Prisma (geometría)

Un prisma, en geometría, es un poliedro que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos. Los prismas se nombran por la forma de su base, por lo que un prisma de base pentagonal se llama prisma pentagonal.^[1]​ Los prismas son una subclase de los prismatoides.

Prisma (uniforme)
Imagen del sólido
Caras	n + 2
Polígonos que forman las caras	2 n-ágonos n cuadrados
Aristas	3n
Vértices	2n
Configuración de vértices	4.4.n
Grupo de simetría	Dnh
Poliedro dual	Bipirámide n-gonal
Propiedades
Prismatoide
Desarrollo
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Como muchos términos geométricos básicos, la palabra prisma (πρίσμα (prisma)|algo aserrado) se utilizó por primera vez en los Elementos de Euclides. Euclides definió el término en el Libro XI como "una figura sólida contenida por dos planos opuestos, iguales y paralelos, mientras que el resto son paralelogramos". Sin embargo, esta definición ha sido criticada por no ser lo suficientemente específica en relación con la naturaleza de las bases, lo que causó confusión entre los escritores de geometría posteriores.^[2]​^[3]​

Definición

Un prisma es un poliedro que posee las siguientes dos propiedades:

1. Existen exactamente dos caras congruentes sobre planos paralelos, se las nombra bases.
2. Todas las demás caras son paralelogramos.^[4]​

Oblicuo vs recto

Un prisma oblicuo es un prisma en el que las aristas y caras de unión son no perpendicular a las caras de la base.

Ejemplo: un paralelepípedo es un prisma oblicuo cuya base es un paralelogramo, o equivalentemente un poliedro con seis caras paralelogramos.

 

Prisma recto

Un prisma recto es un prisma en el que las aristas y caras de unión son perpendiculares a las caras de la base.^[5]​ Esto se aplica si y sólo si todas las caras de unión son rectangulares'.

El dual de un prisma recto n es una bipirámide recto n.

Un prisma recto (de lados rectangulares) con bases de polígono regular n-gon tiene símbolo de Schläfli { }×{n}. Se aproxima a un cilindro a medida que n se aproxima al infinito.

Casos especiales

• Un prisma rectangular recto (con base rectangular) también se llama cuboide, o informalmente caja rectangular. Un prisma rectangular recto tiene símbolo de Schläfli { }×{ }×{ }.

• Un prisma cuadrado recto (con base cuadrada) también se denomina cuboide cuadrado, o informalmente caja cuadrada.

Nota: algunos textos pueden aplicar el término prisma rectangular o prisma cuadrado tanto a un prisma de base rectangular como a un prisma de base cuadrada.

Prismas rectos

Un prisma recto es un prisma en el que los bordes de unión y las caras son perpendiculares a las caras de la base. Esto se aplica si las caras de unión son rectangulares. Si los bordes de unión y las caras no son perpendiculares a las caras de la base, se llama prisma oblicuo.

Algunos textos pueden aplicar el término de prisma rectangular o prisma cuadrado tanto a un prisma rectangular de lado derecho como a un prisma unilateral cuadrado derecho. El término prisma uniforme puede utilizarse para un prisma recto con lados cuadrados, ya que tales prismas están en el conjunto de poliedros uniforme.

Un prisma de n caras laterales con extremos de polígonos regulares y caras rectangulares, se acerca un sólido cilíndrico cuando n tiende a infinito.

Los prismas rectos con bases regulares y longitudes iguales bordes forman una de las dos series infinitas de poliedros semirregulares, las otras series son los antiprismas.

El dual de un prisma recto es una bipirámide.

Un paralelepípedo es un prisma de que la base es un paralelogramo, o equivalentemente un poliedro con seis caras que son todas paralelogramos.

A un prisma rectangular recto también se lo conoce como cuboides, o informalmente caja rectangular. Un prisma cuadrado derecho es simplemente una caja cuadrada, y también puede ser llamado un cuboide cuadrado.Los prismas son poliedros que constan de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos.

Cada prisma consta de los siguientes elementos:

• Bases: son las dos caras iguales y paralelas del prisma, una en la que se apoya y la otra su opuesta.
• Caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma.
• Aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales.
• Vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.
• Altura: es la distancia entre las bases.
• Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del prisma. Se pueden trazar las diagonales de una cara o entre dos caras.

Superficie

El área superficial de un prisma recto es:

${\displaystyle 2B+Ph,}$ 

donde B es el área de la base, h la altura, y P el perímetro de la base.

La superficie de un prisma recto cuya base es un polígono regular de lados n, de longitud s y altura h, es por tanto:

${\displaystyle A={\frac {n}{2}}s^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)+nsh.}$ 

Volumen

El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la distancia o altura entre las dos bases. Su valor se expresa como:

${\displaystyle V=B\cdot h}$ 

donde B es el área de la base y h es la altura. El volumen de un prisma, cuya base es un polígono regular de n lados con una longitud de lado s, es:

${\displaystyle V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}}$ 

Diagrama de Schlegels

P3

P4

P5

P6

P7

P8

Simetría

El grupo de simetría de un prisma recto de n lados con la base regular es D_nh del orden 4n, excepto en el caso de un cubo, que tiene el grupo de simetría octaédrica más grande, del orden 48, que tiene como subgrupos tres versiones de D_4h. El grupo de rotación es D_n del orden 2n, excepto en el caso de un cubo, que tiene el grupo O de simetría más grande del orden 2₄, que tiene como subgrupos tres versiones de D₄.

