno de los efectos originados por el campo gravitatorio terrestre De ello se deduce que la energia conservada del foton no se altera como consecuencia de la accion de la gravedad y tampoco lo hace la frecuencia de la luz ya que segun la conocida formula de la fisica cuantica la energia de un foton es igual a su frecuencia v multiplicada por la constante de Planck h E hn En la imagen se reproduce el corrimiento gravitacional hacia el rojo de un foton que escapa del campo gravitatorio solar y se dirige hacia la Tierra En este caso la onda electromagnetica pierde progresivamente energia y su frecuencia disminuye conforme aumenta la distancia al Sol Ahora bien si las observaciones las realizara un astronomo situado en la superficie de la Tierra esto es en reposo respecto su campo gravitatorio los resultados serian muy diferentes el astronomo podria comprobar como el foton por efecto de su caida hacia la Tierra va absorbiendo progresivamente energia potencial gravitatoria y como consecuencia de esto ultimo su frecuencia se corre hacia el azul 4 Los fenomenos de absorcion de energia por los fotones en caida libre y corrimiento hacia el azul se expresan matematicamente mediante las siguientes ecuaciones E o b s E c o n e F displaystyle E obs E con e Phi h n r e c h n e m e F displaystyle h nu rec h nu em e Phi n r e c n e m e F displaystyle nu rec nu em e Phi donde E o b s displaystyle E obs es la energia medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio en este caso un astronomo F displaystyle Phi el potencial gravitatorio de la region donde se encuentra este E c o n displaystyle E con la energia conservada del foton n e m displaystyle nu em la frecuencia de emision n r e c displaystyle nu rec es la frecuencia percibida por el observador y corrida hacia el azul y h displaystyle h la constante de Planck Ahora bien en el parrafo anterior hemos demostrado que la energia conservada del foton permanece invariante Por tanto como es posible que exista esta divergencia entre los resultados de la medicion de la energia obtenidos por el astronomo E o b s displaystyle E obs y la energia conservada del foton E c o n displaystyle E con La unica manera de resolver esta contradiccion es considerando que el tiempo se ralentiza como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio De este modo la citada ecuacion n r e c n e m e F displaystyle nu rec nu em e Phi puede escribirse de este modo ciclos D t o b s ciclos D t e m e F displaystyle frac mbox ciclos Delta t obs frac mbox ciclos Delta t em e Phi Es decir la frecuencia es igual al numero de ciclos que tienen lugar en un determinado periodo generalmente un segundo Donde D t e m displaystyle Delta t em es el tiempo medido por un observador situado a una distancia infinita del cuerpo masivo y por lo tanto no experimenta la atraccion gravitatoria de este mientras que D t o b s displaystyle Delta t obs es el tiempo medido por un observador bajo la influencia del campo gravitatorio y en reposo respecto a este como por ejemplo una persona situada sobre la superficie terrestre De ahi se deduce que cerca de un cuerpo masivo el tiempo se ralentiza siguiendo estas reglas matematicas D t e m D t o b s e F displaystyle Delta t em Delta t obs e Phi D t o b s D t e m e F displaystyle Delta t obs Delta t em e Phi En una singularidad espacio temporal como las que existen en el interior de los agujeros negros la densidad de masa materia y el campo gravitatorio tienden al infinito lo que provoca la congelacion del tiempo y por lo tanto la eliminacion de todo tipo de procesos dinamicos lim r 0 D t o b s D t e m e lim r 0 D t o b s 0 displaystyle lim r to 0 Delta t obs Delta t em e infty to lim r to 0 Delta t obs 0 En la imagen dos particulas en reposo relativo en un espacio tiempo llano Se representan en este esquema dos particulas que se acercan entre si siguiendo un movimiento acelerado La interpretacion newtoniana supone que el espacio tiempo es llano y que lo que provoca la curvatura de las lineas de universo es la fuerza de interaccion gravitatoria entre ambas particulas Por el contrario la interpretacion einsteiniana supone que las lineas de universo de estas particulas son geodesicas rectas y que es la propia curvatura del espacio tiempo lo que provoca su aproximacion progresiva La contraccion del tiempo debido a la presencia de un campo gravitatorio fue confirmada experimentalmente en el ano 1959 por el experimento Pound Rebka Snider llevado a cabo en la universidad de Harvard Se colocaron detectores electromagneticos a una cierta altura y se procedio a emitir radiacion desde el suelo Todas las mediciones que se realizaron confirmaron que los fotones habian experimentado un corrimiento hacia el rojo durante su ascenso a traves del campo gravitatorio terrestre Hoy en dia el fenomeno de la contraccion del tiempo tiene cierta importancia en el marco del servicio localizador GPS cuyas exigencias de exactitud requieren de una precision extrema Basta con que se produzca un retraso de 0 04 microsegundos en la senal para que se produzca un error de posicionamiento de unos 10 metros De ahi que las ecuaciones de Einstein hayan de ser tenidas en cuenta al calcular la situacion exacta de un determinado objeto sobre la superficie terrestre Desde un punto de vista teorico el articulo de Einstein de 1911 tuvo una importancia aun mayor Pues la contraccion del tiempo conllevaba tambien en virtud de los principios de la relatividad especial la contraccion del espacio De ahi que fuera inevitable a partir de este momento descartar la existencia de un espacio tiempo llano y fuera necesario asumir la curvatura de la variedad espacio temporal como consecuencia de la presencia de masas En la relatividad general fenomenos que la mecanica clasica atribuye a la accion de la fuerza de gravedad tales como una caida libre la orbita de un planeta o la trayectoria de una nave espacial son interpretados como efectos geometricos del movimiento en un espacio tiempo curvado De hecho una particula libre en un campo gravitatorio sigue lineas de curvatura minima a traves de este espacio tiempo curvado Finalmente podemos hacer referencia a la desviacion de los rayos de la luz como consecuencia de la presencia de un cuerpo masivo fenomeno que da lugar a efectos opticos como las lentes gravitacionales o los anillos de Einstein Frente de onda desviado Lente gravitacional Experimento de Eddington Formulacion matematica y consideraciones generales Articulo principal Introduccion matematica a la relatividad general No te preocupes por tus problemas con las matematicas te aseguro que los mios son mucho mayores A Einstein en una carta a una nina de nueve anos Matematicamente Einstein conjeturo que la geometria del universo deja de ser euclidiana por la presencia de masas Einstein modelizo que el universo era un tipo de espacio tiempo curvo mediante una variedad pseudoriemanniana y sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura seccional de esta variedad en un punto esta relacionada directamente con el tensor de energia momento en dicho punto Dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energia La curvatura le dice a la materia como moverse y de forma reciproca la materia le dice al espacio como curvarse En terminos mas precisos las trayectorias de las particulas se ven afectadas por la curvatura y la presencia de muchas particulas en una region altera notoriamente la curvatura La relatividad general se distingue de otras teorias alternativas de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura Aunque todavia no existe una teoria cuantica de la gravedad que incorpore tanto a la mecanica cuantica como a la teoria de la relatividad general y que proponga una ecuacion de campo gravitatorio que sustituya a la de Einstein pocos fisicos dudan que una teoria cuantica de la gravedad pondra a la relatividad general en el limite apropiado asi como la relatividad general predice la ley de la gravedad en el limite no relativista Los diferentes tensores y escalares de la relatividad generalArticulo principal Introduccion matematica a la relatividad general La derivada covariante Los cuerpos en caida libre como las naves en orbita son sistemas inerciales en los que la derivada covariante de su velocidad es nula u u r 0 displaystyle nabla vec u u r 0 Por ello no experimentan ningun tipo de aceleracion inercial provocada por la fuerza gravitatoria Sin embargo un observador externo como un astronomo situado en la Tierra puede observar como dicho cuerpo en caida libre se aproxima a la Tierra con una aceleracion creciente de ahi que la derivada ordinaria de la velocidad en este caso sea diferente a cero d v r d t 0 displaystyle frac dv r dt not 0 Dice la leyenda apocrifa que fue la manzana de un arbol la que provoco que Newton se diera cuenta que los objetos caen y por lo tanto aceleran como consecuencia de la gravitacion universal Y es que los objetos en reposo sobre la superficie terrestre experimentan como consecuencia de la fuerza aparente gravitatoria una aceleracion inercial de 9 8 m s 2 displaystyle 9 8 text m s 2 y por lo tanto la derivada covariante de su velocidad tambien tiene ese valor u u r 9 8 displaystyle nabla vec u u r 9 8 5 Sin embargo dichos objetos puesto que estan en reposo tienen una aceleracion relativa nula respecto a un observador terrestre es decir la derivada ordinaria de su velocidad es cero d v r d t 0 displaystyle frac dv r dt 0 Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la teoria de la relatividad general es el de derivada covariante a veces impropiamente llamada conexion afin que fue definida por primera vez por el matematico italiano Tullio Levi Civita y que puede ser considerada tanto desde una perspectiva fisica como desde otra matematica Desde un punto de vista fisico la derivada ordinaria de la velocidad es la aceleracion