Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados

En matemáticas y, más concretamente, en teoría de números, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados enuncia las condicionas para que un número entero sea la suma de dos cuadrados de enteros, y precisa de cuántas maneras diferentes lo puede ser. Por ejemplo, según este teorema, un número primo impar es la suma de dos cuadrados de enteros si y sólo si el resto de su división euclídea entre 4 es 1; en este caso, los cuadrados quedan determinados de forma única. Se puede verificar sobre 17 (=4·4+1) o 97 (=4·24+1), ambos primos, que los dos se pueden expresar de una única forma como suma de dos cuadrados (${\displaystyle 17=1^{2}+4^{2}}$ y ${\displaystyle 97=9^{2}+4^{2}}$); también, que otros números primos como 7 (=4·1+3) o 31 (=4·7+3) no se pueden expresar como suma de dos cuadrados. Este resultado a veces de llama simplemente teorema de los dos cuadrados o también teorema de Fermat de Navidad. En concreto, el teorema dice lo siguiente:

Pierre de Fermat.

Un número primo p es expresable como suma de dos cuadrados si y sólo si p = 2 o p ≡ 1 (mod 4). Pierre de Fermat (1640)

Es decir, ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$, donde ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ son números enteros si ${\displaystyle p=2}$ o, si no, si ${\displaystyle p=4k+1}$ para algún ${\displaystyle k}$ entero, o escrito en notación moderna, ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ (véase aritmética modular).

Sin embargo, como se ve más adelante en este mismo artículo, se pueden hacer generalizaciones a cualquier número entero y no solamente números primos.

El teorema es también conocido como lema de Thue, debido al matemático noruego Axel Thue.

El teorema se inscribe en la larga historia de la representación de números como suma cuadrados, que se remonta a la antigüedad. Fue expresado de forma explícita por Pierre de Fermat (1601-1665) en el siglo XVII, pero la primera demostración publicada conocida es de Leonhard Euler, un siglo más tarde. Su demostración, sin embargo, no cierra las preguntas. En el transcurso de los siglos posteriores se propusieron nuevas demostraciones y varias generalizaciones. Estas contribuciones han tenido un papel importante en el desarrollo de la rama de las matemáticas llamada teoría algebraica de números.

Parecido a muchas ecuaciones diofánticas, es decir, ecuaciones donde los coeficientes y las soluciones buscadas son números enteros o racionales, la simplicidad del enunciado esconde una dificultad real en su demostración. Algunas de las pruebas propuestas han ayudado a la puesta a punto de herramientas a veces sofisticadas, como las curvas elípticas o la geometría de los números, relacionando así la teoría de números elemental con otras ramas de las matemáticas.

Presentación del teorema

El caso de los números primos

Ciertos números primos son suma de dos cuadrados de enteros. Claro es el caso del ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}}$  e, igualmente, del ${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}}$ . Sin embargo, otros, como el 3 y el 7, no verifican esta propiedad, como se puede comprobar viendo todos los posibles casos. Una prueba sistemática hasta 40 concluye que:

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},}$ 

pero que, sin embargo, 3, 7, 11, 19, 23 y 31 no se pueden descomponer de esta forma. El teorema da un criterio general que permite discriminar estas dos situaciones a priori:

Teorema de los dos cuadrados de Fermat (caso de los números primos) Sea ${\displaystyle p}$  un número primo impar. ${\displaystyle p}$  es la suma de dos cuadrados de naturales si y sólo si ${\displaystyle p}$  es congruente con 1 módulo 4: ${\displaystyle \exists x,y\in \mathbb {N} :p=x^{2}+y^{2}\quad \Leftrightarrow \quad p\equiv 1{\pmod {4}}}$  Además, esta descomposición cuando existe, es única salvo el cambio de orden entre ${\displaystyle x^{2}}$  y ${\displaystyle y^{2}}$ .

Decir que ${\displaystyle p}$  es congruente con 1 módulo 4 significa simplemente que el resto de la división euclídea de ${\displaystyle p}$  entre 4 es 1, o también que el número ${\displaystyle p}$  es de la forma ${\displaystyle 4k+1}$  para un cierto entero ${\displaystyle k}$ . Este vocabulario se explica en el artículo Congruencia (teoría de números).

El caso general

Si se empiezan a escribir los enteros inferiores a 50 (independientemente de que sean primos o no) sobre cuatro líneas, en función del resto de su división entre cuatro (0, 1, 2 o 3), se obtiene:

${\displaystyle {\text{Resto 0: }}{\color {OliveGreen}4},{\color {OliveGreen}8},{\color {red}12},{\color {OliveGreen}16},{\color {OliveGreen}20},{\color {red}24},{\color {red}28},{\color {OliveGreen}32},{\color {OliveGreen}36},{\color {OliveGreen}40},{\color {red}44},{\color {red}48}}$ 

${\displaystyle {\text{Resto 1: }}{\color {OliveGreen}1},{\color {OliveGreen}5},{\color {OliveGreen}9},{\color {OliveGreen}13},{\color {OliveGreen}17},{\color {OliveGreen}21},{\color {OliveGreen}25},{\color {OliveGreen}29},{\color {Red}33},{\color {OliveGreen}37},{\color {OliveGreen}41},{\color {red}45},{\color {OliveGreen}49}}$ 

${\displaystyle {\text{Resto }}2{\text{: }}{\color {OliveGreen}2},{\color {Red}6},{\color {OliveGreen}10},{\color {Red}14},{\color {OliveGreen}18},{\color {Red}22},{\color {OliveGreen}26},{\color {Red}30},{\color {OliveGreen}34},{\color {Red}38},{\color {Red}42},{\color {red}46},{\color {OliveGreen}50}}$ 

${\displaystyle {\text{Resto }}3{\text{: }}{\color {Red}3},{\color {Red}7},{\color {Red}11},{\color {Red}15},{\color {Red}19},{\color {Red}23},{\color {Red}27},{\color {Red}31},{\color {Red}35},{\color {Red}39},{\color {Red}43},{\color {red}47}}$ 

Los enteros escritos en verde designan aquellos que se pueden escribir como suma de dos cuadrados perfectos; los otros se han escrito en rojo. Podemos observar que la cuarta línea es toda roja, es decir, ninguno de esos enteros se puede escribir como suma de dos cuadrados perfectos. Pero observamos que el producto de un número par de factores de la forma ${\displaystyle 4k+3}$  es de la forma ${\displaystyle 4k+1}$ , pues, calculando módulo 4, ${\displaystyle (4k+3)^{2n}\equiv 3^{2n}=9^{n}\equiv 1^{n}=1{\pmod {4}}}$  y están en la segunda línea. Los números de la primera y de la tercera línea son todos pares. Por tanto, la última línea no contiene más que números que tienen un número impar de factores primos de la forma ${\displaystyle 4k+3}$ . Esto da una pista para comprender la situación general.

El caso de un número ${\displaystyle n}$  cualquiera depende de sus factores primos. Se tiene que:

Teorema de los dos cuadrados (caso general) Un entero es suma de dos cuadrados si y sólo si cada uno de sus factores primos de la forma ${\displaystyle 4k+3}$  interviene con una potencia par.

Así, 30 no puede ser suma de cuadrados, ya que ${\displaystyle 30=2\cdot 3\cdot 5}$ , y 3, que es de la forma ${\displaystyle 4k+3}$  con ${\displaystyle k=0}$  entero, interviene en esta factorización con exponente 1 (impar). En cambio, ${\displaystyle 45=3^{2}\cdot 5}$  sí que es suma de dos cuadrados, ya que 3 en este caso interviene en una potencia par (2). De hecho, ${\displaystyle 45=6^{2}+3^{2}}$ .

La cuestión del número de parejas de cuadrados cuya suma es igual a un entero ${\displaystyle n}$  dado (es decir, el número de soluciones) es más difícil y depende de los exponentes de los factores de ${\displaystyle n}$  de la forma ${\displaystyle 4k+1}$ . Escribiendo ${\displaystyle =n'p_{1}^{a}p_{2}^{b}p_{3}^{c}\cdots }$  con ${\displaystyle n'}$  sólo divisible por 2 y por factores primos de la forma ${\displaystyle 4k+3}$ , y con ${\displaystyle p_{i}}$ , por tanto, los factores de la forma ${\displaystyle 4k+1}$ , entonces ${\displaystyle n}$  tiene exactamente ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+1)(b+1)(c+1)\cdots }$  descomposiciones diferentes en suma de dos cuadrados si al menos uno de los exponentes ${\displaystyle a,b,c,\dots }$  es impar, y ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+1)(b+1)(c+1)\cdots -{\frac {1}{2}}}$  descomposiciones si todos lo exponentes son pares.

Otra expresión equivalente de este número de descomposiciones la dio Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851):

Teorema de los dos cuadrados (número de soluciones) Sea ${\displaystyle n}$  un entero ${\displaystyle \geq 1}$  y ${\displaystyle r_{2}(n)}$  el número de representaciones de ${\displaystyle n}$  como suma de dos cuadrados. Sea ${\displaystyle d_{1}(n)}$  (y, repectivamente ${\displaystyle d_{3}(n)}$ ) el número de divisores (no necesariamente primos) de ${\displaystyle n}$  congruentes con 1 (y, repectivamente, con 3) módulo 4. Se verifica la fórmula siguiente: ${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$

Nótese que se cuentan todas las representaciones, incluso aquellas que no difieren más que por el signo o el orden. Por ejemplo, ${\displaystyle 5=(\pm 2)^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+(\pm 2)^{2}}$  admite 8 representaciones como suma de dos cuadrados.^[1]​ Un último aspecto importante es la construcción explícita de los cuadrados cuya suma es el ${\displaystyle n}$  dado.

Historia

Época antigua: primeros resultados

 

Edición de 1670 de las Aritméticas de Diofanto de Alejandría.

El interés por las suma de cuadrados se remonta a la antigüedad: se encuentran sumas de este tipo en tabletas cuneiformes del principio del segundo milenio antes de nuestra era y dos lemas añadidos al teorema X. 28 en los Elementos de Euclides explican cómo construir cuadrados perfectos que sean la suma o la diferencia de cuadrados perfectos, o al contrario, cómo no obtener un cuadrado sumando dos cuadrados.^[2]​

Pero es en la tradición diofántica donde se encuentran rastros más precisos sobre los números suma de cuadrados. Las Arithmetica,^[3]​^[4]​ escritas en una fecha incierta, contienen problemas con soluciones racionales o enteras. Una gran cantidad de ellos se refiere a los números cuadrados o cúbicos (en este caso a los cuadrados o cubos de números reaciojnales). Por ejemplo, el problema 11 del libro II es el siguiente: «Añadir un mismo número a dos números dados de forma que cada uno de ellos forme un cuadrado», o el problema 22 del libro IV: «Encontrar tres números tales que el número sólido procedente de estos tres números [en otras palabras, el producto de estos tres números], aumentado de cada uno de ellos, forme un cuadrado».^[5]​ Para resolver todas estas cuestiones, Diofanto introduce una «cantidad indeterminada de unidades» que llama «arithme» y expresa en función de ella todos los datos del problema (es pues un antepasado de la noción de incógnita en álgebra). Consigue así encontrar una solución numérica particular, por ejemplo para el problema II.11 la solución 97/64 si los números dados son 2 y 3.

Varias menciones referentes a la determinación de los números suma de dos cuadrados aparecen de forma dispersa en diversos problemas. Por ejemplo, Diofanto anota sin explicación que 15 no puede ser la suma de dos cuadrados de números racionales en medio de la solución del problema VI.14. En el libro III, afirma que el número 65 es una suma de dos cuadrados de dos maneras distintas, ya que es el producto de 5 y de 13, ellos mismos sumas de dos cuadrados.^[6]​ Otro problema hace referencia al hecho de «partir la unidad en dos partes y añadir a cada fragmento un número dado, con tal de formar un cuadrado». Esto significa buscar una expresión de:

${\displaystyle {\frac {a}{d}}+{\frac {b}{d}}=1,\quad c+{\frac {a}{d}},~c+{\frac {b}{d}}}$  son cuadrados de números racionales. Aquí ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} .}$ 

Esto significa buscar ${\displaystyle 2c+1}$  como suma de dos cuadrados. Diofanto dice explícitamente que ${\displaystyle c}$  debe ser par; en otras palabras, que la división de ${\displaystyle 2c+1}$  entre 4 da resto 1.^[7]​

Ciertos lectores matemáticos de Diofanto estudiaron de forma más sistemática y aritmética los números suma de cuadrados; en particular, la tradición en árabe de al-Khazin, al-Sizji, al-Samaw'al.^[8]​ Su perspectiva combina, sobre los problemas diofánticos que se prestan, técnicas inspiradas en el álgebra naciente y un punto de vista euclídeo, en particular un enfoque sobre los números enteros y de pruebas generales. Por ejemplo, enseñan que una suma impar de dos cuadrantes primos entre sí es de la forma ${\displaystyle 12k+5}$  o ${\displaystyle 12k+1}$ . Un contexto importante es el estudio de los triángulos rectángulos en números, o ternas pitagóricas, es decir, de los números que verifican que ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ : en efecto, si los lados ${\displaystyle a,b,c}$  son primos entre sí, ${\displaystyle c}$  se escribe como suma de cuadrados.

siglo XVII: Los enunciados

 

Marin Mersenne establece un contacto epistolar sólido entre Fermat y sus contemporáneos.

