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Covarianza

En probabilidad y estadística, la covarianza es un valor que indica el grado de variación conjunta de dos variables aleatorias respecto a sus medias. Es el dato básico para determinar si existe una dependencia entre ambas variables y además es el dato necesario para estimar otros parámetros básicos, como el coeficiente de correlación lineal o la recta de regresión.

Interpretación

Cuando los valores altos de una de las variables suelen mayoritariamente corresponderse con los valores altos de la otra, y lo mismo se verifica para los pequeños valores de una con los de la otra, se corrobora que tienden a mostrar comportamiento similar lo que se refleja en un valor positivo de la covarianza[1]
Por el contrario, cuando los valores altos de una variable suelen corresponder mayoritariamente a los menores valores de la otra, expresando un comportamiento opuesto, la covarianza es negativa.

El signo de la covarianza, por lo tanto, expresa la tendencia en la relación lineal entre las variables.
La magnitud requiere un esfuerzo adicional de interpretación:
La versión normalizada de la covarianza, el coeficiente de correlación indica la magnitud de la especificidad de la relación lineal.

Se debe distinguir entre:
(1) la covarianza de dos variables aleatorias, parámetro estadístico de una población considerado una propiedad de la distribución conjunta y
(2) la covarianza muestral que se emplea como un valor estadísticamente estimado es una de las principales causas o motivos de la covarianza.

Definición

La covarianza entre dos variables aleatorias   y   se define como

 

siempre que  ,   y  , donde  ,   y   denota los valores esperados de las variables aleatorias  ,   y   respectivamente. Como la esperanza es un operador lineal entonces la expresión anterior se puede escribir de otra forma

 

Variables Aleatorias Discretas

Si las variables aleatorias   y   pueden tomar los valores   y   para   con probabilidad   y   respectivamente entonces la covarianza puede ser expresada en términos de   y   como

 

o expresadas como

 

Caso Multivariado

Si   es un vector aleatorio de dimensión  , es decir,   donde   para   son variables aleatorias, la matriz de covarianza, denotada por  , está dada por

 

es decir, la  -ésima entrada de   corresponde a la covarianza entre   y   que puede ser representada como

 

en particular, cuando  , entonces

 

por lo que la matriz   puede ser escrita como

 

Propiedades

Covarianza consigo misma

La varianza es un caso particular de la covarianza cuando dos variables aleatorias son idénticas

 

Covarianza de combinaciones lineales

Sean  ,  ,   y   variables aleatorias y   entonces

  1.  
  2.  , donde   denota la varianza de  .
  3.   llamada propiedad de simetría.
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  , fórmula que suele emplearse en la práctica para calcular la covarianza.

Estas propiedades se deducen de manera casi directa de la definición de la covarianza.

Para una secuencia   de variables aleatorias y para valores   se tiene

 

No correlación e Independencia

A las variables aleatorias cuya covarianza es cero se dicen que son no correlacionadas.

Si   e   son variables aleatorias independientes entonces su covarianza es cero, esto es

 

esto ocurre por la propiedad de independencia

 

entonces reemplazando en la fórmula de la covarianza se obtiene

 

Lo opuesto, sin embargo, generalmente no es cierto: algunos pares de variables aleatorias tienen covarianza cero pese a que no son independientes. Bajo algunas hipótesis adicionales, la covarianza de valor cero implica independencia, como por ejemplo en el caso de la distribución normal multivariante.

Relación con el producto escalar

La mayoría de las propiedades de la covarianza se deducen de las del producto escalar:

  1. Bilinealidad: para   y las variables aleatorias  ,   y   se cumple 
  2. Simetría:  
  3. Es un operador positivo definido:  ; además, si   entonces   es una variable aleatoria constante.

De hecho, la covarianza es un producto interior sobre el espacio cociente de las variables aleatorias de momentos finitos iguales salvo constante.

Covarianza muestral

Si   y   son variables aleatorias que toman los valores   y   para   entonces se puede estimar la covarianza entre   y  , este estimador denotado por   se define como

 

donde

 

denotan la media muestral.

El estimador   tiene la propiedad de que es un estimador insesgado.