de un cuerpo medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio por ejemplo un astronomo situado sobre la superficie terrestre En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante del centro de masas pero no asi el objeto observado que si consideramos que esta en caida libre progresivamente se ira aproximando al origen del campo gravitatorio y el observador externo detectara que tiene una aceleracion constante g Por el contrario la derivada covariante de la velocidad D u d t displaystyle left frac D vec u d tau right o u u displaystyle nabla vec u vec u 6 es la aceleracion medida por un observador comovil es decir que esta en reposo respecto al cuerpo en caida libre por ejemplo el piloto de un avion en caida libre o los tripulantes de una nave espacial con sus motores apagados y que a diferencia de la derivada ordinaria no detectara ninguna aceleracion a menos que el piloto encienda los motores o que algun meteorito lo impacte En resumidas cuentas la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleracion ordinaria de un cuerpo mientras que la derivada covariante es empleada para calcular su aceleracion inercial Segun la mecanica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleracion son identicos y sobre la base de este axioma se desarrollaron nuevos principios mecanicos como el Principio de d Alembert Sin embargo del principio de equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo esta en caida libre tiene una aceleracion ordinaria que depende de la masa del cuerpo sobre el cual esta cayendo pero su aceleracion inercial es nula a menos que se le aplique alguna otra fuerza De ahi que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir en su teoria el concepto de derivada covariante Desde un punto de vista estrictamente matematico el calculo de la derivada covariante tiene lugar a traves de un sencillo procedimiento Se procede en primer lugar al computo de la derivada parcial covariante y luego se generaliza esta La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector mientras que la derivada covariante se aplica tambien sobre las bases del espacio vectorial ya que la percepcion del espacio tiempo dependera de la velocidad del observador comovil b u b u a e a displaystyle nabla beta vec u partial beta u alpha vec e alpha Sobre esta ecuacion procedemos a aplicar la regla del producto o de Leibniz b u b u a e a u a b e a displaystyle nabla beta vec u partial beta u alpha vec e alpha u alpha partial beta vec e alpha Llegados a este punto introducimos una nueva notacion los simbolos de Christoffel que pueden ser definidos como el componente m displaystyle mu de la derivada parcial de e a displaystyle e alpha respecto a b displaystyle beta b e a G a b m e m displaystyle partial beta vec e alpha Gamma alpha beta mu vec e mu De este modo b u b u a e a u a G a b m e m displaystyle nabla beta vec u partial beta u alpha vec e alpha u alpha Gamma alpha beta mu vec e mu Realizamos un intercambio de indices m displaystyle mu por a displaystyle alpha en el ultimo termino del segundo miembro de la ecuacion b u b u a e a G m b a u m e a displaystyle nabla beta vec u partial beta u alpha vec e alpha Gamma mu beta alpha u mu vec e alpha Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad que equivalen a la expresion entre parentesis b u b u a G m b a u m e a displaystyle nabla beta vec u partial beta u alpha Gamma mu beta alpha u mu vec e alpha b u a b u a G m b a u m displaystyle nabla beta u alpha partial beta u alpha Gamma mu beta alpha u mu Generalizamos dichos componentes multiplicandolos por el componente b displaystyle beta de la tetravelocidad u b d x b d t displaystyle u beta frac dx beta d tau y obtenemos con ello la derivada covariante de la velocidad d x b d t b u a b u a d x b d t G m b a u m d x b d t displaystyle frac dx beta d tau nabla beta u alpha partial beta u alpha frac dx beta d tau Gamma mu beta alpha u mu frac dx beta d tau u u a d u a d t G m b a u m u b displaystyle nabla vec u u alpha frac du alpha d tau Gamma mu beta alpha u mu u beta Puesto que para un observador inercial p ej un cuerpo en caida libre u u a 0 displaystyle nabla vec u u a 0 esta ultima ecuacion toma la siguiente forma 0 d u a d t G m b a u m u b displaystyle 0 frac du alpha d tau Gamma mu beta alpha u mu u beta d u a d t G m b a u m u b displaystyle frac du alpha d tau Gamma mu beta alpha u mu u beta Estas formulas reciben el nombre de ecuacion de las lineas geodesicas y se utilizan para calcular la aceleracion gravitatoria de cualquier cuerpo Con ayuda de la ecuacion de las lineas geodesicas podemos determinar la aceleracion radial y angular de la Tierra respecto al Sol Puesto que la curvatura gravitatoria los valores de los simbolos de Christoffel aumentan conforme nos acercamos al Sol de ello se deduce que la aceleracion de la Tierra es maxima en las proximidades del perihelio exactamente tal y como predicen las leyes de Newton 7 y Kepler 8 A los lectores principiantes puede chocarles la propia definicion de los simbolos de Christoffel A fin de cuentas en el espacio euclideo la derivada de una base por ejemplo e x displaystyle e x respecto a otra coordenada pongamos y displaystyle y es siempre cero por la simple razon de que las bases de ambas coordenadas son ortogonales Sin embargo esto no sucede asi en las variedades curvas como por ejemplo las superficies de un cilindro o de una esfera En tales casos los simbolos de Christoffel no son iguales a cero sino que son funciones de las derivadas del tensor metrico La relacion matematica entre estas dos magnitudes matematicas se expresa mediante la siguiente ecuacion G b m a 1 2 g a s m g s b b g s m s g b m displaystyle Gamma beta mu alpha frac 1 2 g alpha sigma partial mu g sigma beta partial beta g sigma mu partial sigma g beta mu Los simbolos de Christoffel constituyen el parametro principal que determina cuan grande es el grado de curvatura existente en una region determinada y con su ayuda podemos conocer cual va a ser la trayectoria de una geodesica en un espacio curvo En el caso de la variedad espacio temporal la Teoria de la Relatividad afirma que la curvatura viene originada por la presencia de tetramomentum y por ello cuanta mayor sea la densidad de materia existente en una determinada region mayores seran los valores de los simbolos de Christoffel Los principios de general covariancia y de acoplamiento minimo Articulo principal Principio de acoplamiento minimo En un espacio tiempo curvo las leyes de la fisica se modifican mediante el Principio de acoplamiento minimo que supone que las ecuaciones matematicas en cuya virtud se expresan aquellas experimentan las siguientes modificaciones La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante La metrica de Minkowski es sustituida por una formulacion general del tensor metrico h m n g m n x displaystyle eta mu nu longrightarrow g mu nu left x right m m x displaystyle partial mu longrightarrow nabla mu left x right De este modo la ecuacion galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho principio en la ecuacion relativista de las lineas geodesicas b u a 0 b u a 0 displaystyle partial beta u alpha 0 to nabla beta u alpha 0 Ley de conservacion de la energia a T a b 0 a T a b 0 displaystyle partial alpha T alpha beta 0 to nabla alpha T alpha beta 0 Sin embargo en virtud del principio de simetria de los simbolos de Christoffel las leyes electromagneticas en general no experimentan modificaciones debidas a la curvatura gravitatoria F a b a A b b A a displaystyle F alpha beta partial alpha A beta partial beta A alpha F a b a A b b A a displaystyle F alpha beta nabla alpha A beta nabla beta A alpha F a b a A b G b a m A m b A a G a b m A m displaystyle F alpha beta partial alpha A beta Gamma beta alpha mu A mu partial beta A alpha Gamma alpha beta mu A mu G a b m G b a m displaystyle Gamma alpha beta mu Gamma beta alpha mu Alteracion de las leyes fisicas producida por la curvatura Derivada covariante Objeto o ley fisico matematica Espacio tiempo llano Espacio tiempo curvo Se produce alteracion por la curvatura Ley de conservacion de la energia a T a b 0 displaystyle partial alpha T alpha beta 0 a T a b 0 displaystyle nabla alpha T alpha beta 0 Si Tensor electromagnetico F i j i A j j A i displaystyle F ij partial i A j partial j A i F i j i A j j A i i A j j A i displaystyle F ij nabla i A j nabla j A i partial i A j partial j A i No Ecuaciones de Maxwell displaystyle displaystyle No Velocidad de la luz c displaystyle c c displaystyle c No Ecuacion de un sistema inercial d u a d t 0 displaystyle frac du alpha dt 0 u u d u a d t G b n a u b u m 0 displaystyle nabla vec u vec u frac du alpha dt Gamma beta nu alpha u beta u mu 0 Si Aceleracion a d x 2 d t 2 displaystyle a frac dx 2 dt 2 a a d 2 x a d t 2 displaystyle a alpha frac d 2 x alpha d tau 2 Si Volumen displaystyle displaystyle Si Ecuacion lineas geodesicas El tensor de Riemann y la curvatura de las lineas de universo Veanse tambien Tensor de curvatura Transporte paraleloy Fuerza de marea Aproximacion de dos geodesicas en verde en una superficie esferica Su vector de separacion 3 displaystyle xi primero rosa luego azul va progresivamente contrayendose conforme nos acercamos al Polo Norte siguiendo las pautas marcadas por el tensor de Riemann La medicion de la curvatura de cualquier variedad ya se trate del espacio tiempo de una esfera o de una silla de montar viene determinada por el tensor de curvatura o tensor de Riemann que es una funcion de los simbolos de Christoffel y sus derivadas de primer orden El tensor de Riemann tiene una importancia fundamental a la hora de calcular la desviacion de dos lineas en origen paralelas cuando se desplazan a traves de una superficie curva Es bien sabido que en una variedad llana las lineas paralelas jamas se cortan sin embargo esta