En el siglo XVII se empieza una exploración más sistemática, en relación directa con las ediciones y comentarios de las Aritméticas de Diofanto. Más adelante llegan los primeros enunciados completos del teorema.

Albert Girard acaba la traducción de Simon Stevin de los libros de Diofanto y en sus anotaciones, en el año 1634, anuncia que los números que se pueden expresar como suma de dos cuadrados son «los cuadrados, los ${\displaystyle 4k+1}$ , los productos de números de estas dos formas y el doble de cada número así obtenido», es decir, un enunciado equivalente al enunciado general que se ha dado más arriba. Pero no presenta ninguna demostración.

Alrededor de esa fecha Marin Mersenne (1588-1648) establece en París una academia de matemáticas comunicando los resultados de diferentes trabajos, y apoyada sobre una importante red de corresponsales a través de toda Europa. Participan en ella personajes como Étienne y Blaise Pascal, René Descartes, Bernard Frénicle de Bessy o Gilles de Roberval. Esta correspondencia es una de las dos principales fuentes actuales para los trabajos aritméticos de Pierre de Fermat; la otra son sus propios comentarios a la edición de Diofanto que dio Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621.^[9]​ En sus trabajos de teoría de números, Bachet se inscribe en la tradición del análisis diofántico entero y, sobre todo, da demostraciones a la moda euclidiana de numerosas proposiciones.^[10]​ En particular, demuestra que el producto de dos sumas de dos cuadrados es la suma de dos cuadrados;^[11]​ más precisamente, en notación algebraica actual:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac\pm bd)^{2}+(ad\mp bc)^{2}.}$ 

Esta identidad será fundamental para pasar del caso de números primos al caso general.

Mersenne anima a sus corresponsales a proponerse mutuamente problemas con tal de probar su dificultad y estimular a los otros matemáticos en sus investigaciones. Uno de los primeros que se propusieron a Fermat en el año 1636 hace referencia a la suma de diversos cuadrados, y en marzo de 1638, Mersenne indica a Descartes que Fermat ha demostrado que un número de la forma ${\displaystyle 4k+3}$  no es ni cuadrado ni suma de dos cuadrados (racionales).^[12]​

En una larga carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640, Fermat enunció sus fundamentos para resolver todos los problemas vinculados con las sumas de cuadrados. Esta es la razón por la cual se conoce al teorema también con el nombre de Teorema de navidad de Fermat.^[13]​

Todo número primo (${\displaystyle p}$ ) que supera de la unidad un número cuaternario (como ${\displaystyle 4k+1}$ ) es una sola vez la suma de dos cuadrados. Igualmente su cuadrado (${\displaystyle p^{2}}$ ). Su cubo (${\displaystyle p^{3}}$ ) y su cuadrado-cuadrado (${\displaystyle p^{4}}$ ) son cada uno dos veces la suma de dos cuadrados; su cuadracubo (${\displaystyle p^{5}}$ ) y su cubicubo (${\displaystyle p^{6}}$ ) son cada uno tres veces la suma de dos cuadrados; etcétera hasta el infinito.

El problema sobre las sumas de cuadrados figura también en las famosas observaciones que Fermat escribió al margen de la edición de Bachet de las Arithmétiques de Diofanto, observaciones que se conocen por la versión póstuma publicada por su hijo en 1670.

siglo XVIII: ¿hay demostraciones?

Con el objetivo de desarrollar un análisis entero de la obra de Diofanto, con demostraciones, Fermat creó un método, que llama descenso infinito, que, según sus afirmaciones, le permite llegar al extremo:

Estuve mucho tiempo sin poder aplicar mi método a preguntas afirmativas, porque llegar a ellas es mucho más difícil que a las negativas. De manera que, cuando me hizo falta demostrar que todo número primo que supera en la unidad a un múltiplo de 4 está compuesto de dos cuadrado, me encontré con una decepción. Pero finalmente una meditación diversas veces reiterada me dio las luces que me faltaban, y las preguntas afirmativas pasaron por mi método, con la ayuda de algunos nuevos principios que se tuvieron que añadir por neceseidad.^[14]​

No ha subsistido sin embargo ninguna demostración completa redactada por Fermat de su teorema. En cambio, las herramientas que desarrolló permiten efectivamente fabricar una y varios historiadores se han dedicado a este ejercicio de reconstrucción.^[15]​

Con algunos otros, como los primeros casos de su Gran Teorema, el enunciado sobre las sumas de dos cuadrados ocupa en cualquier caso un lugar central en el programa de Fermat para renovar la teoría de números. Catorce años más tarde, tiempo después de la muerte de Mersenne, reaparecen estos enunciados en un proyecto de obra que Fermat envía a Blaise Pascal, después en 1658 en el transcurso de un intercambio con los matemáticos ingleses John Wallis y William Brouncker, y un año más tarde, en un balance sobre la teoría de números destinada al joven Christiaan Huygens. .

siglo XVIII: Demostraciones y extensiones

 

Leonhard Euler redacta la primera prueba conocida.

El ambiente científico de este siglo es muy distinto. Las matemáticas se han profesionalizado en toda Europa y revistas periódicas, en particular las publicaciones de las diversas Academias de las ciencias, ofreccen la posibilidad de publicar resultados y demostraciones. Leonhard Euler (1707-1783) se interesará por el teorema de los dos cuadrados, igual que por muchos otros resultados de la teoría de números dejados por Fermat,^[16]​ y se le deben las primeras demostraciones de estos resultados.

Fue pues Leonhard Euler, tras mucho esfuerzo, el primero que dio una demostración formal basada en descenso infinito. Fue anunciada en una carta escrita a Christian Goldbach el 12 de abril de 1749.^[17]​

Más tarde, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) publicó una demostración en 1775 basada en su estudio de formas cuadráticas. Esta demostración fue simplificada por Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticae.^[18]​ Más adelante, Dedekind dio otras dos demostraciones basadas en la aritmética de los enteros gaussianos. Hay incluso una demostración elegante usando el teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos.

Demostraciones

La implicación de izquierda a derecha es mucho más sencilla que su recíproco y ya se conocía en tiempos de Fermat. Es la implicación de derecha a izquierda la supuso más problemas.

Fermat enunció el teorema, pero, como habitualmente, no compartió una demostración del mismo. La primera fue encontrada por Euler después de mucho esfuerzo basándose en las pistas que dejó Fermat. En particular, el método del descenso infinito. Lo anunció en dos letras a Goldbach, el 6 de mayo de 1747 y el 12 de abril de 1749. Sin embargo, estas cartas sólo contenía esbozos de la prueba, que no publicó detalladamente hasta más adelante, en dos artículos entre 1752 y 1755.

Lagrange dio otra demostración en 1775 basada en su estudio sobre formas cuadráticas. Esta misma prueba fue más adelante simplificada por Gauss en sus Disquisitiones arithmeticae (art. 182).^[18]​

Más tarde, también Dedeking dio por lo menos dos demostraciones basadas en los enteros de Gauss.

También hay una elegante demostración usando el teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos.

En 1990, simplificando una demostración corta debida a Heath-Brown (inspirada por una idea de Liouville), Zagier presentó una demostración no constructiva de una frase.^[19]​ Y más recientemente, en 2016, David Christopher dio una demostración basada en teoría de particiones.

Demostración de la implicación de izquierda a derecha

Queremos demostrar que si ${\displaystyle p}$  es un primo impar suma de dos cuadrados, entonces es congruente con 1 módulo 4. La demostración de esto es muy sencilla: Si ${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}$  es un primo impar, entonces necesariamente ${\displaystyle a^{2}}$  y ${\displaystyle b^{2}}$  tienen paridad contraria. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que ${\displaystyle a^{2}}$  es par y ${\displaystyle b^{2}}$ , impar. Entonces, la descomposición en factores primos de ${\displaystyle a^{2}}$  contiene un ${\displaystyle 2}$ , luego la de ${\displaystyle a}$  también y ${\displaystyle a}$  es par. Simétricamente, la descomposición de ${\displaystyle b^{2}}$  no contiene ningún ${\displaystyle 2}$ , luego la de ${\displaystyle b}$  tampoco y ${\displaystyle b}$  es impar. Es decir, existen enteros ${\displaystyle n,m}$  tales que

${\displaystyle a=2n,b=2m+1\Rightarrow a^{2}+b^{2}=(2n)^{2}+(2m+1)^{2}=4n^{2}+4m^{2}+4m+1=4(n^{2}+m^{2}+m)+1\equiv 1{\pmod {4}},}$ 

que es lo que queríamos demostrar.

Demostración por descenso infinito de Euler

Euler consiguió probar el teorema de Fermat sobre sumas de cuadrados en 1749, cuando tenía 42 años. Lo comunicó en una carta a Goldbach el 12 de abril de 1749. La demostración se basa en el método del descenso infinito propuesto por el mismo Fermat anteriormente. Este método es un tipo de reducción al absurdo en que la contradicción que se busca es encontrar una sucesión infinita estrictamente decreciente de enteros positivos. Como estos tienen un elemento mínimo, se llega así a una contradicción. Sin embargo, la demostración sólo está esbozada en la carta. La demostración completa consta de cinco afirmaciones que finalmente conducen al enunciado y fue publicada en dos artículos. Las cinco afirmaciones descritas más abajo no se corresponden exactamente con las cinco de Euler, pero reproducen la misma demostración.

Para evitar ambigüedades, el cero será siempre un posible constituyente de "sumas de dos cuadrados", de forma que todo cuadrado perfecto será trivialmente expresable como suma de dos cuadrados si se fija uno como cero.

A continuación se presentan las cinco afirmaciones de que consta la prueba:

1. El producto de dos números, cada uno suma de dos cuadrados, es también la suma de dos cuadrados.

Este resultado se deduce de la siguiente identidad, conocida como identidad de Brahmagupta, y ya se conocía en tiempos de Euler gracias a Diofanto:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{p}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$ 

En efecto, basta un simple desarrollo del miembro derecho para comprobar su validez:

${\displaystyle (ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}=a^{2}p^{2}+b^{2}q^{2}+2abpq+a^{2}q^{2}+b^{2}p^{2}-2abpq=}$ 

${\displaystyle =a^{2}p^{2}+b^{2}q^{2}+a^{2}q^{2}+b^{2}p^{2}=a^{2}(p^{2}+q^{2})+b^{2}(p^{2}+q^{2})=(a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})}$ 

Por tanto, como el producto de dos sumas de cuadrados se expresa como el miembro izquierdo y el miembro derecho es también una suma de cuadrados, hemos demostrado la primera afirmación.

2. Si un número que es suma de dos cuadrados es divisible por un primo que, a su vez, es suma de dos cuadrados, entonces su cociente es suma de dos cuadrados. (Esta es la primera proposición de Euler)

En efecto, supongamos que ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$  es divisible por ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$  y que este último es primo. Entonces, ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$  divide a

${\displaystyle p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2})=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=(pb-aq)(pb+aq)}$ 

Ahora, como ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$  es primo, por el lema de Euclides, debe dividir a alguno de los dos factores. Supongamos que divide a ${\displaystyle pb-aq}$ . Como, por la primera afirmación (la identidad de Brahmagupta),

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}\Rightarrow (ap+bq)^{2}=(a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})-(aq-bp)^{2}}$ 

y los dos sumandos de la derecha son, por hipótesis, divisibles por ${\displaystyle (p^{2}+q^{2})^{2}}$ , tenemos que ${\displaystyle (ap+bq)^{2}}$  también lo es. Podemos pues dividir la identidad de Brahmagupta por ${\displaystyle (p^{2}+q^{2})^{2}}$  y obtener:

${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}}$ ,

y esto lleva a lo que queríamos: el cociente es suma de dos cuadrados.

Por otro lado, si ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$  dividiera a ${\displaystyle pb+aq}$ , un argumento simétrico se sostiene utilizando la siguiente variante de la identidad de Brahmagupta:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}}$ .

