La constante de Euler-Mascheroni (también conocida como constante de Euler) es una constante matemática que aparece principalmente en teoría de números y se denota con la letra griega minúscula gamma.
No debe confundirse con el número e, también llamado número de Euler.
Historia
La constante apareció por primera vez, en 1734, en un artículo escrito por el matemático suizoLeonhard Euler, llamado De Progressionibus harmonicis observationes, calculando los 6 primeros dígitos para la constante y llamándola C. En 1781 calcularía otros 10 decimales más. En 1790, Lorenzo Mascheroni calcularía los primeros 19 decimales y la denotaría como A. Ya más tarde se denotaría de la forma moderna como γ, debido a su conexión con la función gamma.[1]
Propiedades
El número no se ha probado que sea algebraico o transcendente, de hecho, ni siquiera se conoce si es irracional o no.[2] El análisis de fracciones continuas revela que, de ser racional, su denominador debe ser muy elevado (actualmente del orden de 10242080).[3] Debido a que está presente en un gran número de ecuaciones y relaciones, la racionalidad o irracionalidad de γ está entre los problemas abiertos más importantes de matemáticas.
A continuación se exponen las más importantes relaciones de γ con funciones, series e integrales.
Representación original (Euler)
Descubierta en 1734 por Euler, representándola como una serie infinita de la siguiente forma:
Otras series relacionadas con la función zeta son:
El término error de la última serie decrece exponencialmente en función de n. Como resultado, la fórmula resulta muy eficiente para calcular grandes cantidades de dígitos de la constante con gran precisión.
Otro interesantes límites relacionado con la constante de Euler-Mascheroni y la función zeta es el límite antisimétrico (Sondow, 1998)
y
Representación con integrales
es igual al valor de un número determinado de integrales definidas:
Entre las integrales definidas en las cuales aparece se incluyen
Uno puede expresar a como una integral doble (Sondow 2003, 2005), con su serie equivalente es:
Representación con series
Aparte de la serie original de Euler (mostrada arriba), se conocen otras series entre las que se incluyen:
encontrada por Nielsen en 1897. En 1912 Vacca encontró la siguiente serie relacionada con γ.
es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde Hn es el n-ésimo número armónico)
(Euler)
(Negoi)
(Cesàro)
La última fórmula también es llamada Expansión de Ramanujan.
eγ
La constante eγ es importante en teoría de números. Algunos autores la denotan simplemente como γ'. eγ es igual al siguiente límite, donde pn es el n-ésimonúmero primo:
Para más información en este sentido, ver Gourdon and Sebah (2004).
Referencias
Krämer, 2005
Courant, R. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático (1ma edición). México, México: Editorial Limusa. ISBN 968-18-0634-5.
Havil, 2003, p. 97.
Havil, p.117-118
Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150-161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 - 100
Borwein, Jonathan M., David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). Computational «Strategies for the Riemann Zeta Function». Journal of Computational and Applied Mathematics121. p.11. Derives γ as sums over Riemann zeta functions. (en inglés)
Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen. (alemán)
Sondow, Jonathan (1998) "" Mathematics Magazine 71: 219-220. (en inglés)
------ (2002) Gourdon, Xavier, and Sebah, P."Collection of formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by (en inglés)
------ (2003) "An infinite product for eγ via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
------ (2003a) ""Criteria for irrationality of Euler's constant," Proceedings of the American Mathematical Society 131: 3335-3344. (en inglés)
------ (2005) "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula," American Mathematical Monthly 112: 61-65. (en inglés)
------ (2005) "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π." (en inglés)
------ and Wadim Zudilin (2006), "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper," Ramanujan Journal 12: 225-244.