regla no rige en el caso de las superficies curvas de geometria eliptica Supongamos que dos viajeros salen del Ecuador en direccion norte En ambos casos el angulo que la trayectoria de su barco forma con el Ecuador es inicialmente de 90 por lo que se trata de dos lineas paralelas Sin embargo conforme los viajeros se van desplazando hacia el norte su distancia reciproca se hace cada vez mas pequena hasta que se hace nula en el Polo Norte que es donde se cortan sus trayectorias de viaje Para calcular la tasa de aproximacion entre las dos geodesicas utilizamos la siguiente ecuacion d 2 3 a R b m n a d x b 3 m d x n displaystyle d 2 xi alpha R beta mu nu alpha dx beta xi mu dx nu donde d x b displaystyle dx beta y d x m displaystyle dx mu representan el recorrido desde el Ecuador de ambas lineas geodesicas y 3 m displaystyle xi mu la distancia de separacion entre ellas Aceleracion reciproca de dos lineas de universo geodesicas Como vemos conforme se avanza en la coordenada temporal el tensor de Riemann curva las geodesicas y provoca el acercamiento reciproco de las dos particulas En el espacio tiempo que tambien es una variedad curva las cosas funcionan de un modo parecido el tensor de Riemann determina la aceleracion reciproca entre las lineas de universo de dos sistemas inerciales p ej dos asteroides que se acercan progresivamente como consecuencia de su mutua atraccion gravitatoria Para calcular dicha aceleracion aplicamos de nuevo la conocida formula modificandola ligeramente d 2 3 a d t 2 R b m n a u b 3 m u n displaystyle frac d 2 xi alpha d tau 2 R beta mu nu alpha u beta xi mu u nu donde d t displaystyle d tau es un parametro afin el tiempo local y u b displaystyle u beta y u m displaystyle u mu son los vectores de cuadrivelocidad de ambos cuerpos que segun el esquema de Minkowski equivalen geometricamente a campos vectoriales tangentes a ambas lineas de universo Fuerzas de marea Todo esto nos conecta con lo que en fisica newtoniana se denominan fuerzas de marea responsables de multiples fenomenos astronomicos y cuya base teorica reposa en el planteamiento siguiente Supongamos que una determinada nave espacial esta cayendo a un agujero negro Es evidente que la proa de la nave experimenta una fuerza gravitatoria mas intensa que la popa por el simple hecho de que la primera esta mas proxima que la segunda al horizonte de sucesos Si la diferencia de aceleraciones entre la proa y la popa es lo suficientemente intensa la nave puede llegar a distorsionarse y quebrarse definitivamente El gradiente gravitatorio es tambien responsable del ciclo de mareas Las zonas de la tierra mas cercanas a la Luna experimentan una mayor atraccion gravitatoria que las mas lejanas a ella lo que provoca que el agua del mar se acumule en aquellas areas de la superficie terrestre que estan alineadas con la Luna En relatividad general la aceleracion de marea viene originada por el tensor de Riemann Hay una correspondencia casi natural entre las ecuaciones newtonianas y las relativistas En efecto la ecuacion newtoniana utilizada para computar las fuerzas de marea es la siguiente a i F i i 3 i displaystyle a i Phi ii xi i donde a es la aceleracion de marea F displaystyle Phi el potencial gravitatorio y 3 displaystyle xi la distancia entre las dos particulas Las fuerzas de marea vienen determinadas por las derivadas de segundo orden del potencial gravitatorio Desde el punto de vista relativista las fuerzas de marea vienen determinadas por el tensor de Riemann y si la region del espacio tiene una escasa densidad de cuadrimomento y una distribucion uniforme de la curvatura los componentes toman aproximadamente los valores siguientes R 0 i 0 i F i i displaystyle R 0i0 i approx Phi ii R b m n a 0 displaystyle R beta mu nu alpha approx 0 para el resto de los indices Demostracion Las expresiones que relacionan el tensor de Riemann con los simbolos de Christoffel son las siguientes R b m n a G b n m a G b m n a G b n s G s m a G b m r G r n a displaystyle R beta mu nu alpha Gamma beta nu mu alpha Gamma beta mu nu alpha Gamma beta nu sigma Gamma sigma mu alpha Gamma beta mu rho Gamma rho nu alpha En un marco de Lorentz donde se hacen nulos los coeficientes de los simbolos de Christoffel pero no asi sus primeras derivadas la formula para el calculo del tensor de curvatura queda simplificada R b m n a G b n m a G b m n a displaystyle R beta mu nu alpha Gamma beta nu mu alpha Gamma beta mu nu alpha Si el espacio tiempo es newtoniano o cuasinewtoniano poca densidad de cuadrimomento fluidos no relativistas los unicos coeficientes no nulos de los simbolos de Christoffel son los correspondientes a G 00 i displaystyle Gamma 00 i Tenemos pues G 00 i F i displaystyle Gamma 00 i Phi i de lo contrario G b m a 0 displaystyle Gamma beta mu alpha 0 R 0 i 0 i G 00 i i G 0 i 0 i displaystyle R 0i0 i Gamma 00 i i Gamma 0i 0 i R 0 i 0 i G 00 i i displaystyle R 0i0 i Gamma 00 i i R 0 i 0 i F i i displaystyle R 0i0 i Phi ii De ahi que sea muy simple deducir la ecuacion clasica partir de la relativista d 2 3 i d t 2 R 0 i 0 i u 0 3 i u 0 a i F i i 3 i displaystyle frac d 2 xi i d tau 2 R 0i0 i u 0 xi i u 0 to a i Phi ii xi i Como se puede deducir de los parrafos anteriores en relatividad general las fuerzas de marea estan determinadas por el tensor de Riemann y las primeras derivadas de los simbolos de Christoffel Si estas magnitudes tienen un valor no nulo el diferencial de los simbolos de Christoffel provoca la dispersion de las geodesicas correspondientes a particulas de un fluido determinado G b m a 0 displaystyle partial Gamma beta mu alpha not 0 d u a d t G m n a u m u n displaystyle frac du alpha d tau Gamma mu nu alpha u mu u nu Las geodesicas trayectorias inerciales en el espacio tiempo vienen determinadas por los valores de los simbolos de Christoffel Si estos son constantes las particulas de un fluido se mueven uniformemente a una misma velocidad y aceleracion y no se altera su distancia entre si Pero si los componentes de los simbolos de Christoffel varian a lo largo de una determinada region ello conlleva la divergencia de las lineas de universo de las particulas y la distorsion del fluido en la medida en que cada una de sus partes constituyentes acelera distintamente En esta recreacion artistica se reproducen el planeta y los dos cinturones de asteroides que orbitan alrededor de la estrella Epsilon Eridani Las fuerzas de marea y el tensor de Riemann tienen una importancia fundamental en la formacion y configuracion de los sistemas planetarios asi como en multitud de procesos astrofisicos y cosmologicos Sirva de ejemplo nuestro propio Sistema Solar Hace cerca de 4500 millones de anos una nube molecular alcanzo la densidad y la compresion suficientes como para transformarse en un sistema planetario La mayor parte del material de la nube se precipito sobre en torno al nucleo dando lugar al Sol Sin embargo ciertas cantidades de gas y de polvo continuaron rotando bajo la forma de un disco de acrecion y se aglutinaron para dar origen a planetesimales y posteriormente a planetas El sistema planetario de la estrella HD 69830 viene compuesto por un masivo cinturon de asteroides y por tres exoplanetas de masa neptuniana cuyos efectos gravitatorios dispersan las lineas de universo de los asteroides impidiendo que se agreguen para formar nuevos planetas Sin embargo en la zona situada entre Marte y Jupiter los tensores de Riemann correspondientes a las masas del Sol y de Jupiter generaron unas intensas fuerzas de marea que dispersaron las lineas de universo de los planetesimales alli situados impidiendo que se agregaran entre si para dar lugar a un cuerpo masivo Los planetesimales permanecieran dispersos bajo la forma de un cinturon de asteroides Este fenomeno que acaba de describirse no es exclusivo de nuestro Sistema Solar sino que ha sido observado en multitud de sistemas exoplanetarios descubiertos desde principios de los anos noventa hasta la actualidad como los mostrados en las ilustraciones de esta seccion Las fuerzas de marea tambien poseen cierta importancia en el desarrollo de otros fenomenos astronomicos como las supernovas de tipo II deflagraciones cosmicas que suelen tener lugar en el marco de sistemas estelares dobles En efecto en los sistemas binarios es frecuente que una estrella masiva orbite alrededor de una enana blanca Si el tamano de la primera sobrepasa el limite de Roche el componente del tensor de Riemann R 0 i 0 i displaystyle R 0i0 i generado por la masa de la enana blanca extrae material de las capas exteriores de su companera y lo precipita sobre la enana blanca en torno a la cual dicho material orbita formando un disco de acrecion El plasma queda sometido a enormes temperaturas que provocan la emision de rayos X y la aparicion de explosiones periodicas conocidas con el nombre de supernovas de tipo II El significado fisico del tensor de Ricci En la ilustracion se reproducen los efectos del tensor de Ricci concretamente su componente R 00 displaystyle R 00 sobre un volumen tridimensional esferico conforme aumenta el tiempo dicho volumen se reduce El autor de la imagen se ha permitido la siguiente licencia Aunque los ejes de coordenadas representan dos dimensiones espaciales y una temporal el volumen de la esfera esta definido por tres dimensiones espaciales Segun la teoria laplaciana newtoniana de la gravitacion universal una masa esferica de gas reduce su volumen como consecuencia de la atraccion reciproca de sus moleculas con una aceleracion equivalente a 4 G p r displaystyle 4G pi rho D V 4 p G r displaystyle Delta V 4 pi G rho Es evidente que dicha ecuacion no es compatible con la relatividad especial por las razones resenadas anteriormente El parametro r displaystyle rho que mide la densidad de masa ha de ser sustituido por el tensor de energia tension T a b displaystyle T alpha beta