Interpretación de la covarianza

  • Si   hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de   corresponden grandes valores de  .
  • Si   se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables.
  • Si   hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de   corresponden pequeños valores de  .

Véase también

Referencias

Enlaces externos

  •   Datos: Q201984

covarianza, probabilidad, estadística, covarianza, valor, indica, grado, variación, conjunta, variables, aleatorias, respecto, medias, dato, básico, para, determinar, existe, dependencia, entre, ambas, variables, además, dato, necesario, para, estimar, otros, . En probabilidad y estadistica la covarianza es un valor que indica el grado de variacion conjunta de dos variables aleatorias respecto a sus medias Es el dato basico para determinar si existe una dependencia entre ambas variables y ademas es el dato necesario para estimar otros parametros basicos como el coeficiente de correlacion lineal o la recta de regresion Indice 1 Interpretacion 2 Definicion 2 1 Variables Aleatorias Discretas 2 2 Caso Multivariado 3 Propiedades 3 1 Covarianza consigo misma 3 2 Covarianza de combinaciones lineales 3 3 No correlacion e Independencia 3 4 Relacion con el producto escalar 4 Covarianza muestral 4 1 Interpretacion de la covarianza 5 Vease tambien 6 Referencias 7 Enlaces externosInterpretacion EditarCuando los valores altos de una de las variables suelen mayoritariamente corresponderse con los valores altos de la otra y lo mismo se verifica para los pequenos valores de una con los de la otra se corrobora que tienden a mostrar comportamiento similar lo que se refleja en un valor positivo de la covarianza 1 Por el contrario cuando los valores altos de una variable suelen corresponder mayoritariamente a los menores valores de la otra expresando un comportamiento opuesto la covarianza es negativa El signo de la covarianza por lo tanto expresa la tendencia en la relacion lineal entre las variables La magnitud requiere un esfuerzo adicional de interpretacion La version normalizada de la covarianza el coeficiente de correlacion indica la magnitud de la especificidad de la relacion lineal Se debe distinguir entre 1 la covarianza de dos variables aleatorias parametro estadistico de una poblacion considerado una propiedad de la distribucion conjunta y 2 la covarianza muestral que se emplea como un valor estadisticamente estimado es una de las principales causas o motivos de la covarianza Definicion EditarLa covarianza entre dos variables aleatorias X displaystyle X y Y displaystyle Y se define como Cov X Y E X E X Y E Y displaystyle operatorname Cov X Y operatorname E big X operatorname E X Y operatorname E Y big siempre que E X displaystyle operatorname E X E Y displaystyle operatorname E Y y E X Y lt displaystyle operatorname E XY lt infty donde E X displaystyle operatorname E X E Y displaystyle operatorname E Y y E X Y displaystyle operatorname E XY denota los valores esperados de las variables aleatorias X displaystyle X Y displaystyle Y y X Y displaystyle XY respectivamente Como la esperanza es un operador lineal entonces la expresion anterior se puede escribir de otra forma Cov X Y E X E X Y E Y E X Y X E Y E X Y E X E Y E X Y E X E Y E X E Y E X E Y E X Y E X E Y displaystyle begin aligned operatorname Cov X Y amp operatorname E left left X operatorname E left X right right left Y operatorname E left Y right right right amp operatorname E left XY X operatorname E left Y right operatorname E left X right Y operatorname E left X right operatorname E left Y right right amp operatorname E left XY right operatorname E left X right operatorname E left Y right operatorname E left X right operatorname E left Y right operatorname E left X right operatorname E left Y right amp operatorname E left XY right operatorname E left X right operatorname E left Y right end aligned Variables Aleatorias Discretas Editar Si las variables aleatorias X