3. Si un número suma de dos cuadrados es divisible por un número que no es suma de nos cuadrados, entonces el cociente tiene un factor que no es suma de dos cuadrados. (Esta es la segunda proposición de Euler)

Supongamos que ${\displaystyle q}$  es un número no expresable como suma de dos cuadrado que divide a ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ . Escribimos el cociente factorizado en sus (posiblemente repetidos) factores primos como ${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ , de forma que tenemos que ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=qp_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ . Si todos los factores ${\displaystyle p_{i}}$  pudieran ser escritos como suma de dos cuadrados, podríamos dividir sucesivamente ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$  por ${\displaystyle p_{1},\,p_{2},}$  etc. y, aplicando el paso 2., en cada división obtendríamos a la izquierda un número expresable como suma de dos cuadrados. Pero si repetimos esto ${\displaystyle n}$  veces (para cada factor), obtenemos que ${\displaystyle q}$  es suma de dos cuadrados, lo cual es una contradicción. Por lo que por lo menos uno de los ${\displaystyle p_{i}}$  debe no ser suma de dos cuadrados.

4. Si ${\displaystyle a}$  y ${\displaystyle b}$  son enteros positivos y coprimos, entonces todos los factores de ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$  son suma de dos cuadrados. (Este es el paso que utiliza 3. para producir un descenso infinito, y fue la proposición 4 de Euler. La demostración siguiente contiene también la demostración de la proposición 3 de Euler).

Sea ${\displaystyle a,b}$  enteros positivos coprimos. Sin pérdida de generalidad podemos supones que ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$  no es primo, pues si lo fuera ya habríamos acabado. Sea ${\displaystyle q\neq 1,a^{2}+b^{2}}$  un factor de ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$  no necesariamente primo. Podemos suponer que ${\displaystyle q\neq 1,a^{2}+b^{2}}$  porque ambos casos son suma de dos cuadrados y ya habríamos acabado. Tampoco perdemos nada suponiendo que ${\displaystyle q>2}$ , pues el caso ${\displaystyle q=2=1^{2}+1^{2}}$  también es obvio.

Sean pues ${\displaystyle m,n}$  enteros no negativos tales que ${\displaystyle mq,nq}$  son los múltiplos de ${\displaystyle q}$  más cercanos (en valor absoluto) a ${\displaystyle a,b}$ , respectivamente. Nótese que las diferencias ${\displaystyle c=a-mq,\,d=b-nq}$  son ambos enteros de valor absoluto estrictamente menor que ${\displaystyle q/2}$ .

Con estas definiciones obtenemos que

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(c+mq)^{2}+(d+nq)^{2}=c^{2}+m^{2}q^{2}+2mqc+d^{2}+n^{2}q^{2}+2nqd=Aq+(c^{2}+d^{2})}$ 

definiendo unívocamente un entero no negativo ${\displaystyle A}$ . Como ${\displaystyle q}$  divide por hipótesis a ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$  y también divide trivialmente a ${\displaystyle Aq}$ , debe dividir también a ${\displaystyle c^{2}+d^{2}}$ . Podemos escribir pues ${\displaystyle c^{2}+d^{2}=qr}$ . Sea ${\displaystyle g=\operatorname {mcd} (c,d)}$ . Como ${\displaystyle a,b}$  son coprimos, ${\displaystyle g}$  lo tiene que ser también con ${\displaystyle q}$ , pues por definición de ${\displaystyle c,d}$ ,

${\displaystyle \operatorname {mcd} (g,q)|a,b\Rightarrow \operatorname {mcd} (g,q)|\operatorname {mcd} (a,b)=1\Rightarrow \operatorname {mcd} (g,q)=1}$ 

Así, tenemos que${\displaystyle g=\operatorname {mcd} (c,d)|c,d\Rightarrow g^{2}|c^{2},d^{2}\Rightarrow g^{2}|c^{2}+d^{2}=qr{\overset {\operatorname {mcd} (g,q)=1}{\Rightarrow }}g^{2}|r}$ 

Por tanto, escribiendo ${\displaystyle e=c/g,~f=d/g,~s=r/g^{2}}$ , todos enteros como ya hemos visto, obtenemos dividiendo por ${\displaystyle g^{2}}$ , ${\displaystyle c^{2}+d^{2}=qr{\overset {/g^{2}}{\Rightarrow }}e^{2}+f^{2}=qs}$  y, por definición, ${\displaystyle e,f}$  son coprimos. Como hemos observado antes, ${\displaystyle |c|,|d|<q/2}$ , de forma que

${\displaystyle qs=e^{2}+f^{2}\leq c^{2}+d^{2}<\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {q^{2}}{2}}\Rightarrow s<{\frac {q}{2}}}$ 

Llegamos así al paso del descenso infinito: si ${\displaystyle q}$  no es suma de dos cuadrados, por el paso 3., y como ${\displaystyle s={\frac {e^{2}+f^{2}}{q}}}$ , tiene que haber un factor de ${\displaystyle s}$ , digamos ${\displaystyle q_{1}}$ , que no es suma de dos cuadrados. Pero ${\displaystyle q_{1}\leq s<q/2<q}$  y, repitiendo estos pasos (inicialmente con ${\displaystyle e,f;q_{1}}$  en lugar de ${\displaystyle a,b;q}$  y así ad infinitum) obtenemos una secuencia infinita estrictamente decreciente ${\displaystyle q,q_{1},q_{2},\dots }$  de enteros positivos. Esto es una contradicción que proviene de nuestra suposición de que ${\displaystyle q}$  no era suma de dos cuadrados, por lo que lo debe ser y hemos acabado la demostración de este paso.

5. Todo primo de la forma ${\displaystyle 4n+1}$  es suma de dos cuadrados. (Este es el principal resultado del segundo artículo de Euler).

Si ${\displaystyle p=4n+1}$ , por el pequeño teorema de Fermat, cada uno de los números ${\displaystyle 1,2^{4n},3^{4n},\dots ,(4n)^{4n}}$  es congruente con 1 módulo ${\displaystyle p}$ . Las diferencias ${\displaystyle 2^{4n}-1,3^{4n}-2^{4n},\dots ,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}}$  son por tanto todas divisibles por ${\displaystyle p}$ . Cada una de estas diferencias puede ser factorizada como ${\displaystyle a^{4n}-b^{4n}=(a^{2n}+b^{2n})(a^{2n}-b^{2n}).}$ 

Como ${\displaystyle p}$  es primo, tiene que dividir a alguno de los dos factores. Si en alguna de las ${\displaystyle 4n-1}$  diferencias divide al primer factor, podemos concluir, por 4., que ${\displaystyle p}$  es suma de dos cuadrados (como ${\displaystyle a,b}$  difieren por 1, son coprimos). Es suficiente pues ver que ${\displaystyle p}$  no puede dividir siempre al segundo factor.

Si ${\displaystyle p}$  divide las ${\displaystyle 4n-1}$  diferencias ${\displaystyle 2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\dots ,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}}$ , entonces dividirá las ${\displaystyle 4n-2}$  diferencias de términos sucesivos, las ${\displaystyle 4n-3}$  diferencias de las diferencias, y así sucesivamente. Este proceso se puede representar como sigue. Consideremos el polinomio ${\displaystyle P_{0}(x)=x^{2n}-1}$  y la sucesión de polinomios definida por ${\displaystyle P_{i+1}(x)=P_{i}(x+1)-P_{i}(x)}$ . Observamos que esta recurrencia valorada en ${\displaystyle x=2}$  nos da el primer término de las sucesivas diferencias de las diferencias.

Afirmamos que ${\displaystyle \operatorname {gr} (P_{i})=2n-i}$ . En efecto, ${\displaystyle P_{0}}$  lo cumple y, por inducción,

${\displaystyle P_{i+1}(x)=P_{i}(x+1)-P_{i}(x){\overset {\text{Inducción}}{=}}a_{2n-i}(x+1)^{2n-i}+a_{2n-i-1}(x+1)^{2n-i-1}\dots -a_{2n-i}x^{2n-i}-a_{2n-i-1}x^{2n-i-1}\dots =}$ 

${\displaystyle =a_{2n-i}x^{2n-i}+a_{2n-i}{2n-i \choose 1}x^{2n-i-1}+a_{2n-i-1}x^{2n-i-1}\dots -a_{2n-i}x^{2n-i}-a_{2n-i-1}x^{2n-i-1}-\dots =a_{2n-i}{2n-i \choose 1}x^{2n-i-1}+\dots \Rightarrow }$ 

${\displaystyle \Rightarrow \operatorname {gr} (P_{i+1})=n-(i+1)}$ .

Además, su monomio dominante tiene un coeficiente igual al producto ${\displaystyle (2n)(2n-1)\cdots (2n-i+1)}$ . En efecto, ${\displaystyle P_{0}}$  lo cumple y, por inducción, por el razonamiento anterior, tenemos que el monomio principal del ${\displaystyle P_{i+1}}$  es

${\displaystyle P_{i+1}(x)=a_{2n-i}{2n-i \choose 1}x^{2n-i-1}{\overset {\text{Inducción}}{=}}(2n)(2n-1)\cdots (2n-i+1)(2n-i)x^{2n-i-1}=(2n)(2n-1)\cdots (2n-i-1)(2n-(i+1)+1)x^{2n-i-1}}$ 

Por tanto, tenemos que el polinomio ${\displaystyle P_{2n}(x)=(2n)(2n-1)\cdots (2n-2n+1)x^{2n-2n}=(2n)!}$ . En particular, ${\displaystyle P_{2n}(2)=(2n)!}$  y, por lo que hemos visto antes, tenemos que ${\displaystyle 4n+1=p|P_{2n}(2)=(2n)!}$ , lo cual es una contradicción, pues ${\displaystyle p}$  es un número mayor que ${\displaystyle 2n}$ . La contradicción proviene de suponer que ${\displaystyle p}$  divide todas las diferencias ${\displaystyle 2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\dots ,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}}$ . Así, no las divide a todas y, como ya hemos visto, esto conduce a que ${\displaystyle p}$  es suma de dos cuadrados.

Con esto queda demostrado el teorema. ${\displaystyle \quad \square }$ 

Número de soluciones y generalización

En el enunciado del teorema básico se afirma también la unicidad de la descomposición de un primo como suma de cuadrados. La demostración de esto no es complicada y recae también en la identidad de Brahmagupta.

Si un número primo ${\displaystyle p}$  es suma de dos cuadrados, entonces estos cuadrados son únicos salvo un cambio de orden.

Sean ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$  y ${\displaystyle c^{2}+d^{2}}$  dos sumas de cuadrados iguales a ${\displaystyle p}$ . Suponemos que ${\displaystyle a,b,c,d}$  son enteros positivos.(*) Son, de hecho, estrictamente positivos, ya que, si no fuese el caso, ${\displaystyle p}$  sería un cuadrado perfecto, lo cual entra en contradicción con que sea primo. Se demuestra que ${\displaystyle p}$  divide a ${\displaystyle ad-bc}$  y a ${\displaystyle ad+bc}$ . Para esto, es útil el siguiente cálculo: ${\displaystyle (ad-bc)(ad+bc)=a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}=a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}-b^{2}d^{2}=d^{2}(a^{2}+b^{2})-b^{2}(c^{2}+d^{2})=d^{2}p-b^{2}p=p(d^{2}-b^{2})}$  Así, ${\displaystyle p}$ |${\displaystyle (ad-bc)(ad+bc)}$  y, por el lema de Euclides, debe dividir a alguno de los dos factores. Supongamos que divide al primero: ${\displaystyle p}$ |${\displaystyle ad-bc\Rightarrow \exists k_{1}\in \mathbb {Z} :ad-bc=k_{1}p}$  . La identidad de Brahmagupta (demostrada en la primera afirmación de la demostración de Euler) indica que: ${\displaystyle p^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ad-bc)^{2}+(ac+bd)^{2}}$  Esto muestra que ${\displaystyle ac+bd}$  también es un múltiplo de ${\displaystyle p}$  y existe pues un entero ${\displaystyle k_{2}}$  tal que ${\displaystyle ac+bd=k_{2}p}$ . La anterior igualdad se puede por tanto escribir como ${\displaystyle p^{2}=k_{1}^{2}p^{2}+k_{2}^{2}p^{2}}$  de donde ${\displaystyle k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=1}$ . Como ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$  son ambos enteros, uno debe ser nulo y el otro es igual a 1 en valor absoluto. Observamos que ${\displaystyle ac+bd>0}$  ya que es suma de productos estrictamente positivos. Por tanto, ${\displaystyle k_{1}=0}$  y, así, ${\displaystyle ad-bc=k_{1}p=0}$ . Esto muestra que los vectores ${\displaystyle (a,b),(c,d)}$  son proporcionales y, por tanto, existe un entero estrictamente positivo ${\displaystyle \lambda }$  tal que ${\displaystyle c=\lambda a,d=\lambda b}$ . Así, ${\displaystyle c^{2}+d^{2}=\lambda ^{2}a^{2}+\lambda ^{2}b^{2}=\lambda ^{2}(a^{2}+b^{2})=\lambda ^{2}p\Rightarrow \lambda ^{2}=1{\overset {\lambda >0}{\Rightarrow }}\lambda =1}$ . Esto, por definición de ${\displaystyle \lambda }$ , quiere decir que ${\displaystyle c=a,d=b}$ . Si fuera ${\displaystyle ad+bc}$  el múltiplo de ${\displaystyle p}$ , la igualdad siguiente muestra que ${\displaystyle ac-bd}$  es un múltiplo de ${\displaystyle p}$ : ${\displaystyle p^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}}$  El razonamiento anterior también se aplica, sólo que ahora muestra que ${\displaystyle a=d,b=c}$ , es decir, los cuadrados son idénticos, pero están en orden inverso. Por tanto, salvo el orden, la descomposición en cuadrados es única, como queríamos ver. ${\displaystyle \quad \square }$  (*)Podemos suponer que son positivos porque nos importa la unicidad de sus cuadrados, de forma que un número y su opuesto son equivalentes. De hecho, diferenciando positivos y negativos, hay 4 elecciones de ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$  tales que ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p}$ , dependiendo de si se cogen los representantes positivos o negativos de ${\displaystyle a,b}$ : ${\displaystyle p=(\pm a)^{2}+(\pm b)^{2}}$

Procedemos ahora a demostrar la generalización del teorema a enteros cualesquiera (no necesariamente primos), que se ha enunciado más arriba y que dice así:

Teorema de los dos cuadrados (caso general) Un entero es suma de dos cuadrados si y sólo si cada uno de sus factores primos de la forma ${\displaystyle 4k+3}$  interviene con una potencia par.

