La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) y para cualquier se verifica que
Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible obtener expresiones muy útiles para y en términos de y . Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la -ésima raíz de la unidad, eso es, números complejos tal que .
La forma actual de la fórmula aparece en la obra Introductio in analysin infinitorum[1] de Euler, que la demuestra[2] para todos los enteros naturales en 1748. Pero también aparece implícitamente en los trabajos de Abraham de Moivre varias veces desde 1707,[3] en su trabajo sobre las raíces -ésimas de números complejos. De hecho, los dos problemas están relacionados: escribir que (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) es equivalente a decir que cos x + i sin x es una de las raíces enésimas del complejo cos(nx) + i sin(nx).
si hacemos entonces tenemos la identidad de Euler:
Es decir:
Además como tenemos estas dos igualdades:
podemos deducir lo siguiente:
Demostración por inducción
Consideramos tres casos.
Para un entero , procedemos por inducción matemática. Cuando el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo . Eso es que asumimos:
Ahora, considerando el caso :
Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.
Cuando la fórmula es verdadera ya que , y (por convención) .
Cuando , consideramos que existe un entero positivo tal que , por lo que
Por lo tanto el teorema es verdadero para todo .
Generalización
La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces
Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, vol. 1, cap. 8 («De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis»), § 133.
Énoncée plus que démontrée selon Flament, 2003, p. 61.
Desde 1707, en los Philosophical Transactions, n.º 309, art. 3, Résolution analytique de quelques équations de la 3e, 5e, 7e puissance et des puissances supérieures (previsualización, p. 444, en Google Libros), después en 1730 en sus Miscellanea Analytica, Londres, p. 1-2 y en las Philosophical Transactions de 1738, n.º 451, problema III (previsualización, p. 507, en Google Libros).
fórmula, moivre, fórmula, moivre, nombrada, así, abraham, moivre, afirma, para, cualquier, número, complejo, particular, para, cualquier, número, real, displaystyle, para, cualquier, displaystyle, mathbb, verifica, displaystyle, operatorname, operatorname, est. La formula de De Moivre nombrada asi por Abraham de Moivre afirma que para cualquier numero complejo y en particular para cualquier numero real x displaystyle x y para cualquier n Z displaystyle n in mathbb Z se verifica que cos x i sen x n cos n x i sen n x displaystyle cos x i operatorname sen x n cos nx i operatorname sen nx Esta formula conecta los numeros complejos i significa unidad imaginaria con la trigonometria La expresion cos x i sen x displaystyle cos x i operatorname sen x en ocasiones se abrevia como cis x displaystyle operatorname cis x Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria es posible obtener expresiones muy utiles para cos n x displaystyle cos nx y sen n x displaystyle operatorname sen nx en terminos de cos x displaystyle cos x y sen x displaystyle operatorname sen x Ademas esta formula puede ser utilizada para encontrar expresiones explicitas para la n displaystyle n esima raiz de la unidad eso es numeros complejos z displaystyle z tal que z n 1 displaystyle z n 1 Indice 1 Historia 2 Relacion con la formula de Euler 3 Algunos resultados 4 Demostracion por induccion 5 Generalizacion 6 Aplicaciones 6 1 Potencia 6 2 Raices 7 Vease tambien 8 Referencias 9 Enlaces externosHistoria EditarArticulo principal Historia de los numeros complejos Sello con la efigie de Euler La forma actual de la formula aparece en la obra Introductio in analysin infinitorum 1 de Euler que la demuestra 2 para todos los enteros naturales n displaystyle n en 1748 Pero tambien aparece implicitamente en los trabajos de Abraham de Moivre varias veces desde 1707 3 en su trabajo sobre las raices n displaystyle n esimas de numeros complejos De hecho los dos problemas estan relacionados escribir que cos x i sin x n cos nx i sin nx es equivalente a decir que cos x i sin x es una de las raices enesimas del complejo cos nx i sin nx Relacion con la formula de Euler EditarLa formula de Moivre puede ser obtenida de la formula de Euler e i x cos x i sen x displaystyle e ix cos x i operatorname sen x aplicando leyes de la exponenciacion e i x n e i n x displaystyle left e ix right n e inx Entonces por la formula de Euler e i n x cos n x i sen n x displaystyle e i nx cos nx i operatorname sen nx Algunos resultados EditarPartiendo nuevamente de la formula de Euler e i x cos x i sen x displaystyle e ix cos x i operatorname sen x si hacemos x p displaystyle x pi entonces tenemos la identidad de Euler e i p cos p i sin p 1 0 1 displaystyle begin aligned e i pi amp cos pi i sin pi amp 1 0 amp 1 end aligned Es decir e i p 1 displaystyle e i pi 1 Ademas como tenemos estas dos igualdades e i x cos x i sen x displaystyle e ix cos x i operatorname sen x e i x cos x i sen x displaystyle e ix cos x i operatorname sen x podemos deducir lo siguiente cos x e i x e i x 2 sen x e i