Derivación de funciones trigonométricas

Función	Derivada
${\displaystyle \,sen(x)}$	${\displaystyle \,cos(x)}$
${\displaystyle \,cos(x)}$	${\displaystyle -\,sen(x)}$
${\displaystyle \,tan(x)}$	${\displaystyle \,sec^{2}(x)}$
${\displaystyle \,cot(x)}$	${\displaystyle -\,csc^{2}(x)}$
${\displaystyle \,sec(x)}$	${\displaystyle \,sec(x)\tan(x)}$
${\displaystyle \,csc(x)}$	${\displaystyle -\,csc(x)\cot(x)}$
${\displaystyle \,arcsen(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \,arccos(x)}$	${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \,arctan(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}$

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

${\displaystyle f'(x)=\cos(x)\,}$

Derivada de la función coseno

Dada la función ${\displaystyle f(x)=\cos(x)=\operatorname {sen}(x+{\frac {\pi }{2}})}$ es inmediato que:

${\displaystyle f'(x)=-\operatorname {sen}(x)\,}$

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, ${\displaystyle f(x)}$ ,

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$ 

y ${\displaystyle h(x)\neq 0\,}$ , entonces la regla dice que la derivada de ${\displaystyle g(x)/h(x)\,}$  es igual a:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}$ 

A partir de la identidad trigonométrica

${\displaystyle \tan(x)={sen(x) \over \cos(x)}}$ 

haciendo:

${\displaystyle g(x)=\operatorname {sen}(x)\,}$ 

${\displaystyle g'(x)=\cos(x)\,}$ 

${\displaystyle h(x)=\cos(x)\,}$ 

${\displaystyle h'(x)=-\operatorname {sen}(x)\,}$ 

sustituyendo resulta

${\displaystyle f'(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\operatorname {sen}(x)[-\operatorname {sen}(x)]}{\cos ^{2}(x)}}}$ 

operando

${\displaystyle f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\operatorname {sen} ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}$ 

y aplicando las identidades trigonométricas

${\displaystyle \cos ^{2}(x)+\operatorname {sen} ^{2}(x)=1\,}$ 

${\displaystyle \sec ^{2}(x)={\frac {1}{cos^{2}(x)}}\,}$ 

resulta:

${\displaystyle f'(x)=\sec ^{2}(x)\,}$ 

Derivada de la función arcoseno

Tenemos una función ${\displaystyle \,y=arcsen\,x}$ , que también se puede expresar como ${\displaystyle \,\operatorname {sen} y=x}$ . Derivando implícitamente la segunda expresión:

${\displaystyle \,\cos y\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\cos y}}\,}$ 

Tenemos además que ${\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}y}}\,}$ , y que ${\displaystyle \,x=\operatorname {sen} y}$ . Sustituyendo, tenemos la fórmula final:

${\displaystyle \,{\frac {d}{dx}}arcsen\,x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ 

Ejemplo #1

${\displaystyle y=csc(x)cot(x)\,}$ 

${\displaystyle y'=(-csc(x)csc^{2}(x))-cot(x)csc(x)cot(x)\,}$ 

${\displaystyle y'=-csc(x)csc^{2}(x)-cot^{2}(x)csc(x)\,}$ 

${\displaystyle y'=-csc^{3}(x)-cot^{2}(x)csc(x)\,}$ 

Ejemplo #2

${\displaystyle y=3sen(x)-2cos(x)\,}$ 

${\displaystyle y'=3{\frac {d\,senx}{dx}}-2{\frac {d\,cosx}{dx}}}$ 

${\displaystyle y'=3cos(x)+2sen(x)\,}$ 

Enlaces

• Ejercicios resueltos de derivada de funciones trigonometricas en wikimatematica

•   Datos: Q3296857