Enlaces externos
http://www.EulerArchive.org (en inglés)
Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes, E43 (en latín) [1]
Ed Sandifer: "How Euler Did It.Gamma the constant" (en inglés)
Krämer, Stefan, Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History. (en inglés)
(en inglés)
Datos:Q273023
Multimedia:Euler–Mascheroni constant
Agosto 05, 2021
constante, euler, mascheroni, constante, euler, mascheroni, también, conocida, como, constante, euler, constante, matemática, aparece, principalmente, teoría, números, denota, letra, griega, minúscula, gamma, displaystyle, gamma, está, definido, como, límite, . La constante de Euler Mascheroni tambien conocida como constante de Euler es una constante matematica que aparece principalmente en teoria de numeros y se denota con la letra griega minuscula gamma g displaystyle gamma Esta definido como el limite de la diferencia entre la serie armonica y el logaritmo natural g lim n k 1 n 1 k ln n 1 1 x 1 x d x displaystyle begin aligned gamma amp lim n rightarrow infty left sum k 1 n frac 1 k ln n right amp int 1 infty left 1 over lfloor x rfloor 1 over x right dx end aligned donde x displaystyle lfloor x rfloor denota la funcion parte entera Su valor aproximado es g 0 57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 displaystyle gamma 0 57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ldots No debe confundirse con el numero e tambien llamado numero de Euler Indice 1 Historia 2 Propiedades 2 1 Representacion original Euler 2 2 Relacion con la funcion Gamma 2 3 Relacion con la funcion Zeta de Riemann 2 4 Representacion con integrales 2 5 Representacion con series 2 6 Representacion en forma de fraccion continua 3 Desarrollos asintoticos 3 1 eg 4 Generalizaciones 5 Apariciones 6 Referencias 7 Enlaces externosHistoria EditarLa constante aparecio por primera vez en 1734 en un articulo escrito por el matematico suizo Leonhard Euler llamado De Progressionibus harmonicis observationes calculando los 6 primeros digitos para la constante y llamandola C En 1781 calcularia otros 10 decimales mas En 1790 Lorenzo Mascheroni calcularia los primeros 19 decimales y la denotaria como A Ya mas tarde se denotaria de la forma moderna como g debido a su conexion con la funcion gamma 1 Propiedades EditarEl numero g displaystyle gamma no se ha probado que sea algebraico o transcendente de hecho ni siquiera se conoce si g displaystyle gamma es irracional o no 2 El analisis de fracciones continuas revela que de ser racional su denominador debe ser muy elevado actualmente del orden de 10242080 3 Debido a que esta presente en un gran numero de ecuaciones y relaciones la racionalidad o irracionalidad de g esta entre los problemas abiertos mas importantes de matematicas A continuacion se exponen las mas importantes relaciones de g con funciones series e integrales Representacion original Euler Editar Descubierta en 1734 por Euler representandola como una serie infinita de la siguiente forma g k 1 1 k ln 1 1 k displaystyle gamma sum k 1 infty left frac 1 k ln left 1 frac 1 k right right Relacion con la funcion Gamma Editar g displaystyle gamma esta relacionada con la funcion digamma PS displaystyle Psi y por lo tanto con la derivada de la funcion gamma G displaystyle Gamma cuando ambas funciones estan evaluadas en 1 displaystyle 1 esto es g G 1 PS 1 displaystyle gamma Gamma 1 Psi 1 y esto es igual al limite g lim z G z 1 z lim z 0 PS z 1 z displaystyle begin aligned gamma amp lim z to infty left Gamma z frac 1 z right amp lim z to 0 left Psi z frac 1 z right end aligned otros limites son lim z 0 1 z 1 G 1 z 1 G 1 z 2 g lim z 0 1 z 1 PS 1 z 1 PS 1 z p 2 3 g 2 displaystyle begin aligned