Factorial

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n!}$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
15	1.307.674.368.000
20	2.432.902.008.176.640.000
25	15.511.210.043.330.985.984.000.000
50	30.414.093.201.713.378.043 × 10^45
70	1,19785717... × 10^100
450	1,73336873... × 10^1000
3.249	6,41233768... × 10^10 000
25.206	1,205703438... × 10^100 000
100.000	2,8242294079... × 10^456 573

El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Por ejemplo:

${\displaystyle 5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120.\ }$

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el siglo XII por los estudiosos hindúes.

La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático. El matemático francés Christian Kramp (1760–1826) fue la primera persona en usar la actual notación matemática n!, en 1808.^[1]​

Definición por producto e inducción

Podemos definir el factorial de un número entero positivo n, expresado n!, como el producto de todos los números enteros positivos menores o iguales que n.

${\displaystyle n!=1\times 2\times 3\times 4\times ...\times (n-1)\times n}$ .

La multiplicación anterior también se puede representar utilizando el operador productorio:

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k}$ .

También es posible definirlo mediante la relación de recurrencia

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{si, }}n<2\\(n-1)!\times n&{\text{si, }}n>1\end{cases}}}$ 

En esta segunda definición el dominio de la función es el conjunto de los enteros no negativos ℤ_≥0 y el codominio es el conjunto de los enteros positivos ℤ₊.^[2]​ En este caso hay una sucesión recurrente, el cálculo sucesivo de sus elementos se llama proceso recurrente y la igualdad n! = (n - 1)!n se nombra ecuación recurrente.^[3]​

La segunda definición incorpora la premisa de que

${\displaystyle 0!=1}$ 

Cero factorial

Justificación

El número de arreglos de n elementos dispuestos de k a k es A(n;k) = n![(n-k)!]^-1

La fórmula se ha obtenido para k>0

la fórmula se puede aplicar para k=0

resultando A(n;0) = n![(n-0)!]^-1 = n!/n! = 1

al deducir la fórmula se supone que n≠0, de modo que el conjunto dado tiene al menos un elemento. Si n = 0, se trata del conjunto vacío y como este conjunto tiene un subconjunto único (él mismo), entonces A(0;0) = 1.

si se conviene que 0! = 1, entonces, la fórmula da A(0;0) = 0!/0! = 1.^[4]​

Extensión

La definición indicada de factorial es válida para números no negativos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.

Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como:

Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:

• Para cada número entero positivo n mayor o igual que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:

${\displaystyle {\bigg [}(n-1)!={\frac {n!}{n}}{\bigg ]}=[n\cdot (n-1)!=n!]}$ 

válida para todo número mayor o igual que 1.

Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque

${\displaystyle {\frac {5!}{5}}={\frac {120}{5}}=24}$ 

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que

${\displaystyle {\frac {4!}{4}}={\frac {24}{4}}=6}$ 

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que:

${\displaystyle 2!={\frac {3!}{3}}={\frac {6}{3}}=2,\qquad 1!={\frac {2!}{2}}={\frac {2}{2}}=1}$ 

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n!=1 tendríamos que 0! corresponde a:

${\displaystyle 0!={\frac {1!}{1}}={\frac {1}{1}}=1}$ 

Aunque el argumento puede resultar algo convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío usada en muchas otras ramas de las matemáticas.

Propiedades

• Si m y n son enteros positivos se cumple que m <n implica m! < n!
• Si m < n resulta que m! es factor o divisor los cuales .. de n! y se tiene: n! = n(n-1)...(m+1).m! (1)
• el número n(n-1)...(m+1) es el producto de los n-m factores expuestos mayores de n!
• n-m es menor que n y reemplazando en (1) se obtiene n! = n(n-1)...(n-m+1).(n-m)!^[5]​
• ${\displaystyle n!<\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}}$ , para n> 1. Se aplica propiedad de que la media geométrica de los primeros enteros positivos no excede a la media aritmética de ellos.

Aplicaciones

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)ⁿ:

${\displaystyle (a+b)^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+\cdots +{n \choose n-1}ab^{n-1}+{n \choose n}b^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$ 

donde ${\displaystyle {n \choose k}}$  representa un coeficiente binomial:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}}$ 

De igual forma se puede encontrar en la derivación por la regla del producto para derivadas de orden superior de manera similar que el binomio de newton:

${\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dx^{n}}}(f(x)g(x))=(fg)^{(n)}={n \choose 0}fg^{(n)}+{n \choose 1}f^{'}g^{(n-1)}+{n \choose 2}f^{''}g^{(n-2)}+\cdots +{n \choose n-1}f^{(n-1)}g^{'}+{n \choose n}f^{(n)}g=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}$ 

Donde f⁽ⁿ⁾ es la derivada enésima de la función f.

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en la teoría de números.

Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+\cdots \right)}$ 

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la función gamma de manera que

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!=\int _{0}^{\infty }\;t^{n-1}e^{-t}\;dt\,}$ 

solo para n > 0. Se puede generalizar aún más, para todo número complejo z que no sea igual a un entero no positivo, mediante la siguiente definición:

${\displaystyle \Gamma (z)=(z-1)!=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}\,}$ 

Productos similares

Primorial

El primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero solo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n:

${\displaystyle n_{\#}=\prod _{\scriptstyle p\,=\,2 \atop \scriptstyle p\,\in \,\mathbb {P} }^{n}p\quad }$ 

Doble factorial

Artículo principal: Doble factorial

Se define el doble factorial de n mediante la relación de recurrencia:

${\textstyle n!!=\left\{{\begin{array}{lcl}1&{\mbox{si}}&n=0\\(n-2)!!\cdot n&{\mbox{si}}&n\neq 0\\\end{array}}\right.}$ 

Por ejemplo:

${\displaystyle 8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384}$ 

${\displaystyle 9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945}$ 

La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 en OEIS) para:

${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ 

Empieza así:

${\displaystyle 1,1,2,3,8,15,48,105,384,945,3840,\dots }$ 

La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:

${\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}$ 

Y esta es la sucesión de dobles factoriales para:

${\displaystyle n=-1,-3,-5,-7,\dots }$ 

${\displaystyle 1,-1,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{15}},\dots }$ 

El doble factorial de un número negativo par no está definido.

Algunas identidades de los dobles factoriales:

1. ${\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,}$ 
2. ${\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,}$ 
3. ${\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}$ 
4. ${\displaystyle (2n-1)!!={(2n-1)! \over (2n-2)!!}={(2n)! \over 2^{n}n!}}$ 
5. ${\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{(2n-1)!! \over 2^{n}}}$ 
6. ${\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{n!! \over 2^{(n+1)/2}}}$ 

Véase también

• Productorio
• Subfactorial
• Función gamma
• Factorial exponencial

Referencias y citas

1. Higgins, Peter (2008), Number Story: From Counting to Cryptography, New York: Copernicus, p. 12, ISBN 978-1-84800-000-1 .
2. «Sucesiones recurrentes» de A. I. Markushévich, Editorial Progreso, 1998
3. Fuente ut supra
4. G.N. Yákovliev. Algebra y principios del análisis 2. Editorial Mir, Moscú /1984
5. A. Adrián Albert: Álgebra superior, UTEHA, México /1991

Enlaces externos

•   Wikilibros alberga un libro o manual sobre Implementaciones del factorial de un número.
• Calcular factorial de un número en PHP.
• Algoritmos interesantes(en inglés)
• http://factorielle.free.fr
• Calculadora de factoriales - Hasta 200.000

•   Datos: Q120976
•   Multimedia: Factorial (function)