Transporte paralelo

En matemáticas, un transporte paralelo en una variedad M con conexión especificada es un modo de transportar vectores sobre curvas diferenciables de manera que permanezcan "paralelos" respecto a la conexión dada.

Campos paralelos sobre curvas diferenciables

Un campo vectorial ${\displaystyle X}$  sobre una curva diferenciable ${\displaystyle \gamma }$  se llama paralelo si

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0}$ 

para cualquier t.

Transporte paralelo

Sean M una variedad diferenciable con conexión ${\displaystyle \nabla }$  y ${\displaystyle \gamma :I\longrightarrow M}$  una curva suave. Sean ${\displaystyle t_{0}\in I}$  y ${\displaystyle \omega _{0}\in T_{\gamma (t_{0})}M}$ . Entonces existe un único campo vectorial paralelo ω a lo largo de ${\displaystyle \gamma }$  tal que ${\displaystyle \omega (t_{0})=\omega _{0}}$ . ${\displaystyle \omega }$  se llama transporte paralelo de ${\displaystyle \omega _{0}}$  a lo largo de ${\displaystyle \gamma }$ .

Geodésicas

Las geodésicas en variedades (seudo-)Riemannianas se definen de la siguiente manera. Sea M una variedad diferenciable con conexión ${\displaystyle \nabla }$ . Una curva diferenciable ${\displaystyle \gamma :I\longrightarrow M}$  es una geodésica si ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$  (como campo vectorial a lo largo de ${\displaystyle \gamma }$ ) es paralelo a lo largo de sí misma. En otras palabras, si

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0}$ 

Campos vectoriales paralelos y geodésicos

Un campo vectorial ${\displaystyle X}$  sobre M se denomina paralelo si

${\displaystyle \nabla _{v}X=0\quad \forall v\in TM}$ 

y geodésico si

${\displaystyle \nabla _{X}X=0}$ .

Véase también

• Conexión afín
• Derivada covariante
• Curvas geodésicas

•   Datos: Q1814838
•   Multimedia: Parallel transport