Teorema de Minkowski

En matemáticas, el teorema de Minkowski afirma que cualquier conjunto convexo de ℝⁿ simétrico respecto al origen y con volumen mayor que 2ⁿ contiene un punto de enrejado no nulo. El teorema fue demostrado por Hermann Minkowski en 1889 y se convirtió en la base de la rama de la teoría de números llamada geometría de números.

Un conjunto en ℝ² que satisface las hipótesis del teorema de Minkowski.

Formulación

Supongamos que L es un enrejado con determinante d(L) en el espacio vectorial real de dimensión n, ℝⁿ, y S es un subconjunto convexo de ℝⁿ simétrico respecto el origen, es decir, que si x pertenece a S entonces -x también pertenece a S. El teorema de Minkowski declara que si el volumen de S es estrictamente mayor que 2ⁿ d(L), entonces S contiene al menos otro punto de enrejado además del origen. De hecho, dado que S es simétrico, contendrá al menos tres puntos de enrejado: el origen y ±x donde x ∈ L \ 0.

Ejemplo

El ejemplo más sencillo de un enrejado es el conjunto ℤⁿ de todos los puntos con coeficientes enteros; su determinante es 1. Para n = 2, el teorema afirma que una figura convexa en el plano euclideo simétrica respecto el origen y con área mayor que 4 encierra al menos un punto de enrejado además del origen. La cota del área es importante: Si S es el interior del cuadrado con vértices (±1, ±1) entonces S es simétrico, convexo y su área es exactamente 4, pero el único punto de enrejado que contiene es el origen. Esta observación es general para hipercubos de dimensión n.

Prueba

EL = ℤ² argumento siguiente prueba el teorema de Minkowski para el caso concreto de L = ℤ2. Pueda ser generalizado a enrejados arbitrarios en dimensiones arbitrarias.

Considerar el mapa

Intituivamente, este mapa corta el avión a 2 por 2 plazas, entonces stacks las plazas arriba de cada otro. Claramente f(S) tiene área menos de o igual a 4.

Supone f era inyectiva, el cual significa las piezas de S corte fuera por las plazas stack arriba en un no-overlapping manera. Desde f eS localmente que preserva área, esto no-overlapping la propiedad lo haría que preserva área para todo de S, así que el área de f(S) sería el mismo tan aquello de S, el cual es más grande que 4. Aquello no es el caso, tan f no es injectp₂ = p₁ + (2i, 2j)ve, y f(p1) = f(p2) para algún par de puntos p1, p2 en S. Además, sabemos de la definición de f que p2 = p1 (2i, 2) para algunos enteros i y j, donde i y j no es ambos cero.

Entonces deSde S es symmetric sobre el origen, −p1 es también un punto en S. Desde S es convexo, el segmento de línea entre −p1 y p2 mentiras enteramente en S, y en particular el midpoint de aquellas mentiras de segmento en S. En otras palabras,

Ment(i,j)ras en S. (i,) es un punto de enrejado, y no es el origen desde i y j no es ambos cero, y tan hemos encontrado el punto estamos buscando.

Aplicaciones

Una aplicación de este teorema es el resultado que cada clase en el grupo de clase ideal de un campo de número K contiene un ideal integral de norma no superando un seguro atado, dependiendo de K, Minkowski llamado está atado: el finiteness del número de clase de un campo de número algebraico sigue inmediatamente.

El teorema de Minkowski es también útil de probar Lagrange cuatro-teorema cuadrado, el cual declara que cada número natural puede ser escrito como la suma de las plazas de cuatro números naturales.

Véase también

• Teorema de Pick
• Teorema de Dirichlet
• Segundo Teorema de Minkowski

Referencias

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• J. W. S. Cassels. Una Introducción a la Geometría de Números. Salmer Classics en Matemáticas, Salmer-Verlag, 1997 (reimpresión de 1959 y 1971, Salmer-Verlag ediciones).
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•   Datos: Q1097021