que permanece invariable ante las transformaciones de Lorentz y tiene en cuenta los efectos gravitatorios de la energia y la presion y nosolo los de la masa Por otro lado segun la teoria de la relatividad general los efectos gravitatorios no son causados por ningun tipo de fuerza a distancia sino por la curvatura del espacio tiempo En este sentido cabe senalar que en un espacio tiempo curvo la aceleracion del volumen viene cuantificada por un objeto geometrico especifico el tensor de Ricci R a b displaystyle R alpha beta que puede definirse como la aceleracion coordenada del hipervolumen P b displaystyle Pi beta normal al vector unitario e b displaystyle e beta De este modo el componente R 00 displaystyle R 00 expresa la aceleracion temporal del volumen tridimensional R 00 d 2 P 0 d x 0 2 R 00 2 V displaystyle R 00 frac d 2 Pi 0 d x 0 2 quad Rightarrow quad R 00 nabla 2 V La relacion entre el tensor metrico y el tensor de Ricci se expresa a traves de la llamada ecuacion de flujo de Ricci que tiene la forma siguiente t g a b 2 R a b displaystyle partial t g alpha beta 2R alpha beta Segun esta ecuacion la existencia de valores positivos del tensor de Ricci implica la disminucion a lo largo del tiempo de los coeficientes del tensor metrico y como consecuencia de ello la disminucion de los volumenes en esa region de la variedad Por el contrario la presencia de valores negativos en el tensor de Ricci lleva consigo una expansion progresiva de las distancias las superficies y los volumenes Por todo lo dicho los tensores de energia momentum y de Ricci permitian expresar de manera tensorial y covariante la formula de Poisson y de ahi que originalmente Einstein propusiera las siguientes ecuaciones de universo R a b 4 p G c 2 T a b displaystyle R alpha beta frac 4 pi G c 2 T alpha beta En relatividad general el tensor de Ricci tiene la virtualidad de representar aquellos efectos gravitatorios originados por la presencia inmediata y local de cuadrimomento que son con gran diferencia los mas importantes a pequena y gran escala El tensor de Ricci rige pues la mayor parte de los procesos astrofisicos que tienen lugar en el Cosmos constituye una medida de la contraccion de nubes moleculares que dan lugar al nacimiento de estrellas y planetas cuantifica el colapso de las grandes cuerpos estelares y su conversion en enanas blancas estrellas de neutrones y agujeros negros y proporciona una medida de la expansion del universo Del tensor de Ricci particularmente de la forma que toma en los campos gravitatorios esfericos como las estrellas estaticas 9 se deriva la llamada Ley de equilibrio hidrostatico que regula el equilibrio entre la presion del fluido estelar 10 que tiende a expandir el volumen de la estrella y la curvatura gravitatoria que lo contrae Este equilibrio se mantiene practicamente durante toda la vida de la estrella y solo se rompe en dos ocasiones diferentes 1 Cuando la estrella deviene en una gigante roja en cuyo caso los efectos de la presion de radiacion 11 desbordan los del tensor de Ricci y como resultado el volumen de la estrella se expande hasta alcanzar una nueva situacion de equilibrio 2 Cuando la estrella agota su combustible Se produce entonces un descenso en la presion del fluido y la estrella bien se transforma en una enana blanca en una estrella de neutrones o bien colapsa definitivamente convirtiendose en un agujero negro Las ecuaciones de universo de Einstein Einstein tuvo pronto que modificar ligeramente sus ecuaciones de universo pues estas no eran compatibles con la ley de la conservacion de la energia Demostracion 1 Esto constrino a Einstein a modificar sus ecuaciones de universo que adquirieron su forma definitiva tras la publicacion en 1915 del articulo Aplicacion de la teoria de la relatividad general al campo gravitatorio 12 R a b 1 2 g a b R 8 p G c 4 T a b displaystyle R alpha beta frac 1 2 g alpha beta R frac 8 pi G c 4 T alpha beta Demostracion 1 En efecto la derivada covariante del tensor de energia momentum de cualquier fluido es cero b T a b 0 displaystyle nabla beta T alpha beta 0 Sin embargo de las identidades de Bianchi se deduce que la derivada covariante del tensor de Ricci es en general no nula R b m n s a 0 R b m n s a R b s m n a R b n s m a 0 displaystyle R beta mu nu sigma alpha 0 to R beta mu nu sigma alpha R beta sigma mu nu alpha R beta nu sigma mu alpha 0 b R a b 1 2 g a b R 0 b R a b 0 displaystyle nabla beta R alpha beta frac 1 2 g alpha beta R 0 to nabla beta R alpha beta not 0 Lo que conduce al descarte de cualquier tipo de relacion de proporcionalidad entre el tensor de Ricci y el tensor de tension energia R a b k T a b displaystyle R alpha beta not kT alpha beta Donde R a b displaystyle R alpha beta es el tensor de Ricci g a b displaystyle g alpha beta el tensor metrico R displaystyle R el escalar de Ricci G displaystyle G la constante de gravitacion universal y T a b displaystyle T alpha beta el tensor de energia impulso El miembro izquierdo de la ecuacion recibe el nombre generico de tensor de Einstein se representa con la notacion G a b displaystyle G alpha beta y satisface las mismas relaciones de conservacion que el tensor de tension energia b G a b b R a b 1 2 g a b R 0 G a b k T a b displaystyle nabla beta G alpha beta nabla beta left R alpha beta frac 1 2 g alpha beta R right 0 qquad G alpha beta kT alpha beta Teniendo en cuenta que el escalar de curvatura R displaystyle R es proporcional a la traza del tensor de Einstein G a a displaystyle G alpha alpha las ecuaciones de universo de Einstein pueden reformularse de la manera siguiente R G a a 8 p G c 4 T displaystyle R G alpha alpha frac 8 pi G c 4 T R a b 8 p G c 4 T a b 1 2 g a b T displaystyle R alpha beta frac 8 pi G c 4 left T alpha beta frac 1 2 g alpha beta T right Aplicacion a fluido perfecto Corriente de chorro emanando del centro de una galaxia En un fluido no relativista 13 como una nebulosa o una estrella de la secuencia principal todos los componentes del tensor de energia impulso son nulos o de muy poca importancia salvo el elemento T 00 r c 2 displaystyle T 00 rho c 2 que corresponde a la densidad de masa y que es el unico que contribuye sensiblemente a la atraccion gravitatoria y a la curvatura del espacio tiempo Si deseamos medir la contraccion de volumen producida por la masa energia presente en una determinada region hemos de aplicar las ecuaciones de universo de Einstein R a b 8 p G c 2 T a b 1 2 g a b T displaystyle R alpha beta frac 8 pi G c 2 left T alpha beta frac 1 2 g alpha beta T right Computemos ahora los valores de R 00 displaystyle R 00 R 00 8 p G c 2 T 00 1 2 g 00 T displaystyle R 00 frac 8 pi G c 2 left T 00 frac 1 2 g 00 T right Tras ello obtenemos T c 2 T 00 R 00 4 p G c 2 T 00 displaystyle T approx c 2 T 00 to R 00 frac 4 pi G c 2 T 00 O bien 2 V 8 p G r r c 2 3 P 2 c 2 4 p G r 3 P c 2 displaystyle nabla 2 V 8 pi G left rho frac rho c 2 3P 2c 2 right 4 pi G left rho 3 frac P c 2 right Donde P displaystyle P es la presion del fluido que en general es muy pequena comparada con r c 2 displaystyle rho c 2 por lo que tenemos es una ligera correccion de la anteriormente citada formula newtoniana Como vemos la atraccion gravitatoria viene determinada no solo por la masa energia sino tambien por la presion aunque la contribucion de esta es c 2 displaystyle c 2 inferior a la de la primera Por eso en las regiones del espacio tiempo sometidas a bajas presiones y temperaturas como las nebulosas o nuestro Sistema Solar la masa es practicamente la unica fuente de atraccion gravitatoria y por ello las ecuaciones de la gravitacion universal newtonianas constituyen una muy buena aproximacion de la realidad fisica En cambio en fluidos sometidos a altas presiones como las estrellas que se colapsan la materia que se precipita en los agujeros negros o los chorros que son expelidos de los centros de las galaxias en todos ellos la presion puede tener cierta importancia a la hora de computar la atraccion gravitatoria y la curvatura del espacio tiempo Aplicacion a fluido electromagnetico La deflexion relativista de los rayos de la luz genera las conocidas lentes gravitacionales En un fluido electromagnetico la traza del tensor de energia impulso es nula Como consecuencia de ello las ecuaciones de universo de Einstein toman la siguiente forma R 00 8 p G c 2 T 00 1 2 g 00 T displaystyle R 00 frac 8 pi G c 2 left T 00 frac 1 2 g 00 T right T 0 R 00 8 p G c 2 T 00 displaystyle T 0 to R 00 frac 8 pi G c 2 left T 00 right Como vemos los valores del tensor de Ricci son justo el doble de los calculados para las soluciones de polvo Esto es lo que explica que la deflexion de los rayos de la luz sea dos veces superior en el ambito relativista que en el newtoniano y que la expansion de un universo ciclico de Tolman dominado por la radiacion sea mas lenta que la de un universo ciclico de Friedman dominado por la materia El tensor de Weyl Es importante notar que puesto en un espacio tiempo de cuatro dimensiones el tensor pleno de curvatura contiene mas informacion que la curvatura de Ricci Eso significa que las ecuaciones del campo anterior con L 0 no especifican completamente el tensor de curvatura sino una parte del mismo el tensor de Ricci La parte de la curvatura no especificada por las ecuaciones de Einstein coincide precisamente con el tensor de Weyl Eso significa que las ecuaciones de Einstein no especifican por completo el tensor de curvatura ni la forma global del universo La constante cosmologica Vease tambien Constante cosmologica Desde el principio Einstein aprecio que matematicamente el miembro derecho de su ecuacion de campo podia incluir un termino proporcional al tensor metrico sin que se violara el principio de conservacion de la energia Aunque inicialmente no incluyo dicho termino ya que no parecia tener una interpretacion fisica razonable mas