lim z to 0 frac 1 z left frac 1 Gamma 1 z frac 1 Gamma 1 z right amp 2 gamma lim z to 0 frac 1 z left frac 1 Psi 1 z frac 1 Psi 1 z right amp frac pi 2 3 gamma 2 end aligned Un limite relacionado con la funcion beta expresada en terminos de la funcion gamma es g lim n G 1 n G n 1 n 1 1 n G 2 n 1 n n 2 n 1 lim n k 1 m m k 1 k k ln G k 1 displaystyle begin aligned gamma amp lim n to infty left frac Gamma left frac 1 n right Gamma n 1 n 1 1 over n Gamma left 2 n frac 1 n right frac n 2 n 1 right amp lim n to infty sum k 1 m binom m k frac 1 k k ln Gamma k 1 end aligned y como funcion beta g lim n n 2 1 n B 1 1 n n 1 n 2 n 1 displaystyle gamma lim n to infty left n 2 1 over n mathrm B left 1 frac 1 n n 1 right frac n 2 n 1 right Relacion con la funcion Zeta de Riemann Editar g displaystyle gamma tambien puede ser expresada como suma infinita cuyos terminos invocan la funcion zeta de Riemann evaluada en numeros positivos g k 2 1 k z k k ln 4 p k 2 1 k z k 2 k 1 k ln 4 p k 1 1 k 1 z k 1 2 k k 1 displaystyle begin aligned gamma amp sum k 2 infty frac 1 k zeta k k amp ln left frac 4 pi right sum k 2 infty frac 1 k zeta k 2 k 1 k amp ln left frac 4 pi right sum k 1 infty frac 1 k 1 zeta k 1 2 k k 1 end aligned Otras series relacionadas con la funcion zeta son g 3 2 ln 2 k 2 1 k k 1 k z k 1 lim n 2 n 1 2 n ln n k 2 n 1 k z 1 k n k lim n 2 n e 2 n k 0 2 k n k 1 t 0 k 1 t 1 n log 2 O 1 2 n e 2 n displaystyle begin aligned gamma amp frac 3 2 ln 2 sum k 2 infty 1 k left frac k 1 k right zeta k 1 amp lim n to infty left frac 2n 1 2n ln n sum k 2 n left frac 1 k frac zeta 1 k n k right right amp lim n to infty left frac 2 n e 2 n sum k 0 infty frac 2 k n k 1 sum t 0 k frac 1 t 1 n log 2 mathcal O left frac 1 2 n e 2 n right right end aligned El termino error de la ultima serie decrece exponencialmente en funcion de n Como resultado la formula resulta muy eficiente para calcular grandes cantidades de digitos de la constante con gran precision Otro interesantes limites relacionado con la constante de Euler Mascheroni y la funcion zeta es el limite antisimetrico Sondow 1998 g lim s 1 n 1 1 n s 1 s n lim s 1 z s 1 s 1 lim s 0 z 1 s z 1 s 2 displaystyle begin aligned gamma amp lim s to 1 sum n 1 infty left frac 1 n s frac 1 s n right amp lim s to 1 left zeta s frac 1 s 1 right amp lim s to 0 frac zeta 1 s zeta 1 s 2 end aligned y g lim n 1 n k 1 n n k n k displaystyle begin aligned gamma amp lim n to infty frac 1 n sum k 1 n left left lceil frac n k right rceil frac n k right end aligned Representacion con integrales Editar g displaystyle gamma es igual al valor de un numero determinado de integrales definidas g 0 e x ln x d x 0 1 ln ln 1 x d x 0 1 e x 1 1 x e x d x 0 1 ln x 1 1 x d x 0 1 x 1 1 x k e x d x k gt 0 2 0 e x 2 e x x d x displaystyle begin aligned gamma amp int 0 infty e x ln x dx amp int 0 1 ln left ln left frac 1 x right right dx amp int 0 infty left frac 1 e x 1 frac 1 xe x right dx amp int 0 infty left frac 1 ln x frac 1 1 x right dx amp int 0 infty frac 1 x left frac 1 1 x k e x right dx quad k gt 0 amp 2 int 0 infty frac e x 2 e x x dx end aligned Entre las integrales definidas en las cuales aparece g displaystyle gamma se incluyen 0 e x 2 ln x d x g 2 ln 2 p 4 0 e x ln 2 x d x g 2 p 2 6 displaystyle begin aligned int 0 infty e x 2 ln x dx amp frac gamma 2 ln 2 sqrt pi 4 int 0 infty e x ln 2 x dx amp gamma 2 frac pi 2 6 end aligned Uno puede expresar a g displaystyle gamma como una integral doble Sondow 2003 2005 con su serie equivalente es g 0 1 0 1 x 1 1 x y ln x y d x d y n 1 1 n ln n 1 n displaystyle begin aligned gamma amp int 0 1 int 0 1 frac x 1 1 xy ln xy dx dy amp sum n 1 infty left frac 1 n ln frac n 1 n right