Covariancia y contravariancia

Este artículo es sobre el concepto matemático, para su uso en programación ver «covariancia y contravariancia (ciencias de la computación)».

Covariancia y contravariancia son conceptos empleados frecuentemente en áreas de la matemática y la física teórica. Por regla general se refieren a que ciertos objetos matemáticos, que pueden representar alguna magnitud física, tienen alguna forma de invariancia de forma, es decir, la propiedad de permanecer sin cambio bajo un conjunto dado de transformaciones.

En términos matemáticos, estas invariancias de forma ocurren de una manera fundamental en el álgebra lineal y álgebra multilineal, geometría diferencial y otras ramas de la geometría, teoría de categorías y topología algebraica. En física, son importantes en el tratamiento de vectores y otras cantidades, como los tensores. Las teorías de relatividad especial (covariancia de Lorentz) y relatividad general (covariancia general) usan vectores base covariantes bajo cambios de coordenadas.

Idea general

En términos generales, la dualidad intercambia covariancia y contravariancia; este es el motivo por el cual estos conceptos se presentan juntos. Para propósitos del cálculo práctico de matrices, la matriz traspuesta es relativa a dos aspectos (por ejemplo dos conjuntos de ecuaciones simultáneas). El caso en el que la matriz traspuesta de una matriz cuadrada cualquiera "A" coincide con la matriz inversa, es decir, la matriz "A" es una matriz ortogonal, es un caso en el que la covarianza y la contravarianza pueden ser tratadas de igual manera. Esto es de suma importancia en la aplicación práctica de tensores.

Una causa de mayor confusión es esta dualidad covariancia/contravariancia, que interviene cada vez en la discusión de si una cantidad vectorial o tensorial es representada por sus componentes. Esto causa discusiones en la literatura física y matemática por usar convenciones aparentemente opuestas.

Esta no es la convención que difiere, sino cuando una descripción intrínseca o en el sentido de componentes es la forma primaria de pensar en las cantidades. Como el nombre lo sugiere, las cantidades covariantes se piensan para movimiento o transformaciones hacia adelante, mientras que las cantidades contravariantes se transforman hacia atrás. Por lo cual depende de si uno está usando cualquier fondo fijo —de hecho, eso cambia el punto de vista—.

Uso informal

En el uso común de la física, el adjetivo covariante puede ser usado informalmente como sinónimo de invariante (o equivariante), en términos matemáticos. Por ejemplo, la Ecuación de Schrödinger no mantiene su forma escrita bajo las transformaciones de coordenadas de la relatividad especial; así uno puede decir que es no covariante. En contraste, la Ecuación de Klein-Gordon y la Ecuación de Dirac toman la misma forma en cualquier marco de referencia coordenado de la relatividad especial: así, uno puede decir que estas ecuaciones son covariantes o más formalmente, uno podría realmente decir que las ecuaciones de Klein-Gordon y de Dirac son invariantes, que la ecuación de Schrödinger no lo es, pero este no es el uso dominante. Es de notar también que ninguna de las dos ecuaciones (Klein-Gordon y de Dirac) son invariantes ante transformaciones de relatividad general (tampoco en el sentido covariante), y en el uso formal, se debe indicar que la invariancia es con respecto a la relatividad especial.

En forma similar el uso informal es a veces visto con respecto a cantidades como la masa y el tiempo en relatividad general: la masa es técnicamente un componente del cuatro-momento o el tensor energía-momento, pero uno puede ocasionalmente referirse a la masa covariante, lo que significa que es la longitud del cuatro-vector momento.

Ejemplos

Vectores base covariantes en el espacio euclídeo R³

Si e¹, e², e³ forman una base vectorial contravariantes de R³ (no necesariamente ortonormales o de norma uno) entonces los vectores base covariantes de su sistema recíproco son:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\mathbf {e} ^{2}\cdot (\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1})}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\mathbf {e} ^{3}\cdot (\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2})}}}$ 

Note que incluso si e_i y eⁱ no son ortonormales, esto sigue siendo válido por definición de mutuamente ortonormal:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}}$ 

Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector v pueden ser obtenidas mediante el uso del producto escalar de v con los vectores base contravariantes:

${\displaystyle q^{1}=\mathbf {v\cdot e^{1}} ;\qquad q^{2}=\mathbf {v\cdot e^{2}} ;\qquad q^{3}=\mathbf {v\cdot e^{3}} }$ 

De igual manera, las componentes covariantes de v pueden ser obtenidas a partir del producto punto de v con los vectores base covariantes.

${\displaystyle q_{1}=\mathbf {v\cdot e_{1}} ;\qquad q_{2}=\mathbf {v\cdot e_{2}} ;\qquad q_{3}=\mathbf {v\cdot e_{3}} }$ 

Entonces v puede ser expresado en dos formas (recíprocas).

${\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q_{1}\mathbf {e} ^{1}+q_{2}\mathbf {e} ^{2}+q_{3}\mathbf {e} ^{3}}$ 

${\displaystyle \mathbf {v} =q^{i}\mathbf {e} _{i}=q^{1}\mathbf {e} _{1}+q^{2}\mathbf {e} _{2}+q^{3}\mathbf {e} _{3}}$ .

Es decir, el vector v es una combinación lineal de los vectores base del sistema coordenado correspondiente.

Los índices de coordenadas contravariantes, vectores, y tensores son superíndices (pero véase arriba, y nótese la convención en el uso de la notación). Si los vectores base contravariantes son ortonormales entonces son equivalentes a los vectores base covariantes, así que no hay necesidad de distinguir entre coordenadas covariantes y contravariantes, y todos los índices son superíndices.

Véase también

• Anexo:Glosario de relatividad

•   Datos: Q3555165