Para la demostración del teorema son necesarios dos lemas:

Lema ${\displaystyle (1)}$ : Si ${\displaystyle p}$  es un número primo impar, ${\displaystyle x^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$  tiene solución ${\displaystyle \Longleftrightarrow p\equiv 1{\pmod {4}}}$

${\displaystyle (\Rightarrow )}$  Supongamos que existe ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$  tal que ${\displaystyle x^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}\Rightarrow x^{2}\equiv -1{\pmod {p}}\Rightarrow (x^{2})^{\frac {p-1}{2}}\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}$ , pero, por el pequeño teorema de Fermat, ${\displaystyle (x^{2})^{\frac {p-1}{2}}=x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}\Rightarrow (-1)^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}\Rightarrow {\frac {p-1}{2}}\equiv 0{\pmod {2}}\Rightarrow p\equiv 1{\pmod {4}}}$ . ${\displaystyle (\Leftarrow )}$  Por hipótesis, existe un entero ${\displaystyle n}$  tal que ${\displaystyle p=4n+1}$ . El pequeño teorema de Fermat muestra que si ${\displaystyle x}$  es un entero, entonces ${\displaystyle (x^{2n}-1)(x^{2n}+1)=x^{4n}-1\equiv 0{\pmod {p}}}$ . Como ${\displaystyle p}$  es primo, uno de los dos factores es múltiplo suyo. Es suficiente encontrar un entero ${\displaystyle a}$  tal que ${\displaystyle a^{2n}-1}$  no sea múltiplo de ${\displaystyle p}$  pues, en este caso, ${\displaystyle a^{2n}+1}$  lo es, y ${\displaystyle a^{n}}$  es la solución de ${\displaystyle x^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$  que buscábamos. Se sigue aquí un razonamiento muy parecido que en el quinto paso de la demostración de Euler. Consideramos la sucesión de polinomios ${\displaystyle Pn}$  definida recurrentemente como: ${\displaystyle P_{0}(x)=x^{2n}-1,\quad P_{i+1}(x)=P_{i}(x+1)-P_{i}(x)}$  En el quinto paso de la demostración de Euler ya demostramos para estos polinomios que ${\displaystyle \operatorname {gr} (P_{i})=2n-i}$  y que el coeficiente del monomio dominante de ${\displaystyle P_{i}}$  es ${\displaystyle (2n)(2n-1)\cdots (2n-i+1)}$ . De esto se deduce que ${\displaystyle P_{2n}}$  es un polinomio constante igual a ${\displaystyle (2n)!}$ . Como ${\displaystyle p}$  es primo y mayor que ${\displaystyle 2n}$ , no es divisor de ${\displaystyle (2n)!}$ . Pero ${\displaystyle P_{2n}(x)}$  es, por definición, suma de valores que toma ${\displaystyle P_{0}(x)}$  sobre los enteros. Por tanto, como ${\displaystyle p}$  no divide a ${\displaystyle P_{2n}(x)=(2n)!}$  para ningún ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$ , debe existir ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$  tal que ${\displaystyle P_{0}(a)}$  no es múltiplo de ${\displaystyle p}$ . Entonces, como ${\displaystyle a^{2n}-1}$  no es múltiplo de ${\displaystyle p}$ , tenemos que sí que lo es ${\displaystyle a^{2n}+1}$ , lo que concluye la demostración. ${\displaystyle \quad \square }$

Lema ${\displaystyle (2)}$ : Sea ${\displaystyle p}$  un primo congruente con 3 módulo 4. Si una suma de cuadrados de enteros ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$  es múltiplo de ${\displaystyle p}$ , entonces ${\displaystyle a}$  y ${\displaystyle b}$  son múltiplos de ${\displaystyle p}$ .

Que ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$  sea múltiplo de ${\displaystyle p}$  quiere decir que ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 0{\pmod {p}}}$ , de forma que, considerando el cuerpo de los enteros módulo ${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=0}$ , en ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ . Supongamos que ${\displaystyle b}$  no es múltiplo de ${\displaystyle p}$ , es decir, ${\displaystyle b\neq 0}$  en ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ . Como es un cuerpo, ${\displaystyle b}$  tiene un inverso ${\displaystyle b^{-1}\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ , de forma que si multiplicamos la anterior igualdad por ${\displaystyle (b^{-1})^{2}}$ , tenemos que ${\displaystyle (ab^{-1})^{2}+1=0}$ , es decir, la ecuación ${\displaystyle x^{2}+1=0}$  tiene solución (${\displaystyle ab^{-1}}$ ) en ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ , pero por el lema ${\displaystyle (1)}$  la misma ecuación no tiene soluciones, pues ${\displaystyle p\equiv 3\not \equiv 1{\pmod {4}}}$ . Tenemos pues una contradicción. La contradicción proviene de suponer que ${\displaystyle b}$  no es múltiplo de ${\displaystyle p}$ . Por tanto sí que lo es y, como ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$  es múltiplo de ${\displaystyle p}$  deducimos que ${\displaystyle a}$  también es múltiplo de ${\displaystyle p}$ . ${\displaystyle \quad \square }$

Ya podemos así demostrar el teorema general:

Un entero es suma de dos cuadrados si y sólo si cada uno de sus factores primos de la forma ${\displaystyle 4k+3}$  interviene con una potencia par.