end aligned Representacion con series Editar Aparte de la serie original de Euler mostrada arriba se conocen otras series entre las que se incluyen g 1 k 2 1 k log 2 k k 1 displaystyle gamma 1 sum k 2 infty 1 k frac lfloor log 2 k rfloor k 1 encontrada por Nielsen en 1897 En 1912 Vacca encontro la siguiente serie relacionada con g g k 2 1 k log 2 k k 1 2 1 3 2 1 4 1 5 1 6 1 7 3 1 8 1 15 displaystyle gamma sum k 2 infty 1 k frac left lfloor log 2 k right rfloor k tfrac 1 2 tfrac 1 3 2 left tfrac 1 4 tfrac 1 5 tfrac 1 6 tfrac 1 7 right 3 left tfrac 1 8 dots tfrac 1 15 right dots donde log2 es el logaritmo en base 2 y displaystyle left lfloor right rfloor la funcion parte entera En 1926 Vacca encontro otra serie similar a la anterior g z 2 k 1 1 k k 2 1 1 2 1 3 1 4 1 4 1 8 1 9 1 9 1 15 displaystyle gamma zeta 2 sum k 1 infty frac 1 k lfloor sqrt k rfloor 2 1 tfrac 1 2 tfrac 1 3 tfrac 1 4 left tfrac 1 4 dots tfrac 1 8 right tfrac 1 9 left tfrac 1 9 dots tfrac 1 15 right dots o escrito como g k 2 k k 2 k 2 k 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 1 5 2 2 6 2 3 7 2 4 8 2 1 3 2 1 10 2 6 15 2 displaystyle gamma sum k 2 infty frac k lfloor sqrt k rfloor 2 k 2 lfloor sqrt k rfloor 2 tfrac 1 2 2 tfrac 2 3 2 tfrac 1 2 2 left tfrac 1 5 2 tfrac 2 6 2 tfrac 3 7 2 tfrac 4 8 2 right tfrac 1 3 2 left tfrac 1 10 2 dots tfrac 6 15 2 right dots Kramer 2005 Estas dos ultimas series pueden ser obtenidas mediante la manipulacion de la Integral de Catalan ver Sondow y Zudilin g 0 1 1 1 x n 1 x 2 n 1 d x displaystyle gamma int 0 1 frac 1 1 x sum n 1 infty x 2 n 1 dx Representacion en forma de fraccion continua Editar La representacion en forma de fraccion continua es g 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 displaystyle gamma 0 cfrac 1 1 cfrac 1 1 cfrac 1 2 cfrac 1 1 cfrac 1 ddots mas concretamente g 0 1 1 2 1 2 1 4 3 13 5 1 1 8 1 2 4 1 1 40 displaystyle gamma 0 1 1 2 1 2 1 4 3 13 5 1 1 8 1 2 4 1 1 40 sucesion A002852 en OEIS Desarrollos asintoticos Editarg displaystyle gamma es igual a las siguientes formulas asintoticas donde Hn es el n esimo numero armonico g H n log n 1 2 n 1 12 n 2 1 120 n 4 displaystyle gamma sim H n log left n right frac 1 2n frac 1 12n 2 frac 1 120n 4 Euler g H n log n 1 2 1 24 n 1 48 n 3 displaystyle gamma sim H n log left n frac 1 2 frac 1 24n frac 1 48n 3 right Negoi g H n log n log n 1 2 1 6 n n 1 1 30 n 2 n 1 2 displaystyle gamma sim H n frac log left n right log left n 1 right 2 frac 1 6n left n 1 right frac 1 30n 2 left n 1 right 2 Cesaro La ultima formula tambien es llamada Expansion de Ramanujan eg Editar La constante eg es importante en teoria de numeros Algunos autores la denotan simplemente como g eg es igual al siguiente limite donde pn es el n esimo numero primo e g lim n 1 log p n i 1 n p i p i 1 displaystyle e gamma lim n to infty frac 1 log p n prod i 1 n frac p i p i 1 Tambien se puede expresar como un producto infinito usando funciones hipergeometricas como sigue e g n 1 k 0 n k 1 1 k 1 n k 1 n 1 2 1 1 2 2 2 1 3 1 3 2 3 4 1 3 3 1 4 2 4 4 4 1 3 6 5 1 5 displaystyle begin aligned e gamma amp prod n 1 infty left prod k 0 n k 1 1 k 1 n choose k right 1 over n 1 amp left frac 2 1 right 1 2 left frac 2 2 1 cdot 3 right 1 3 left frac 2 3 cdot 4 1 cdot 3 3 right 1 4 left frac 2 4 cdot 4 4 1 cdot 3 6 cdot 5 right 1 5 cdots end aligned Su valor numerico aproximado es e g 1 781 072 417 990 197 985 236 displaystyle e gamma 1 781 072 417 990 197 985 236 ldots sucesion A073004 en OEIS Generalizaciones EditarLas constantes generalizadas de Euler estan dadas por g a lim n k 1 n 1 k a 1 n 1 x a d x displaystyle gamma alpha lim n to infty left sum k 1 n frac 1 k alpha int 1 n frac 1 x alpha