Número imaginario

En matemáticas, particularmente en álgebra, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: ${\displaystyle 3i\ }$ es un número imaginario, así como ${\displaystyle i\ }$ o ${\displaystyle -i\ }$ son también números imaginarios. En general un número imaginario es de la forma ${\displaystyle z=y\,i}$, donde ${\displaystyle y}$ es un número real.

Definición

Los números imaginarios pueden expresarse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1, es decir:

${\displaystyle z=y\,i}$ 

En raíz cuadrada los números imaginarios son el residuo de una raíz negativa, es decir: i: la raíz cuadrada de -1,-2,-3,-4,etc.

Aparición y usos

Historia y origen

El género de los números complejos/imaginarios los inventó Raffaelle Bombelli, un matemático e ingeniero italiano del siglo XVI. El término de números imaginarios fue creado por René Descartes, en su tratado Geometría, en oposición a las teorías de Bombelli.^[1]​

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$  el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$  "una especie de anfibios entre el ser y la nada".

En ingeniería eléctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria a menudo se indica con j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

Cronología

Año	Acontecimiento ^[2]​
1572	Rafael Bombelli realiza cálculos utilizando números imaginarios.
1777	Leonhard Euler utiliza el símbolo “i” para representar la raíz cuadrada de -1.
1811	Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Plano complejo también conocida como plano de Argand

Otras representaciones

1. Como par ordenado de números reales se denota z = (0, y)
2. Trigonométricamente z = r•cos(π/2) + r•sen(π/2)•i, donde r es un número real cualquiera.

Interpretación geométrica

 

El producto por ${\displaystyle i}$  efectua rotaciones de 90 grados

Geométricamente, los números imaginarios se representan en el eje vertical del plano complejo y por tanto perpendicular al eje real que es horizontal, el único elemento que comparten es el cero, ya que ${\displaystyle 0=0i}$ . Este eje vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como ${\displaystyle i\mathbb {R} }$ , ${\displaystyle \mathbb {I} }$ , o simplemente ${\displaystyle \Im }$ . En esta representación se tiene que:

• una multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el origen.

• Una multiplicación por ${\displaystyle i}$  corresponde a una rotación de 90 grados en el sentido "positivo" (en el sentido antihorario), y el cuadrado de la ecuación ${\displaystyle i^{2}=-1}$  puede interpretarse como efectuar dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, equivalente a una rotación de 180 grados, ${\displaystyle -1}$ .

• Una rotación de 90 grados en la dirección "negativa" (sentido horario) satisface también esta interpretación, ya que ${\displaystyle -i}$  es también una solución de la ecuación ${\displaystyle x^{2}=-1}$ .

En general, multiplicar por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el argumento del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud.

Propiedades

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle i^{-3}=\;\;\;i}$

${\displaystyle i^{-2}=-1}$

${\displaystyle i^{-1}=-i}$

${\displaystyle i^{0}\;\;=\;\;\;1}$

${\displaystyle i^{1}\;\;=\;\;\;i}$

${\displaystyle i^{2}\;\;=-1}$

${\displaystyle i^{3}\;\;=-i}$

${\displaystyle i^{4}\;\;=\;\;\;1}$

${\displaystyle i^{5}\;\;=\;\;\;i}$

${\displaystyle i^{6}\;\;=-1}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle i^{n}\;\;=\;\;\;i^{n\operatorname {mod} 4}}$  (mod representa el residuo)

${\displaystyle \vdots }$

Todo número imaginario puede ser escrito como ${\displaystyle ib}$  donde ${\displaystyle b}$  es un número real e ${\displaystyle i}$  es la unidad imaginaria.

Demostración

Como ${\displaystyle i^{2}=-1}$  se tiene que: ${\displaystyle (bi)^{2}=b^{2}i^{2}=b^{2}(-1)=-b^{2}\;}$  que es un número real. Sea ${\displaystyle -b}$  un número real negativo se tiene que: ${\displaystyle {\sqrt {-b}}={\sqrt {(-1)b}}}$  ${\displaystyle ={\sqrt {-1}}{\sqrt {b}}}$  ${\displaystyle =i\;{\sqrt {b}}}$  ${\displaystyle ={\sqrt {b}}\;i.}$

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

${\displaystyle a+bi\,\!}$ 

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Estos números extienden el conjunto de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$  al conjunto de los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.^[3]​ Es decir, es correcto afirmar que ${\displaystyle 1>0}$ , y que ${\displaystyle -1<0}$ ; esto se debe a que ${\displaystyle 1-0>0}$  y ${\displaystyle -1-0<0}$ . Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a una simple demostración:

Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que cero. Por ejemplo es justo decir que ${\displaystyle a=2>0}$ , ${\displaystyle b=3>0}$ , por lo tanto, ${\displaystyle (a)(b)=c>0}$ , entonces tenemos que ${\displaystyle (2)(3)=6}$ , y obviamente ${\displaystyle 6>0}$ .

Por otro lado, supóngase que ${\displaystyle i>0}$ , entonces tenemos que ${\displaystyle -1=(i)(i)>0}$ , lo cual evidentemente es falso.

Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que ${\displaystyle i<0}$ , pero si multiplicamos por ${\displaystyle -1}$  nos queda que ${\displaystyle -i>0}$ . Por lo tanto tenemos que ${\displaystyle -1=(-i)(-i)>0}$ . Lo que es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.

Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los números imaginarios es completamente errónea.

Aplicaciones

• La unidad imaginaria puede ser usada para obtener formalmente las raíces cuadradas de números negativos.
• Igualmente las raíces cuadradas de un número imaginario son números complejos, donde una de ellas, es de la forma k ( cos π/4 + i senπ/4) donde k es un número real cualquiera.

• En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción matemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.
• En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más simple de dichas magnitudes.

Véase también

•   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre número imaginario.

Clasificación de los números Complejos ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$  Reales ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$  Racionales ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$  Enteros ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$  Naturales ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$  Cero: 0 Enteros negativos Fraccionarios Irracionales Imaginarios

Referencias

1. «Imaginarios». Investigación y Ciencia. Consultado el 27 de noviembre de 2018. 
2. Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9. 
3. Paul J. Nahin: Esto no es real. La historia de i. Libraria: México, 2008.

•   Datos: Q9165172
•   Multimedia: Imaginary numbers