tarde lo incluyo Esto se debio a que en sus primeros intentos de encontrar soluciones exactas a las ecuaciones de campo considero que lo que hoy conocemos como modelo estacionario de Einstein Einstein aprecio que esa solucion explicaba adecuadamente los datos disponibles en su tiempo y correspondia a un universo estatico similar a los datos observados Sin embargo dicha solucion era inestable matematicamente lo cual no parecia corresponderse con la estabilidad fisica observable y se dio cuenta de que con el termino proporcional a la metrica la solucion podia ser similar pero esta vez estable Por esa razon Einstein introdujo en sus ecuaciones un termino proporcional al tensor metrico Siendo la constante de proporcionalidad precisamente la constante cosmologica El trabajo de varios cientificos FLRW Alexander Friedman Georges Lemaitre y Arthur Geoffrey Walker probo que existian soluciones estables no estacionarios sin el termino proporcional a la constante cosmologica Y aunque Einstein inicialmente habia rechazado el trabajo de Friedman por describir un universo en expansion que no parecia ser descriptivamente adecuado a un universo que el creia estacionario los datos del corrimiento al rojo del astronomo Edwin Hubble solo parecian explicables mediante un modelo de universo en expansion Esto convencio a Einstein de que la solucion FLRW era de hecho correcta y descriptivamente adecuada y por tanto la constante cosmologica innecesaria Recientemente la evidencia de la aceleracion de la expansion del universo han llevado a reintroducir la constante cosmologica diferente de cero como una de las posibles explicaciones del fenomeno Resumen Significado fisico de los diferentes tensores de la Relatividad general Tensor Notacion Significado fisico Derivada ordinaria d u a d t displaystyle frac du alpha dt Aceleracion medida por un observador externo en reposo Derivada covariante u u displaystyle nabla vec u vec u Aceleracion inercial medida por un observador comovil situado en la propia linea de universo del cuerpo observado Tensor metrico g a b displaystyle g alpha beta Distancia o en su caso intervalo entre dos puntos eventos del espacio tiempo Tensor de tension energia T m n displaystyle T mu nu Presencia inmediata de cuadrimomento en una region del espacio tiempo Tensor de Riemann R a b m n displaystyle R alpha beta mu nu Aceleracion reciproca de dos lineas de universo Tensor de Ricci R m n displaystyle R mu nu Aceleracion de un volumen 3 dimensiones o un hipervolumen 4 dimensiones Escalar de Ricci R displaystyle R Aceleracion de la superficie que encierra dicho volumen o hipervolumen Tensor de Weyl C b m n a displaystyle C beta mu nu alpha Fuerzas de marea generadas por las ondas gravitatorias Principales ecuaciones de la relatividad general Denominacion Desarrollo Significado fisico Ecuaciones de universo de Einstein Contraccion de un fluido como consecuencia de la presencia inmediata de cuadrimomento Ecuacion de las lineas geodesicas Movimiento de un sistema inercial en el espacio tiempo Desviacion geodesica Fuerzas de marea entre dos particulas que caen en un mismo campo gravitatorioSoluciones de las ecuaciones de campo de EinsteinMatematicamente las ecuaciones de campo de Einstein son complicadas porque constituyen un sistema de 10 ecuaciones diferenciales no lineales independientes La complejidad de dicho sistema de ecuaciones y las dificultades asociadas para plantear el problema como un problema de valor inicial bien definido hicieron que durante mucho tiempo solo se contara con un punado de soluciones exactas caracterizadas por un alto grado de simetria En la actualidad se conocen algunos centenares de soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein Historicamente la primera solucion importante fue obtenida por Karl Schwarzschild en 1915 Esta solucion conocida posteriormente como metrica de Schwarzschild representa el campo creado por un astro estatico y con simetria esferica Dicha solucion constituye una muy buena aproximacion al campo gravitatorio dentro del sistema solar lo cual permitio someter a confirmacion experimental la teoria general de la relatividad explicandose hechos previamente no explicados como el avance del perihelio de Mercurio y prediciendo nuevos hechos mas tarde observados como la deflexion de los rayos de luz de un campo gravitatorio Ademas las peculiaridades de esta solucion condujeron al descubrimiento teorico de la posibilidad de los agujeros negros y se abrio todo una nueva area de la cosmologia relacionada con ellos El estudio del colapso gravitatorio y los agujeros negros condujo a la prediccion de las singularidades espaciotemporales deficiencia que revela que la teoria de la relatividad general es incompleta Algunas otras soluciones fisicamente interesantes de las ecuaciones de Einstein son La que describe el campo gravitatorio de un astro en rotacion Esta solucion bajo ciertas circunstancias tambien contiene un agujero negro de Kerr La metrica de Friedman Lemaitre Robertson Walker realmente es un conjunto parametrico de soluciones asociadas a la teoria del Big Bang que es capaz de explicar la estructura del universo a gran escala y la expansion del mismo El universo de Godel que en su forma original no parece describrir un universo realista o parecido al nuestro pero cuyas propiedades matematicamente interesantes constituyeron un estimulo para buscar soluciones mas generales de las ecuaciones para ver si ciertos fenomenos eran o no peculiares de las soluciones mas sencillas Por otra parte el espacio tiempo empleado en la teoria especial de la relatividad llamado espacio de Minkowski es en si mismo una solucion de las ecuaciones de Einstein que representa un espacio tiempo vacio totalmente de materia Fuera de las soluciones exactas y a efectos comparativos con la teoria de campo gravitatorio tambien es interesante la aproximacion para campos gravitatorios debiles y las soluciones en forma de ondas gravitatorias No linealidad Cuando Einstein formulo en 1915 las ecuaciones de universo de la Relatividad general el cientifico aleman penso en un principio que dichas ecuaciones eran irresolubles debido a su caracter no lineal que se manifestaba tanto desde un punto de vista fisico como desde otro matematico En el plano estrictamente fisico la no linealidad de las ecuaciones de campo de Einstein se deriva del mutuo condicionamiento entre el tetramomentum y la curvatura del espacio tiempo Asi la densidad de masa contenida en el coeficiente T 00 displaystyle T 00 provoca una contraccion parametrizada a traves de R 00 displaystyle R 00 del volumen tridimensional que de nuevo vuelve a alterar la densidad de masa y asi sucesivamente Este movimiento ciclico recuerda a la autoinductancia del electromagnetismo y no suele tener importancia en campos gravitatorios de baja intensidad pero si ha de tenerse en cuenta en el calculo de las perturbaciones gravitatorias originadas por una alta concentracion local de tetramomentum como sucede en el caso de los agujeros negros o los fluidos relativistas De una manera mas intuitiva la no linealidad de las ecuaciones de Einstein puede pensarse desde el punto de vista fisico de la siguiente manera Dada una distribucion de materia esta producira una curvatura del espacio o campo gravitatorio el cual contiene energia Dado que E mc2 dicha energia a su vez generara otra curvatura o campo gravitatorio el cual a su vez contendra cierta energia y asi sucesivamente Esta retroalimentacion entre la fuente materia y el efecto curvatura esta representada en el caracter no lineal de las ecuaciones de Einstein Desde un punto de vista matematico el miembro izquierdo de la igualdad R a b 1 2 R g a b k T a b displaystyle R alpha beta frac 1 2 Rg alpha beta kT alpha beta contiene tanto funciones lineales como derivadas de primer y de segundo orden del tensor metrico g a b displaystyle g alpha beta lo que hace imposible despejar los coeficientes de este ultimo a partir de los valores del tensor de energia momentum T a b displaystyle T alpha beta No es posible pues construir una funcion de tipo f T a b g a b displaystyle f T alpha beta to g alpha beta Soluciones para coordenadas esfericas Campo exterior Articulo principal Metrica de Schwarzschild Para sorpresa de Albert Einstein pocas semanas despues de la publicacion de sus ecuaciones de campo llego a su despacho un correo de Karl Schwarzschild un profesor universitario que en esos momentos se encontraba en el frente de la I guerra mundial realizando trabajos de balistica para las unidades de artilleria del ejercito aleman En esa historica carta se contenian las primeras soluciones exactas de las ecuaciones de la relatividad general que serian conocidas por la posteridad con el nombre generico de Solucion de Schwarzschild El principio sobre el que pivotaba dicha solucion era el siguiente Dado que el Principio de la Covariancia General permitia hacer funcionar las ecuaciones de campo de la relatividad general en cualquier sistema de coordenadas Schwarzschild procedio a calcular los valores de los tensores de energia momento y de Einstein en coordenadas espacio temporales esfericas 8 ϕ r t displaystyle theta phi r t El alto grado de simetria proporcionado por dicho sistema de coordenadas asi como el caracter estatico de la metrica permitieron integrar directamente el conjunto de ecuaciones diferenciales Siendo en el caso general el tensor metrico para un problema con simetria esferica de la forma SE d s 2 f r d t 2 h r d r 2 r 2 d 8 2 sin 2 d ϕ 2 displaystyle ds 2 f r dt 2 h r dr 2 r 2 d theta 2 sin 2 d phi 2 Para el espacio la parte exterior de un astro esferica mas concretamente se tenia f r 1 h r 1 2 G M c 2 r displaystyle f r frac 1 h r left 1 frac 2GM c 2 r right Las comprobaciones experimentales mostraron que la metrica de Schwarzschild describe con enorme precision