dx right para 0 lt a lt 1 con g como caso especial cuando a 1 4 Esto puede ser mas generalizado por c f lim n k 1 n f k 1 n f x d x displaystyle c f lim n to infty left sum k 1 n f k int 1 n f x dx right para una determinada funcion f decreciente por ejemplo f n x log n x x displaystyle f n x frac log n x x dando lugar a las constantes de Stieltjes y f a x x a displaystyle f a x x a dadas por g f a a 1 z a 1 a 1 displaystyle gamma f a frac a 1 zeta a 1 a 1 donde de nuevo el limite g lim a 1 z a 1 a 1 displaystyle gamma lim a to 1 left zeta a frac 1 a 1 right aparece Apariciones EditarLa constante de Euler Mascheroni aparece en los siguientes casos la mayoria en teoria de numeros Expresiones en las que se utiliza la funcion integral exponencial La transformada de Laplace del logaritmo natural El primer termino de la serie de Taylor de la funcion zeta de Riemann donde es la primera de las constantes de Stieltjes Funcion digamma Formula del producto de Weierstrass para la funcion gamma Desigualdad de Funcion f de Euler Proporcion de crecimiento de la funcion divisor El calculo de la constante Meissel Mertens El tercero de los Teoremas de Mertens Para mas informacion en este sentido ver Gourdon and Sebah 2004 Referencias Editar Kramer 2005 Courant R Introduccion al Calculo y al Analisis Matematico 1ma edicion Mexico Mexico Editorial Limusa ISBN 968 18 0634 5 Havil 2003 p 97 Havil p 117 118 Euler Leonhard De progressionibus harmonicis observationes Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7 1740 pp 150 161 Reprinted in Opera Omnia Series 1 Volume 14 pp 87 100 Borwein Jonathan M David M Bradley Richard E Crandall 2000 Computational Strategies for the Riemann Zeta Function Journal of Computational and Applied Mathematics 121 p 11 Derives g as sums over Riemann zeta functions en ingles Havil Julian 2003 Gamma Exploring Euler s Constant Princeton University Press ISBN 0 691 09983 9 en ingles Donald Knuth 1997 The Art of Computer Programming Vol 1 3rd ed Addison Wesley ISBN 0 201 89683 4 en ingles Kramer Stefan 2005 Die Eulersche Konstante g und verwandte Zahlen Diplomarbeit Universitat Gottingen aleman Sondow Jonathan 1998 An antisymmetric formula for Euler s constant Mathematics Magazine 71 219 220 en ingles 2002 Gourdon Xavier and Sebah P Collection of formulas for Euler s constant g en ingles 2002 A hypergeometric approach via linear forms involving logarithms to irrationality criteria for Euler s constant With an Appendix by Sergey Zlobin en ingles 2003 An infinite product for eg via hypergeometric formulas for Euler s constant g en ingles 2003a Criteria for irrationality of Euler s constant Proceedings of the American Mathematical Society 131 3335 3344 en ingles 2005 Double integrals for Euler s constant and ln 4 p and an analog of Hadjicostas s formula American Mathematical Monthly 112 61 65 en ingles 2005 New Vacca type rational series for Euler s constant and its alternating analog ln 4 p en ingles and Wadim Zudilin 2006 Euler s constant q logarithms and formulas of Ramanujan and Gosper Ramanujan Journal 12 225 244 Enlaces externos Editarhttp www EulerArchive org en ingles Euler Leonhard De progressionibus harmonicis observationes E43 en latin 1 Ed Sandifer How Euler Did It Gamma the constant en ingles 2 Weisstein Eric W Euler Mascheroni constant En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Kramer Stefan Euler s Constant g 0 577 Its Mathematics and History en ingles 3 Jonathan Sondow en ingles Datos Q273023 Multimedia Euler Mascheroni constantObtenido de https es wikipedia org w index php title Constante de Euler Mascheroni amp oldid 137176723, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,