displaystyle X y Y displaystyle Y pueden tomar los valores x i displaystyle x i y y i displaystyle y i para i 1 2 n displaystyle i 1 2 dots n con probabilidad P X x i 1 n displaystyle operatorname P X x i 1 n y P Y y i 1 n displaystyle operatorname P Y y i 1 n respectivamente entonces la covarianza puede ser expresada en terminos de E X displaystyle operatorname E X y E Y displaystyle operatorname E Y como Cov X Y 1 n i 1 n x i E X y i E Y displaystyle operatorname Cov X Y frac 1 n sum i 1 n left x i operatorname E X right left y i operatorname E Y right o expresadas como Cov X Y 1 2 n 2 i 1 n j 1 n x i x j y i y j displaystyle operatorname Cov X Y frac 1 2n 2 sum i 1 n sum j 1 n left x i x j right left y i y j right Caso Multivariado Editar Si X displaystyle mathbf X es un vector aleatorio de dimension n displaystyle n es decir X X 1 X n t displaystyle mathbf X X 1 ldots X n t donde X i displaystyle X i para i 1 2 n displaystyle i 1 2 dots n son variables aleatorias la matriz de covarianza denotada por S displaystyle Sigma esta dada por S Cov X 1 X 1 Cov X 1 X 2 Cov X 1 X n Cov X 2 X 1 Cov X 2 X 2 Cov X 2 X n Cov X n X 1 Cov X n X 2 Cov X n X n displaystyle Sigma begin pmatrix operatorname Cov X 1 X 1 amp operatorname Cov X 1 X 2 amp cdots amp operatorname Cov X 1 X n operatorname Cov X 2 X 1 amp operatorname Cov X 2 X 2 amp cdots amp operatorname Cov X 2 X n vdots amp vdots amp ddots amp vdots operatorname Cov X n X 1 amp operatorname Cov X n X 2 amp cdots amp operatorname Cov X n X n end pmatrix es decir la i j displaystyle i j esima entrada de S displaystyle Sigma corresponde a la covarianza entre X i displaystyle X i y X j displaystyle X j que puede ser representada como S i j Cov X i X j displaystyle Sigma ij operatorname Cov X i X j en particular cuando i j displaystyle i j entonces S i i Cov X i X i Var X i displaystyle Sigma ii operatorname Cov X i X i operatorname Var X i por lo que la matriz S displaystyle Sigma puede ser escrita como S Var X 1 Cov X 1 X 2 Cov X 1 X n Cov X 2 X 1 Var X 2 Cov X 2 X n Cov X n X 1 Cov X n X 2 Var X n displaystyle Sigma begin pmatrix operatorname Var X 1 amp operatorname Cov X 1 X 2 amp cdots amp operatorname Cov X 1 X n operatorname Cov X 2 X 1 amp operatorname Var X 2 amp cdots amp operatorname Cov X 2 X n vdots amp vdots amp ddots amp vdots operatorname Cov X n X 1 amp operatorname Cov X n X 2 amp cdots amp operatorname Var X n end pmatrix Propiedades EditarCovarianza consigo misma Editar La varianza es un caso particular de la covarianza cuando dos variables aleatorias son identicas Cov X X Var X s X 2 displaystyle operatorname Cov X X operatorname Var X equiv sigma X 2 Covarianza de combinaciones lineales Editar Sean X displaystyle X Y displaystyle Y W displaystyle W y V displaystyle V variables aleatorias y a b c d R displaystyle a b c d in mathbb R entonces Cov X a 0 displaystyle operatorname Cov X a 0 Cov X X Var X displaystyle operatorname Cov X X operatorname Var X donde Var X displaystyle operatorname Var X denota la varianza de X displaystyle X Cov X Y Cov Y X displaystyle operatorname Cov X Y operatorname Cov Y X llamada propiedad de simetria Cov a X b Y a b Cov X Y displaystyle operatorname Cov aX bY ab operatorname Cov X Y Cov X a Y b Cov X Y displaystyle operatorname Cov X a Y b operatorname Cov X Y Cov a X b Y c W d V a c Cov X W a d Cov X V b c Cov Y W b d Cov Y V displaystyle operatorname Cov aX bY cW dV ac operatorname Cov X W ad operatorname Cov X V bc operatorname Cov Y W bd operatorname Cov Y V Cov X Y E X Y E X E Y displaystyle operatorname Cov X Y operatorname E XY operatorname E X operatorname E Y formula que suele emplearse en la practica para calcular la covarianza Estas propiedades se deducen de manera casi directa de la definicion de la covarianza Para una secuencia X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n de variables aleatorias y para valores a 1 a 2 a n R displaystyle a 1 a 2 dots a n in mathbb R se tiene Var