lo que sucede en sistemas esfericos estaticos similares al sistema solar Soluciones para coordenadas esfericas Equilibrio estelar Articulo principal Estructura estelar La masa del Sol asi como su volumen y su temperatura se han mantenido estables durante millones de anos Las ecuaciones de un campo con simetria esferica SE permiten tambien estudiar la curvatura en el interior de las estrellas masivas El resultado de ese analisis es que para estrellas de la secuencia principal del diagrama de Hertzsprung Russell la curvatura originada por la gravedad es compensada por la presion de la materia estelar Esa compensacion conduce a una ley de equilibrio hidrostatico que hace que la estrella aun sometida a su propio campo gravitatorio pueda mantener durante millones de anos su volumen y su densidad a niveles constantes Matematicamente el hecho de que la metrica tenga un caracter estatico implica los valores del tensor T a b displaystyle T alpha beta se mantengan estables en el tiempo La ley de equilibrio hidrostatico que relaciona la densidad y la presion en una estrella esferica viene dada por la ecuacion de Tolman Oppenheimer Volkoff d P d r G P r c 2 r m c 2 4 p r 3 P c 2 r 2 G m displaystyle frac dP dr G left frac P rho c 2 r right left frac mc 2 4 pi r 3 P c 2 r 2Gm right Donde P r r r displaystyle P r rho r son la presion y la densidad a una distancia r del centro del astro m r 0 r r r 4 p r 2 d r displaystyle m r int 0 r rho bar r 4 pi bar r 2 d bar r es la masa encerrada en una esfera de radio r Soluciones para coordenadas esfericas Colapso gravitatorio La solucion de Schwarzschild permitio aplicar los postulados de la relatividad general a disciplinas como la mecanica celeste y la astrofisica lo cual supuso una verdadera revolucion en el estudio de la cosmologia Apenas seis anos despues de la publicacion de los trabajos de Einstein el fisico ruso Aleksander Fridman introdujo el concepto de singularidad espacio temporal definido como un punto del espacio tiempo en el que confluyen todas las geodesicas de las particulas que habian atravesado el horizonte de sucesos de un agujero negro En condiciones normales la curvatura producida por la masa de los cuerpos y las particulas es compensada por la temperatura o la presion del fluido y por fuerzas de tipo electromagnetico cuyo estudio es objeto de la fisica de fluidos y del estado solido Sin embargo cuando la materia alcanza cierta densidad la presion de las moleculas no es capaz de compensar la intensa atraccion gravitatoria La curvatura del espacio tiempo y la contraccion del fluido aumentan cada vez a mayor velocidad el final logico de este proceso es el surgimiento de una singularidad un punto del espacio tiempo donde la curvatura y la densidad de tetramomentum son infinitas Ahora bien el fisico Subrahmanyan Chandrasekhar fue el primero en darse cuenta de que la gravedad podia ser contenida no solo por fuerzas de tipo mecanico sino tambien por un fenomeno de origen cuantico al que llamo presion de degeneracion derivado del principio de exclusion de Pauli y que era capaz de sostener a estrellas cuya masa no superase el limite de Chandrasekhar Estas ideas tan audaces le costaron caras a su autor que fue ridiculizado en publico por Sir Arthur Eddington durante un congreso de astronomos Sin embargo los calculos de Chandrasekhar se revelaron certeros y sirvieron de base para la comprension de un tipo estelar cuya naturaleza fisica hasta entonces era desconocida la enana blanca Aproximaciones en coordenadas armonicas Dado que para muchos sistemas fisicos no resulta sencillo obtener las expresiones exactas de las soluciones de las ecuaciones de Einstein los fisicos teoricos han desarrollado aproximaciones bastante precisas empleando series de potencias De entre ellas las mas importantes funcionan en y reciben los nombres de aproximacion posnewtoniana y aproximacion para campos gravitatorios debiles En virtud del principio de la covariancia general ya examinado en secciones anteriores es posible hacer funcionar a las ecuaciones de universo de Einstein en cualquier tipo de coordenadas incluidas las armonicas que son aquellas en las que se cumple la relacion G l g a b G a b l 0 displaystyle Gamma lambda g alpha beta Gamma alpha beta lambda 0 como por ejemplo en el caso de las coordenadas cartesianas Se hace necesario en este punto distinguir con claridad entre los conceptos de planitud del espacio tiempo y armonicidad de un sistema de coordenadas en una espacio tiempo de curvatura nula como el espacio tiempo de Minkowski es posible utilizar coordenadas no armonicas como las esfericas o las cilindricas sin que ello implique que el espacio se curve ya que la curvatura es una cualidad instrinseca de cualquier variedad e independiente de nuestro sistema de referencia Ondas gravitatorias La solucion en el vacio de la aproximacion para campos gravitatorios debiles 2 h a b 1 c 2 2 h a b t 2 displaystyle nabla 2 h alpha beta frac 1 c 2 frac partial 2 h alpha beta partial t 2 tiene una estructura similar a la ecuacion diferencial de ondas de d Alembert de lo que se deduce que las perturbaciones de la metrica tienen una naturaleza ondulatoria y se transmiten a traves del espacio tiempo a la velocidad de la luz Para campos gravitatorios poco intensos como los existentes en el espacio interestelar es recomendable utilizar la llamada aproximacion para campos debiles que es como veremos muy similar en su estructura a la formula de Poisson newtoniana si bien las diferencias con esta ultima son enormes La afirma que el laplaciano del potencial gravitatorio F displaystyle Phi es igual 4 G p displaystyle 4G pi 2 F 4 p G r F x t V G r x t r d V displaystyle nabla 2 Phi 4 pi G rho to Phi x t int V frac G rho x t r dV En la imagen se reproducen las ondas gravitatorias emitidas por una estrella durante su colapso Esta formula plantea un grave inconveniente y es que presupone el principio de accion a distancia No tiene en cuenta el retardo en la medicion del campo gravitatorio realizada por un determinado observador pongamos un observador en la tierra situado a cierta distancia a la masa del cuerpo que genera dicho campo gravitatorio p ej el Sol situado a 8 minutos luz de nuestro planeta De ahi que uno de los primeros intentos de compatibilizar la teoria de la Relatividad Especial y la Gravitacion Universal consistiera en sustituir el laplaciano de la formula de Poisson por un d Alembertiano una de cuyas soluciones es precisamente un potencial retardado 2 F 4 p G r F x t V G r x t r c r d V displaystyle Box 2 Phi 4 pi G rho to Phi x t int V frac G rho x t frac r c r dV Como vemos el potencial gravitatorio medido por el observador en el tiempo t es proporcional a la densidad de masa que tiene el cuerpo estelar observado en el tiempo t r c donde c es la velocidad de la luz r es la distancia entre el observador y el objeto y r c es el retardo es decir el tiempo que la luz tarda en desplazarse desde la estrella en cuestion hasta el observador Ahora bien la relatividad general es una teoria metrica de la gravedad y explica los fenomenos gravitatorios en terminos de perturbaciones de la metrica Es conveniente por tanto introducir en nuestra ecuacion el pseudotensor h a b displaystyle h alpha beta que representa la desviacion de los coeficientes del tensor metrico respecto a la metrica de Minkowski h a b displaystyle eta alpha beta Aplicando el limite newtoniano en cuya virtud g a b displaystyle g alpha beta es igual a 1 2 F displaystyle 1 2 Phi obtenemos el resultado siguiente g a b h a b h a b displaystyle g alpha beta eta alpha beta h alpha beta h a b 2 F 2 h a b 8 p G r displaystyle h alpha beta 2 Phi to Box 2 h alpha beta 8 pi G rho 2 h a b 16 p G T a b 1 2 g a b T displaystyle Box 2 h alpha beta 16 pi G T alpha beta frac 1 2 g alpha beta T Formula de Poisson 2 F 4 p G r displaystyle nabla 2 Phi 4 pi G rho Aproximacion para campos debiles 2 h a b 16 p G T a b 1 2 g a b T displaystyle Box 2 h alpha beta 16 pi G T alpha beta frac 1 2 g alpha beta T A grandes rasgos la sustitucion del laplaciano 2 displaystyle nabla 2 por el d alembertiano 2 displaystyle Box 2 viene exigida por la obligada eliminacion del principio de accion a distancia el empleo del pseudotensor h a b displaystyle h alpha beta en lugar del potencial F displaystyle Phi como elemento definitorio del campo gravitatorio es una consecuencia de la del caracter metrico de la teoria de la relatividad general y finalmente la eliminacion en el lado derecho de la ecuacion del parametro r displaystyle rho y su sustitucion por la expresion tensorial T a b 1 2 g a b T displaystyle T alpha beta frac 1 2 g alpha beta T viene exigida por el principio de la covariancia general La aproximacion posnewtoniana permite a los astronomos calcular con suma precision la posicion y el movimiento de los planetas del Sistema Solar teniendo en cuenta los efectos relativistas Sin embargo en el analisis de la evolucion de sistemas astronomicos como el solar o el formado por estrellas dobles o tripoles la aproximacion para campos debiles no es util ya que el uso de esta ultima se restringe a zonas del espacio tiempo con poca densidad de tetramomentum En estos casos es preferida la aproximacion posnewtoniana que como su propio nombre indica prescinde del empleo de la compleja notacion del calculo tensorial y describe el movimiento de los cuerpos celestes utilizando los conceptos matematicos que empleo el propio Newton a la hora describir las leyes de la mecanica y de la gravitacion universal vectores gradientes etc En los siglos XVIII y XIX astronomos como Laplace y Le Verrier habian aplicado los postulados de la mecanica newtoniana al estudio de la evolucion del Sistema Solar obteniendo unos resultados muy fructuosos La precision de los calculos astronomicos obtenidos habia permitido incluso prever la existencia