${\displaystyle (\Leftarrow )}$  Supongamos que ${\displaystyle n}$  tiene una descomposición en números primos del tipo del enunciado. Veremos que podemos describir ${\displaystyle n}$  como producto de sumas de dos cuadrados, lo que, implicará, por la primera afirmación de la demostración de Euler, que ${\displaystyle n}$  es a su vez suma de dos cuadrados. La forma para la descomposición en factores primos de ${\displaystyle n}$  descrita en el enunciado empieza con una potencia de 2: ${\displaystyle 2^{m}}$ , que podemos escribir como suma de dos cuadrados ccomo ${\displaystyle 2^{m}=2^{m}+0^{2}}$  si ${\displaystyle m}$  es par, o como ${\displaystyle 2^{m}=2^{m-1}+2^{m-1}}$  si ${\displaystyle m}$  es impar. Luego habrá potencias de primos impares, que deberán ser congruentes o con 1 o con 3 módulo 4. Todos los primos congruentes con 1 módulo 4 se pueden escribir como suma de dos cuadrados por el teorema en el caso particular de los números primos. Ahora, por hipótesis, los primos congruentes con 3 módulo 4 están elevados a una potencia par, luego podemos escribirlos como suma de dos cuadrados como ${\displaystyle p^{2m}=(p^{2}+0^{2})^{m}}$ , que es un producto de números que se pueden escribir como suma de dos cuadrados, por lo que también es suma de dos cuadrados. Por tanto, ${\displaystyle n}$  es producto de números suma de dos cuadrados y es, por tanto, suma de dos cuadrados. ${\displaystyle (\Rightarrow )}$  Supongamos ahora que ${\displaystyle n}$  es suma de dos cuadrados; digamos que ${\displaystyle n=a^{2}+b^{2}}$ . Queremos ver que todos los primos congruentes con 3 módulo 4 están elevados a una potencia par en la descomposición en factores primos de ${\displaystyle n}$ . Equivalentemente, veremos que si ${\displaystyle p}$  es un primo congruente con 3 módulo 4 que divide a ${\displaystyle n=a^{2}+b^{2}}$ , entonces su cuadrado, ${\displaystyle p^{2}}$ , también divide a ${\displaystyle n}$ . Tenemos pues que ${\displaystyle p}$  divide a ${\displaystyle n=a^{2}+b^{2}}$ . Ahora, por el lema ${\displaystyle (2)}$ , tenemos que ${\displaystyle p}$  divide también a ${\displaystyle a}$  y a ${\displaystyle b}$ . En consecuencia, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$  es múltiplo, no sólo de ${\displaystyle p}$ , sino también de ${\displaystyle p^{2}}$ . Con esto, como ya hemos dicho, concluimos que todas las potencias de primos congruentes con 3 módulo 4 son primas, como queríamos demostrar. ${\displaystyle \square }$ Noviembre 05, 2023 Últimos artículos Enero 01, 1970 Cuadrado sator Enero 01, 1970 Cuadrados mágicos Enero 01, 1970 Cuadrangular de Santiago y Rancagua 1965 Enero 01, 1970 Cuadrangulares de ascenso de Colombia de 2015 Enero 01, 1970 Cuadrante Gamma Enero 01, 1970 Cuadrante solar Enero 01, 1970 Cuadratura (geometría) Enero 01, 1970 Cuadridimensionalismo Enero 01, 1970 Cuadrilla de Abajo Enero 01, 1970 Cuadrilátero completo Más leído Enero 01, 1970 Joseph Agnon Enero 01, 1970 Joseph Albers Enero 01, 1970 Joseph Anthony Enero 01, 1970 Joseph Armone Enero 01, 1970 Joseph Bunn teorema, fermat, sobre, suma, cuadrados, matemáticas, más, concretamente, teoría, números, teorema, fermat, sobre, suma, cuadrados, enuncia, condicionas, para, número, entero, suma, cuadrados, enteros, precisa, cuántas, maneras, diferentes, puede, ejemplo, seg. En matematicas y mas concretamente en teoria de numeros el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados enuncia las condicionas para que un numero entero sea la suma de dos cuadrados de enteros y precisa de cuantas maneras diferentes lo puede ser Por ejemplo segun este teorema un numero primo impar es la suma de dos cuadrados de enteros si y solo si el resto de su division euclidea entre 4 es 1 en este caso los cuadrados quedan determinados de forma unica Se puede verificar sobre 17 4 4 1 o 97 4 24 1 ambos primos que los dos se pueden expresar de una unica forma como suma de dos cuadrados 17 1 2 4 2 displaystyle 17 1 2 4 2 y 97 9 2 4 2 displaystyle 97 9 2 4 2 tambien que otros numeros primos como 7 4 1 3 o 31 4 7 3 no se pueden expresar como suma de dos cuadrados Este resultado a veces de llama simplemente teorema de los dos cuadrados o tambien teorema de Fermat de Navidad En concreto el teorema dice lo siguiente Pierre de Fermat Un numero primo p es expresable como suma de dos cuadrados si y solo si p 2 o p 1 mod 4 Pierre de Fermat 1640 Es decir p x 2 y 2 displaystyle p x 2 y 2 donde x displaystyle x e y displaystyle y son numeros enteros si p 2 displaystyle p 2 o si no si p 4 k 1 displaystyle p 4k 1 para algun k displaystyle k entero o escrito en notacion moderna p 1 mod 4 displaystyle p equiv 1 pmod 4 vease aritmetica modular Sin embargo como se ve mas adelante en este mismo articulo se pueden hacer generalizaciones a cualquier numero entero y no solamente numeros primos El teorema es tambien conocido como lema de Thue debido al matematico noruego Axel Thue El teorema se inscribe en la larga historia de la representacion de numeros como suma cuadrados que se remonta a la antiguedad Fue expresado de forma explicita por Pierre de Fermat 1601 1665 en el siglo XVII pero la primera demostracion publicada conocida es de Leonhard Euler un siglo mas tarde Su demostracion sin embargo no cierra las preguntas En el transcurso de los siglos posteriores se propusieron nuevas demostraciones y varias generalizaciones Estas contribuciones han tenido un papel importante en el desarrollo de la rama de las matematicas llamada teoria algebraica de numeros Parecido a muchas ecuaciones diofanticas es decir ecuaciones donde los coeficientes y las soluciones buscadas son numeros enteros o racionales la simplicidad del enunciado esconde una dificultad real en su demostracion Algunas de las pruebas propuestas han ayudado a la puesta a punto de herramientas a veces sofisticadas como las curvas elipticas o la geometria de los numeros relacionando asi la teoria de numeros elemental con otras ramas de las matematicas Indice 1 Presentacion del teorema 1 1 El caso de los numeros primos 1 2 El caso general 2 Historia 2 1 Epoca antigua primeros resultados 2 2 siglo XVII Los enunciados 2 3 siglo XVIII hay demostraciones 2 4 siglo XVIII Demostraciones y extensiones 3 Demostraciones 3 1 Demostracion de la implicacion de izquierda a derecha 3 2 Demostracion por descenso infinito de Euler 3 3 Numero de soluciones y generalizacion 3 4 Otras demostraciones del teorema 3 4 1 Demostracion de Lagrange por formas cuadraticas 3 4 2 Demostracion de una frase de Zagier e interpretacion geometrica de Spivak 4 Ejemplos 5 Generalizacion 6 Vease tambien 7 Referencias 7 1 Notas 8 Enlaces externosPresentacion del teorema editarEl caso de los numeros primos editar Ciertos numeros primos son suma de dos cuadrados de enteros Claro es el caso del 2 1 2 1 2 displaystyle 2 1 2 1 2 nbsp e igualmente del 5 1 2 2 2 displaystyle 5 1 2 2 2 nbsp Sin embargo otros como el 3 y el 7 no verifican esta propiedad como se puede comprobar viendo todos los posibles casos Una prueba sistematica hasta 40 concluye que 5 1 2 2 2 13 2 2 3 2 17 1 2 4 2 29 2 2 5 2 37 1 2 6 2 displaystyle 5 1 2 2 2 quad 13 2 2 3 2 quad 17 1 2 4 2 quad 29 2 2 5 2 quad 37 1 2 6 2 nbsp pero que sin embargo 3 7 11 19 23 y 31 no se pueden descomponer de esta forma El teorema da un criterio general que permite discriminar estas dos situaciones a priori Teorema de los dos cuadrados de Fermat caso de los numeros primos Sea p displaystyle p nbsp un numero primo impar p displaystyle p nbsp es la suma de dos cuadrados de naturales si y solo si p displaystyle p nbsp es congruente con 1 modulo 4 x y N p x 2 y 2 p 1 mod 4 displaystyle exists x y in mathbb N p x 2 y 2 quad Leftrightarrow quad p equiv 1 pmod 4 nbsp Ademas esta descomposicion cuando existe es unica salvo el cambio de orden entre x 2 displaystyle x 2 nbsp y y 2 displaystyle y 2 nbsp Decir que p displaystyle p nbsp es congruente con 1 modulo 4 significa simplemente que el resto de la division euclidea de p displaystyle p nbsp entre 4 es 1 o tambien que el numero p displaystyle p nbsp es de la forma 4 k 1 displaystyle 4k 1 nbsp para un cierto entero k displaystyle k nbsp Este vocabulario se explica en el articulo Congruencia teoria de numeros El caso general editar Si se empiezan a escribir los enteros inferiores a 50 independientemente de que sean primos o no sobre cuatro lineas en funcion del resto de su division entre cuatro 0 1 2 o 3 se obtiene Resto 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 displaystyle text Resto 0 color OliveGreen 4 color OliveGreen 8 color red 12 color OliveGreen 16 color OliveGreen 20 color red 24 color red 28 color OliveGreen 32 color OliveGreen 36 color OliveGreen 40 color red 44 color red 48 nbsp Resto 1 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 displaystyle text Resto 1 color OliveGreen 1 color OliveGreen 5 color OliveGreen 9 color OliveGreen 13 color OliveGreen 17 color OliveGreen 21 color OliveGreen 25 color OliveGreen 29 color Red 33 color OliveGreen 37 color OliveGreen 41 color red 45 color OliveGreen 49 nbsp Resto 2 2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 displaystyle text Resto 2 text color OliveGreen 2 color Red 6 color OliveGreen 10 color Red 14 color OliveGreen 18 color Red 22 color OliveGreen 26 color Red 30 color OliveGreen 34 color Red 38 color Red 42 color red 46 color OliveGreen 50 nbsp Resto 3 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 displaystyle text Resto 3 text color Red 3 color Red 7 color Red 11 color Red 15 color Red 19 color Red 23 color Red 27 color Red 31 color Red 35 color Red 39 color Red 43 color red 47 nbsp Los enteros escritos en verde designan aquellos que se pueden escribir como suma de dos cuadrados perfectos los otros se han escrito en rojo Podemos observar que la cuarta linea es toda roja es decir ninguno de esos enteros se puede escribir como suma de dos cuadrados perfectos Pero observamos que el producto de un numero par de factores de la forma 4 k 3 displaystyle 4k 3 nbsp es de la forma 4 k 1 displaystyle 4k 1 nbsp pues calculando modulo 4 4 k 3 2 n 3 2 n 9 n 1 n 1 mod 4 displaystyle 4k 3 2n equiv 3 2n 9 n equiv 1 n 1 pmod 4 nbsp y estan en la segunda linea Los numeros de la primera y de la tercera linea son todos pares Por tanto la ultima linea no contiene mas que numeros que tienen un numero impar de factores primos de la forma 4 k 3 displaystyle 4k 3 nbsp Esto da una pista para comprender la situacion general El caso de un numero n displaystyle n nbsp cualquiera depende de sus factores primos Se tiene que Teorema de los dos cuadrados caso general Un entero es suma de dos cuadrados si y solo si cada uno de sus factores primos de la forma 4 k 3 displaystyle 4k 3 nbsp interviene con una potencia par Asi 30 no puede ser suma de cuadrados ya que 30 2 3 5 displaystyle 30 2 cdot 3 cdot 5 nbsp y 3 que es de la forma 4 k 3 displaystyle 4k 3 nbsp con k 0 displaystyle k 0 nbsp entero interviene en esta factorizacion con exponente 1 impar En cambio 45 3 2 5 displaystyle 45 3 2 cdot 5 nbsp si que es suma de dos cuadrados ya que 3 en este caso interviene en una potencia par 2 De hecho 45 6 2 3 2 displaystyle 45 6 2 3 2 nbsp La cuestion del numero de parejas de cuadrados cuya suma es igual a un entero n displaystyle n nbsp dado es decir el numero de soluciones es mas dificil y depende de los exponentes de los factores de n displaystyle n nbsp de la forma 4 k 1 displaystyle 4k 1 nbsp Escribiendo n p 1 a p 2 b p 3 c displaystyle n p 1 a p 2 b p 3 c cdots nbsp con n displaystyle n nbsp solo divisible por 2 y por factores primos de la forma 4 k 3 displaystyle 4k 3 nbsp y con p i displaystyle p i nbsp por tanto los factores de la forma 4 k 1 displaystyle 4k 1 nbsp entonces n displaystyle n nbsp tiene exactamente 1 2 a 1 b 1 c 1 displaystyle frac 1 2 a 1 b 1 c 1 cdots nbsp descomposiciones diferentes en suma de dos cuadrados si al menos uno de los exponentes a b c displaystyle a b c dots nbsp es impar y 1 2 a 1 b 1 c 1 1 2 displaystyle frac 1 2 a 1 b 1 c 1 cdots frac 1 2 nbsp descomposiciones si todos lo exponentes son pares Otra expresion equivalente de este numero de descomposiciones la dio Carl Gustav Jakob Jacobi 1804 1851 Teorema de los dos cuadrados numero de soluciones Sea n displaystyle n nbsp un entero 1 displaystyle geq 1 nbsp y r 2 n displaystyle r 2 n nbsp el numero de representaciones de n displaystyle n nbsp como suma de dos cuadrados Sea d 1 n displaystyle d 1 n nbsp