i 1 n a i X i i 1 n a i 2 s X i 2 2 i j i lt j a i a j Cov X i X j i lt j a i a j Cov X i X j displaystyle begin aligned operatorname Var left sum i 1 n a i X i right amp sum i 1 n a i 2 sigma X i 2 2 sum i j i lt j a i a j operatorname Cov X i X j amp sum i lt j a i a j operatorname Cov X i X j end aligned No correlacion e Independencia Editar A las variables aleatorias cuya covarianza es cero se dicen que son no correlacionadas Si X displaystyle X e Y displaystyle Y son variables aleatorias independientes entonces su covarianza es cero esto es Cov X Y 0 displaystyle text Cov X Y 0 esto ocurre por la propiedad de independencia E X Y E X E Y displaystyle operatorname E XY operatorname E X operatorname E Y entonces reemplazando en la formula de la covarianza se obtiene Cov X Y E X Y E X E Y E X E Y E X E Y 0 displaystyle begin aligned operatorname Cov X Y amp operatorname E XY operatorname E X operatorname E Y amp operatorname E X operatorname E Y operatorname E X operatorname E Y amp 0 end aligned Lo opuesto sin embargo generalmente no es cierto algunos pares de variables aleatorias tienen covarianza cero pese a que no son independientes Bajo algunas hipotesis adicionales la covarianza de valor cero implica independencia como por ejemplo en el caso de la distribucion normal multivariante Relacion con el producto escalar Editar La mayoria de las propiedades de la covarianza se deducen de las del producto escalar Bilinealidad para a b R displaystyle a b in mathbb R y las variables aleatorias X displaystyle X Y displaystyle Y y U displaystyle U se cumpleCov a X b Y U a Cov X U b Cov Y U displaystyle operatorname Cov aX bY U a operatorname Cov X U b operatorname Cov Y U Simetria Cov X Y Cov Y X displaystyle text Cov X Y text Cov Y X Es un operador positivo definido Var X Cov X X 0 displaystyle text Var X text Cov X X geq 0 ademas si Cov X X 0 displaystyle text Cov X X 0 entonces X displaystyle X es una variable aleatoria constante De hecho la covarianza es un producto interior sobre el espacio cociente de las variables aleatorias de momentos finitos iguales salvo constante Covarianza muestral EditarSi X displaystyle X y Y displaystyle Y son variables aleatorias que toman los valores x i displaystyle x i y y i displaystyle y i para i 1 2 n displaystyle i 1 2 dots n entonces se puede estimar la covarianza entre X displaystyle X y Y displaystyle Y este estimador denotado por S x y displaystyle S xy se define como S x y 1 n 1 i 1 n x i x y i y 1 n 1 i 1 n x i y i n x y displaystyle begin aligned S xy amp frac 1 n 1 sum i 1 n x i overline x y i overline y amp frac 1 n 1 sum i 1 n x i y i n bar x bar y end aligned donde x i 1 n x i n y y i 1 n y i n displaystyle overline x sum i 1 n frac x i n qquad text y qquad overline y sum i 1 n frac y i n denotan la media muestral El estimador S x y displaystyle S xy tiene la propiedad de que es un estimador insesgado Interpretacion de la covarianza Editar Si S x y gt 0 displaystyle S xy gt 0 hay dependencia directa positiva es decir a grandes valores de X displaystyle X corresponden grandes valores de Y displaystyle Y Si S x y 0 displaystyle S xy 0 se interpreta como la no existencia de una relacion lineal entre las dos variables Si S x y lt 0 displaystyle S xy lt 0 hay dependencia inversa o negativa es decir a grandes valores de X displaystyle X corresponden pequenos valores de Y displaystyle Y Vease tambien EditarEsperanza matematica Varianza Regresion lineal Coeficiente de correlacion ANOVA o analisis de la varianzaReferencias Editar http mathworld wolfram com Covariance htmlEnlaces externos EditarResolver covarianza y varianza con formula en linea Simulacion de la covarianza de una variable bidimensional continua 1 y discreta 2 con R lenguaje de programacion Datos Q201984 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Covarianza amp oldid 140485538, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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