de un planeta hasta entonces nunca observado por los astronomos Neptuno Por este motivo no es de extranar que cuando la relatividad general obtuvo pleno reconocimiento se desarrollase por parte de los astrofisicos una aproximacion que siguiera en su estructura el modelo newtoniano y que fuese facilmente aplicable tanto por los astronomos como por los ordenadores De acuerdo con la teoria clasica de la gravitacion la aceleracion de un cuerpo en caida libre es el gradiente negativo del potencial gravitatorio a ϕ displaystyle a nabla phi Como ya se ha avanzado en secciones anteriores esta formula presupone la asuncion del principio newtoniano de accion a distancia contrario a los postulados de la Relatividad Especial y ademas no tiene en cuenta los efectos gravitatorios generados por la energia y por el momentum La aproximacion posnewtoniana soslaya estos inconvenientes introduciendo otros dos nuevos potenciales el potencial ps displaystyle psi que constituye una aproximacion en segundo grado del potencial ϕ displaystyle phi y el potencial z displaystyle zeta derivado de la presencia de momentum en el fluido Potenciales de la aproximacion posnewtoniana Notacion Expresion Algebraica Significado fisico ϕ displaystyle phi ϕ G r r d V displaystyle phi int frac G rho r dV Potencial newtoniano densidad de masa ps displaystyle psi ps 1 4 p 2 ϕ t 2 G E k E p G E k displaystyle psi frac 1 4 pi frac partial 2 phi partial t 2 G E k E p G E k Retardo del potencial newtoniano densidad de energia z displaystyle zeta z 4 G P r d V displaystyle zeta 4G int frac P r dV Potencial derivado del momentum Las ecuaciones de movimiento quedarian reformuladas de la siguiente forma a ϕ 2 ϕ 2 c 2 ps 1 c z t v c z 3 c 2 v ϕ t 4 c 2 v v ϕ v 2 c 2 ϕ displaystyle a nabla phi frac 2 phi 2 c 2 psi frac 1 c frac partial zeta partial t frac v c times nabla times zeta frac 3 c 2 v frac partial phi partial t frac 4 c 2 v v cdot nabla phi frac v 2 c 2 nabla phi a ϕ h displaystyle a nabla phi eta h 2 ϕ 2 c 2 ps 1 c z t v c z 3 c 2 v ϕ t 4 c 2 v v ϕ v 2 c 2 ϕ displaystyle eta nabla frac 2 phi 2 c 2 psi frac 1 c frac partial zeta partial t frac v c times nabla times zeta frac 3 c 2 v frac partial phi partial t frac 4 c 2 v v cdot nabla phi frac v 2 c 2 nabla phi Solucion de la fuerza total relativista En la relatividad general la energia potencial gravitatoria efectiva de un objeto de masa m que se mueve alrededor de un cuerpo masivo central M viene dada por 14 15 U f r G M m r L 2 2 m r 2 G M L 2 m c 2 r 3 displaystyle U f r frac GMm r frac L 2 2mr 2 frac GML 2 mc 2 r 3 Entonces se puede obtener una fuerza total conservativa como 16 F f r G M m r 2 L 2 m r 3 3 G M L 2 m c 2 r 4 displaystyle F f r frac GMm r 2 frac L 2 mr 3 frac 3GML 2 mc 2 r 4 donde L es el momento angular El primer termino representa la fuerza de gravitacion newtoniana que se describe mediante la ley del cuadrado inverso El segundo termino representa la fuerza centrifuga en el movimiento circular El tercer termino esta relacionado con la fuerza de Coriolis en el sistema de referencia en rotacion que incluye el inverso de la distancia a la cuarta potencia Soluciones relacionadas con los modelos de universo Existen un cierto numero de soluciones exactas de las ecuaciones que describen un universo completo y por tanto pueden ser consideradas modelos cosmologicos entre ellas destacan Metrica de Friedman Lemaitre Robertson Walker que describe un tipo de universo homogeneo isotropo y en expansion y puede considerarse una primera aproximacion de la forma de nuestro universo a gran escala Universo de Godel obtenida por el matematico Kurt Godel representa un universo homogeneo e isotropo con materia en rotacion Aunque no se considera que describa un universo similar al nuestro tiene la importante propiedad de contener curvas temporales cerradas que representan un ejemplo contraintuitivo donde un observador puede viajar a su propio pasado sin violar ninguna ley fisica conocida Predicciones de la relatividad generalLa mas famosa de las primeras verificaciones positivas de la teoria de la relatividad ocurrio durante un eclipse solar de 1919 que se muestra en la imagen tomada por Sir Arthur Eddington de ese eclipse que fue usada para confirmar que el campo gravitatorio del sol curvaba los rayos de luz de estrellas situadas tras el Se considera que la teoria de la relatividad general fue comprobada por primera vez en la observacion de un eclipse total de Sol en 1919 realizada por Sir Arthur Eddington en la que se ponia de manifiesto que la luz proveniente de estrellas lejanas se curvaba al pasar cerca del campo gravitatorio solar alterando la posicion aparente de las estrellas cercanas al disco del Sol Desde entonces muchos otros experimentos y aplicaciones han demostrado las predicciones de la relatividad general Entre algunas de las predicciones se encuentran Efectos gravitacionales Desviacion gravitacional de luz hacia el rojo en presencia de campos con intensa gravedad La frecuencia de la luz decrece al pasar por una region de elevada gravedad Confirmado por el experimento de Pound y Rebka 1959 Dilatacion gravitacional del tiempo Los relojes situados en condiciones de gravedad elevada marcan el tiempo mas lentamente que relojes situados en un entorno sin gravedad Demostrado experimentalmente con relojes atomicos situados sobre la superficie terrestre y los relojes en orbita del Sistema de Posicionamiento Global GPS por sus siglas en ingles Tambien aunque se trata de intervalos de tiempo muy pequenos las diferentes pruebas realizadas con sondas planetarias han dado valores muy cercanos a los predichos por la relatividad general Efecto Shapiro dilatacion gravitacional de desfases temporales Diferentes senales atravesando un campo gravitacional intenso necesitan mayor tiempo para atravesar dicho campo Decaimiento orbital debido a la emision de radiacion gravitacional Observado en pulsares binarios Precesion geodesica Debido a la curvatura del espacio tiempo la orientacion de un giroscopio en rotacion cambiara con el tiempo Esto se comprobo exitosamente en mayo de 2011 por el satelite Gravity Probe B Efectos rotatorios Esto implica el comportamiento del espacio tiempo alrededor de un objeto masivo rotante Un objeto en plena rotacion va a arrastrar consigo al espacio tiempo causando que la orientacion de un giroscopio cambie con el tiempo Para una nave espacial en orbita polar la direccion de este efecto es perpendicular a la precision geodesica El principio de equivalencia fuerte incluso objetos que gravitan en torno a ellos mismos van a responder a un campo gravitatorio externo en la misma manera que una particula de prueba lo haria Solucion a las curvas de rotacion galacticas Una solucion alternativa basada en la relatividad general propuesta por que considera los patrones de velocidad del gas en galaxias simuladas segun la teoria de onda de densidad cuasi estacionaria que caracteriza a las espirales como patrones de rotacion rigida y de larga duracion es decir espirales estables 17 y la hipotesis de que las galaxias espirales rotarian establemente en su mayoria como un cuerpo solido rigido de acuerdo con la cinematica del solido rigido calculo la velocidad de algunas galaxias espirales tipo Sa 18 de acuerdo a la clasificacion morfologica de las galaxias graficando las curvas de rotacion y obteniendo sin considerar materia oscura curvas muy aproximadas a las curvas de rotacion conocidas a partir de las observaciones 19 La ecuacion resulta de igualar la fuerza centrifuga con la fuerza que se adiciona a la mecanica newtoniana en la solucion relativista que es la fuerza inversamente proporcional a la cuarta potencia de la distancia r relacionada con la fuerza de Coriolis en el sistema de referencia no inercial de forma analoga a como se deriva la velocidad orbital de los planetas mediante la mecanica newtoniana De esta forma se tiene la fuerza de Coriolis en el sistema rotante la cual es una fuerza que en la mecanica newtoniana no se considera en un sistema de referencia en rotacion Con lo que se tiene en el sistema rotante la fuerza que de otra forma se busca agregar mediante la materia oscura para ajustarse a las velocidades de rotacion observadas La ecuacion en funcion del momento angular se da como v 3 G M J 2 c 2 r 3 M g 2 1 2 3 G M j 2 c 2 r 3 1 2 displaystyle v left frac 3GM bullet J 2 c 2 r 3 M g 2 right 1 2 left frac 3GM bullet j 2 c 2 r 3 right 1 2 donde c es la velocidad de la luz J es el momento angular del sistema j es el momento angular relativo especifico M es la masa del nucleo galactico y Mg es la masa de la galaxia Esta formula solamente aplica para las galaxias espirales tipo Sa debido a su simetria circular ya que para los otros tipos de galaxias espirales con diferente morfologia se tendria que considerar su distinta geometria y dinamica Aun cuando hasta la fecha no hay muchas observaciones documentadas del momento angular de las galaxias espirales y las estimaciones que se tienen son principalmente derivadas de modelos que utilizan el concepto de materia oscura el momento angular de cada galaxia se puede estimar a partir del momento angular relativo especifico dado como h L m o en este caso como j J Mg El momento angular adecuado para cada caso se podra verificar con observaciones mas detalladas de las galaxias espirales Otros efectos Gravitones De acuerdo con la teoria cuantica de campos la radiacion gravitacional debe ser compuesta por cuantos llamados gravitones La relatividad general predice que estos seran particulas de espin 2 Todavia no han sido observados Comprobaciones La teoria de la relatividad general ha sido confirmada en numerosas formas desde su aparicion Por ejemplo la teoria predice que la linea del universo de un rayo de luz se curva en las proximidades de un objeto masivo como el Sol La primera comprobacion