y repectivamente d 3 n displaystyle d 3 n nbsp el numero de divisores no necesariamente primos de n displaystyle n nbsp congruentes con 1 y repectivamente con 3 modulo 4 Se verifica la formula siguiente r 2 n 4 d 1 n d 3 n displaystyle r 2 n 4 d 1 n d 3 n nbsp Notese que se cuentan todas las representaciones incluso aquellas que no difieren mas que por el signo o el orden Por ejemplo 5 2 2 1 2 1 2 2 2 displaystyle 5 pm 2 2 pm 1 2 pm 1 2 pm 2 2 nbsp admite 8 representaciones como suma de dos cuadrados 1 Un ultimo aspecto importante es la construccion explicita de los cuadrados cuya suma es el n displaystyle n nbsp dado Historia editarEpoca antigua primeros resultados editar nbsp Edicion de 1670 de las Aritmeticas de Diofanto de Alejandria El interes por las suma de cuadrados se remonta a la antiguedad se encuentran sumas de este tipo en tabletas cuneiformes del principio del segundo milenio antes de nuestra era y dos lemas anadidos al teorema X 28 en los Elementos de Euclides explican como construir cuadrados perfectos que sean la suma o la diferencia de cuadrados perfectos o al contrario como no obtener un cuadrado sumando dos cuadrados 2 Pero es en la tradicion diofantica donde se encuentran rastros mas precisos sobre los numeros suma de cuadrados Las Arithmetica 3 4 escritas en una fecha incierta contienen problemas con soluciones racionales o enteras Una gran cantidad de ellos se refiere a los numeros cuadrados o cubicos en este caso a los cuadrados o cubos de numeros reaciojnales Por ejemplo el problema 11 del libro II es el siguiente Anadir un mismo numero a dos numeros dados de forma que cada uno de ellos forme un cuadrado o el problema 22 del libro IV Encontrar tres numeros tales que el numero solido procedente de estos tres numeros en otras palabras el producto de estos tres numeros aumentado de cada uno de ellos forme un cuadrado 5 Para resolver todas estas cuestiones Diofanto introduce una cantidad indeterminada de unidades que llama arithme y expresa en funcion de ella todos los datos del problema es pues un antepasado de la nocion de incognita en algebra Consigue asi encontrar una solucion numerica particular por ejemplo para el problema II 11 la solucion 97 64 si los numeros dados son 2 y 3 Varias menciones referentes a la determinacion de los numeros suma de dos cuadrados aparecen de forma dispersa en diversos problemas Por ejemplo Diofanto anota sin explicacion que 15 no puede ser la suma de dos cuadrados de numeros racionales en medio de la solucion del problema VI 14 En el libro III afirma que el numero 65 es una suma de dos cuadrados de dos maneras distintas ya que es el producto de 5 y de 13 ellos mismos sumas de dos cuadrados 6 Otro problema hace referencia al hecho de partir la unidad en dos partes y anadir a cada fragmento un numero dado con tal de formar un cuadrado Esto significa buscar una expresion de a d b d 1 c a d c b d displaystyle frac a d frac b d 1 quad c frac a d c frac b d nbsp son cuadrados de numeros racionales Aqui a b c d N displaystyle a b c d in mathbb N nbsp Esto significa buscar 2 c 1 displaystyle 2c 1 nbsp como suma de dos cuadrados Diofanto dice explicitamente que c displaystyle c nbsp debe ser par en otras palabras que la division de 2 c 1 displaystyle 2c 1 nbsp entre 4 da resto 1 7 Ciertos lectores matematicos de Diofanto estudiaron de forma mas sistematica y aritmetica los numeros suma de cuadrados en particular la tradicion en arabe de al Khazin al Sizji al Samaw al 8 Su perspectiva combina sobre los problemas diofanticos que se prestan tecnicas inspiradas en el algebra naciente y un punto de vista euclideo en particular un enfoque sobre los numeros enteros y de pruebas generales Por ejemplo ensenan que una suma impar de dos cuadrantes primos entre si es de la forma 12 k 5 displaystyle 12k 5 nbsp o 12 k 1 displaystyle 12k 1 nbsp Un contexto importante es el estudio de los triangulos rectangulos en numeros o ternas pitagoricas es decir de los numeros que verifican que a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 nbsp en efecto si los lados a b c displaystyle a b c nbsp son primos entre si c displaystyle c nbsp se escribe como suma de cuadrados siglo XVII Los enunciados editar nbsp Marin Mersenne establece un contacto epistolar solido entre Fermat y sus contemporaneos En el siglo XVII se empieza una exploracion mas sistematica en relacion directa con las ediciones y comentarios de las Aritmeticas de Diofanto Mas adelante llegan los primeros enunciados completos del teorema Albert Girard acaba la traduccion de Simon Stevin de los libros de Diofanto y en sus anotaciones en el ano 1634 anuncia que los numeros que se pueden expresar como suma de dos cuadrados son los cuadrados los 4 k 1 displaystyle 4k 1 nbsp los productos de numeros de estas dos formas y el doble de cada numero asi obtenido es decir un enunciado equivalente al enunciado general que se ha dado mas arriba Pero no presenta ninguna demostracion Alrededor de esa fecha Marin Mersenne 1588 1648 establece en Paris una academia de matematicas comunicando los resultados de diferentes trabajos y apoyada sobre una importante red de corresponsales a traves de toda Europa Participan en ella personajes como Etienne y Blaise Pascal Rene Descartes Bernard Frenicle de Bessy o Gilles de Roberval Esta correspondencia es una de las dos principales fuentes actuales para los trabajos aritmeticos de Pierre de Fermat la otra son sus propios comentarios a la edicion de Diofanto que dio Claude Gaspard Bachet de Meziriac en 1621 9 En sus trabajos de teoria de numeros Bachet se inscribe en la tradicion del analisis diofantico entero y sobre todo da demostraciones a la moda euclidiana de numerosas proposiciones 10 En particular demuestra que el producto de dos sumas de dos cuadrados es la suma de dos cuadrados 11 mas precisamente en notacion algebraica actual a 2 b 2 c 2 d 2 a c b d 2 a d b c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 ac pm bd 2 ad mp bc 2 nbsp Esta identidad sera fundamental para pasar del caso de numeros primos al caso general Mersenne anima a sus corresponsales a proponerse mutuamente problemas con tal de probar su dificultad y estimular a los otros matematicos en sus investigaciones Uno de los primeros que se propusieron a Fermat en el ano 1636 hace referencia a la suma de diversos cuadrados y en marzo de 1638 Mersenne indica a Descartes que Fermat ha demostrado que un numero de la forma 4 k 3 displaystyle 4k 3 nbsp no es ni cuadrado ni suma de dos cuadrados racionales 12 En una larga carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640 Fermat enuncio sus fundamentos para resolver todos los problemas vinculados con las sumas de cuadrados Esta es la razon por la cual se conoce al teorema tambien con el nombre de Teorema de navidad de Fermat 13 Todo numero primo p displaystyle p nbsp que supera de la unidad un numero cuaternario como 4 k 1 displaystyle 4k 1 nbsp es una sola vez la suma de dos cuadrados Igualmente su cuadrado p 2 displaystyle p 2 nbsp Su cubo p 3 displaystyle p 3 nbsp y su cuadrado cuadrado p 4 displaystyle p 4 nbsp son cada uno dos veces la suma de dos cuadrados su cuadracubo p 5 displaystyle p 5 nbsp y su cubicubo p 6 displaystyle p 6 nbsp son cada uno tres veces la suma de dos cuadrados etcetera hasta el infinito El problema sobre las sumas de cuadrados figura tambien en las famosas observaciones que Fermat escribio al margen de la edicion de Bachet de las Arithmetiques de Diofanto observaciones que se conocen por la version postuma publicada por su hijo en 1670 siglo XVIII hay demostraciones editar Con el objetivo de desarrollar un analisis entero de la obra de Diofanto con demostraciones Fermat creo un metodo que llama descenso infinito que segun sus afirmaciones le permite llegar al extremo Estuve mucho tiempo sin poder aplicar mi metodo a preguntas afirmativas porque llegar a ellas es mucho mas dificil que a las negativas De manera que cuando me hizo falta demostrar que todo numero primo que supera en la unidad a un multiplo de 4 esta compuesto de dos cuadrado me encontre con una decepcion Pero finalmente una meditacion diversas veces reiterada me dio las luces que me faltaban y las preguntas afirmativas pasaron por mi metodo con la ayuda de algunos nuevos principios que se tuvieron que anadir por neceseidad 14 No ha subsistido sin embargo ninguna demostracion completa redactada por Fermat de su teorema En cambio las herramientas que desarrollo permiten efectivamente fabricar una y varios historiadores se han dedicado a este ejercicio de reconstruccion 15 Con algunos otros como los primeros casos de su Gran Teorema el enunciado sobre las sumas de dos cuadrados ocupa en cualquier caso un lugar central en el programa de Fermat para renovar la teoria de numeros Catorce anos mas tarde tiempo despues de la muerte de Mersenne reaparecen estos enunciados en un proyecto de obra que Fermat envia a Blaise Pascal despues en 1658 en el transcurso de un intercambio con los matematicos ingleses John Wallis y William Brouncker y un ano mas tarde en un balance sobre la teoria de numeros destinada al joven Christiaan Huygens siglo XVIII Demostraciones y extensiones editar nbsp Leonhard Euler redacta la primera prueba conocida El ambiente cientifico de este siglo es muy distinto Las matematicas se han profesionalizado en toda Europa y revistas periodicas en particular las publicaciones de las diversas Academias de las ciencias ofreccen la posibilidad de publicar resultados y demostraciones Leonhard Euler 1707 1783 se interesara por el teorema de los dos cuadrados igual que por muchos otros resultados de la teoria de numeros dejados por Fermat 16 y se le deben las primeras demostraciones de estos resultados Fue pues Leonhard Euler tras mucho esfuerzo el primero que dio una demostracion formal basada en descenso infinito Fue anunciada en una carta escrita a Christian Goldbach el 12 de abril de 1749 17 Mas tarde Joseph Louis Lagrange 1736 1813 publico una demostracion en 1775 basada en su estudio de formas cuadraticas Esta demostracion fue simplificada por Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticae 18 Mas adelante Dedekind dio otras dos demostraciones basadas en la aritmetica de los enteros gaussianos Hay incluso una demostracion elegante usando el teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos Demostraciones editarLa implicacion de izquierda a derecha es mucho mas sencilla que su reciproco y ya se conocia en tiempos de Fermat Es la implicacion de derecha a izquierda la supuso mas problemas Fermat enuncio el teorema pero como habitualmente no compartio una demostracion del mismo La primera fue encontrada por Euler despues de mucho esfuerzo basandose en las pistas que dejo Fermat En particular el metodo del descenso infinito Lo anuncio en dos letras a Goldbach el 6 de mayo de 1747 y el 12 de abril de 1749 Sin embargo estas cartas solo contenia esbozos de la prueba que no publico detalladamente hasta mas adelante en dos articulos entre 1752 y 1755 Lagrange dio otra demostracion en 1775 basada en su estudio sobre formas cuadraticas Esta misma prueba fue mas adelante simplificada por Gauss en sus Disquisitiones arithmeticae art 182 18 Mas tarde tambien Dedeking dio por lo menos dos demostraciones basadas en los enteros de Gauss Tambien hay una elegante demostracion usando el teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos En 1990 simplificando una demostracion corta debida a Heath Brown inspirada por una idea de Liouville Zagier presento una demostracion no constructiva de una frase 19 Y mas recientemente en 2016 David Christopher dio una demostracion basada en teoria de particiones Demostracion de la implicacion de izquierda a derecha editar Queremos demostrar que si p displaystyle p nbsp es un primo impar suma de dos cuadrados entonces es congruente con 1 modulo 4 La demostracion de esto es muy sencilla Si p a 2 b 2 displaystyle p a 2 b 2 nbsp es un primo impar entonces necesariamente a 2 displaystyle a 2 nbsp y b 2 displaystyle b 2 nbsp tienen paridad contraria Podemos suponer sin perdida de generalidad que a 2 displaystyle a 2 nbsp es par y b 2 displaystyle b 2 nbsp impar Entonces la descomposicion en factores primos de a 2 displaystyle a 2 nbsp contiene un 2 displaystyle 2 nbsp luego la de a displaystyle a nbsp tambien y a displaystyle a nbsp es par Simetricamente la descomposicion de b 2 displaystyle b 2 nbsp no contiene ningun 2 displaystyle 