El grupo de simetría D_nh contiene inversión si n es par.

Polítopo prismático

Un politopo prismático es una generalización de los prismas a dimensiones distintas de 3. Un polítopo prismático de n dimensiones se define recursivamente como una figura creada a partir de dos politopos congruentes (n − 1)-dimensionales en hiperplanos paralelos, cuyas facetas correspondientes se conectan por prismas (n − 1)-dimensionales.

Dado un n-politopo con f_i elementos de dimensión i (i = 0, ..., n), el prisma generado a partir de él tendrá 2f_i + f_i−1 elementos de dimensión i (tomando f₋₁ = 0, f_n = 1).

Por dimensión:

• Si partimos de un polígono con n vértices y n aristas, su prisma tendrá 2n vértices, 3n bordes y 2 + n caras.
• Si partimos de un poliedro con v vértices, e aristas y f caras, su prisma tendrá 2v vértices, 2e + v aristas, 2f + e caras, y 2 + f celdas.
• Si partimos de un polícoro con v vértices, e aristas, f caras y c celdas, su prisma tendrá 2v vértices, 2e + v bordes, 2f + e caras, y 2 + c hiperceldas.

Polítopo prismático uniforme

Un n-polítopo regular de representado por el símbolo de Schläfli {p, q, ..., t} puede formar un (n + 1)-polítopo prismático uniforme representado por un producto cartesiano de dos símbolos de Schläfli: {p, q, ..., t} × {}.

Por dimensión:

• Un prisma 0-politópico es un segmento de recta, representado por un símbolo de Schläfli vacío {}.
  •  
• Un prisma 1-politópico es un rectángulo, formado a partir de la traslación de 2 segmentos de línea. Se representa como los el símbolo Schläfli producto {} × {}. Si se trata de un cuadrado, se puede reducir la simetría a: {} x {} = {4}.
  •   Ejemplo: cuadrado, {} x {}, dos segmentos de recta paralelos, conectados por dos lados de segmentos de recta.
• Un prisma poligonal es un prisma de 3 dimensiones hecho a partir de dos polígonos trasladados, conectados por rectángulos. Un polígono regular {p} puede construir el prisma n-gonal uniforme representado por el producto {p} × {}. Si p = 4, con lados cuadrados simétricos, se convierte en un cubo: {4}×{} = {4, 3}.
  •  Ejemplo: prisma pentagonal, {5}×{}, dos pentágonos paralelos conectados por 5 lados rectangulares.
• Un prisma poliédrico es un prisma de 4 dimensiones hecho por dos poliedros trasladados conectados por celdas de prisma de tridimensionales. Un poliedro regular {p, q} puede construir el prisma policórico uniforme, representado por el producto {p, q}×{}. Si el poliedro es un cubo, y los lados son cubos, se convierte en un teseracto: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
  •  Ejemplo: prisma dodecaédrico {5, 3} × {}, dos dodecaedros paralelos conectados por 12 lados de prismas pentagonales.

Los politopos prismáticos de orden superior también existen como productos cartesianos de dos politopos. La dimensión de un politopo es el producto de las dimensiones de los elementos. El primer ejemplo de esto existe en un espacio de 4 dimensiones llamado duoprisma como el producto de dos polígonos. Los duoprismas regulares se representan como {p} × {q}.

Familia de prismas uniformes

Simetría	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Imagen

Tronco de prisma

Es una parte de un prisma limitada entre la base y la sección originada por un plano no paralelo a la base y que interseca a todas las aristas laterales.^[6]​

Véase también

• Antiprisma
• Cilindro (geometría)
• Prisma apeirogonal

Referencias

1. Wellman, B. Leighton (1976). Geometría descriptiva: compendio de geometría descriptiva para técnicos. Reverte. ISBN 978-84-291-5090-2. Consultado el 29 de noviembre de 2019. 
2. Thomas Malton (1774). A Royal Road to Geometry: Or, an Easy and Familiar Introduction to the Mathematics. ... Por Thomas Malton. .... autor, and sold. pp. 360-. 
3. James Elliot (1845). Clave para el tratado completo de geometría práctica y mensuración: Containing Full Demonstrations of the Rules .... Longman, Brown, Green, and Longmans. pp. 3-. 
4. Stanley R. Clemens Geometría con aplicaciones y solución de problemas. Addison - Wesley Iberoamericana. Wilmington, Delaware E.U.A. (1989)
5. William F. Kern, James R. Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p. 28.
6. Eitor general Raúl Moisés Izaguirre Maguiña Geometría Fondo Editorial UNMSM -Centro preuniversitario Lima (2011) 3º edición

• Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach (en inglés). California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms (Capítulo 2: Poliedros arquimedianos, prisma y antiprismas)

Bibliografía

• Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

Enlaces externos

• Olshevsky, George, en Glossary for Hyperspace (en inglés)
• Prismas y antiprismas no convexos (en inglés)
• en MATHguide (en inglés)
• en MATHguide (en inglés)
• Modelos de papel de prismas y antiprismas. Redes libres de prismas y antiprismas (en inglés).
• usando redes generadas por Stella (en inglés)
• Stella: Navigador Poliedro: Software utilizado para crear las imágenes 3D y 4D en esta página (en inglés).

•   Datos: Q180544
•   Multimedia: Prisms (geometry) / Q180544