empirica de la teoria de la relatividad fue a este respecto Durante los eclipses de 1919 y 1922 se organizaron expediciones cientificas para realizar esas observaciones entre ellas la expedicion de Arthur Eddington Despues se compararon las posiciones aparentes de las estrellas con sus posiciones aparentes algunos meses mas tarde cuando aparecian de noche lejos del Sol Einstein predijo un desplazamiento aparente de la posicion de 1 745 segundos de arco para una estrella situada justo en el borde del Sol y desplazamientos cada vez menores de las estrellas mas distantes Se demostro que sus calculos sobre la curvatura de la luz en presencia de un campo gravitatorio eran exactos En los ultimos anos se han llevado a cabo mediciones semejantes de la desviacion de ondas de radio procedentes de cuasares distantes utilizando interferometros de radio Las medidas arrojaron unos resultados que coincidian con una precision del 1 con los valores predichos por la relatividad general Otra confirmacion de la relatividad general esta relacionada con el perihelio del planeta Mercurio Hacia anos que se sabia que el perihelio el punto en que Mercurio se encuentra mas proximo al Sol gira en torno al Sol una vez cada tres millones de anos y ese movimiento no podia explicarse totalmente con las teorias clasicas En cambio la teoria de la relatividad si predice todos los aspectos del movimiento y las medidas con radar efectuadas recientemente han confirmado la coincidencia de los datos reales con la teoria con una precision de un 0 5 Se han realizado otras muchas comprobaciones de la teoria y hasta ahora todas parecen confirmarla Practicamente con la mas reciente prueba del satelite Gravity Probe B se podria considerar a la teoria como una ley Aplicaciones practicasimagen de como se veria la onda generada por un satelite en el espacio Los relojes en los satelites GPS requieren una sincronizacion con los situados en tierra para lo que hay que tener en cuenta la teoria general de la relatividad y la teoria especial de la relatividad Si no se tuviese en cuenta el efecto que sobre el tiempo tiene la velocidad del satelite y su gravedad respecto a un observador en tierra se produciria un adelanto de 38 microsegundos por dia en el reloj del satelite sin correccion su reloj retrasaria al dia 7 microsegundos como consecuencia de la velocidad y adelantaria 45 microsegundos por efecto de la gravedad que a su vez provocarian errores de varios kilometros en la determinacion de la posicion 20 Puede considerarse otra comprobacion de ambas teorias Relacion con otras teorias fisicasEn esta parte la mecanica clasica y la relatividad especial estan entrelazadas debido a que la relatividad general en muchos modos es intermediaria entre la relatividad especial y la mecanica cuantica Sujeto al principio de acoplamiento minimo las ecuaciones fisicas de la relatividad especial pueden ser convertidas a su equivalente de la relatividad general al reemplazar la metrica de Minkowski hab con la relevante metrica del espacio tiempo gab y reemplazando cualquier derivada normal con derivadas covariantes Inercia Tanto en mecanica cuantica como en relatividad se asumia que el espacio y mas tarde el espacio tiempo eran planos En el lenguaje de calculo tensorial esto significaba que Rabcd 0 donde Rabcd es el tensor de curvatura de Riemann Adicionalmente se asumia que el sistema de coordenadas era un sistema de coordenadas cartesianas Estas restricciones le permitian al movimiento inercial ser descrito matematicamente como x a 0 displaystyle ddot x a 0 donde xa es un vector de posicion t displaystyle dot partial partial tau y t es tiempo propio Hay que notar que en la mecanica clasica xa es tridimensional y t t donde t es una coordenada de tiempo En la relatividad general si estas restricciones son usadas en la forma de espacio tiempo y en el sistema de coordenadas estas se perderan Esta fue la principal razon por la cual se necesito una definicion diferente de movimiento inercial En relatividad especial el movimiento inercial ocurre en el espacio de Minkowski como parametrizada por el tiempo propio Esto se generaliza a espacios curvos matematicamente mediante la ecuacion de las geodesicas x a G a b c x b x c 0 displaystyle ddot x a Gamma a bc dot x b dot x c 0 donde G a b c displaystyle Gamma a bc es un simbolo de Christoffel de otro modo conocido como conexion de Levi Civita Como x es un tensor de rango uno estas ecuaciones son cuatro y cada una esta describiendo la segunda derivada de una coordenada con respecto al tiempo propio En la metrica de Minkowski de la relatividad especial los valores de conexion son todos ceros Esto es lo que convierte a las ecuaciones geodesicas de la relatividad general en x a 0 displaystyle ddot x a 0 para el espacio plano de la relatividad especial Gravitacion En gravitacion la relacion entre la teoria de la gravedad de Newton y la relatividad general son gobernadas por el principio de correspondencia la relatividad general tiene que producir los mismos resultados asi como la gravedad lo hace en los casos donde la fisica newtoniana ha demostrado ser certera Alrededor de objetos simetricamente esfericos la teoria de la gravedad de Newton predice que los otros objetos seran acelerados hacia el centro por la ley F G M m r 2 r displaystyle mathbf F frac GM m r 2 mathbf hat r Donde M masa que genera el Campo gravitatorio y m es la masa del cuerpo que es atraido r displaystyle r es la distancia al objeto atraido y r displaystyle mathbf hat r es un vector de unidad identificando la direccion al objeto masivo En la aproximacion de campo debil de la relatividad general tiene que existir una aceleracion en coordenadas identicas En la solucion de Schwarzschild la misma aceleracion de la fuerza de gravedad es obtenida cuando la constante de integracion es igual a 2m donde m GM c2 Electromagnetismo El electromagnetismo planteo un obstaculo fundamental para la mecanica clasica debido a que las ecuaciones de Maxwell no son invariantes segun la relatividad galileana Esto creaba un dilema que fue resuelto por el advenimiento de la relatividad especial En forma tensorial las ecuaciones de Maxwell son a F a b 4 p c J b displaystyle partial a F ab 4 pi c J b y a F b c b F c a c F a b 0 displaystyle partial a F bc partial b F ca partial c F ab 0 Donde F a b displaystyle F ab es el tensor de campo electromagnetico y J a displaystyle J a es una cuadricorriente El efecto de un campo electromagnetico en un objeto cargado de masa m es entonces d P a d t q m P b F a b displaystyle frac dP a d tau frac q m P b F ab Donde P a displaystyle P a es el cuadrimomento del objeto cargado En la relatividad general las ecuaciones de Maxwell se convierten en a F a b 4 p c J b displaystyle nabla a F ab 4 pi c J b y a F b c b F c a c F a b 0 displaystyle nabla a F bc nabla b F ca nabla c F ab 0 La ecuacion para el efecto del campo electromagnetico sigue siendo la misma aunque el cambio de metrica modificara sus resultados Notese que al integrar esta ecuacion para cargas aceleradas las hipotesis habituales no son validas ya que implican que una carga sujeta en un campo gravitato debe comportarse como si estuviera uniformemente acelerada lo que muestra que una carga uniformemente acelerada no puede radiar Conservacion de energia momentum En la mecanica clasica la conservacion de la energia y el momentum son manejados separadamente En la relatividad especial la energia y el momentum estan unidos en el cuadrimomento y los tensores de energia Para cualquier interaccion fisica el tensor de energia impulso T a b displaystyle T a b satisface la ley local de conservacion siguiente b T a b 0 displaystyle partial b T a b 0 En la relatividad general esta relacion es modificada para justificar la curvatura convirtiendose en b T a b b T a b G b c b T a c G c a b T c b 0 displaystyle nabla b T a b partial b T a b Gamma b cb T a c Gamma c ab T c b 0 donde representa aqui la derivada covariante A diferencia de la mecanica clasica y la relatividad especial en la relatividad general no es siempre posible definir claramente la energia total y el momentum Esto a menudo causa confusion en espacio tiempos dependientes del tiempo en los que no existen vectores de Killing temporales los cuales no parecen conservar energia aunque la ley local siempre se satisfaga Ver energia de Arnowitt Deser y Misner Transicion de la relatividad especial a la relatividad generalArticulo principal Transicion de la relatividad especial a la relatividad general La teoria de la relatividad especial presenta covariancia de Lorentz esto significa que tal como fue formulada las leyes de la fisica se escriben del mismo modo para dos observadores que sean inerciales Einstein estimo inspirado por el principio de equivalencia que era necesaria una teoria que presentara una para la que valiera un principio de covariancia generalizado es decir en que las leyes de la fisica se escribieran de la misma forma para todos los posibles observadores fueron estos inerciales o no eso le llevo a buscar una teoria general de la relatividad Ademas el hecho de que la propia teoria de la relatividad fuera incompatible con el principio de accion a distancia le hizo comprender que necesitaba ademas que esta teoria general incorporase una descripcion adecuada del campo gravitatorio Hoy sabemos que Einstein consideraba que la teoria de la relatividad solo era aplicable a sistemas de referencia inerciales estrictamente aunque, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca, español, española, descargar, gratis, descargar gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, imagen, música, canción, película, libro, juego, juegos, móvil, teléfono, android, ios, apple, teléfono móvil, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, 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