x e i x 2 i displaystyle begin aligned cos x amp frac e ix e ix 2 operatorname sen x amp frac e ix e ix 2i end aligned Demostracion por induccion EditarConsideramos tres casos Para un entero n gt 0 displaystyle n gt 0 procedemos por induccion matematica Cuando n 1 displaystyle n 1 el resultado es claramente cierto Para nuestra hipotesis asumimos que el resultado es verdadero para algun entero positivo k displaystyle k Eso es que asumimos cos x i sen x k cos k x i sen k x displaystyle left cos x i operatorname sen x right k cos kx i operatorname sen kx Ahora considerando el caso n k 1 displaystyle n k 1 cos x i sen x k 1 cos x i sen x k cos x i sen x cos k x i sen k x cos x i sen x por la hipotesis de induccion cos k x cos x sen k x sen x i cos k x sen x sen k x cos x cos k 1 x i sen k 1 x por las identidades trigonometricas displaystyle begin aligned left cos x i operatorname sen x right k 1 amp left cos x i operatorname sen x right k left cos x i operatorname sen x right amp left cos left kx right i operatorname sen left kx right right left cos x i operatorname sen x right qquad mbox por la hipotesis de induccion amp cos left kx right cos x operatorname sen left kx right operatorname sen x i left cos left kx right operatorname sen x operatorname sen left kx right cos x right amp cos left left k 1 right x right i operatorname sen left left k 1 right x right qquad mbox por las identidades trigonometricas end aligned Deducimos que el resultado es verdadero para n k 1 cuando es verdadero para n k Por el principio de la induccion matematica se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n 1 Cuando n 0 displaystyle n 0 la formula es verdadera ya que cos 0 x i sen 0 x 1 i 0 1 displaystyle cos 0x i operatorname sen 0x 1 i0 1 y por convencion z 0 1 displaystyle z 0 1 Cuando n lt 0 displaystyle n lt 0 consideramos que existe un entero positivo m displaystyle m tal que n m displaystyle n m por lo que cos x i sen x n cos x i sen x m 1 cos x i sen x m 1 cos m x i sen m x cos m x i sen m x cos m x i sen m x cos n x i sen n x displaystyle begin aligned left cos x i operatorname sen x right n amp left cos x i operatorname sen x right m amp frac 1 left cos x i operatorname sen x right m amp frac 1 left cos mx i operatorname sen mx right amp cos left mx right i operatorname sen left mx right amp cos left mx right i operatorname sen left mx right amp cos left nx right i operatorname sen left nx right end aligned Por lo tanto el teorema es verdadero para todo n Z displaystyle n in mathbb Z Generalizacion Editar La formula en realidad es verdadera en un campo mucho mas general que el presentado arriba si z y w son numeros complejos entonces cos z i sen z w displaystyle left cos z i operatorname sen z right w es una funcion multivaluada mientras cos w z i sen w z displaystyle cos wz i operatorname sen wz no lo sea Por lo tanto se puede asegurar que cos w z i sen w z displaystyle cos wz i operatorname sen wz es un valor de cos z i sin z w displaystyle left cos z i sin z right w Aplicaciones EditarEsta formula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raices enesimas de un numero complejo escrito en la forma polar z r cos x i sen x displaystyle z r left cos x i operatorname sen x right Si el numero complejo esta en forma binomica primero hay que convertirlo a forma polar siendo r displaystyle r el modulo Potencia Editar Para obtener la potencia del numero complejo se aplica la formula z n z cos x i sen x n z n cos n x i sen n x displaystyle z n left z left cos x i operatorname sen x right right n z n left cos nx i operatorname sen nx right Raices Editar Para obtener las n displaystyle n raices de un numero complejo se aplica z 1 n r cos x i sen x 1 n r 1 n cos x 2 k p n i sen x 2 k p n displaystyle z 1 n left r left cos x i operatorname sen x right right 1 n r 1 n left cos left frac x 2k pi n right i operatorname sen left frac x 2k pi n right right donde k displaystyle k es un numero entero que va desde hasta n 1 displaystyle n 1 que al sustituirlo en la formula permite obtener las n displaystyle n raices diferentes de z displaystyle z Vease tambien EditarFormula de Euler Raiz de la unidad Numeros imaginariosReferencias Editar Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum vol 1 cap 8 De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis 133 Enoncee plus que demontree selon Flament 2003 p 61 Desde 1707 en los Philosophical Transactions n º 309 art 3 Resolution analytique de quelques equations de la 3e 5e 7e puissance et des puissances superieures previsualizacion p 444 en Google Libros despues en 1730 en sus Miscellanea Analytica Londres p 1 2 y en las Philosophical Transactions de 1738 n º 451 problema III previsualizacion p 507 en Google Libros Enlaces externos EditarHazewinkel Michiel ed 2001 De Moivre formula Encyclopaedia of Mathematics en ingles Springer ISBN 978 1556080104 De Moivre s Theorem for Trig Identities by Michael Croucher Wolfram Demonstrations Project Datos Q190556Obtenido de https es wikipedia org w index php title Formula de De Moivre amp oldid 136800953, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, 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