2 nbsp luego la de b displaystyle b nbsp tampoco y b displaystyle b nbsp es impar Es decir existen enteros n m displaystyle n m nbsp tales quea 2 n b 2 m 1 a 2 b 2 2 n 2 2 m 1 2 4 n 2 4 m 2 4 m 1 4 n 2 m 2 m 1 1 mod 4 displaystyle a 2n b 2m 1 Rightarrow a 2 b 2 2n 2 2m 1 2 4n 2 4m 2 4m 1 4 n 2 m 2 m 1 equiv 1 pmod 4 nbsp que es lo que queriamos demostrar Demostracion por descenso infinito de Euler editar Euler consiguio probar el teorema de Fermat sobre sumas de cuadrados en 1749 cuando tenia 42 anos Lo comunico en una carta a Goldbach el 12 de abril de 1749 La demostracion se basa en el metodo del descenso infinito propuesto por el mismo Fermat anteriormente Este metodo es un tipo de reduccion al absurdo en que la contradiccion que se busca es encontrar una sucesion infinita estrictamente decreciente de enteros positivos Como estos tienen un elemento minimo se llega asi a una contradiccion Sin embargo la demostracion solo esta esbozada en la carta La demostracion completa consta de cinco afirmaciones que finalmente conducen al enunciado y fue publicada en dos articulos Las cinco afirmaciones descritas mas abajo no se corresponden exactamente con las cinco de Euler pero reproducen la misma demostracion Para evitar ambiguedades el cero sera siempre un posible constituyente de sumas de dos cuadrados de forma que todo cuadrado perfecto sera trivialmente expresable como suma de dos cuadrados si se fija uno como cero A continuacion se presentan las cinco afirmaciones de que consta la prueba 1 El producto de dos numeros cada uno suma de dos cuadrados es tambien la suma de dos cuadrados Este resultado se deduce de la siguiente identidad conocida como identidad de Brahmagupta y ya se conocia en tiempos de Euler gracias a Diofanto a 2 b 2 p p q 2 a p b q 2 a q b p 2 displaystyle a 2 b 2 p p q 2 ap bq 2 aq bp 2 nbsp En efecto basta un simple desarrollo del miembro derecho para comprobar su validez a p b q 2 a q b p 2 a 2 p 2 b 2 q 2 2 a b p q a 2 q 2 b 2 p 2 2 a b p q displaystyle ap bq 2 aq bp 2 a 2 p 2 b 2 q 2 2abpq a 2 q 2 b 2 p 2 2abpq nbsp a 2 p 2 b 2 q 2 a 2 q 2 b 2 p 2 a 2 p 2 q 2 b 2 p 2 q 2 a 2 b 2 p 2 q 2 displaystyle a 2 p 2 b 2 q 2 a 2 q 2 b 2 p 2 a 2 p 2 q 2 b 2 p 2 q 2 a 2 b 2 p 2 q 2 nbsp Por tanto como el producto de dos sumas de cuadrados se expresa como el miembro izquierdo y el miembro derecho es tambien una suma de cuadrados hemos demostrado la primera afirmacion 2 Si un numero que es suma de dos cuadrados es divisible por un primo que a su vez es suma de dos cuadrados entonces su cociente es suma de dos cuadrados Esta es la primera proposicion de Euler En efecto supongamos que a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp es divisible por p 2 q 2 displaystyle p 2 q 2 nbsp y que este ultimo es primo Entonces p 2 q 2 displaystyle p 2 q 2 nbsp divide ap 2 a 2 b 2 a 2 p 2 q 2 p 2 b 2 a 2 q 2 p b a q p b a q displaystyle p 2 a 2 b 2 a 2 p 2 q 2 p 2 b 2 a 2 q 2 pb aq pb aq nbsp Ahora como p 2 q 2 displaystyle p 2 q 2 nbsp es primo por el lema de Euclides debe dividir a alguno de los dos factores Supongamos que divide a p b a q displaystyle pb aq nbsp Como por la primera afirmacion la identidad de Brahmagupta a 2 b 2 p 2 q 2 a p b q 2 a q b p 2 a p b q 2 a 2 b 2 p 2 q 2 a q b p 2 displaystyle a 2 b 2 p 2 q 2 ap bq 2 aq bp 2 Rightarrow ap bq 2 a 2 b 2 p 2 q 2 aq bp 2 nbsp y los dos sumandos de la derecha son por hipotesis divisibles por p 2 q 2 2 displaystyle p 2 q 2 2 nbsp tenemos que a p b q 2 displaystyle ap bq 2 nbsp tambien lo es Podemos pues dividir la identidad de Brahmagupta por p 2 q 2 2 displaystyle p 2 q 2 2 nbsp y obtener a 2 b 2 p 2 q 2 a p b q p 2 q 2 2 a q b p p 2 q 2 2 displaystyle frac a 2 b 2 p 2 q 2 left frac ap bq p 2 q 2 right 2 left frac aq bp p 2 q 2 right 2 nbsp y esto lleva a lo que queriamos el cociente es suma de dos cuadrados Por otro lado si p 2 q 2 displaystyle p 2 q 2 nbsp dividiera a p b a q displaystyle pb aq nbsp un argumento simetrico se sostiene utilizando la siguiente variante de la identidad de Brahmagupta a 2 b 2 q 2 p 2 a q b p 2 a p b q 2 displaystyle a 2 b 2 q 2 p 2 aq bp 2 ap bq 2 nbsp 3 Si un numero suma de dos cuadrados es divisible por un numero que no es suma de nos cuadrados entonces el cociente tiene un factor que no es suma de dos cuadrados Esta es la segunda proposicion de Euler Supongamos que q displaystyle q nbsp es un numero no expresable como suma de dos cuadrado que divide a a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp Escribimos el cociente factorizado en sus posiblemente repetidos factores primos como p 1 p 2 p n displaystyle p 1 p 2 cdots p n nbsp de forma que tenemos que a 2 b 2 q p 1 p 2 p n displaystyle a 2 b 2 qp 1 p 2 cdots p n nbsp Si todos los factores p i displaystyle p i nbsp pudieran ser escritos como suma de dos cuadrados podriamos dividir sucesivamente a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp por p 1 p 2 displaystyle p 1 p 2 nbsp etc y aplicando el paso 2 en cada division obtendriamos a la izquierda un numero expresable como suma de dos cuadrados Pero si repetimos esto n displaystyle n nbsp veces para cada factor obtenemos que q displaystyle q nbsp es suma de dos cuadrados lo cual es una contradiccion Por lo que por lo menos uno de los p i displaystyle p i nbsp debe no ser suma de dos cuadrados 4 Si a displaystyle a nbsp y b displaystyle b nbsp son enteros positivos y coprimos entonces todos los factores de a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp son suma de dos cuadrados Este es el paso que utiliza 3 para producir un descenso infinito y fue la proposicion 4 de Euler La demostracion siguiente contiene tambien la demostracion de la proposicion 3 de Euler Sea a b displaystyle a b nbsp enteros positivos coprimos Sin perdida de generalidad podemos supones que a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp no es primo pues si lo fuera ya habriamos acabado Sea q 1 a 2 b 2 displaystyle q neq 1 a 2 b 2 nbsp un factor de a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp no necesariamente primo Podemos suponer que q 1 a 2 b 2 displaystyle q neq 1 a 2 b 2 nbsp porque ambos casos son suma de dos cuadrados y ya habriamos acabado Tampoco perdemos nada suponiendo que q gt 2 displaystyle q gt 2 nbsp pues el caso q 2 1 2 1 2 displaystyle q 2 1 2 1 2 nbsp tambien es obvio Sean pues m n displaystyle m n nbsp enteros no negativos tales que m q n q displaystyle mq nq nbsp son los multiplos de q displaystyle q nbsp mas cercanos en valor absoluto a a b displaystyle a b nbsp respectivamente Notese que las diferencias c a m q d b n q displaystyle c a mq d b nq nbsp son ambos enteros de valor absoluto estrictamente menor que q 2 displaystyle q 2 nbsp Con estas definiciones obtenemos quea 2 b 2 c m q 2 d n q 2 c 2 m 2 q 2 2 m q c d 2 n 2 q 2 2 n q d A q c 2 d 2 displaystyle a 2 b 2 c mq 2 d nq 2 c 2 m 2 q 2 2mqc d 2 n 2 q 2 2nqd Aq c 2 d 2 nbsp definiendo univocamente un entero no negativo A displaystyle A nbsp Como q displaystyle q nbsp divide por hipotesis a a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp y tambien divide trivialmente a A q displaystyle Aq nbsp debe dividir tambien a c 2 d 2 displaystyle c 2 d 2 nbsp Podemos escribir pues c 2 d 2 q r displaystyle c 2 d 2 qr nbsp Sea g mcd c d displaystyle g operatorname mcd c d nbsp Como a b displaystyle a b nbsp son coprimos g displaystyle g nbsp lo tiene que ser tambien con q displaystyle q nbsp pues por definicion de c d displaystyle c d nbsp mcd g q a b mcd g q mcd a b 1 mcd g q 1 displaystyle operatorname mcd g q a b Rightarrow operatorname mcd g q operatorname mcd a b 1 Rightarrow operatorname mcd g q 1 nbsp Asi tenemos queg mcd c d c d g 2 c 2 d 2 g 2 c 2 d 2 q r mcd g q 1 g 2 r displaystyle g operatorname mcd c d c d Rightarrow g 2 c 2 d 2 Rightarrow g 2 c 2 d 2 qr overset operatorname mcd g q 1 Rightarrow g 2 r nbsp Por tanto escribiendo e c g f d g s r g 2 displaystyle e c g f d g s r g 2 nbsp todos enteros como ya hemos visto obtenemos dividiendo por g 2 displaystyle g 2 nbsp c 2 d 2 q r g 2 e 2 f 2 q s displaystyle c 2 d 2 qr overset g 2 Rightarrow e 2 f 2 qs nbsp y por definicion e f displaystyle e f nbsp son coprimos Como hemos observado antes c d lt q 2 displaystyle c d lt q 2 nbsp de forma queq s e 2 f 2 c 2 d 2 lt q 2 2 q 2 2 q 2 2 s lt q 2 displaystyle qs e 2 f 2 leq c 2 d 2 lt left frac q 2 right 2 left frac q 2 right 2 frac q 2 2 Rightarrow s lt frac q 2 nbsp Llegamos asi al paso del descenso infinito si q displaystyle q nbsp no es suma de dos cuadrados por el paso 3 y como s e 2 f 2 q displaystyle s frac e 2 f 2 q nbsp tiene que haber un factor de s displaystyle s nbsp digamos q 1 displaystyle q 1 nbsp que no es suma de dos cuadrados Pero q 1 s lt q 2 lt q displaystyle q 1 leq s lt q 2 lt q nbsp y repitiendo estos pasos inicialmente con e f q 1 displaystyle e f q 1 nbsp en lugar de a b q displaystyle a b q nbsp y asi ad infinitum obtenemos una secuencia infinita estrictamente decreciente q q 1 q 2 displaystyle q q 1 q 2 dots nbsp de enteros positivos Esto es una contradiccion que proviene de nuestra suposicion de que q displaystyle q nbsp no era suma de dos cuadrados por lo que lo debe ser y hemos acabado la demostracion de este paso 5 Todo primo de la forma 4 n 1 displaystyle 4n 1 nbsp es suma de dos cuadrados Este es el principal resultado del segundo articulo de Euler Si p 4 n 1 displaystyle p 4n 1 nbsp por el pequeno teorema de Fermat cada uno de los numeros 1 2 4 n 3 4 n 4 n 4 n displaystyle 1 2 4n 3 4n dots 4n 4n nbsp es congruente con 1 modulo p displaystyle p nbsp Las diferencias 2 4 n 1 3 4 n 2 4 n 4 n 4 n 4 n 1 4 n displaystyle 2 4n 1 3 4n 2 4n dots 4n 4n 4n 1 4n nbsp son por tanto todas divisibles por p displaystyle p nbsp Cada una de estas diferencias puede ser factorizada como a 4 n b 4 n a 2 n b 2 n a 2 n b 2 n displaystyle a 4n b 4n a 2n b 2n a 2n b 2n nbsp Como p displaystyle p nbsp es primo tiene que dividir a alguno de los dos factores Si en alguna de las 4 n 1 displaystyle 4n 1 nbsp diferencias divide al primer factor podemos concluir por 4 que p displaystyle p nbsp es suma de dos cuadrados como a b displaystyle a b nbsp difieren por 1 son coprimos Es suficiente pues ver que p displaystyle p nbsp no puede dividir siempre al segundo factor Si p displaystyle p nbsp divide las 4 n 1 displaystyle 4n 1 nbsp diferencias 2 2 n 1 3 2 n 2 2 n 4 n 2 n 4 n 1 2 n displaystyle 2 2n 1 3 2n 2 2n dots 4n 2n 4n 1 2n nbsp entonces dividira las 4 n 2 displaystyle 4n 2 nbsp diferencias de terminos sucesivos las 4 n 3 displaystyle 4n 3 nbsp diferencias de las diferencias y asi sucesivamente Este proceso se puede representar como sigue Consideremos el polinomio P 0 x x 2 n 1 displaystyle P 0 x x 2n 1 nbsp y la sucesion de polinomios definida por P i 1 x P i x 1 P i x displaystyle P i 1 x P i x 1 P i x nbsp Observamos que esta recurrencia valorada en x 2 displaystyle x 2 nbsp nos da el primer termino de las sucesivas diferencias de las diferencias Afirmamos que gr P i 2 n i displaystyle operatorname gr P i 2n i nbsp En efecto P 0 displaystyle P 0 nbsp lo cumple y por induccion P i 1 x P i x 1 P i x Induccion a 2 n i x 1 2 n i a 2 n i 1 x 1 2 n i 1 a 2 n i x 2 n i a 2 n i 1 x 2 n i 1 displaystyle P i 1 x P i x 1 P i x overset text Induccion a 2n i x 1 2n i a 2n i 1 x 1 2n i 1 dots a 2n i x 2n i a 2n i 1 x 2n i 1 dots nbsp a 2 n i x 2 n i a 2 n i 2 n i 1 x 2 n i 1 a 2 n i 1 x 2 n i 1 a 2 n i x 2 n i a 2 n i 1 x 2 n i 1 a 2 n i 2 n i 1 x 2 n i 1 displaystyle a 2n i x 2n i a 2n i 2n i choose 1 x 2n i 1 a 2n i 1 x 2n i 1 dots a 2n i x 2n i a 2n i 1 x 2n i 1 dots a 2n i 2n i choose 1 x 2n i 1 dots Rightarrow nbsp gr P i 1 n i 1 displaystyle Rightarrow operatorname gr P i 1 n i 1 nbsp Ademas su monomio dominante tiene un coeficiente igual al producto 2 n 2 n 1 2 n i 1 displaystyle 2n 2n 1 cdots 2n i 1 nbsp En efecto P 0 displaystyle P 0 nbsp lo cumple y por induccion por el razonamiento anterior tenemos que el monomio principal del P i 1 displaystyle P i 1 nbsp esP i 1 x a 2 n i 2 n i 1 x 2 n i 1 Induccion 2 n 2 n 1 2 n i 1 2 n i x 2 n i 1 2 n 2 n 1 2 n i 1 2 n i 1 1 x 2 n i 1 displaystyle P i 1 x a 2n i 2n i choose 1 x 2n i 1 overset text Induccion 2n 2n 1 cdots 2n i 1 2n i x 2n i 1 2n 2n 1 cdots 2n i 1 2n i 1 1 x 2n i 1 nbsp Por tanto tenemos que el polinomio P 2 n x 2 n 2 n 1 2 n 2 n 1 x 2 n 2 n 2 n displaystyle P 2n x 2n 2n 1 cdots 2n 2n 1 x 2n 2n 2n nbsp En particular P 2 n 2 2 n displaystyle P 2n 2 2n nbsp y por lo que hemos