Número trascendente

Un número trascendente, también número trascendental, es un número que no es raíz de ninguna ecuación algebraica^[1]​ con coeficientes enteros no todos nulos.^[2]​ Un número real trascendente no es un número algebraico, pues no es solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Tampoco es número racional, ya que estos resuelven ecuaciones algebraicas de primer grado, al ser real y no ser racional, necesariamente, es un número irracional.^[3]​ En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas.^[2]​ Los números trascendentes más conocidos son π y e.

En general, si tenemos dos cuerpos ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$ y ${\displaystyle (L,+,\cdot )}$ de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que ${\displaystyle \alpha \in L}$ es trascendente sobre ${\displaystyle K}$ si no existe ningún polinomio ${\displaystyle p\in K[x]}$ del que ${\displaystyle \alpha \,}$ es raíz (${\displaystyle p(\alpha )=0\,}$).^[4]​

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable.^[5]​ O tiene la potencia del continuo.

Sin embargo, existen muy pocos números trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler (${\displaystyle \gamma \,}$) lo es, siendo

${\displaystyle \gamma =}$ ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n),}$ cuando ${\displaystyle n\to +\infty }$.

De hecho, ni siquiera se sabe si ${\displaystyle \gamma }$ es racional o irracional.

• Los logaritmos naturales de reales positivos, salvo potencias del número ${\displaystyle e,}$ son números trascendentes, de la misma manera los valores de funciones trigonométricas, excepto en algunos casos; hay forma de dar un número trascendente a través de fracciones continuadas, como el caso del número de Arquímedes o π.^[6]​La dificultad estriba en probar si el número propuesto es o no trascendente.

La propiedad de normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

Historia

La denominación «trascendental» la acuñó Leibniz cuando en un artículo de 1682 demostró que la función ${\displaystyle \textstyle \sin(x)}$  no es una función algebraica de ${\displaystyle \textstyle x}$ ,^[7]​^[8]​posteriormente Euler definió los números trascendentes en el sentido moderno.^[9]​ La existencia de los números trascendentes fue finalmente probada en 1844 por Joseph Liouville,^[10]​ en 1851 mostró algunos ejemplos entre los que estaba la «constante de Liouville»:

${\displaystyle {\sum _{k=1}^{\infty }}10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots }$ 

donde el enésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0 en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que π es trascendente. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente. No ocurre lo mismo con los otros dos "problemas griegos" más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben a la imposibilidad de construir con regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos (véase Número construible) es significativo que estos otros dos problemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método (permitiendo marcar la regla, acción que la geometría euclídea no toleraba) o con métodos similares a la regla y compás, como el origami, en tanto que la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de π, tampoco es resoluble con esos métodos.

Ejemplos

Una lista de los números trascendentes más comunes:

• e
• π
• ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$  o, de forma más general, ${\displaystyle a^{b}\,}$  donde ${\displaystyle a\neq 0,1}$  es algebraico y b es algebraico pero irracional. El caso general del séptimo problema de Hilbert, es decir, la determinación de si ${\displaystyle a^{b}\,}$  es trascendental cuando ${\displaystyle a\neq 0,1}$  es algebraico y b es irracional, queda demostrado parcialmente como cierto según el teorema de Gelfond-Schneider.
• ${\displaystyle \ln(a)\,}$  si a es positivo, racional y diferente de 1. Véase logaritmo natural
• ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)}$  y ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}$  (véase función Gamma).
• número de Champernowne: C₁₀ = 0.123456789101112131415161718192021...
• ${\displaystyle \Omega \,}$ , constante de Chaitin.
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\lfloor \beta ^{k}\rfloor };\qquad \beta >1\;,}$ 

donde ${\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor }$  es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultan

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0,110001000000000000000001000....}$  número de Liouville

Véase también

Clasificación de los números Complejos ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$  Reales ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$  Racionales ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$  Enteros ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$  Naturales ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$  uno: 1 Naturales primos Naturales compuestos Cero: 0 Enteros negativos Fraccionarios Exactos Periódicos Puros Mixtos Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios

Referencias

1. Birkhoff-Mc Lane. Álgebra moderna, editorial Teide España
2. Weisstein, Eric W. «Número trascendente». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 18 de diciembre de 2013. 
3. Tsipkin. Manual de matemáticas para la enseñanza media
4. J.B. Fraleigh: Primer Curso de Álgebra abstracta, 7ª Ed. (2003), Capítulo 29.
5. Tsipkin (1985). Manual de matemáticas. traducción de Shapovalova. Moscú: Editorial Mir. p. 86. ISBN 9785030008790.  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)
6. Beskin: Funciones maravillosas
7. Leibniz, Gottfried Wilhelm; Gerhardt, Karl Immanuel; Pertz, Georg Heinrich (1858). Leibnizens mathematische Schriften 5. Extracto en: [1]. A. Asher & Co. pp. 97-98. 
8. Bourbaki, Nicolás (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. p. 74. 
9. Erdős, Paul; Dudley, Underwood (diciembre de 1943). «Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler». Mathematics Magazine 76 (5): 292-299. JSTOR 2690369. doi:10.2307/2690369. 
10. Kempner, Aubrey J. (octubre de 1916). «On Transcendental Numbers». Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 17 (4): 476-482. JSTOR 1988833. doi:10.2307/1988833. 

Enlaces externos

•   Wikisource contiene obras originales de o sobre Über die Transzendenz der Zahlen e und π.. (en alemán)
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