visto antes tenemos que 4 n 1 p P 2 n 2 2 n displaystyle 4n 1 p P 2n 2 2n nbsp lo cual es una contradiccion pues p displaystyle p nbsp es un numero mayor que 2 n displaystyle 2n nbsp La contradiccion proviene de suponer que p displaystyle p nbsp divide todas las diferencias 2 2 n 1 3 2 n 2 2 n 4 n 2 n 4 n 1 2 n displaystyle 2 2n 1 3 2n 2 2n dots 4n 2n 4n 1 2n nbsp Asi no las divide a todas y como ya hemos visto esto conduce a que p displaystyle p nbsp es suma de dos cuadrados Con esto queda demostrado el teorema displaystyle quad square nbsp Numero de soluciones y generalizacion editar En el enunciado del teorema basico se afirma tambien la unicidad de la descomposicion de un primo como suma de cuadrados La demostracion de esto no es complicada y recae tambien en la identidad de Brahmagupta Si un numero primo p displaystyle p nbsp es suma de dos cuadrados entonces estos cuadrados son unicos salvo un cambio de orden Sean a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp y c 2 d 2 displaystyle c 2 d 2 nbsp dos sumas de cuadrados iguales a p displaystyle p nbsp Suponemos que a b c d displaystyle a b c d nbsp son enteros positivos Son de hecho estrictamente positivos ya que si no fuese el caso p displaystyle p nbsp seria un cuadrado perfecto lo cual entra en contradiccion con que sea primo Se demuestra que p displaystyle p nbsp divide a a d b c displaystyle ad bc nbsp y a a d b c displaystyle ad bc nbsp Para esto es util el siguiente calculo a d b c a d b c a 2 d 2 b 2 c 2 a 2 d 2 b 2 d 2 b 2 c 2 b 2 d 2 d 2 a 2 b 2 b 2 c 2 d 2 d 2 p b 2 p p d 2 b 2 displaystyle ad bc ad bc a 2 d 2 b 2 c 2 a 2 d 2 b 2 d 2 b 2 c 2 b 2 d 2 d 2 a 2 b 2 b 2 c 2 d 2 d 2 p b 2 p p d 2 b 2 nbsp Asi p displaystyle p nbsp a d b c a d b c displaystyle ad bc ad bc nbsp y por el lema de Euclides debe dividir a alguno de los dos factores Supongamos que divide al primero p displaystyle p nbsp a d b c k 1 Z a d b c k 1 p displaystyle ad bc Rightarrow exists k 1 in mathbb Z ad bc k 1 p nbsp La identidad de Brahmagupta demostrada en la primera afirmacion de la demostracion de Euler indica que p 2 a 2 b 2 c 2 d 2 a d b c 2 a c b d 2 displaystyle p 2 a 2 b 2 c 2 d 2 ad bc 2 ac bd 2 nbsp Esto muestra que a c b d displaystyle ac bd nbsp tambien es un multiplo de p displaystyle p nbsp y existe pues un entero k 2 displaystyle k 2 nbsp tal que a c b d k 2 p displaystyle ac bd k 2 p nbsp La anterior igualdad se puede por tanto escribir como p 2 k 1 2 p 2 k 2 2 p 2 displaystyle p 2 k 1 2 p 2 k 2 2 p 2 nbsp de donde k 1 2 k 2 2 1 displaystyle k 1 2 k 2 2 1 nbsp Como k 1 k 2 displaystyle k 1 k 2 nbsp son ambos enteros uno debe ser nulo y el otro es igual a 1 en valor absoluto Observamos que a c b d gt 0 displaystyle ac bd gt 0 nbsp ya que es suma de productos estrictamente positivos Por tanto k 1 0 displaystyle k 1 0 nbsp y asi a d b c k 1 p 0 displaystyle ad bc k 1 p 0 nbsp Esto muestra que los vectores a b c d displaystyle a b c d nbsp son proporcionales y por tanto existe un entero estrictamente positivo l displaystyle lambda nbsp tal que c l a d l b displaystyle c lambda a d lambda b nbsp Asi c 2 d 2 l 2 a 2 l 2 b 2 l 2 a 2 b 2 l 2 p l 2 1 l gt 0 l 1 displaystyle c 2 d 2 lambda 2 a 2 lambda 2 b 2 lambda 2 a 2 b 2 lambda 2 p Rightarrow lambda 2 1 overset lambda gt 0 Rightarrow lambda 1 nbsp Esto por definicion de l displaystyle lambda nbsp quiere decir que c a d b displaystyle c a d b nbsp Si fuera a d b c displaystyle ad bc nbsp el multiplo de p displaystyle p nbsp la igualdad siguiente muestra que a c b d displaystyle ac bd nbsp es un multiplo de p displaystyle p nbsp p 2 a 2 b 2 c 2 d 2 a c b d 2 a d b c 2 displaystyle p 2 a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd 2 ad bc 2 nbsp El razonamiento anterior tambien se aplica solo que ahora muestra que a d b c displaystyle a d b c nbsp es decir los cuadrados son identicos pero estan en orden inverso Por tanto salvo el orden la descomposicion en cuadrados es unica como queriamos ver displaystyle quad square nbsp Podemos suponer que son positivos porque nos importa la unicidad de sus cuadrados de forma que un numero y su opuesto son equivalentes De hecho diferenciando positivos y negativos hay 4 elecciones de a b Z displaystyle a b in mathbb Z nbsp tales que a 2 b 2 p displaystyle a 2 b 2 p nbsp dependiendo de si se cogen los representantes positivos o negativos de a b displaystyle a b nbsp p a 2 b 2 displaystyle p pm a 2 pm b 2 nbsp Procedemos ahora a demostrar la generalizacion del teorema a enteros cualesquiera no necesariamente primos que se ha enunciado mas arriba y que dice asi Teorema de los dos cuadrados caso general Un entero es suma de dos cuadrados si y solo si cada uno de sus factores primos de la forma 4 k 3 displaystyle 4k 3 nbsp interviene con una potencia par Para la demostracion del teorema son necesarios dos lemas Lema 1 displaystyle 1 nbsp Si p displaystyle p nbsp es un numero primo impar x 2 1 0 mod p displaystyle x 2 1 equiv 0 pmod p nbsp tiene solucion p 1 mod 4 displaystyle Longleftrightarrow p equiv 1 pmod 4 nbsp displaystyle Rightarrow nbsp Supongamos que existe x Z displaystyle x in mathbb Z nbsp tal que x 2 1 0 mod p x 2 1 mod p x 2 p 1 2 1 p 1 2 mod p displaystyle x 2 1 equiv 0 pmod p Rightarrow x 2 equiv 1 pmod p Rightarrow x 2 frac p 1 2 equiv 1 frac p 1 2 pmod p nbsp pero por el pequeno teorema de Fermat x 2 p 1 2 x p 1 1 mod p 1 p 1 2 1 mod p p 1 2 0 mod 2 p 1 mod 4 displaystyle x 2 frac p 1 2 x p 1 equiv 1 pmod p Rightarrow 1 frac p 1 2 equiv 1 pmod p Rightarrow frac p 1 2 equiv 0 pmod 2 Rightarrow p equiv 1 pmod 4 nbsp displaystyle Leftarrow nbsp Por hipotesis existe un entero n displaystyle n nbsp tal que p 4 n 1 displaystyle p 4n 1 nbsp El pequeno teorema de Fermat muestra que si x displaystyle x nbsp es un entero entonces x 2 n 1 x 2 n 1 x 4 n 1 0 mod p displaystyle x 2n 1 x 2n 1 x 4n 1 equiv 0 pmod p nbsp Como p displaystyle p nbsp es primo uno de los dos factores es multiplo suyo Es suficiente encontrar un entero a displaystyle a nbsp tal que a 2 n 1 displaystyle a 2n 1 nbsp no sea multiplo de p displaystyle p nbsp pues en este caso a 2 n 1 displaystyle a 2n 1 nbsp lo es y a n displaystyle a n nbsp es la solucion de x 2 1 0 mod p displaystyle x 2 1 equiv 0 pmod p nbsp que buscabamos Se sigue aqui un razonamiento muy parecido que en el quinto paso de la demostracion de Euler Consideramos la sucesion de polinomios P n displaystyle Pn nbsp definida recurrentemente como P 0 x x 2 n 1 P i 1 x P i x 1 P i x displaystyle P 0 x x 2n 1 quad P i 1 x P i x 1 P i x nbsp En el quinto paso de la demostracion de Euler ya demostramos para estos polinomios que gr P i 2 n i displaystyle operatorname gr P i 2n i nbsp y que el coeficiente del monomio dominante de P i displaystyle P i nbsp es 2 n 2 n 1 2 n i 1 displaystyle 2n 2n 1 cdots 2n i 1 nbsp De esto se deduce que P 2 n displaystyle P 2n nbsp es un polinomio constante igual a 2 n displaystyle 2n nbsp Como p displaystyle p nbsp es primo y mayor que 2 n displaystyle 2n nbsp no es divisor de 2 n displaystyle 2n nbsp Pero P 2 n x displaystyle P 2n x nbsp es por definicion suma de valores que toma P 0 x displaystyle P 0 x nbsp sobre los enteros Por tanto como p displaystyle p nbsp no divide a P 2 n x 2 n displaystyle P 2n x 2n nbsp para ningun x Z displaystyle x in mathbb Z nbsp debe existir a Z displaystyle a in mathbb Z nbsp tal que P 0 a displaystyle P 0 a nbsp no es multiplo de p displaystyle p nbsp Entonces como a 2 n 1 displaystyle a 2n 1 nbsp no es multiplo de p displaystyle p nbsp tenemos que si que lo es a 2 n 1 displaystyle a 2n 1 nbsp lo que concluye la demostracion displaystyle quad square nbsp Lema 2 displaystyle 2 nbsp Sea p displaystyle p nbsp un primo congruente con 3 modulo 4 Si una suma de cuadrados de enteros a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp es multiplo de p displaystyle p nbsp entonces a displaystyle a nbsp y b displaystyle b nbsp son multiplos de p displaystyle p nbsp Que a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp sea multiplo de p displaystyle p nbsp quiere decir que a 2 b 2 0 mod p displaystyle a 2 b 2 equiv 0 pmod p nbsp de forma que considerando el cuerpo de los enteros modulo p displaystyle p nbsp a 2 b 2 0 displaystyle a 2 b 2 0 nbsp en Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp Supongamos que b displaystyle b nbsp no es multiplo de p displaystyle p nbsp es decir b 0 displaystyle b neq 0 nbsp en Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp Como es un cuerpo b displaystyle b nbsp tiene un inverso b 1 Z p Z displaystyle b 1 in mathbb Z p mathbb Z nbsp de forma que si multiplicamos la anterior igualdad por b 1 2 displaystyle b 1 2 nbsp tenemos que a b 1 2 1 0 displaystyle ab 1 2 1 0 nbsp es decir la ecuacion x 2 1 0 displaystyle x 2 1 0 nbsp tiene solucion a b 1 displaystyle ab 1 nbsp en Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp pero por el lema 1 displaystyle 1 nbsp la misma ecuacion no tiene soluciones pues p 3 1 mod 4 displaystyle p equiv 3 not equiv 1 pmod 4 nbsp Tenemos pues una contradiccion La contradiccion proviene de suponer que b displaystyle b nbsp no es multiplo de p displaystyle p nbsp Por tanto si que lo es y como a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp es multiplo de p displaystyle p nbsp deducimos que a displaystyle a nbsp tambien es multiplo de p displaystyle p nbsp displaystyle quad square nbsp Ya podemos asi demostrar el teorema general Un entero es suma de dos cuadrados si y solo si cada uno de sus factores primos de la forma 4 k 3 displaystyle 4k 3 nbsp interviene con una potencia par displaystyle Leftarrow nbsp Supongamos que n displaystyle n nbsp tiene una descomposicion en numeros primos del tipo del enunciado Veremos que podemos describir n displaystyle n nbsp como producto de sumas de dos cuadrados lo que implicara por la primera afirmacion de la demostracion de Euler que n displaystyle n nbsp es a su vez suma de dos cuadrados La forma para la descomposicion en factores primos de n displaystyle n nbsp descrita en el enunciado empieza con una potencia de 2 2 m displaystyle 2 m nbsp que podemos escribir como suma de dos cuadrados ccomo 2 m 2 m 0 2 displaystyle 2 m 2 m 0 2 nbsp si m displaystyle m nbsp es par o como 2 m 2 m 1 2 m 1 displaystyle 2 m 2 m 1 2 m 1 nbsp si m displaystyle m nbsp es impar Luego habra potencias de primos impares que deberan ser congruentes o con 1 o con 3 modulo 4 Todos los primos congruentes con 1 modulo 4 se pueden escribir como suma de dos cuadrados por el teorema en el caso particular de los numeros primos Ahora por hipotesis los primos congruentes con 3 modulo 4 estan elevados a una potencia par luego podemos escribirlos como suma de dos cuadrados como p 2 m p 2 0 2 m displaystyle p 2m p 2 0 2 m nbsp que es un producto de numeros que se pueden escribir como suma de dos cuadrados por lo que tambien es suma de dos cuadrados Por tanto n displaystyle n nbsp es producto de numeros suma de dos cuadrados y es por tanto suma de dos cuadrados displaystyle Rightarrow nbsp Supongamos ahora que n displaystyle n nbsp es suma de dos cuadrados digamos que n a 2 b 2 displaystyle n a 2 b 2 nbsp Queremos ver que todos los primos congruentes con 3 modulo 4 estan elevados a una potencia par en la descomposicion en factores primos de n displaystyle n nbsp Equivalentemente veremos que si p displaystyle p nbsp es un primo congruente con 3 modulo 4 que divide a n a 2 b 2 displaystyle n a 2 b 2 nbsp entonces su cuadrado p 2 displaystyle p 2 nbsp tambien divide a n displaystyle n nbsp Tenemos pues que p displaystyle p nbsp divide a n a 2 b 2 displaystyle n a 2 b 2 nbsp Ahora por el lema 2 displaystyle 2 nbsp tenemos que p displaystyle p nbsp divide tambien a a displaystyle a nbsp y a b displaystyle b nbsp En consecuencia a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 nbsp es multiplo no solo de p displaystyle p nbsp sino tambien de p 2 displaystyle p 2 nbsp Con esto como ya hemos dicho concluimos que todas las potencias de primos congruentes con 3 modulo 4 son primas como queriamos demostrar displaystyle square span styl, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca, español , española, descargar, gratis, descargar gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, imagen, música, canción, película, libro, juego, juegos © Derechos de autor 2021, Todos los derechos reservados  |   www.wiki3.es-es.nina.az Rss Feed 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